女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

這篇文章是關(guān)于摩洛哥和安達(dá)盧西亞的傳統(tǒng)幾何圖案，介紹了用傳統(tǒng)方法“Tastir”展示八角星和其他幾何拼塊之間的關(guān)系，還介紹了這些幾何圖案的對稱群特征。

1導(dǎo)言

摩洛哥是西方伊斯蘭國家之一，以其豐富多樣的伊斯蘭幾何圖案而聞名。這些幾何圖案通常是在Zellij，石膏和木材上制作的。Zellij是由幾何和彩色拼塊組裝而成的馬賽克。它存在于私人或公共場所，也存在于古老或現(xiàn)代的地方。例如，在非斯市，Zellij在舊麥地那隨處可見，從Jamiaa Qarawiyine、Moulay Driss Mauselium等老地方到Jnan-Sbil公園和公共浴場(Hamams)等最近的地方。在這些地方，Zellij被用來裝飾墻壁、地板、天花板、噴泉、桌子和水槽。Zellij在摩洛哥隨處可見，但非斯和梅克內(nèi)斯的工匠是Zellij的主要生產(chǎn)者。

所羅門的八角星/印章在Zellij中無處不在。這顆星由兩個正方形組成，彼此偏移45°。正方形的邊構(gòu)成了定義圖案中所有鑲嵌的寬度的單位度量。這種計量單位被摩洛哥的工匠稱為Qasama。

我們分析一種叫做“Tastir”的傳統(tǒng)方法，它只使用圓規(guī)和尺子來畫圓和線。這兩個簡單的元素構(gòu)成了所有作品的基礎(chǔ)。重要的是要強(qiáng)調(diào)，傳統(tǒng)的方法是基于幾何圖案的對稱性。工匠只設(shè)計基本圖案，整個圖案是通過對其對稱群進(jìn)行等距變換而形成的。對于傳統(tǒng)的方法，這種基本圖案通常設(shè)計在一個三角形的基本區(qū)域。

本文的其余部分按以下方式安排：第2節(jié)涉及伊斯蘭幾何圖案構(gòu)造方法的相關(guān)作品。第3節(jié)提供對稱群理論的原理。第4節(jié)分析圖案，建立八角星與其他拼塊之間的關(guān)系。第5節(jié)給出了從八點(diǎn)星中提取的貼圖的數(shù)據(jù)庫。最后，我們在第6節(jié)對本文進(jìn)行總結(jié)。

2相關(guān)工作

伊斯蘭藝術(shù)引起了世界各地許多科學(xué)家和歷史學(xué)家的極大興趣。因此，人們進(jìn)行了許多工作來研究這門藝術(shù)，以發(fā)現(xiàn)構(gòu)建其圖案的秘密。為此，許多研究人員一直專注于一種基于密鋪的技術(shù)，也稱為接觸多邊形[1-6]。Bonner提供了伊斯蘭幾何圖案的系統(tǒng)和非系統(tǒng)的幾何構(gòu)造方法[7,8]。其他作品為分析和構(gòu)建伊斯蘭幾何圖案提供了數(shù)學(xué)工具[9-12]。另一方面，一些研究集中在圖案生成過程[13]、對稱群理論[14]和周期性[15-17]。這個作品旨在呈現(xiàn)八角星與其他衍生拼塊之間的關(guān)系。

3對稱群

工匠們在裝飾中運(yùn)用對稱的概念，按照一定的規(guī)律來組織形式。對稱是一個數(shù)學(xué)概念，可以應(yīng)用于各種幾何圖案。幾何圖形由對稱群定義，由一組等距變換確定。平面的等距變換有五種類型：恒等、旋轉(zhuǎn)、平移、反射和滑移反射。

圖1顯示了17個對稱群的基本單元，以及與每個對稱群相關(guān)的等距和基本區(qū)域的指示。

圖1：17組的基本區(qū)域和基本晶格

4傳統(tǒng)方法“Tastir”的定義和圖塊之間的關(guān)系

被稱為Tastir的傳統(tǒng)幾何圖案設(shè)計方法是摩洛哥工藝品的重要組成部分，具有濃厚的文化內(nèi)涵。它也是某些歷史名城，如非斯、梅克內(nèi)斯、馬拉喀什和拉巴特聞名世界的起源。

這種方法僅適用于繪制基本的重復(fù)圖案，這在摩洛哥傳統(tǒng)中被稱為Karhet。此外，這種基本模式的對稱性確定了基本區(qū)域，這是設(shè)計師的創(chuàng)意領(lǐng)域。圖2所示的周期性圖案是由圖3a所示的基本圖案的水平和垂直重復(fù)產(chǎn)生的。此外，該基本圖案呈現(xiàn)兩個正交的對稱軸，這兩個對稱軸標(biāo)識了圖3b中所示的基本主題。

圖2：周期圖案的例子

圖3：基本圖案及其對應(yīng)的基本母題

這個基本的圖案是由八角星產(chǎn)生的幾個幾何形狀組成的。圖4顯示了從八角星中提取的方塊示例。

圖4：從八角星中提取的鑲嵌樣品

還可以看到，所有這些拼塊的角度都等于45度或它們的倍數(shù)或分割。因此，塊體之間的相對關(guān)系結(jié)合了長度、周長、面積和角度。

5八角星鑲嵌體提取數(shù)據(jù)庫

下面的表1給出了從8折星中提取的tesserae數(shù)據(jù)庫。每個tessera(基本形狀)都附有摩洛哥工匠使用的傳統(tǒng)名稱。

表1：從8角星形提取的不同鑲嵌

6結(jié)論

本文表明，傳統(tǒng)的“Tastir”設(shè)計周期幾何圖案的方法是基于對稱群的數(shù)學(xué)方法。實(shí)際上，周期圖案的設(shè)計被簡化為它的基本圖案，而基本圖案本身是從它的基本圖案和它的對稱群的等距變換重建的。我們還表明，基本的主題是由基本的幾何形狀或從8角星提取的鑲嵌組成的。最后，我們介紹了tesserae的數(shù)據(jù)庫，并附有它們的傳統(tǒng)名稱。

參考文獻(xiàn)

1. Hankin, E.H.: Examples of methods of drawing geometrical arabesque patterns. Math Gaz 12, 370 (1925). https://doi.org/10.2307/3604213

2. Hankin, E.H.: The Drawings of Geometric Patterns in Saracenic Art (microfifiche) (1925)

3. Hankin, E.H.: Some diffificult saracenic designs. II. A pattern containing seven-rayed stars. Math Gaz 18, 165 (1934). https://doi.org/10.2307/3606813

4. Hankin, E.H.: Some diffificult saracenic designs. III. A pattern containing fififteen-rayed stars. Math Gaz 20, 318 (1936). https://doi.org/10.2307/3607312

5. Kaplan, C.S., Salesin, D.H.: Islamic star patterns in absolute geometry. ACM Trans. Graph 23, 97–119 (2004). https://doi.org/10.1145/990002.990003

6. Kaplan, C.S.: Islamic star patterns from polygons in contact. In: Proceedings - Graphics Interface, pp. 177–185 (2005)

7. Bonner, J.: The historical use of polygonal systems to create Islamic geometric patterns. In: Fondation de la mosquée Hassan c de casablanca (ed.) Les Tracés De L’Arabesque Géométrique, Casablanca, pp. 85–94 (2014)

8. Bonner, J.: 3 polygonal design methodology. In: Bonner, J. (ed.) Islamic Geometric Patterns, pp. 221–548. Springer, New York (2017). https://doi.org/10.1007/978-1-4419-0217-7_3

9. Bodner, B.L.: Bridges 2006: mathematical connections in art, music, and science. In: Nexus Network Journal, pp. 145–150 (2007)

10. Bodner, B.L.: Bridges 2006: mathematical connections in art, music, and science. In: Nexus Network Journal, Birkh?user Basel, Basel, pp. 145–149 (2008)

11. Bodner, B.L.: The planar space groups of Mamluk patterns. In: Proceedings Bridge 2014 Mathmatics Music Art, Architecture Culture, pp. 35–42 (2008)

12. Cromwell, P.R.: Islamic geometric designs from the Topkap Scroll I: unusual arrangements of stars. J. Math. Arts 4, 73–85 (2010). https://doi.org/10.1080/17513470903311669

13. Jowers, I., Prats, M., Eissa, H., Lee, J.H.: A study of emergence in the generation of Islamic geometric patterns. In: New Frontiers - Proceedings of the 15th International Conference on Computer-Aided Architectural Design in Asia, CAADRIA 2010, pp. 39–48 (2010)

14. Khamjane, A., Benslimane, R.: A computerized method for generating Islamic star patterns. CAD Comput. Aided Des. 97, 15–26 (2018). https://doi.org/10.1016/j.cad.2017.11.002

15. Khamjane, A., Benslimane, R.: Generating Islamic quasi-periodic patterns: a new method. J. Comput. Cult. Herit. 11, 13:1–13:18. https://doi.org/10.1145/3127090

16. Khamjane, A., Taime, A., Ouazene, Z., Benslimane, R.: Computer graphics for generating Islamic geometric periodic and quasi-periodic patterns. In: Proceedings - 2019 International Conference on Intelligent Systems and Advanced Computing Sciences, ISACS 2019. IEEE, pp. 391–400 (2019)

17. Khamjane, A., Benslimane, R., Ouazene, Z.: Method of construction of decagonal self-similar patterns. Nexus Netw. J. 22(2), 507–520 (2019). https://doi.org/10.1007/s00004-019-00461-4

18 Zouhair Ouazene , Aziz Khamjane , and Rachid Benslimane， Relationship Between Eight-Fold Star and Other Tiles in Traditional Method ‘Tastir’

青山不改，綠水長流，在下告退。

轉(zhuǎn)發(fā)隨意，轉(zhuǎn)載請聯(lián)系張大少本尊，聯(lián)系方式請見公眾號底部菜單欄。

掃一掃，關(guān)注微信公眾號“宇宙文明帶路黨”