女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

四邊形和三角形技術(shù)是在中世紀時期發(fā)展起來的，用來提供一種比例順序，暗示著生殖潛能。通過非歐幾里得系統(tǒng)的視角重新考慮四邊形和三角形技術(shù)使得能夠探索新的圖案生成方法。本研究調(diào)查了通過雙曲線鑲嵌的四邊形和三角形技術(shù)的圖案生成潛力。

介紹

在中世紀建筑中，比例對于提供神圣的秩序至關(guān)重要[1]。幾何形狀按順序和對稱排列，以確定比例。四邊形和三角形技術(shù)是基于幾何形狀之間的比例的方法[4]。這些技術(shù)應用于平面、剖面和立面。它們被用來確定建筑物的寬度和長度比。此外，拱頂結(jié)構(gòu)的幾何形狀也是用這些技術(shù)創(chuàng)造的。此外，這些技術(shù)開發(fā)的圖案甚至被用于裝飾元素，如玫瑰窗。

圓是四邊形和三角形技術(shù)中使用的幾何基礎。繪畫首先從一個圓圈開始。通過生成多個圓，由圓的交叉點生成幾何形狀。復制這些形狀之間的關(guān)系，并提供幾何順序。這些技術(shù)背后的幾何順序是基于歐幾里德幾何的。用這些技術(shù)產(chǎn)生的圖案可以在期望的方向上不斷地復制和擴展。此外，具有相同基本幾何形狀的不同圖案可以組合在一起。

雙曲線鑲嵌是非歐幾里得的圖案，并且像四邊形和三角形技術(shù)一樣在圓的邊界內(nèi)發(fā)展。雙曲線鑲嵌有一個幾何上特定的系統(tǒng)。然而，其中包含的幾何形狀有待改進。用不同的圖案支持這些表單可以作為表單查找的一種方法。本研究旨在討論基于歐幾里得幾何的四邊形和三角形技術(shù)在用非歐幾里得系統(tǒng)解釋時的生產(chǎn)潛力。這項研究通過雙曲線鑲嵌解釋了中世紀技術(shù)提供的生成系統(tǒng)。

四邊形和三角形技術(shù)

四邊形和三角形技術(shù)從一個圓開始。在四邊形技術(shù)中，在圓內(nèi)畫一個正方形，它與圓有四個點接觸。為了創(chuàng)建八邊形，正方形旋轉(zhuǎn)了45度。通過將正方形分成更小的正方形，可以獲得不同的幾何圖案。該圖案可以在任何方向復制和再現(xiàn)。三角形同樣以圓形開始。在圓內(nèi)畫一個等邊三角形，與圓有三點接觸。三角形繞其中心旋轉(zhuǎn)180度以創(chuàng)建一個六邊形。可以通過將三角形分成更小的三角形來形成圖案。

用四邊形和三角形技術(shù)發(fā)展出來的比例被用在哥特式建筑的許多地方。這項研究集中于用這些技術(shù)開發(fā)的哥特式拱頂平面圖。當檢查哥特式大教堂的結(jié)構(gòu)時，從一個圓形創(chuàng)造的各種各樣的圖案就很突出了。其中一個哥特式拱頂?shù)睦邮俏挥趲焯丶{霍拉的圣巴巴拉教堂。六邊形幾何形狀形成了拱頂結(jié)構(gòu)。與圓有三點接觸的等邊三角形繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)180度，得到六邊形。假設六邊形的每個角都是新圓的中心。畫六個相等的圓，得到一個花卉圖案。復制圖案以匹配六邊形邊緣(圖1)。

圖1：圣巴巴拉教堂的三角形技術(shù)

圖案是通過各種轉(zhuǎn)換(如分割、旋轉(zhuǎn)和平移)開發(fā)的。通過這種方式，可以獲得不同的圖案，盡管它是由簡單的幾何形狀產(chǎn)生的。在這方面，可以說四邊形和三角形技術(shù)是圖案生產(chǎn)的生成技術(shù)。因此，這些技術(shù)具有開發(fā)潛力和發(fā)展空間。

雙曲鑲嵌

鑲嵌(或密鋪)描述了用幾何形狀覆蓋平面。可以將相同的幾何形狀并排排列，連續(xù)重復，也可以將不同的幾何形狀組合在一起，產(chǎn)生鑲嵌。鑲嵌用Schl?fli符號表示。Schl?fli符號用{p,q}表示。變量p表示在鑲嵌中使用的幾何形狀是p-gon。變量q定義了有多少個幾何形狀在頂點點[3]相鄰。例如，{3,6}Schl?fli鑲嵌符號表示一個三角形覆蓋和三角形頂點處6個三角形的組合。同樣，{6,3}的符號表示密鋪六邊形和3個六邊形在角點的組合(圖2)。

圖2：帶有Schl?fli符號的鑲嵌

鑲嵌不僅適用于歐幾里得平面，也適用于非歐幾里得平面[2]。應用于橢圓平面(非歐幾里得平面)的鑲嵌稱為橢圓(或球面)鑲嵌，應用于雙曲平面的鑲嵌稱為雙曲鑲嵌。雖然不能表示雙曲平面，但龐加萊定義了圓盤模型，將其投影到歐幾里得平面。圓盤模型將一條線表示為一個圓弧，兩端垂直于圓盤的邊界。

通過一個簡單的數(shù)學計算，就可以判斷一個鑲嵌是否是歐幾里得的。對1/p和1/q值求和，并檢驗其與1/ 2的關(guān)系。根據(jù)這個數(shù)學公式[3]:

如果1/p+1/q=1/2， {p,q}是歐幾里德鑲嵌，

如果1/p+1/q<1/2， {p,q}是雙曲鑲嵌

如果1/p+1/q>1/2， {p,q}是橢圓鑲嵌

根據(jù)這個數(shù)學公式，讓我們來看看正方形的不同組合。因為{4,3}的值大于1/2，所以它是一個橢圓鑲嵌。{4,4}是歐幾里得鑲嵌因為它等于1/2，根據(jù)相同的公式，{4,5}是雙曲鑲嵌因為公式的結(jié)果小于1/2。當對這些鑲嵌的視覺等效物進行檢查時，可以看到公式的有效性(圖3)。

圖3：{4,q}鑲嵌：{4,3}-橢圓鑲嵌，{4,4}-歐幾里得鑲嵌，{4,5}-雙曲鑲嵌

圖案生成

如前所述，四邊形和三角形技術(shù)產(chǎn)生由圓形邊界內(nèi)的三角形和正方形形成的圖案。三角形的幾何形狀不僅僅用于哥特式拱頂。此形狀用作創(chuàng)建六邊形的基本幾何形狀。本研究僅限于使用{4，q}、{6，q}和{8，q } Schl?fli符號(圖4)的雙曲鑲嵌的規(guī)則鑲嵌，以產(chǎn)生雙曲鑲嵌中四邊形和三角形技術(shù)產(chǎn)生的對應圖案。

圖4：符號為{4,q}， {6,q}和{8,q} Schl?fli的正則雙曲鑲嵌

讓我們研究一下可以用雙曲線鑲嵌創(chuàng)建的四邊形和三角形技術(shù)示例。圣巴巴拉教堂拱頂圖是用六邊形繪制的。{6，3 }Schl?fli符號可以將其表示為歐幾里得鑲嵌。當三個六邊形通過它們的邊連接在一起時，就得到這種圖案。在這方面，它具有與帶有{6，4}、{6，5}和{6，6 } Schl?fli符號的常規(guī)雙曲線鑲嵌相同的幾何組合。如果在圣巴巴拉教堂應用的三角形技術(shù)被解釋為雙曲線鑲嵌，則獲得圖5中的鑲嵌。在應用鑲嵌時，根據(jù)圖4中的分區(qū)在幾何形狀上繪制圖案。

圖5：圣巴巴拉教堂拱頂圖案的雙曲線鑲嵌圖案

肋形拱頂是哥特式建筑中最常用的拱頂之一。肋拱頂?shù)膸缀涡螤钍腔谡叫蔚模梢杂谜叫蝸碇谱鳌＿@是歐幾里得鑲嵌的一個例子，用Schl?fli符號{4，4}表示。這四個正方形由它們的邊連接起來。在這方面，正則雙曲鑲嵌與{4，5}、{4，6}、{4，7}和{4，8 }Schl?fli符號的鑲嵌具有相同的幾何組合。用四邊形生成的肋拱的雙曲線鑲嵌應用如圖6所示。

圖6：肋拱頂圖案的雙曲線鑲嵌

結(jié)論

四邊形和三角形技術(shù)作為圖案生產(chǎn)技術(shù)具有生產(chǎn)潛力，并且提供了比例順序�；跉W幾里得幾何和非歐幾里得系統(tǒng)的這些技術(shù)的解釋使得它們的生產(chǎn)潛力可以從另一個角度來考慮。在這項研究中討論的這些技術(shù)是重新考慮雙曲鑲嵌，一個非歐幾里得系統(tǒng)。在這種情況下，當樣本在雙曲平面上重新解釋時，鑲嵌的多樣性是驚人的。我們的目標是通過為進一步研究而產(chǎn)生的圖案來處理在第三維度中產(chǎn)生的形式。

參考文獻

[1] R. Bork, The Geometry of Creation: Architectural Drawing and the Dynamics of Gothic Design Burlington, Ashgate Publishing, 2011.

[2] D. Brant. Hyperbolic Tessellations. https://dmitrybrant.com/2007/01/24/hyperbolic-tessellations

[3] D. E. Joyce, Hyperbolic Tessellations. https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/poincare/tilings.html.

[4] NS. Ramzy, The Dual Language of Geometry in Gothic Architecture: The Symbolic Message of Euclidian Geometry Versus the Visual Dialogue of Fractal Geometry. Peregrinations: Journal of Medieval Art and Architecture. 2015;5(2):135-72.

[5] Gizem Efendio?lu and Sema Ala?am，Revisiting Ad Quadratum and Ad Triangulum to Generate Hyperbolic Tessellations

青山不改，綠水長流，在下告退。

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