女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文從理論上分析了編結(jié)交織飾品中的紐結(jié)拓?fù)漕愋偷慕y(tǒng)計(jì)分布。紐結(jié)類型的識(shí)別是計(jì)算機(jī)輔助的。分布是高度分化的：少數(shù)結(jié)類型是非常常見(jiàn)的，而很大一部分根本沒(méi)有發(fā)現(xiàn)。

1.介紹

紐結(jié)的數(shù)學(xué)研究始于19世紀(jì)70年代，當(dāng)時(shí)有人提出原子可能是以太中打結(jié)的漩渦。最初的目標(biāo)之一是制作一個(gè)紐結(jié)的目錄，到1900年，已經(jīng)制作了一個(gè)包含84個(gè)素紐結(jié)，最多有9個(gè)交叉點(diǎn)的表。那時(shí)，物理學(xué)家已經(jīng)從打結(jié)原子假說(shuō)中走出來(lái)，這個(gè)項(xiàng)目的原始動(dòng)機(jī)也消失了，但是拓?fù)鋵W(xué)的主題正在興起，而紐結(jié)提供了一個(gè)測(cè)試新代數(shù)工具的例子來(lái)源。結(jié)果表明，目錄是完整的，沒(méi)有重復(fù)。

數(shù)學(xué)的某些領(lǐng)域已經(jīng)被幾乎沒(méi)有受過(guò)數(shù)學(xué)訓(xùn)練的人以一種直觀的方式探索了，而且往往早在數(shù)學(xué)家意識(shí)到有一個(gè)學(xué)科可以研究之前就出現(xiàn)了。由于紐結(jié)目錄是一個(gè)相當(dāng)小的簡(jiǎn)單形式的集合，我認(rèn)為他們的一個(gè)重要的比例可能會(huì)在交織裝飾中找到。在凱爾特藝術(shù)中可以找到各種各樣的紐結(jié)設(shè)計(jì)，我研究了這些，從目錄中確定了它們的組成部分(主要因素)。我失望地發(fā)現(xiàn)同樣的幾個(gè)結(jié)類型反復(fù)出現(xiàn):31、41、62、813和920。我想知道這是一種有意識(shí)的藝術(shù)選擇，還是只是一種構(gòu)造方法的結(jié)果，我系統(tǒng)地列舉了各種可能性，并確定了每一個(gè)結(jié)。對(duì)枚舉施加了限制，以排除那些藝術(shù)家似乎認(rèn)為太簡(jiǎn)單而不具有視覺(jué)吸引力的配置。計(jì)數(shù)和鑒定均采用計(jì)算機(jī)輔助。結(jié)果表明，在各種形狀的編結(jié)中，平滑交叉產(chǎn)生了非常不均勻的交替結(jié)類型分布，大約一半的設(shè)計(jì)只屬于73種結(jié)類型中的7種，而25種結(jié)類型未被代表。

2.紐結(jié)及其衍生產(chǎn)品

最簡(jiǎn)單、最古老和最普遍的交錯(cuò)裝飾的例子是用于鑲邊的紐結(jié)、鏈條和編織物。紐結(jié)是另一種基本設(shè)計(jì)，有時(shí)用于填充古代馬賽克地板的嵌板。最簡(jiǎn)單的形式是在每條邊的中點(diǎn)放置一個(gè)十字交叉，并以自然的方式連接自由端，從而構(gòu)建出一個(gè)矩形的正方形網(wǎng)格。該過(guò)程可以在正方形網(wǎng)格的任何連通子集上執(zhí)行，并且圖1中展示了基于具有多達(dá)四個(gè)正方形的九個(gè)多聯(lián)骨牌圖的一些示例。

圖1：由九個(gè)多聯(lián)骨牌圖導(dǎo)出的格子。

編結(jié)設(shè)計(jì)有一個(gè)明顯的規(guī)律性，是由下面的正方形網(wǎng)格造成的。網(wǎng)格的存在可以被掩蓋，簡(jiǎn)單重復(fù)的單調(diào)可以被更有趣的東西取代，同時(shí)仍然保持潛在的節(jié)奏。這是通過(guò)對(duì)一些交叉點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)單的局部更改，將它們替換為“斷點(diǎn)”來(lái)實(shí)現(xiàn)的。圖2說(shuō)明了可能性：(a)和(b)顯示了交叉的兩種可能方向；(c)和(d)顯示消除或“平滑”每種方法的兩種方法。破碎的圓不是設(shè)計(jì)的一部分，但表示修改的限制：圓外的設(shè)計(jì)不作任何更改，除了所指示的部分外，設(shè)計(jì)的任何部分都不包含在圓內(nèi)。修飾包括用另一個(gè)圓的母題替換一個(gè)圓的母題。圖2(c) - (d)所示的灰色水平線和垂直線，僅是指示已離開的十字路口位置的標(biāo)記，并不是最終設(shè)計(jì)的一部分；它們被包括在下圖中，作為可視化構(gòu)造的輔助。

圖2：可以在設(shè)計(jì)的一個(gè)小區(qū)域內(nèi)進(jìn)行的變化。

這種通過(guò)在大型編結(jié)工作中平滑交叉來(lái)構(gòu)造交錯(cuò)裝飾的技術(shù)是由Allen[2]在他花了20年時(shí)間研究凱爾特藝術(shù)后提出的構(gòu)造凱爾特結(jié)設(shè)計(jì)的方法。這種方法現(xiàn)在在書籍[10]和互聯(lián)網(wǎng)上有廣泛的記錄，人們還可以從那里下載交互式繪圖工具[17]，只需點(diǎn)擊鼠標(biāo)就可以平滑地交叉。圖3顯示了通過(guò)以各種方式平滑交叉而從編織B派生出來(lái)的一些設(shè)計(jì)。

圖3：可以從編織B中衍生出來(lái)的設(shè)計(jì)。

3.一些紐結(jié)理論

飾品的數(shù)學(xué)研究往往以對(duì)稱性為基礎(chǔ)，根據(jù)對(duì)稱類型進(jìn)行圖案分析的理論也很完備[7,14,16]。交錯(cuò)設(shè)計(jì)的層次感意味著它們可以從上面或下面觀看，所以它們是雙面裝飾的例子。兩個(gè)側(cè)面花紋的對(duì)稱類型被分類為[14]，它們已被用于分析凱爾特結(jié)[4]中的飾帶圖案，但一般來(lái)說(shuō)，交錯(cuò)圖案的分析已在底層圖案上進(jìn)行，沒(méi)有區(qū)分上下交叉[6,8]。

應(yīng)當(dāng)指出，這里提出的分析具有根本不同的性質(zhì)。對(duì)平面裝飾，甚至是雙面裝飾研究，本質(zhì)上都是二維的。如果引入了拓?fù)�，只允許設(shè)計(jì)平面內(nèi)的變形。然而，結(jié)目錄顯示三維形式的圖表。從紐結(jié)理論家的角度來(lái)看，交錯(cuò)的設(shè)計(jì)代表了一種靈活的空間結(jié)構(gòu)，可以在三維空間中操作。例如，圖4中所示的兩個(gè)交錯(cuò)設(shè)計(jì)作為二維配置是不同的(無(wú)限區(qū)域遇到不同數(shù)量的交叉)。然而，它們是同一種三維形式的圖表:一種設(shè)計(jì)可以重新排列，看起來(lái)像另一種設(shè)計(jì)，不是通過(guò)在平面上滑動(dòng)線條，而是通過(guò)從頁(yè)面上提起打結(jié)的結(jié)構(gòu)，并以新的方式布局。這些設(shè)計(jì)據(jù)說(shuō)是環(huán)境同位素。

圖4：87的兩張圖。

我并不是建議用環(huán)境同位素來(lái)分類交錯(cuò)設(shè)計(jì)。這種充分的拓?fù)潇`活性排除了以幾何為基礎(chǔ)的排列思想，而這是構(gòu)成的基礎(chǔ)。在交錯(cuò)設(shè)計(jì)中，交錯(cuò)始終次于底層模式中包含的結(jié)構(gòu)。在這里，我更感興趣的是看看藝術(shù)創(chuàng)造力是如何探索結(jié)的領(lǐng)域的，以及裝飾藝術(shù)中有多少小結(jié)的拓?fù)漕愋汀?/p>

我將簡(jiǎn)要回顧結(jié)理論的一些術(shù)語(yǔ)和結(jié)果。進(jìn)一步的細(xì)節(jié)可參閱標(biāo)準(zhǔn)文本[1,3,5]。每個(gè)文本還包含一個(gè)副本的結(jié)目錄作為附錄。

“紐結(jié)”是一個(gè)圓在三維空間中的嵌入�！版湱h(huán)”是不相交的紐結(jié)的集合。兩個(gè)鏈接被認(rèn)為是等價(jià)的，如果一個(gè)可以使用R^3.的環(huán)境合痕變形到另一個(gè)“圖表”是一個(gè)鏈接的二維表示，通常被認(rèn)為是一個(gè)三維形式的常規(guī)投影，以便可以恢復(fù)雙點(diǎn)處的“高于”關(guān)系。傳統(tǒng)的注釋是在投影中的每個(gè)雙點(diǎn)擦除少部分的交叉鏈。帶注釋的雙點(diǎn)稱為“交叉點(diǎn)”。每一個(gè)環(huán)節(jié)都有無(wú)限多不同的圖，即使平面上同胚的圖被認(rèn)為是等價(jià)的。

我們將把交錯(cuò)的圖案解釋為紐結(jié)圖。在許多交錯(cuò)的設(shè)計(jì)中，幾乎所有凱爾特的例子中，每條線在穿過(guò)十字路口時(shí)交替地穿過(guò)上方、下方、上方、下方。這樣的圖被稱為“交替圖”，我們將把注意力限制在它們上面。注意，有些鏈接不能用這種方式表示；特別是目錄中的三個(gè)八十字節(jié)和八個(gè)九十字節(jié)沒(méi)有交替圖。

一個(gè)鏈接的復(fù)雜性的衡量標(biāo)準(zhǔn)是它的“交叉數(shù)”：在它的任何圖中最小的交叉數(shù)。結(jié)目錄是通過(guò)增加交叉數(shù)來(lái)排序的。每個(gè)結(jié)都有一個(gè)傳統(tǒng)的Nm形式的標(biāo)簽，其中N和m都是整數(shù)；它表示有N個(gè)交叉的第m個(gè)結(jié)。

有時(shí)一個(gè)結(jié)可以被分割成一系列更小的結(jié)，連續(xù)地系在同一根繩子上。這種紐結(jié)被稱為“復(fù)合紐結(jié)”，它們的基本組成部分被稱為“素紐結(jié)”。我們?cè)谶@里不需要三維的定義，因?yàn)橐粋�(gè)類似于圖表的概念就足夠了。目錄中只包括質(zhì)數(shù)結(jié)。

假設(shè)有可能在紐結(jié)圖上畫一個(gè)恰好與它相交一次的環(huán)，這樣交點(diǎn)就是一個(gè)交叉點(diǎn)。那么設(shè)計(jì)就可以簡(jiǎn)化，交叉的數(shù)量也可以減少，而不需要改變所描繪的結(jié)的類型(圖的一部分可以解開)——見(jiàn)圖5(c)。這個(gè)圖叫做“可簡(jiǎn)化的”。

假設(shè)有可能在一個(gè)交錯(cuò)的設(shè)計(jì)上畫一個(gè)環(huán)，它恰好在不相交的點(diǎn)上相交兩次，并且在環(huán)的內(nèi)部和外部有一些相交點(diǎn)。然后，設(shè)計(jì)可以分解成更簡(jiǎn)單的部分——例如，圖5(d)可以由兩個(gè)三葉形構(gòu)成。這個(gè)圖叫做“可分解的”。

在平滑交叉的地方有兩條線。如果這些是由圖的一個(gè)弧連接起來(lái)的，而這個(gè)弧沒(méi)有經(jīng)過(guò)任何其他的交叉點(diǎn)，我們說(shuō)這個(gè)圖“有一個(gè)尾巴”——見(jiàn)圖5(b)。(注意，“尾巴”是一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)術(shù)語(yǔ)——它只在規(guī)定的潛在交叉點(diǎn)的網(wǎng)格上下文中才有意義。)

圖5：排除的例子。

交替圖具有一定的剛性，這賦予了它們?cè)S多有用的屬性。特別是:

`當(dāng)且僅當(dāng)交替圖是可約的時(shí)，它可以用較少的交叉點(diǎn)重新繪制[9,12,15].

`當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)交替圖是可分解的時(shí)，它才代表一個(gè)非素環(huán)[11]。

注意，一般來(lái)說(shuō)，很難確定一個(gè)給定的圖是最小的還是描述了一個(gè)主鏈接。

4. 案例研究

本文將通過(guò)一個(gè)典型實(shí)例的分析來(lái)說(shuō)明本文的目的和方法。我們將從圖1中提取編織B，并確定通過(guò)平滑交叉可以從它派生出哪些結(jié)。最初，我們通過(guò)以各種可能的方式平滑七個(gè)交叉點(diǎn)來(lái)產(chǎn)生大量的設(shè)計(jì)，首先一次一個(gè)，然后成對(duì)進(jìn)行，等等。我們放棄具有以下屬性的設(shè)計(jì)：

(1)有一個(gè)以上的組件。

(2)有一條尾巴。

(3)可簡(jiǎn)化。

(4)可分解。

(5)交叉太少。

(6)它在幾何上等同于已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的設(shè)計(jì)。

條件1排除鏈接。“無(wú)盡的結(jié)”是一種常見(jiàn)的交錯(cuò)裝飾形式，其單一路徑可能象征著無(wú)限、永恒或生命的持續(xù)循環(huán)。單一組件屬性在凱爾特針織中非常重要，即使是在大型復(fù)雜的面板中，它也得以保持，有時(shí)是以犧牲整體設(shè)計(jì)的對(duì)稱性為代價(jià)。條件2和3排除了因在平面內(nèi)擴(kuò)散而被稀釋的設(shè)計(jì)，或包含無(wú)效交叉的設(shè)計(jì)，并且可以簡(jiǎn)化。條件4將搜索限制在目錄中列出的質(zhì)數(shù)結(jié)�！按┰蕉嗌俅尉蛪蛄恕钡膯�(wèn)題(隱含在條件5中)是主觀的，但是，在凱爾特編織物的例子中，交叉的密度很高，最多三分之一到二分之一的交叉被平滑。對(duì)于編織B，我要求在最終設(shè)計(jì)中至少有四個(gè)交叉點(diǎn)。條件6中使用的幾何等價(jià)是雙面平面的等距圖：例如，如果一個(gè)設(shè)計(jì)可以在平面上旋轉(zhuǎn)、反射或翻轉(zhuǎn)，看起來(lái)與以前生產(chǎn)的東西一樣，那么它就被丟棄了。條件1-4排除的設(shè)計(jì)示例如圖5所示。

經(jīng)受住這些條件的設(shè)計(jì)如圖3所示。8字形結(jié)41出現(xiàn)在五種幾何形狀不同的設(shè)計(jì)中。在這個(gè)例子中，它們?cè)谄矫嫔隙际峭叩�，但不一定是這樣(見(jiàn)圖4)。

5.結(jié)果

剛剛描述的產(chǎn)生設(shè)計(jì)的程序被計(jì)算機(jī)化并應(yīng)用于圖1中的所有格子。瓊斯多項(xiàng)式用于識(shí)別產(chǎn)生的結(jié)。這個(gè)紐結(jié)不變量是使用遞歸過(guò)程計(jì)算的，該過(guò)程通過(guò)平滑它們來(lái)消除交叉點(diǎn)，并且與編織藝術(shù)的研究很好地匹配。除了圖6所示的結(jié)對(duì)之外，它可以區(qū)分多達(dá)九個(gè)交叉點(diǎn)的所有結(jié)(素結(jié)和復(fù)合結(jié))。因?yàn)閳D是交替的，簡(jiǎn)單的視覺(jué)檢查就足以區(qū)分這兩種情況:從編織F導(dǎo)出的所有候選都是合成的；編織E，L，Z的是89。

圖6：這兩個(gè)紐結(jié)具有相同的瓊斯多項(xiàng)式。

只有三葉結(jié)31可以從編織A衍生出來(lái)；編織B的結(jié)果已在前一節(jié)中討論；C和D有10個(gè)交叉點(diǎn)，計(jì)算機(jī)搜索有6到9個(gè)交叉點(diǎn)的結(jié)；其他編織有12或13個(gè)交叉點(diǎn)，而搜索僅限于有8或9個(gè)交叉點(diǎn)的編織。小交替質(zhì)數(shù)結(jié)的設(shè)計(jì)頻率分布見(jiàn)表1。圖7-10顯示了每種結(jié)類型的一個(gè)例子。

圖7：一些可以從編織D導(dǎo)出的素紐結(jié)。

圖8：可以從編織F導(dǎo)出的一些素紐結(jié)。

圖9：一些可以從編織E導(dǎo)出的素紐結(jié)。

圖10：編織T特有的兩個(gè)結(jié)。

很難直接比較表1的列，因?yàn)槠鹗季幙椌哂胁煌慕徊鏀?shù)量和不同的對(duì)稱程度和類型。如果將每一列的條目轉(zhuǎn)換為該列的百分比，并在每行中計(jì)算這些百分比的平均值，那么最常見(jiàn)的七種結(jié)類型是(按順序排列，最常見(jiàn)的排第一個(gè))62、82、813、84、920、88和42，它們幾乎占了設(shè)計(jì)的一半。在凱爾特藝術(shù)作品中，線性多米諾(A, B, D, E)或正方形(F)的編織是大多數(shù)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。每種類型中最常見(jiàn)的結(jié)按等級(jí)順序列在表2中。

表1：每根編織上每種交替結(jié)型的設(shè)計(jì)數(shù)量。

表2：每個(gè)編織最常見(jiàn)的結(jié)類型。

有些結(jié)在設(shè)計(jì)中根本沒(méi)有表現(xiàn)出來(lái)。這在一定程度上是交叉密度要求的結(jié)果。從一個(gè)足夠大的編織開始，并平滑足夠的交叉，就可以創(chuàng)建任何交替的結(jié)類型。圖11顯示了從編織e中獲得73的一種方法，這種方法在中間有一長(zhǎng)串扭轉(zhuǎn);創(chuàng)建這些扭轉(zhuǎn)需要平滑許多交叉點(diǎn)，并且很可能違反交叉密度約束。結(jié)83、93、94、97和912也需要長(zhǎng)序列的扭轉(zhuǎn)，在枚舉中沒(méi)有找到。

圖11：這個(gè)結(jié)是不存在的，但如果放寬交叉密度要求就會(huì)出現(xiàn)。

我們?nèi)缦滦纬梢粋�(gè)多角體的脊線：在每個(gè)正方形的中心放置一個(gè)頂點(diǎn)，如果它們的正方形共享一條邊，則用一條線連接這些頂點(diǎn)。請(qǐng)注意，三個(gè)正方形的多邊形C和D具有相同的脊線，并且表2中的列C和列D相等。同樣的道理也適用于四角形E、L和Z。這五個(gè)格子的刺是頂點(diǎn)價(jià)不超過(guò)2的樹。編織T和F是例外，因?yàn)樗鼈兊募构欠謩e包含一個(gè)三價(jià)頂點(diǎn)和一個(gè)圈。

結(jié)理論家可能會(huì)注意到，三橋結(jié)似乎很難產(chǎn)生，而那些被發(fā)現(xiàn)的結(jié)來(lái)自于具有特殊刺的編織:810,816,817和818是編織F所特有的，815和928是編織t所特有的。其他三橋結(jié)是916和所有在922-941范圍內(nèi)的結(jié)都沒(méi)有在枚舉中產(chǎn)生。

多達(dá)九個(gè)交叉點(diǎn)的結(jié)的原始目錄足以證明這里提出的觀點(diǎn)。然而，它限制了搜索空間，并且產(chǎn)生的許多設(shè)計(jì)僅僅因?yàn)槭擎溄踊蛘哂刑嘟徊纥c(diǎn)而被丟棄。在計(jì)算機(jī)的幫助下，結(jié)表得到了擴(kuò)展，另外還有1778種具有10-12個(gè)交叉點(diǎn)的素交替結(jié)類型，其中一些將由具有四方形多邊形的編織產(chǎn)生。此外還有鏈接表——參見(jiàn)[13]中的9個(gè)交叉點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)

[1] C.C. Adams, The Knot Book: An Elementary Introductionto the Mathematical Theory of Knots, W.H. Freeman and Co., New York, 1994.

[2] J.R. Allen, Celtic Art in Pagan and Christian Times, Methuen, London, 1904. Reprinted by Senate, London, 1997.

[3] G. Burde and H. Zieschang, Knots, de Gruyter, Berlin, 1985.

[4] P.R. Cromwell, Celtic knotwork: mathematical art, Math. Intelligencer 15(1) (1993), pp. 36–47.

[5] ———, Knots and Links, Cambridge University Press, Cambridge, 2004.

[6] P. Gerdes, On the geometry of Celtic knots and their Lunda-designs, Mathematics in School 28(3) (1999), pp. 29–33, May.

[7] B. Gru¨nbaum and G.C. Shephard, Tilings and Patterns, W.H. Freeman, New York, 1987.

[8] ———, Interlace patterns in Islamic and Moorish art, Leonardo 25 (1992), pp. 331–339.

[9] L.H. Kauffman, State models and the Jones polynomial, Topology 26 (1987), pp. 395–407.

[10] A. Meehan, Celtic Design: Knotwork, Thames and Hudson, London, 1991.

[11] W.W. Menasco, Closed incompressible surfaces in alternating knot and link complements, Topology 23 (1984), pp. 37–44.

[12] K. Murasugi, Jones polynomials and classical conjectures in knot theory, Topology 26 (1987), pp. 395–407.

[13] D. Rolfsen, Knots and Links, Publish or Perish Inc., Berkeley, CA, 1976.

[14] A.V. Shubnikov and V.A. Koptsik, Symmetry in Science and Art, Plenum Press, New York, 1974.

[15] M.B. Thistlethwaite, A spanning tree expansion of the Jones polynomial, Topology 26 (1987),pp. 297–309.

[16] D.K. Washburn and D.W. Crowe, Symmetries of Culture: Theory and Practice of Plane Pattern Analysis, University of Washington Press, Seattle, 1987.

[17] D. Zongker, Celtic Knot Thingy, Available at: http://isotropic.org/celticknot/

[18] Peter R. Cromwell, The distribution of knot types in Celtic interlaced ornament

青山不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。

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