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盡管這張表起初是按字母順序排列的，但其中出現(xiàn)了一處規(guī)律斷裂，而這恰恰是一條解謎線索……

《算術(shù)，或稱計(jì)算手冊(cè)》Arithmetica Oder Rechenbuch，德國(guó)薩克森州立與大學(xué)圖書(shū)館館藏，第 258v 對(duì)開(kāi)頁(yè)

作者：厄休拉?惠徹（Ursula Whitcher）

來(lái)源：美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)專欄《數(shù)學(xué)評(píng)論》2026-4-1

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2026-4-2

下面這張表格摘自安東?舒爾茨（Anton Schultze）所著德語(yǔ)算術(shù)教科書(shū)的第二版，該書(shū)于 1600 年在利格尼茨（今波蘭萊格尼察）出版：

這張采用舊德語(yǔ)字體的表格，將該字母表的 24 個(gè)字母與數(shù)字 0 至 23 一一對(duì)應(yīng)。字母 O 被賦值為 0，其余數(shù)字則按字母順序分配 ——a 對(duì)應(yīng) 1，依次類推。

資料來(lái)源：《算術(shù)，或稱計(jì)算手冊(cè)》Arithmetica Oder Rechenbuch，http://digital.slub-dresden.de/id275288420 德國(guó)薩克森州立與大學(xué)圖書(shū)館館藏，第 258v 對(duì)開(kāi)頁(yè)

你認(rèn)為這張表有什么用途？

一種可能的猜測(cè)是，它代表一種簡(jiǎn)單的替換密碼。該字母表共包含 24 個(gè)字母（在此處，字母 u 與 v 視為同一字母，i 與 j 也視為同一字母），因此只需將信息中的每個(gè)字母替換為對(duì)應(yīng)的數(shù)字，就能讓信息變得晦澀難懂。我上小學(xué)時(shí)就玩過(guò)類似的游戲 —— 用 1 代表 a，2 代表 b，以此類推。

替換密碼的歷史遠(yuǎn)比你我，甚至比安東?舒爾茨所處的年代還要久遠(yuǎn)得多。有一種替換密碼規(guī)則是：將每個(gè)字母替換為字母表中向后移動(dòng)固定位數(shù)的字母（例如，a 變成 c，b 變成 d，依此類推），必要時(shí)循環(huán)到字母表開(kāi)頭。這種密碼因最著名的使用者尤利烏斯?凱撒（Julius Caesar）而得名，被稱為凱撒密碼。

但舒爾茨設(shè)計(jì)這張表格的目的卻另有所指。盡管表格開(kāi)頭遵循字母順序，但規(guī)律的斷裂處暗藏線索：該字母表中的第 14 個(gè)字母 o，對(duì)應(yīng)的數(shù)字并非 14，而是 0。其中的邏輯顯而易見(jiàn) —— 字母 o 的外形與數(shù)字 0 極為相似。事實(shí)上，零正是整個(gè)設(shè)計(jì)的核心關(guān)鍵。舒爾茨并非要用單個(gè)數(shù)字替換單個(gè)字母，而是將字母當(dāng)作數(shù)字符號(hào)使用，并以24 進(jìn)制進(jìn)行運(yùn)算。

《算術(shù)，或稱計(jì)算手冊(cè)》的扉頁(yè)上，德語(yǔ)單詞 “Rechenbuch”（意為 “計(jì)算手冊(cè)”）以紅色字體印刷，首字母 R 還帶有華麗的裝飾圖案。

資料來(lái)源：舒爾茨所著教科書(shū)《算術(shù)，或稱計(jì)算手冊(cè)》扉頁(yè)，德國(guó)薩克森州立與大學(xué)圖書(shū)館館藏

我們來(lái)演算幾個(gè)例子。先從我們熟悉的十進(jìn)制說(shuō)起，再分析舒爾茨的 24 進(jìn)制體系。

在十進(jìn)制運(yùn)算中，一個(gè)數(shù)的每一位數(shù)字都對(duì)應(yīng) 10 的不同次冪。整數(shù)最右側(cè)的數(shù)字乘以10o（即 1），緊鄰的左側(cè)數(shù)字乘以101，以此類推。例如，數(shù)字 2026 可表示為：

2?103+0?102+2?101+6?10o=2×1000+0×100+2×10+6

舒爾茨在他的一個(gè)例子中用到了德語(yǔ)單詞 “aus”（意為 “出自”）。這個(gè)單詞對(duì)應(yīng)的數(shù)字是多少呢？查閱表格可知，a 對(duì)應(yīng) 1，u 對(duì)應(yīng) 19，s 對(duì)應(yīng) 17。（解讀這張表格需要對(duì)古代字母表略知一二！要記住，u 和 v 在此處是同一個(gè)字母；表格中的 s 是長(zhǎng) s—— 其寫(xiě)法與積分符號(hào)中表示 “求和” 的 s 相同。）由于這套符號(hào)體系共有 24 種字符，因此運(yùn)算時(shí)需以 24 的冪次為基數(shù)。據(jù)此，我們可將 “aus” 換算為：

1?242+19?241+17?24o=1×242+19×24+17=1049

為什么要設(shè)計(jì)這樣一套運(yùn)算體系？對(duì)舒爾茨而言，這更像是一種數(shù)學(xué)趣味游戲。這張表格位于他教科書(shū)的最后一頁(yè)，他通過(guò)演示證明：一道涉及貨幣計(jì)算的乘除應(yīng)用題，既可以用書(shū)中前文介紹的常規(guī)方法解答，也可以用這套 “字母當(dāng)數(shù)字” 的新方法求解 —— 而后者計(jì)算步驟中每一步的答案，恰好能組成一句德語(yǔ)諺語(yǔ)。你可以在捷克數(shù)學(xué)家利博爾?庫(kù)德拉（Libor Koudela）的論文《一種早期的非十進(jìn)制位值制記數(shù)法案例》 https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0315086025000394 中查閱到完整細(xì)節(jié)。（你是否有靈感設(shè)計(jì)一道現(xiàn)代英語(yǔ)版本的 24 進(jìn)制謎題？歡迎在評(píng)論區(qū)分享�。�

我想花一點(diǎn)時(shí)間仔細(xì)分析庫(kù)德拉論文的標(biāo)題 ——《一種早期的非十進(jìn)制位值制記數(shù)法案例》。舒爾茨設(shè)計(jì)的這套謎題采用的是 24 進(jìn)制，而非十進(jìn)制，因此屬于非十進(jìn)制范疇；同時(shí)，它又是一種位值制記數(shù)法，因?yàn)閿?shù)字的位置（從右至左）決定了其代表的數(shù)值大小。

那么標(biāo)題中的 “早期” 該如何理解？從某種程度上來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)主觀性的判斷�，斞艛�(shù)字是已知更早的非十進(jìn)制位值制記數(shù)法案例。在最廣為人知的瑪雅記數(shù)體系中，人們將圓點(diǎn)與橫條組合使用 —— 橫條代表 5 的倍數(shù)，以此表示 1 至 20 之間的數(shù)字；貝殼形狀的符號(hào)則代表 0。瑪雅數(shù)字采用豎排書(shū)寫(xiě)，閱讀順序?yàn)閺南轮辽�。以下是一個(gè)瑪雅數(shù)字的例子，它出自 13 至 14 世紀(jì)的《德累斯頓手抄本》Dresden Codex，采用的是 20 進(jìn)制：

這組瑪雅數(shù)字由貝殼、橫條與圓點(diǎn)堆疊而成，分別代表數(shù)字 0、5 和 1。

資料來(lái)源：《德累斯頓手抄本》Dresden Codex中的瑪雅記數(shù)法示例，約公元 1200-1345 年

舒爾茨的算術(shù)教科書(shū)第一版出版于 1584 年。庫(kù)德拉提出，這使得舒爾茨的 24 進(jìn)制謎題成為歐洲已知最早的非十進(jìn)制位值制記數(shù)法實(shí)驗(yàn)案例。英國(guó)數(shù)學(xué)家托馬斯?哈里奧特（Thomas Harriot）曾在 1600 至 1605 年間的未刊手稿中，嘗試設(shè)計(jì)二進(jìn)制（基數(shù)為 2）記數(shù)符號(hào)。

17 世紀(jì)后期，眾多學(xué)者都對(duì)不同基數(shù)的記數(shù)法展開(kāi)了探索，其中包括弗朗西斯?培根（Francis Bacon）、布萊士?帕斯卡（Blaise Pascal）和約翰?納皮爾（John Napier）。戈特弗里德?威廉?萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）—— 這位因微積分研究而聞名于世的數(shù)學(xué)家 —— 也曾撰寫(xiě)多篇關(guān)于二進(jìn)制的論文。這一現(xiàn)象向我們展現(xiàn)了科學(xué)社群的運(yùn)作模式：眾多學(xué)者圍繞相似的研究方向展開(kāi)探索與拓展，他們的靈感有時(shí)直接源自彼此，有時(shí)則會(huì)將同類研究素材以全新方式整合創(chuàng)新。

安東?舒爾茨所處的科學(xué)社群還包括他的子孫后代。他的孫女瑪麗亞?庫(kù)尼茨（Maria Cunitz）是一位天文學(xué)家，曾出版天文表著作《仁慈的烏拉尼亞》Urania Propitia。這部著作對(duì)約翰尼斯?開(kāi)普勒（Johannes Kepler）的研究成果進(jìn)行了簡(jiǎn)化與修正。為紀(jì)念她的貢獻(xiàn)，金星上的一座隕石坑以及小行星 12624 都以她的名字命名（小行星名為 “瑪麗亞?庫(kù)尼茨星” Mariacunitia）。

這張基于雷達(dá)成像的視圖采用了人工增強(qiáng)色彩技術(shù)，呈現(xiàn)的是金星上以瑪麗亞?庫(kù)尼茨命名的隕石坑，背景中可見(jiàn)一座山脈。

資料來(lái)源：瑪麗亞?庫(kù)尼茨隕石坑的透視效果圖，由NASA美國(guó)國(guó)家航空航天局噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室（JPL） https://science.nasa.gov/photojournal/venus-3-d-perspective-view-of-eistla-regio/ 基于雷達(dá)影像制作

利博爾?庫(kù)德拉Libor Koudela，《一種早期的非十進(jìn)制位值制記數(shù)法案例》An early example of a nondecimal positional number system https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0315086025000394 。《數(shù)學(xué)史雜志》Historia Mathematica，2025 年 9 月，第 72 卷，第 2-7 頁(yè)。

萊拉?麥克尼爾Leila McNeil，《丈量星辰的 17 世紀(jì)女天文學(xué)家》The 17th-Century Lady Astronomer Who Took Measure of the Stars 。https://www.smithsonianmag.com/science-nature/lady-astronomer-who-took-on-most-advanced-science-180962142/ 《史密森尼雜志》Smithsonian Magazine，2017 年。

勞埃德?斯特里克蘭Lloyd Strickland、哈里?R. 劉易斯Harry R. Lewis，《萊布尼茨論二進(jìn)制：計(jì)算機(jī)算術(shù)的誕生》Leibniz on Binary: The Invention of Computer Arithmetic 。麻省理工學(xué)院出版社，2022 年。

參考資料

https://mathvoices.ams.org/featurecolumn/2026/04/01/puzzling-1600/

http://digital.slub-dresden.de/id275288420

https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0315086025000394

https://science.nasa.gov/photojournal/venus-3-d-perspective-view-of-eistla-regio/

https://www.smithsonianmag.com/science-nature/lady-astronomer-who-took-on-most-advanced-science-180962142/

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