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數(shù)學(xué)史家、科學(xué)史策展人戴維·E·鄧寧（David E. Dunning）探究數(shù)學(xué)符號如何成為一種構(gòu)建社會與認(rèn)知世界的技術(shù)。

圖源：Valerie Plesch for Quanta Magazine

作者：John Pavlus（量子雜志特約撰稿人）2026-3-25

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2026-3-27

人們很自然地認(rèn)為數(shù)學(xué)在本質(zhì)上是抽象的。無論數(shù)學(xué)是被發(fā)明還是被發(fā)現(xiàn)的，其蘊(yùn)含的真理具有絕對的普適性，以至于人們認(rèn)為，即便是外星人也會認(rèn)同2加2等于4。 https://www.youtube.com/watch?si=qqXxCT8E8D8sigMp&t=342&v=K8SeB2EgBrE&feature=youtu.be

但數(shù)學(xué)研究的實(shí)際工作，往往涉及一件極為貼近現(xiàn)實(shí)的事：“在紙上或黑板上留下印記�！笔访苌崦绹鴩覛v史博物館的數(shù)學(xué)史家、科學(xué)史策展人戴維·E·鄧寧（ David E. Dunning ）如是說。而這種留下印記的行為，或者說“符號表達(dá)”——小到木棍上的刻痕，大到屏幕上晦澀的印刷符號——不僅會引發(fā)思想層面的連鎖反應(yīng)，還會帶來實(shí)際、物質(zhì)和社會層面的影響。

“數(shù)學(xué)家探索這片被我們視為抽象的領(lǐng)域時(shí)，實(shí)則在進(jìn)行著具體的實(shí)踐�！编噷幷f，“數(shù)學(xué)思想的發(fā)展，始終與不同的書面表達(dá)形式相伴相生。這也是我認(rèn)為聚焦符號表達(dá)極具價(jià)值的原因——我將其視作讓數(shù)學(xué)家的研究落地于現(xiàn)實(shí)實(shí)踐、扎根于物質(zhì)世界的方式�！�

鄧寧致力于研究符號表達(dá)的社會效應(yīng)，他的研究之路是逐步明晰的。本科階段，他主修數(shù)學(xué)與英語雙專業(yè)�！拔矣X得這兩個(gè)學(xué)科息息相關(guān)，”他說，“二者都關(guān)乎通過書寫構(gòu)建起的世界與體系。”在分別深入研究這兩個(gè)領(lǐng)域后，他意識到科學(xué)史的研究生學(xué)習(xí)能將二者融合。其中，社會學(xué)家戴維·布魯爾（David Bloor）的著作《知識與社會意象》Knowledge and Social Imagery https://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/K/bo3684600.html 給了他極大啟發(fā)，讓他想要進(jìn)一步探究“數(shù)學(xué)知識的創(chuàng)造，如何成為人們在互動中完成的事，又如何深度植根于其所處的環(huán)境”。

換言之，即便你不認(rèn)為數(shù)學(xué)本身是相對的——需要明確的是，鄧寧也不這么認(rèn)為——也能去研究各類數(shù)學(xué)符號表達(dá)形式背后的社會偶然性。這些表達(dá)形式“需要被發(fā)明，我們需要學(xué)習(xí)使用它們，它們各有其優(yōu)勢與局限，”他說，“在很多方面，它都是一種技術(shù)�！�

《量子雜志》與鄧寧展開對話，探討了這項(xiàng)技術(shù)如何影響數(shù)學(xué)思維——為何羅馬數(shù)字難以使用，為何在微積分中符號比幾何圖形更實(shí)用，為何關(guān)于書面書寫的爭論，竟催生了我們對邏輯與計(jì)算的一些最根本認(rèn)知。以下是為保證表達(dá)清晰，經(jīng)濃縮與編輯后的對話內(nèi)容。

鄧寧本科主修英語與數(shù)學(xué)雙專業(yè)�！拔矣X得這兩個(gè)學(xué)科息息相關(guān)，”他說，“二者都關(guān)乎通過書寫構(gòu)建起的世界與體系�！�

照片攝影：Valerie Plesch 為《量子雜志》拍攝

Q：數(shù)學(xué)符號體系從何而來？它是如何誕生的？

符號表達(dá)本質(zhì)上是一套實(shí)踐方法。最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)符號就是數(shù)字——即能夠?qū)?shù)書寫出來的形式。單從書寫的筆畫形態(tài)來看，其設(shè)計(jì)總會帶有一定的隨意性。但符號表達(dá)并非只是特定的筆畫，它還包含背后的規(guī)則，以及使用這些符號的方法。不同的數(shù)字體系，各有其優(yōu)劣。

Q：能具體舉例說明嗎？

我們?nèi)缃袷褂玫陌⒗當(dāng)?shù)字，起源于印度，傳入阿拉伯世界后，主要通過商人群體傳播至歐洲。與此前在歐洲廣泛使用的羅馬數(shù)字相比，阿拉伯?dāng)?shù)字能讓商人更便捷地完成商業(yè)所需的計(jì)算。用羅馬數(shù)字進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算并非完全不可能，但其本身并不適合開展算術(shù)活動。

Q：原因何在？

使用羅馬數(shù)字時(shí)，每進(jìn)入一個(gè)新的數(shù)量級，就需要一個(gè)新的符號。如果只是書寫年份，這不成問題，但它存在明顯的局限性。而阿拉伯?dāng)?shù)字，只需10個(gè)符號，就能表示理論上無窮多的數(shù)，人們也能借此理解所有自然數(shù)。

史密森尼（Smithsonian）美國國家歷史博物館中陳列的這類物理模型，長期被用于探究曲面及其他數(shù)學(xué)對象的新規(guī)律�！斑^去，每個(gè)數(shù)學(xué)系都有這樣的模型�！编噷幷f，“當(dāng)時(shí)的觀念認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一部分內(nèi)容，就是培養(yǎng)對等式所代表的形式的物理直覺�！�

照片攝影：Valerie Plesch 為《量子雜志》拍攝

更重要的是，阿拉伯?dāng)?shù)字并非只是一套靜態(tài)的表示體系，與之相伴的還有我們熟知的加減乘除等運(yùn)算法則——也就是一套計(jì)算方法。我們對此習(xí)以為常：小學(xué)生都會學(xué)習(xí)進(jìn)位和多位數(shù)乘法。但我認(rèn)為，這恰恰凸顯了阿拉伯?dāng)?shù)字是一項(xiàng)了不起的技術(shù)。我們早已身處這項(xiàng)技術(shù)普及已久的世界，卻很容易忽略一個(gè)歷史事實(shí)：在擁有一套便捷的計(jì)算體系之前，多位數(shù)乘法曾是一件極為困難的事。

這就是符號表達(dá)的力量。

Q：書寫是符號表達(dá)的必要前提嗎？數(shù)學(xué)是否還有其他的符號表達(dá)形式？

追溯到更久遠(yuǎn)的年代，還存在一些并非以書寫為載體的復(fù)雜數(shù)字表示體系。我尤其想到的是印加人的結(jié)繩記事，這是一種通過結(jié)繩來編碼復(fù)雜數(shù)字信息的體系。此外，古羅馬的手指計(jì)數(shù)法在歐洲中世紀(jì)也一直被廣泛使用，人們用雙手就能表示出9999以內(nèi)的數(shù)。

1494年出版的意大利代數(shù)學(xué)著作《算術(shù)集成》Summa de Arithmetica中的插圖，描繪了古羅馬的手指計(jì)數(shù)法——人們用雙手就能表示出9999以內(nèi)的數(shù)。

圖源：公有領(lǐng)域

Q：那么為何書寫最終成為了主流？我們?yōu)楹尾唤倘藗冇酶呦�、更直觀的符號形式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？

要解答這個(gè)問題，我們可以回顧一段相關(guān)的歷史——牛頓和萊布尼茨研究微積分時(shí)，采用了截然不同的方法與符號表達(dá)形式。

Q：為了便于理解，你指的是17世紀(jì)戈特弗里德·萊布尼茨和艾薩克·牛頓各自獨(dú)立創(chuàng)立微積分，并使用了不同的符號體系，對嗎？

沒錯(cuò)。與萊布尼茨相比，牛頓認(rèn)為自己的微積分理論更植根于幾何學(xué)。牛頓的經(jīng)典著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》Principia中，并未引入符號化的微積分體系——和歐幾里得的著作一樣，這本書以定義和公理開篇，隨后配有大量幾何圖形。我們需要認(rèn)識到，在當(dāng)時(shí)，歐幾里得的著作仍是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)文本，而代數(shù)學(xué)常被視作一種“捷徑”，用于求解那些在“更本質(zhì)”的幾何形式中存在的問題。

“數(shù)學(xué)思想的發(fā)展，始終與不同的書面表達(dá)形式相伴相生�！编噷幷f。

照片攝影：Valerie Plesch 為《量子雜志》拍攝

萊布尼茨則希望建立一套更具代數(shù)學(xué)特征、更符號化、更注重符號表達(dá)的微積分體系。他曾有這樣一句名言：“我敢說，這是人類思維的終極成就，一旦這項(xiàng)研究完成，人類要做的就只剩享受美好時(shí)光了。”聽上去，他就像一個(gè)鼓吹人工智能的人——認(rèn)為我們的書寫體系能替我們思考。萊布尼茨對符號表達(dá)的理解，確實(shí)如此。

Q：如今我們使用的微積分符號，正是他創(chuàng)立的嗎？

是的——其中最具代表性的就是積分符號，它也是微積分最易識別的標(biāo)志。這個(gè)符號是一個(gè)拉長的字母S，代表“求和”（sum）。萊布尼茨的微積分體系在歐洲大陸得到了廣泛應(yīng)用，其發(fā)展的活力是牛頓的體系所無法比擬的。

Q：這是否和阿拉伯?dāng)?shù)字推動算術(shù)發(fā)展一樣，因?yàn)樗姆栿w系確實(shí)讓微積分的運(yùn)算變得更簡便？

在我看來，這在一定程度上是事實(shí)。人們常提到的一點(diǎn)是，萊布尼茨用于表示微分的dy/dx符號，能讓人們以一種牛頓的符號體系無法實(shí)現(xiàn)的方式“靈活運(yùn)用”微積分。

德國漢諾威的萊布尼茨檔案館中，保存著他關(guān)于積分學(xué)的筆記。其創(chuàng)立的符號體系，后來演變成了如今我們使用的微積分符號。

圖源：Gottfried Wilhem Leibniz Bibliothek/Stephen Wolfram/公域

但我并不想將其原因簡單歸結(jié)于此。萊布尼茨的符號體系之所以能流行，是因?yàn)樗暮献髡呷后w接納并發(fā)展了這一體系，而他們的后繼者——?dú)W拉、拉格朗日、拉普拉斯等人——在接下來的一個(gè)世紀(jì)里，將分析學(xué)發(fā)展成了歐洲大陸的一門獨(dú)立學(xué)科。而在英國，牛頓的數(shù)學(xué)物理理論雖被奉為經(jīng)典，卻并未成為數(shù)學(xué)研究文化的根基。這就導(dǎo)致了一種局面：英國學(xué)界極為尊崇牛頓，但其研究卻未能跟上其他地區(qū)牛頓力學(xué)的發(fā)展步伐。

19世紀(jì)初，英國的年輕數(shù)學(xué)系學(xué)生深感不滿——當(dāng)整個(gè)數(shù)學(xué)界都在使用萊布尼茨的符號體系時(shí)，他們在學(xué)校學(xué)習(xí)的卻仍是牛頓的符號。彼時(shí)，法國大革命和拿破侖戰(zhàn)爭的爆發(fā)，讓英、法兩國的文化交流變得異常困難。因此，英國學(xué)界無法快速切換符號體系，也沒有能力做到這一點(diǎn)。這場轉(zhuǎn)變是循序漸進(jìn)的，直到這一代學(xué)生成為學(xué)界中堅(jiān)、擁有出卷命題的話語權(quán)后，才逐步完成。到19世紀(jì)中期，英國的數(shù)學(xué)研究全面采用萊布尼茨的符號體系，這場變革才真正落下帷幕。

鄧寧致力于研究史密森尼博物館的數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)藏品。

照片攝影：Valerie Plesch 為《量子雜志》拍攝

Q：符號體系是否總會像這樣，最終趨于一種主流形式？

并非總是如此，也并非總是呈現(xiàn)出清晰的趨勢。數(shù)理邏輯就是一個(gè)尤為重要的例子：這一領(lǐng)域的符號體系層出不窮，而學(xué)者們似乎也樂于接受這種現(xiàn)狀。盡管這些符號體系最終會或多或少趨于統(tǒng)一，但也會長期存在并存的狀態(tài)。

其中一個(gè)原因是，數(shù)理邏輯學(xué)家的研究目標(biāo)大相徑庭，尤其是在該領(lǐng)域發(fā)展初期。1847年，喬治·布爾（George Boole）出版了首部數(shù)理邏輯著作，他認(rèn)為邏輯學(xué)屬于數(shù)學(xué)范疇，將三段論轉(zhuǎn)化為方程，能更高效地完成亞里士多德式的邏輯推理。因此，對他而言，使用人們已熟知的現(xiàn)有代數(shù)符號體系至關(guān)重要。

但在1879年，德國數(shù)學(xué)家戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）出版了《概念文字》Begriffsschrift。對他而言，研究目標(biāo)恰恰相反：他想要證明數(shù)學(xué)的本質(zhì)是邏輯。為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，其創(chuàng)立的邏輯符號體系中，不能包含任何數(shù)學(xué)符號——因?yàn)樗罱K想要重構(gòu)整個(gè)數(shù)學(xué)體系。于是，他發(fā)明了一套與以往所有數(shù)學(xué)符號體系截然不同的符號。

戈特洛布·弗雷格《概念文字》中的一頁，他在這本書中構(gòu)建了一套形式化的邏輯符號體系。

圖源：公域

在很長一段時(shí)間里，符號體系的多樣性成為了數(shù)理邏輯領(lǐng)域的常態(tài)。部分原因在于，邏輯學(xué)并沒有一個(gè)非常明確的應(yīng)用場景，也沒有統(tǒng)一的研究目標(biāo)。不同的學(xué)者因不同的原因認(rèn)為邏輯學(xué)具有研究價(jià)值，這也反映在他們對符號體系的選擇上——他們會選擇最能服務(wù)于自身研究目標(biāo)的體系。想要跟進(jìn)該領(lǐng)域的研究成果，就必須不斷在不同符號體系間切換，并思考各體系的適用范圍與局限性。

符號體系的多樣化并非邏輯學(xué)獨(dú)有，但唯有在這一領(lǐng)域，這種多樣性具有特殊的意義。1930年代，這一趨勢達(dá)到頂峰，庫爾特·哥德爾（Kurt G?del）、艾倫·圖靈（Alan Turing）、阿隆佐·丘奇（ Alonzo Church）等人提出了關(guān)于不完備性與計(jì)算理論的重要定理——在這些研究中，書寫體系的能力成為了研究對象，成為了定理的證明對象。在我看來，這些元問題的誕生，正是源于這一領(lǐng)域中沒有統(tǒng)一的書寫方式。他們所處的研究傳統(tǒng)，孕育了繁多的符號體系，也讓研究者不得不時(shí)刻關(guān)注各類符號的功能，這一切并非偶然。

Q：數(shù)學(xué)符號體系仍在發(fā)展嗎？我們是否需要突破書寫的邊界，探索新的形式？

我認(rèn)為我們遠(yuǎn)未觸及發(fā)展的天花板。計(jì)算機(jī)為各類建模提供了可能，我想，未來會有越來越多的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，其研究成果以動態(tài)形式呈現(xiàn)——比如一些無法被印刷出來的對象和過程的模型或模擬。但這在數(shù)學(xué)史上并非前所未聞。

我們此前談及了更久遠(yuǎn)年代里非書寫形式的符號體系，而在19世紀(jì)末，物理模型的發(fā)展迎來了黃金時(shí)期。當(dāng)時(shí)出現(xiàn)了大量石膏制的幾何模型，我們博物館中也收藏了許多。過去，每個(gè)數(shù)學(xué)系都有這樣的模型：館內(nèi)陳列著各類曲面的模型，當(dāng)時(shí)的觀念認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一部分內(nèi)容，就是培養(yǎng)對等式所代表的形式的物理直覺�？梢哉f，制作模型的實(shí)踐，本身就是一種研究探索。

與之類似，計(jì)算機(jī)為非印刷形式的符號表達(dá)打開了無限可能，也讓人們能夠提出新的數(shù)學(xué)問題。

我們需要說明的一點(diǎn)是：我們探討的是精英層面的數(shù)學(xué)研究，將其簡稱為“數(shù)學(xué)”雖較為便捷，卻忽略了很多內(nèi)容。人們在超市購物時(shí)，計(jì)算商品價(jià)格、規(guī)劃預(yù)算時(shí)用到的知識，也屬于數(shù)學(xué)。我們現(xiàn)有的符號技術(shù)，讓我們忽視了這類數(shù)學(xué)的重要性，但它實(shí)則有著重要的價(jià)值。

Q：符號表達(dá)是否還通過其他方式得到了普及？

另一個(gè)典型的例子，就是用字母x表示變量。在數(shù)學(xué)史上，這種表達(dá)方式的形成經(jīng)歷了漫長的過程。小學(xué)生第一次接觸到“用字母代表數(shù)字”的概念時(shí)，仍會覺得這是一件晦澀難懂的事。但如今，這一表達(dá)方式已被廣泛習(xí)得，即便是那些自認(rèn)與數(shù)學(xué)無緣的人，也能熟練地在話語中用x表示未知事物。你可以說“假設(shè)我有x磅蘋果”，即便一個(gè)完全不想接觸方程運(yùn)算的人，也不會覺得這種表達(dá)方式難以接受。

這就是符號表達(dá)的力量——它能讓晦澀的概念變得通俗易懂，而所謂的“晦澀概念”，也會隨著時(shí)代變化而改變。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/how-writing-changes-mathematical-thought-20260325/

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