統(tǒng)一晶界網(wǎng)絡與晶體圖：材料科學的超圖與超超圖視角

Unifying Grain Boundary Networks and Crystal Graphs: A HyperGraph and SuperHyperGraph Perspective in Material Sciences

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摘要

圖論通過頂點和邊為離散元素之間的關系建模提供了基礎 [26, 27]。超圖通過允許邊——超邊——連接兩個以上的頂點來擴展這一框架，而超超圖引入嵌套冪集層以捕捉層次性和自引用連接。網(wǎng)絡類比物——超網(wǎng)絡和超超網(wǎng)絡——將這些思想應用于實證數(shù)據(jù)結構。 在材料科學中，基于圖的模型諸如晶界網(wǎng)絡將晶粒表示為頂點，并將其界面表示為邊 [31,100,106]，而晶體圖編碼晶格結構內(nèi)的原子和鍵 [95,104,129]。然而，這些表示缺乏描述復雜微觀結構固有的多尺度和層次特征的能力。 本文研究了材料科學中超圖和超超圖的理論基礎，它們通過允許超邊、超超邊或超頂點同時連接多個頂點，從而推廣了經(jīng)典圖。它通過引入并形式化晶界超網(wǎng)絡、晶界超超網(wǎng)絡和晶體超超圖的概念，進一步考察了圖論方法在材料科學中的相關性。對于每種結構，我們提供精確的數(shù)學定義，基于多晶和晶體材料系統(tǒng)構建詳細示例，并分析基本性質(zhì)，如多級連通性、嵌套深度和組合復雜性。通過將超結構理論與材料架構建模相結合，這項工作為材料科學中的多尺度和層次分析建立了一個魯棒框架。

關鍵詞：超超圖，超圖，晶體圖，超網(wǎng)絡，超超網(wǎng)絡，晶界網(wǎng)絡

1 引言

1.1 基礎圖論

圖論是數(shù)學的一個分支，研究節(jié)點（稱為頂點）通過鏈接（稱為邊）連接的網(wǎng)絡 [26, 27]。圖已在廣泛學科中得到廣泛探索和應用，包括社會科學 [83, 89]、化學圖論 [35, 53, 124]、生物網(wǎng)絡 [56, 57, 82, 128]、圖神經(jīng)網(wǎng)絡 (GNNs) [52, 62] 以及電信 [105]。鑒于應用范圍廣泛，圖論研究具有重要意義。

1.2 超圖理論與超超圖理論

本文專注于超圖理論和超超圖理論的框架。與這些結構相關的是更廣泛的數(shù)學概念——超結構和超超結構，它們利用冪集構造及其第 n 次迭代形式擴展經(jīng)典數(shù)學系統(tǒng)（參見 [117–119]）。這些擴展框架特別適合對層次化和多層系統(tǒng)進行建模，無論是在抽象理論表述中還是在實際應用中。此類推廣的例子包括：

? 超超代數(shù) [50, 71, 116]，它擴展經(jīng)典代數(shù)結構以允許嵌套代數(shù)操作；

? 超超模糊集 [48, 49]，它推廣模糊集以表示跨越多個層次級別的復雜不確定性；

? 超超中性集 [39, 112]，它將不確定性和高階邏輯納入中性框架中。

這些發(fā)展說明了超圖和超超圖背后的原理如何可以擴展到廣泛的數(shù)學領域，為建模嵌套、互聯(lián)和多尺度系統(tǒng)提供了表達工具。

經(jīng)典結構、超結構和 -超超結構的概述呈現(xiàn)在表 1 中。此處， 被假設為一個自然數(shù)。

當應用于圖論時，這些擴展產(chǎn)生了兩個眾所周知的推廣：超圖和超超圖 [33, 43, 44]。超圖允許每條邊——稱為超邊——同時連接兩個以上的頂點，從而能夠表示復雜的多對多關系 [13, 15, 29]。超超圖在此基礎上構建，通過納入遞歸嵌套的冪集結構，允許超邊組之間的層次性和自引用相互作用。

圖、超圖和超超圖的概述呈現(xiàn)在表 2 中。此處，n 被假設為一個自然數(shù)。

并且圖通常被用于表示網(wǎng)絡，在此語境下，超網(wǎng)絡和超超網(wǎng)絡分別作為超圖和超超圖的網(wǎng)絡對應物出現(xiàn)（參見 [40, 64]）。除了超網(wǎng)絡和超超網(wǎng)絡之外，文獻中已提出許多其他類型的網(wǎng)絡，包括多網(wǎng)絡 [23, 28, 51] 和有向網(wǎng)絡 [86, 91, 134]。這些變體可能反映了基于網(wǎng)絡的建模在眾多學科中的通用性和廣泛適用性。 網(wǎng)絡、超網(wǎng)絡和超超網(wǎng)絡的概述呈現(xiàn)在表 3 中。

1.3 材料科學中的圖和網(wǎng)絡

材料理論是使用數(shù)學和計算模型研究支配材料屬性、結構和行為的基本原理 [18, 19, 78, 90]。圖和網(wǎng)絡表示法在材料理論中被廣泛用于建模材料的結構和物理屬性。在本文中，我們專注于兩個關鍵示例：晶界網(wǎng)絡和晶體圖。 晶界網(wǎng)絡通過將晶粒表示為節(jié)點并將它們的共享界面表示為邊來建模多晶結構，捕捉材料的拓撲和幾何特征 [31, 100, 106]。晶體圖將原子表示為節(jié)點并將原子間鍵表示為邊，由周期性晶格內(nèi)的空間鄰近性定義 [95, 104, 129]。該結構編碼了預測材料屬性所必需的局部配位環(huán)境。 除了這些之外，材料理論中還有幾種其他基于圖的框架是熟知的，包括擴散網(wǎng)絡 [30]、位錯網(wǎng)絡 [6,123] 和斷裂網(wǎng)絡 [1,17]，每個都提供對特定物理機制的見解。

1.4 我們的貢獻

本小節(jié)概述了本文的主要貢獻。鑒于上述，很明顯圖論和材料科學之間存在深刻的聯(lián)系，并且在這個交叉點的研究具有重要意義。因此，我們定義了晶界超網(wǎng)絡、晶界超超網(wǎng)絡和晶體超超圖的概念，并考察了幾個具體示例及其數(shù)學屬性。值得注意的是，本文不包括任何實驗研究；我們的工作純粹是理論性質(zhì)的。通過這些貢獻，我們旨在推進晶界網(wǎng)絡、晶體圖和圖論整體的研究，即使只是以微小的力量。

1.5 本文結構

本小節(jié)簡要概述了論文的內(nèi)容。第 2 節(jié)介紹了經(jīng)典結構、超結構和 -超超結構的數(shù)學基礎，以及圖、超圖、超超圖、超網(wǎng)絡、超超網(wǎng)絡、晶體圖和晶界網(wǎng)絡的簡明定義。第 3 節(jié)展示了晶界超網(wǎng)絡的說明性示例和基本屬性。第 4 節(jié)探討了晶界超超網(wǎng)絡的示例和結構特征。第 5 節(jié)研究了晶體超超圖的示例和數(shù)學屬性。第 6 節(jié)以總結結束論文并討論未來研究的方向。

2 預備知識與定義

本節(jié)概述了本文討論所需的基本概念和定義。在全文中，我們假設所有圖都是簡單的、無向的和有限的。

2.1 經(jīng)典結構、超結構和 n-超超結構

經(jīng)典結構代表一般的數(shù)學概念，而超結構可以使用冪集來定義，n-超超結構可以使用 n 次冪集來定義 [120]。直觀地，n 次冪集是冪集運算的重復應用。相關定義和簡單示例如下所述。

定義 2.1（集合）。[76] 集合是不同對象的明確定義的集合，稱為元素。集合通常用大寫字母表示，如 A, B, S 等。

定義 2.2（子集）。[76] 設 A 和 B 為集合。如果 A 的每個元素也是 B 的元素，我們稱 A 是 B 的子集，記作 A ? B。

定義 2.3（空集）。[76] 空集，記作 ?，是不包含任何元素的唯一集合。

定義 2.4（全集）。全集，記作 U，是在特定上下文或討論中包含所有被考慮元素的集合。

定義 2.5（基集）?；?S 是導出冪集和超結構等復雜結構的基礎集合。其形式化定義為：

S = {x | x 是指定域內(nèi)的元素}。

像 P(S) 或 P_n(S) 這樣的構造中的所有元素都源于 S 的元素。

定義 2.6（冪集）。[37,101] 集合 S 的冪集，記作 P(S)，是 S 的所有可能子集的集合，包括空集和 S 本身。形式上，它表示為：

例 2.7（復合材料相的材料科學冪集）。材料相是材料系統(tǒng)中不同的物理形態(tài)，例如固體、液體、氣體，或像纖維這樣的結構組分（參見 [55,65,70]）。設基本材料相的集合為

定義 2.10（經(jīng)典結構）。（參見 [108, 120]）經(jīng)典結構是一個定義在非空集合 H H 上的數(shù)學框架，配有一個或多個滿足指定經(jīng)典公理的經(jīng)典運算。具體而言：

經(jīng)典運算是一個形式為的函數(shù)：

因此，H 模擬了鐵的現(xiàn)實世界氧化行為：結合鐵和氧氣可以產(chǎn)生幾種氧化物相，并且試劑的混合物在超結構框架內(nèi)產(chǎn)生所有可能產(chǎn)物的并集。

2.2 超超圖

在經(jīng)典圖論中，超圖通過允許邊——稱為超邊——連接兩個以上的頂點，擴展了傳統(tǒng)圖的概念。這個更廣泛的框架使得能夠?qū)υ刂g更復雜的關系進行建模，從而增強了其在各個領域的實用性 [13,29,59,60]。超超圖是超圖概念的高級擴展，將遞歸冪集結構整合到經(jīng)典模型中。這個概念最近被引入并在文獻中得到了廣泛研究 [39,40,45,115]。注意，在 n -超超圖中的 n 是一個整數(shù)。這些概念的定義和示例如下所示。

與僅表示成對晶界的標準圖不同，該超圖直接編碼了對于理解晶粒生長、擴散路徑以及三叉結處力學行為至關重要的三晶粒交界處。

2.3 超網(wǎng)絡與 n-超超網(wǎng)絡

超網(wǎng)絡通過允許超邊連接多個節(jié)點來擴展圖，從而對實體間復雜的多路關系進行建模。n-超超網(wǎng)絡利用節(jié)點的嵌套冪集來表示復雜系統(tǒng)中的層次化多級相互作用和分組。這些概念的定義和示例如下所示。

換句話說，網(wǎng)絡的頂點和超邊均取自基節(jié)點集的第 n 次冪集，從而捕捉多達 n 層的層次分組。

例 2.27（多晶微觀結構中的 2-超超網(wǎng)絡）。多晶微觀結構由許多小晶體或晶粒組成，每個晶粒具有不同的取向，并由晶界分隔（參見 [102, 107, 121]）。考慮一種微觀結構由五個晶粒組成的多晶合金：

該 2-超超網(wǎng)絡既捕捉了合金微觀結構中的局部晶界連通性（1 級），也捕捉了高階簇相互作用（2 級）。

2.4 晶界網(wǎng)絡

晶界網(wǎng)絡將晶粒表示為節(jié)點，將共享界面表示為邊，從而對多晶材料的拓撲和幾何屬性進行建模 [31,100,106]。如果我們用數(shù)學方式定義它，可以表述如下。

例 2.29（三叉結微觀結構的晶界網(wǎng)絡）。三叉結是多晶材料中三個不同晶粒相遇的點或線，它影響著微觀結構的演變（參見 [61, 136]）?？紤]一個二維多晶域 Ω Ω，它被劃分為三個在原點相交的楔形晶粒：

2.5 晶體圖和晶體超圖

晶體圖基于周期性晶格內(nèi)的空間鄰近性，將原子表示為節(jié)點，將原子間鍵表示為邊 [95,104,129]。如果我們用數(shù)學方式定義它，可以表述如下。

因此， G G 是一個有向 4-環(huán)，捕捉了正方晶格的最近鄰連通性。

晶體超圖將每個原子及其最近鄰建模為超邊，從而捕捉周期性晶格中的高階局部結構（參見 [68]）。如果我們用數(shù)學方式定義它，可以表述如下。

因此，每條超邊編碼了兩個相等的鍵長及其之間的直角，從而在超圖表示中捕捉了局部正方晶格模體。

3 結果：晶界超網(wǎng)絡

晶界超網(wǎng)絡是一種超網(wǎng)絡模型，用于表示多晶材料中晶粒之間的界面。在該模型中，超邊對應于多個晶粒之間的共享邊界，并且每條超邊根據(jù)相關晶界的幾何相交測度進行加權。該概念的定義、示例及數(shù)學性質(zhì)如下所述。

4 結果：晶界 -超超網(wǎng)絡

另一方面，晶界 n-超超網(wǎng)絡是一個層次化推廣，它使用嵌套冪集來組織晶界結構。該框架不僅捕捉直接的晶粒相互作用，還捕捉多尺度上晶粒簇之間的高階結和復雜相互關系。該概念的定義、示例和數(shù)學性質(zhì)如下所示。

5 結果：晶體 n-超超圖

晶體 n-超超圖使用嵌套冪集對原子結構進行建模，捕捉原子的層次化分組及其多級相互作用。該概念的定義、示例和數(shù)學性質(zhì)如下所示。

在此，單個 4-超頂點 B B 封裝了正方晶格中的所有三角形配位模體（3 級簇），而唯一的 4-超邊 { B }
突出了第四層次級別的全局自相似元結構。這說明了迭代冪集構造如何在晶體環(huán)境中捕捉日益抽象的、大規(guī)模的模體關系。

6 結論與未來工作

在本文中，我們定義了晶界超網(wǎng)絡、晶界超超網(wǎng)絡和晶體超超圖的概念，并考察了幾個具體示例及其數(shù)學性質(zhì)。

作為未來工作，我們計劃通過結合先進的不確定性處理框架來探索這些模型的擴展，例如模糊集 [103, 132, 133]、直覺模糊集 [8–10]、模糊集 [3, 5, 54]、粗糙集 [96, 97]、雙極模糊集 [2, 135]、超模糊集 [32, 77, 122]、軟集 [84, 87]、超軟集 [?, 113]、圖像模糊集 [24, 66]、中性集 [109–111]、四劃分中性集 [42, 80, 131] 以及植生集 [39, 46, 47]。例如，我們旨在探索模糊集和模糊圖的概念在晶界超網(wǎng)絡、晶界超超網(wǎng)絡和晶體超超圖中的應用。這些擴展有望進一步增強我們提出的模型的表達能力和實際適用性，特別是在捕捉材料科學及其他領域中復雜、多層和不確定的現(xiàn)象方面。

此外，基于上述不確定性建模的擴展，我們也希望未來的研究能夠通過涉及圖神經(jīng)網(wǎng)絡 (GNNs) [52, 62, 67]、人工智能 (AI) [7, 69]、線性規(guī)劃 [72–74] 和決策 [34, 75, 85] 的方法，探索晶界超網(wǎng)絡、晶界超超網(wǎng)絡和晶體超超圖等框架的應用。

并且作為一個未來方向，我們希望通過結合有向圖 [36]、動態(tài)圖 [11,12, 79]、半圖 [88, 98]、雙向圖 [14, 58,130] 以及多向圖 [93, 94] 等結構，來探索本文的擴展概念。如所示，進一步擴展和挑戰(zhàn)的許多可能性仍然存在，我們希望專家們未來的研究能夠繼續(xù)推進這一領域。

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