概率超圖和概率超超圖綜述

Review of Probabilistic HyperGraph and ProbabilisticSuperHyperGraph

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摘要

不確定性遍布許多現(xiàn)實世界網(wǎng)絡，然而現(xiàn)有的模型，如概率圖和超圖，僅捕捉成對或固定階的交互。我們引入了概率 n-超超圖（Probabilistic n-SuperHyperGraphs）的新概念，它通過在多個冪集層級上向“超級邊”分配概率，統(tǒng)一了嵌套的高階關系與邊級不確定性。我們提出了一個嚴謹?shù)男问娇蚣?，推導了基本性質(zhì)——包括度數(shù)和恒等式以及在子結構下的封閉性——并表明我們的模型將經(jīng)典概率圖和超圖作為特例包含在內(nèi)。這些結果為更具表達力和可擴展性的方法鋪平了道路，以用于跨越不同應用領域的復雜、充滿不確定性系統(tǒng)的建模和分析。

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1. 預備知識

本節(jié)提供了對本論文討論至關重要的基本概念和定義的概述。在整個論文中，所有集合和結構均假設為有限的。除非另有說明，符號 n 表示一個非負整數(shù)。

1.1 超超圖

圖論研究圖的性質(zhì)和應用，圖是由邊連接的頂點結構，用于建模關系和現(xiàn)實世界網(wǎng)絡 [1, 2]。在經(jīng)典圖論中，超圖通過允許邊（稱為超邊）連接兩個以上的頂點，擴展了傳統(tǒng)圖的概念。這種更廣泛的框架使得能夠?qū)υ刂g更復雜的關系進行建模，從而增強了其在各個領域的實用性 [3–6]。超超圖是超圖概念的高級擴展，將遞歸冪集結構整合到經(jīng)典模型中。這一概念最近被引入并在文獻中得到了廣泛研究 [7–13]。包括相關概念，我們在下面描述它們。

定義 1.1（基集）?；?S 是衍生出冪集和超結構等復雜結構的基礎集合。其形式化定義為：

1.2 概率圖和概率超圖

概率量化了基于系統(tǒng)中的隨機性或不確定性而事件發(fā)生的可能性 [22–27]。概率圖是一種圖，其中每條邊都帶有一個關聯(lián)的概率，反映頂點之間連接的不確定性，從而使得概率網(wǎng)絡分析成為可能 [28–31]。概率超圖是一種超圖，其中每條超邊都帶有一個關聯(lián)的概率，反映多頂點關系的不確定性，從而使得高階網(wǎng)絡的概率建模成為可能（參見 [32–35]）。

定義 1.9（概率圖）。（參見 [28–31]）概率圖是一個三元組：

1. 結果：概率 n-超超圖

概率 n-超超圖將概率超圖擴展至嵌套冪集層級，通過向 n 級超級邊分配概率，以用于復雜的層級不確定性建模（參見[36]）。

例 2.2（概率 2-超超圖的現(xiàn)實世界示例：智能建筑傳感器網(wǎng)絡）。考慮一座配備了多個無線傳感器的智能建筑。我們將該層級結構建模如下：

例 2.3（概率 2-超超圖的現(xiàn)實世界示例：基因-通路-超通路網(wǎng)絡）。 考慮一個生物網(wǎng)絡，其中單個基因形成通路，而通路反過來形成更高階的“超通路”。我們通過以下方式將其建模為概率 2-超超圖：

1. 結論與未來工作

在本文中，我們對概率 n n -超超圖的數(shù)學性質(zhì)進行了簡潔的研究，并討論了它們在推進概率網(wǎng)絡建模領域方面的潛力。作為未來工作，我們打算通過結合額外的不確定性處理范式來擴展此框架，例如模糊集 [37, 38]、粗糙集 [39]、直覺模糊集 [40]、雙極模糊集 [41, 42]、超模糊集 [43, 44]、猶豫模糊集 [45]、圖片模糊集 [46]、中性集 [47, 48] 和 Plithogenic 集 [49, 50]。我們還旨在探索使用諸如超概率和超超概率 [22, 24] 等概念進行進一步推廣，這可能為建模復雜概率結構提供一個更全面的框架。

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