下次遇上瓢潑大雨，當(dāng)你緊緊攥著雨傘，仿佛它是你最珍貴的寶貝時(shí)，不妨抬頭看看，發(fā)現(xiàn)藏在這把傘之上的數(shù)學(xué)之美。

作者：杰西卡·西德曼（Jessica Sidman，阿默斯特學(xué)院）、奧黛麗·圣約翰（Audrey St. John，曼荷蓮女子學(xué)院）2025-9-1

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2026-3-9

一把雨傘，如何從折疊后的近似線段形態(tài)，變身為能為你遮風(fēng)擋雨的便攜防護(hù)工具？剛性理論（rigidity theory）結(jié)合微積分、線性代數(shù)與組合數(shù)學(xué)的思想，為分析雨傘這類(lèi)結(jié)構(gòu)提供了理論框架。令人意想不到的是，這一理論還能應(yīng)用于非物理結(jié)構(gòu)的研究，比如傳感器網(wǎng)絡(luò)定位、統(tǒng)計(jì)學(xué)中極大似然閾值的計(jì)算等領(lǐng)域。

作為研究人員，我們?cè)谏钪须S處可見(jiàn)剛性理論的應(yīng)用，下文將為大家介紹其中幾類(lèi)實(shí)例。

日常使用的雨傘、埃菲爾鐵塔、自由科學(xué)中心的霍伯曼球 https://lsc.org/explore/exhibitions/hoberman-sphere ，這些物理結(jié)構(gòu)都能借助剛性理論展開(kāi)分析。

作為教育工作者，我們十分認(rèn)可剛性理論為學(xué)生展現(xiàn)數(shù)學(xué)力量的價(jià)值。將本科低年級(jí)課程中的核心內(nèi)容（微積分與線性代數(shù)）與實(shí)際物理應(yīng)用結(jié)合，能幫助學(xué)生建立知識(shí)融合的直覺(jué)——畢竟在常規(guī)的課程學(xué)習(xí)中，這些知識(shí)往往是相互割裂的。接下來(lái)，我們將通過(guò)一個(gè)看似簡(jiǎn)單、實(shí)則蘊(yùn)含復(fù)雜特性的小例子展開(kāi)探討，這一結(jié)構(gòu)也作為子結(jié)構(gòu)出現(xiàn)在諸多現(xiàn)實(shí)設(shè)計(jì)中，希望能讓大家感受到數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)結(jié)。

從一把雨傘中，我們能學(xué)到什么？

仔細(xì)觀察雨傘會(huì)發(fā)現(xiàn)，盡管它的整體設(shè)計(jì)是三維的，但其核心框架由多個(gè)二維子框架構(gòu)成。這一設(shè)計(jì)原理也廣泛應(yīng)用于各類(lèi)由桿件和鉸接點(diǎn)組成的現(xiàn)實(shí)結(jié)構(gòu)中，比如折疊椅、帳篷支架、剪式升降臺(tái)等。接下來(lái)，我們將聚焦于平面框架的研究，這類(lèi)框架中的桿件通過(guò)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)連接在端點(diǎn)處。

雨傘的橫截面，揭示了控制其開(kāi)合的核心結(jié)構(gòu)：由四根定長(zhǎng)桿件通過(guò)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)連接形成的環(huán)形結(jié)構(gòu)，我們將其稱為四桿框架。

四桿框架是雨傘實(shí)現(xiàn)開(kāi)合的關(guān)鍵。

雨傘打開(kāi)時(shí)，1號(hào)鉸接點(diǎn)保持固定，3號(hào)鉸接點(diǎn)向上滑動(dòng)，帶動(dòng)2號(hào)和4號(hào)鉸接點(diǎn)相互分離；將3號(hào)鉸接點(diǎn)鎖定后，其與1號(hào)鉸接點(diǎn)的距離固定，雨傘便會(huì)保持剛性形態(tài)，無(wú)法隨意開(kāi)合。

雨傘開(kāi)合的過(guò)程中，四桿框架處于可活動(dòng)的柔性狀態(tài)；而鎖定鉸接點(diǎn)的操作，相當(dāng)于為其增加了第五根桿件，此時(shí)的框架由兩個(gè)拼接的三角形構(gòu)成。憑借物理直覺(jué)我們能知道，由三角形拼接而成的框架具有剛性。

這一現(xiàn)象引出了更具普遍性的問(wèn)題：如何設(shè)計(jì)出符合預(yù)期運(yùn)動(dòng)方式的框架？框架的剛性由什么決定？我們可以構(gòu)建怎樣的數(shù)學(xué)體系，來(lái)判斷一個(gè)框架是否具有剛性？

僅靠四根桿件，能實(shí)現(xiàn)哪些功能？

數(shù)百年來(lái)，工程師們?cè)缫寻l(fā)現(xiàn)，四桿框架能展現(xiàn)出豐富且實(shí)用的運(yùn)動(dòng)特性。例如，通過(guò)電機(jī)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化出直線運(yùn)動(dòng)，就是一個(gè)研究十分成熟的方向。下方的動(dòng)態(tài)演示將展示瓦特連桿和切比雪夫連桿如何實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化：在2號(hào)與3號(hào)鉸接點(diǎn)之間的桿件上取一點(diǎn)P，該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡近似為直線，我們將這一軌跡稱為連桿曲線（coupler curve）。

瓦特連桿、切比雪夫連桿均能實(shí)現(xiàn)近似直線的運(yùn)動(dòng)軌跡（觀察點(diǎn)P的軌跡）。

你或許會(huì)好奇，改變桿件的長(zhǎng)度，還能得到哪些不同的連桿曲線？下方的圖形展示了幾種典型的可能性：

曲線形態(tài)各異，有的像側(cè)放的逗號(hào)，有的像倒置的淚滴，有的是挖去八字形的圓盤(pán)輪廓，還有的直接呈現(xiàn)出八字形。

改變四桿框架的桿件長(zhǎng)度，可得到不同的連桿曲線。

框架背后的數(shù)學(xué)原理是什么？

在剛性理論中，框架（framework）的定義為：由有限個(gè)鉸接點(diǎn)（共n個(gè)）組成的集合，其中部分鉸接點(diǎn)之間由定長(zhǎng)桿件連接，桿件的作用是固定鉸接點(diǎn)間的距離。若已知所有桿件的長(zhǎng)度，想要分析框架的所有可能運(yùn)動(dòng)方式，合理的切入點(diǎn)是構(gòu)建一組捕捉距離約束的二次方程組——每個(gè)鉸接點(diǎn)對(duì)應(yīng)兩個(gè)未知坐標(biāo)(x?, y?)，每根桿件則對(duì)應(yīng)一個(gè)二次方程。

以邊長(zhǎng)為3、4、5的直角三角形框架為例，該框架可推導(dǎo)出含6個(gè)未知量的3個(gè)方程：

(x? - x?)2 + (y? - y?)2 = 9

(x? - x?)2 + (y? - y?)2 = 16

(x? - x?)2 + (y? - y?)2 = 25

這一方程組的解集是三維的。下圖中，(a)為其中一個(gè)解，(b)是(a)經(jīng)過(guò)平移得到的解，(c)是(a)經(jīng)過(guò)平移和旋轉(zhuǎn)得到的解；而(d)同樣是方程組的解，卻無(wú)法通過(guò)平面內(nèi)的平移或旋轉(zhuǎn)從(a)得到——它是原三角形的鏡像。事實(shí)上，該方程組的解集包含兩個(gè)分支，一個(gè)分支是(a)經(jīng)過(guò)任意平移、旋轉(zhuǎn)得到的所有形態(tài)，另一個(gè)分支則是(d)經(jīng)過(guò)任意平移、旋轉(zhuǎn)得到的所有形態(tài)。

圖：邊長(zhǎng)為3、4、5的三角形框架對(duì)應(yīng)的方程組的四個(gè)解。

我們能直觀感受到三角形框架的剛性，因此所有解的幾何形態(tài)都是相同的。那么，解集的三維特性又該如何從物理角度理解？在平面中，任何物體都存在平凡運(yùn)動(dòng)，即由兩個(gè)平移自由度（水平、豎直）和一個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度共同構(gòu)成的運(yùn)動(dòng)。若想排除平凡運(yùn)動(dòng)的干擾，可固定三個(gè)鉸接點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)消去這些自由度，例如令(x?, y?)=(0,0)，x?=3，此時(shí)方程組簡(jiǎn)化為：

9 + y?2 = 9

x?2 + y?2 = 16

(3 - x?)2 + (y? - y?)2 = 25

簡(jiǎn)化后的方程組解集為零維，僅有兩個(gè)解，即上圖中的(a)和(d)。

接下來(lái)我們回到雨傘的四桿框架分析。假設(shè)框架中所有桿件的長(zhǎng)度均為1，與三角形框架的分析方法一致，我們固定三個(gè)坐標(biāo)以消去平凡運(yùn)動(dòng)：將1號(hào)鉸接點(diǎn)固定在(0,0)，并限制3號(hào)鉸接點(diǎn)沿y軸運(yùn)動(dòng)，最終得到的二次方程組解集為一維——這與我們的實(shí)際體驗(yàn)相符，雨傘的開(kāi)合恰好只有一個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度！

事實(shí)上，僅利用高中代數(shù)知識(shí)，我們就能直接推導(dǎo)出四個(gè)鉸接點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡：

(x?, y?) = (0, 0)

(x?, y?) = (-√(1 - t2/4), t/2)

(x?, y?) = (0, t)

(x?, y?) = (√(1 - t2/4), t/2)

其中參數(shù)t的取值范圍為-2 ≤ t ≤ -1。隨著參數(shù)t的變化，2、3、4號(hào)鉸接點(diǎn)將分別描繪出一條曲線，這與雨傘框架的動(dòng)態(tài)開(kāi)合過(guò)程完全一致。

但結(jié)合前文看到的復(fù)雜連桿曲線可以想象，對(duì)于任意結(jié)構(gòu)的四桿框架，求解鉸接點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡并非易事。一般來(lái)說(shuō)，求解非線性方程組在計(jì)算和理論層面都極具挑戰(zhàn)性，這一問(wèn)題也會(huì)進(jìn)入代數(shù)幾何的研究范疇。那么，我們?cè)搶ふ液畏N方法，才能構(gòu)建分析框架的有效工具？

如何簡(jiǎn)化分析？微積分與線性代數(shù)登場(chǎng)！

在數(shù)學(xué)研究中，面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，線性化是讓問(wèn)題變得可解的常用手段。這一過(guò)程雖會(huì)損失部分信息，卻能借助線性代數(shù)的理論體系和計(jì)算效率實(shí)現(xiàn)問(wèn)題簡(jiǎn)化。對(duì)于學(xué)生而言，這一步往往會(huì)帶來(lái)恍然大悟的體驗(yàn)：能清晰看到如何用微積分將復(fù)雜難題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，也能建立起抽象數(shù)學(xué)知識(shí)與具體物理問(wèn)題的聯(lián)結(jié)。

假設(shè)鉸接點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)于時(shí)間的光滑函數(shù)x?(t)和y?(t)，我們就能利用隱函數(shù)求導(dǎo)和鏈?zhǔn)椒▌t，對(duì)距離約束的二次方程組進(jìn)行線性化。例如，若連接第i和第j個(gè)鉸接點(diǎn)的桿件長(zhǎng)度為l??，則對(duì)應(yīng)的二次方程為：

(x? - x?)2 + (y? - y?)2 = l??2

對(duì)等式兩邊關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)，可得：

d((x? - x?)2 + (y? - y?)2)) / dt = d(l??2) / dt

2(x? - x?)(??' - x?') + 2(y? - y?)(y?' - y?') = 0

即向量?jī)?nèi)積為0：

(x? - x?, y? - y?) ? (x?' - x?', y?' - y?') = 0

我們不再試圖求解描述鉸接點(diǎn)運(yùn)動(dòng)曲線的函數(shù)x?(t)和y?(t)，而是將研究重點(diǎn)轉(zhuǎn)向滿足上述線性方程的速度向量x?'(t)和y?'(t)。這一最終的點(diǎn)積方程還能賦予幾何解釋：從第j個(gè)鉸接點(diǎn)指向第i個(gè)鉸接點(diǎn)的向量，與兩個(gè)鉸接點(diǎn)的速度向量之差正交。這一幾何特征也與物理直覺(jué)一致：在任意瞬間，桿件的運(yùn)動(dòng)都不會(huì)使其被拉伸或壓縮。

在剛性理論中，上述齊次線性方程組的解被稱為無(wú)窮小運(yùn)動(dòng)（infinitesimal motion）；而將所有線性化后的方程整合，可得到一個(gè)m × 2n的矩陣，即剛性矩陣（rigidity matrix）。剛性矩陣中，每一行對(duì)應(yīng)一根桿件，每?jī)闪袑?duì)應(yīng)一個(gè)鉸接點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)。對(duì)于鉸接點(diǎn)的一組固定坐標(biāo)，剛性矩陣的所有元素均為實(shí)數(shù)。

以邊長(zhǎng)為3、4、5的三角形框架為例，若其鉸接點(diǎn)分別位于坐標(biāo)原點(diǎn)、x軸正方向和y軸正方向，那么該框架的剛性矩陣列依次對(duì)應(yīng)x?, y?, x?, y?, x?, y?，矩陣形式為：

這一線性化過(guò)程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為大學(xué)二年級(jí)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生所能掌握的知識(shí)范疇。我們也十分樂(lè)于為線性代數(shù)中抽象的概念賦予物理意義——這些概念對(duì)初學(xué)者而言，往往是難以理解的。剛性矩陣的零空間在運(yùn)動(dòng)學(xué)中對(duì)應(yīng)著所有的無(wú)窮小運(yùn)動(dòng)，而其行空間在靜力學(xué)中則對(duì)應(yīng)著所有能使框架保持平衡的鉸接點(diǎn)作用力（因篇幅有限，這一結(jié)論的推導(dǎo)不再展開(kāi)）。

借助線性代數(shù)，我們能深入分析框架的無(wú)窮小運(yùn)動(dòng)空間。例如，上述三角形框架的剛性矩陣R，其零空間的一組基為：

這3個(gè)向量分別對(duì)應(yīng)著平面中的平凡無(wú)窮小運(yùn)動(dòng)：水平平移、豎直平移和旋轉(zhuǎn)。

圖：平凡無(wú)窮小運(yùn)動(dòng)的三個(gè)向量，分別為(a)水平平移向量、(b)豎直平移向量、(c)旋轉(zhuǎn)向量。

再回到雨傘的四桿框架分析，假設(shè)其鉸接點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)、(-√3/2, -1/2)、(√3/2, -1/2)、(0, -1)，可推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的剛性矩陣及其零空間的一組基：

零空間基向量：

與三角形框架類(lèi)似，前三個(gè)基向量對(duì)應(yīng)著平移和旋轉(zhuǎn)的平凡運(yùn)動(dòng)，而最后一個(gè)基向量則對(duì)應(yīng)著四桿框架開(kāi)合時(shí)的非平凡無(wú)窮小運(yùn)動(dòng)。

圖：動(dòng)態(tài)演示中，箭頭指示了雨傘框架開(kāi)合時(shí)各鉸接點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向。

四桿框架運(yùn)動(dòng)時(shí)的非平凡無(wú)窮小運(yùn)動(dòng)。

取參數(shù)t=-1的瞬間，鉸接點(diǎn)的速度向量分布如下圖所示：

你能清晰看到，由于1號(hào)鉸接點(diǎn)保持固定，2號(hào)和4號(hào)鉸接點(diǎn)的速度向量與各自連接1號(hào)鉸接點(diǎn)的桿件正交——這一特征再次印證了物理直覺(jué)：桿件的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)不會(huì)使其發(fā)生拉伸或收縮。對(duì)于兩端鉸接點(diǎn)均運(yùn)動(dòng)的桿件，其兩端的瞬時(shí)相對(duì)速度向量同樣與桿件正交（如下圖所示）。

下一步研究方向？組合數(shù)學(xué)登場(chǎng)！

剛性矩陣的元素分布具有鮮明的組合規(guī)律，這一點(diǎn)在任意三角形框架中都能體現(xiàn)。設(shè)三角形框架的鉸接點(diǎn)坐標(biāo)為(x?, y?), (x?, y?), (x?, y?)，其剛性矩陣為：

矩陣中，每一行的非零元素僅出現(xiàn)在對(duì)應(yīng)桿件兩端鉸接點(diǎn)的列位置上，這一特征表明組合數(shù)學(xué)在剛性理論中扮演著關(guān)鍵角色。事實(shí)上，對(duì)于鉸接點(diǎn)坐標(biāo)的幾乎所有一般化選擇，三角形框架的剛性矩陣秩均為3；只有當(dāng)三個(gè)鉸接點(diǎn)共線時(shí)，矩陣的秩才會(huì)小于3。

一個(gè)看似矛盾的現(xiàn)象由此產(chǎn)生：這種“扁平化的三角形”存在非平凡的無(wú)窮小運(yùn)動(dòng)，但其本身仍然具有剛性。這一現(xiàn)象也揭示了剛性理論的一個(gè)重要特點(diǎn)：組合數(shù)學(xué)的結(jié)論僅在一般化框架中與物理直覺(jué)一致。

圖：扁平化的三角形框架存在非平凡無(wú)窮小運(yùn)動(dòng)。

最后，為大家介紹剛性理論的一個(gè)核心結(jié)論，該結(jié)論由蓋林格（Geiringer）和拉曼（Laman）各自獨(dú)立證明：一般化極小剛性框架的組合特征（a combinatorial characterization of minimally rigid generic frameworks）。其中“極小剛性”指的是：框架恰好使用了保持剛性所需的最少桿件數(shù)量。對(duì)于含n個(gè)鉸接點(diǎn)的二維框架，要實(shí)現(xiàn)極小剛性需滿足兩個(gè)條件：

1. 桿件總數(shù)為2n-3；

2. 任意n' ≥ 2個(gè)鉸接點(diǎn)構(gòu)成的子框架，其桿件數(shù)量不超過(guò)2n'-3。

有趣的是，這一結(jié)論無(wú)法直接推廣到三維空間。尋找三維剛性框架的組合特征，也成為了剛性理論中至今尚未解決的重大難題。如果讀者想要深入探索這一領(lǐng)域，不妨參考文末的相關(guān)資料！

原文參考資料

• Jack Graver, Counting on Frameworks: Mathematics to Aid the Design of Rigid Structures , Dolciani Math. Exp., 25, MAA, Washington D.C., 2001.

• Jack Graver, Brigitte Servatius, Herman Servatius, Combinatorial Rigidity Theory , Grad. Stud. Math., AMS, Providence, RI, 1993.

• Jessica Sidman and Audrey St. John. Frameworks in Motion: resources for learning rigidity theory. https://rigidity-theory.web.app

參考資料

https://mathvoices.ams.org/featurecolumn/2025/09/01/grasping-the-math-thats-over-your-head/