重返哥廷根，作者敲開了希爾伯特的故居大門，與故居的現任主人閑話往事，觸摸時光留下的痕跡，一起與這位數學全才的精神世界溫柔相逢。

撰文 | 蔡天新 （浙江大學）

2012年9月的一天，正在荷蘭烏特勒支大學笛卡爾中心訪學的我，應邀重訪了數學家和物理學家的圣地——德國哥廷根大學。為此我精心設計了旅行路線，去時乘火車經過小城阿默斯福特，在那里逗留了三個小時，那是抽象畫家蒙德里安的出生地，也是笛卡爾唯一的女兒去世的地方，這位全才的法國人在荷蘭——當時歐洲大陸唯一的資本主義國家——度過了學術生涯的黃金時代。他曾答應送女兒回法國接受教育，她卻不幸在五歲那年夭折，笛卡爾也從此沒有再返回祖國。接著火車經過了阿納姆，那是神奇的畫家埃舍爾的故鄉(xiāng)，他在這里念完了小學和中學。

哥廷根數學研究所丨圖源：網絡

在下薩克森州州府漢諾威換車以后，我于當天夜里抵達哥廷根火車站，普萊達·米哈伊內斯庫教授替我訂好了旅店，我熟門熟路地步行著找到了。當晚我在附近的酒吧里喝了一瓶貝克啤酒，睡得很香，第二天早上起得較晚，因為我的學術報告是在下午。那天我演講的題目是：關于經典數論的若干問題。讓我感到榮幸的是，報告安排在著名的克萊因-希爾伯特教室，那次來了四位教授和一部分研究生。我講的五個問題中，有一個涉及到希爾伯特-華林問題，也算是向前輩表達敬意了。

17世紀的法國數學家費爾馬發(fā)現，形如4x+1的質數均可以表示成2個整數的平方和，比如，5是1和2的平方和，13是2和3的平方和，而4x+3型的質數則不能（他甚至斷言無法表示成兩個有理數的平方和）。1770年，法國數學家拉格朗日證明了費爾馬的另一個斷言（猜想），即任意正整數均可表為4個整數的平方和。同年，英國數學家華林斷言，任給正整數k，存在正整數s=s(k)，使得每一個正整數均可表示成s個整數的k次冪之和。1909年，希爾伯特證明了上述論斷，被稱為希爾伯特-華林定理。但對給定的k，某種意義下最小值s的確定一直是個困難而熱門的數論問題。

報告結束后，我獨自一人在城內徘徊。兩年前那會兒，我應哥廷根大學的官方邀請，做客數學研究所一個月，與卡塔蘭猜想的證明者、羅馬尼亞裔教授米哈伊內斯庫結下了深厚的友誼，并對哥廷根及其周邊的環(huán)境也有所了解。這回我又一次去看了高斯的天文臺和黎曼的故居，當我走到韋伯大街的希爾伯特故居前，看到里面燈關著，但那輛我乘坐過的奔馳車仍在前院的停車棚里。我試探著按響門鈴，當時的預感是，湯姆遜教授夫婦去慕尼黑看兒子了。出乎我的意料，過了半分鐘之后，邊門打開了，出來的是女主人萊阿娜。她很快認出了我，并打電話把在別處做客的丈夫叫了回來。

希爾伯特的書房，作者攝于2012年秋天。

走進希爾伯特的書房，我看到臨街有兩扇幾乎落地的大玻璃窗，其余三面墻壁擺滿了書架。女主人泡了一壺紅茶，還是上次那套茶具，后來我對比照片，發(fā)現教授脖子上系的領帶也沒變，生活是如此簡樸美好。湯姆遜教授夫婦均是生物化學家，男主人還是哥廷根科學院的院士。40年前，他們從希爾伯特的保姆那兒買下這座當年希爾伯特親自參與設計建造的房子。原來，希爾伯特的獨子故世后，沒有繼承人，按照遺囑，故居贈給了保姆。保姆住了一段時間，不適應周邊的環(huán)境，就把房子賣了。花園非常深，有近一百米長，里面栽了許多蘋果樹，還有一口池塘和幾塊古老的石碑。

希爾伯特故居的花園，作者攝于哥廷根。

湯姆遜教授告訴我，最近幾年他每年都收到來自中國的講學邀請，可他已年逾八旬，身體不便，只好謝絕了，但他很高興有我這樣的老朋友來訪。兩年前我曾在屋前徘徊，遇見澆花的女主人，便和她聊起來，后來她因為答不出我的一個提問把男主人請了出來，我們才得以相識。那次我被他們邀請到陽臺上喝茶，并參觀了花園。告別時，女主人還驅車送我到俾斯麥塔所在的東山上?；貒笪覀兣紶柾ㄐ牛麄冋J真閱讀了我的一首寫冬天的詩歌，是英文譯文。他們回信認真談到了感受，這次晤面又提到那首詩，我答應以后寄一首秋天的詩歌。

希爾伯特的陽臺，湯姆遜和萊阿娜夫婦。作者攝于2010年秋天

1861年，希爾伯特出生在東普魯士名城哥尼斯堡郊外，是大哲學家康德的老鄉(xiāng)，如今卻是俄羅斯的一塊飛地。希爾伯特成年后就讀哥尼斯堡大學，那時的數學專業(yè)仍隸屬哲學系，那也是老康德當年執(zhí)教過的系。在那個年代，德國大學有一條規(guī)則，從第二個學期開始，學生可以到本國任何其他一所大學修課。希爾伯特選擇的是哥廷根大學，因為數學王子高斯和他的偉大弟子黎曼的緣故。他在哥尼斯堡取得博士學位后，先是留校任教，1895年初春，被聘請到哥廷根大學任數學系主任。之后，希爾伯特與導師的導師克萊因聯手建立起了著名的哥廷根數學學派。

1900年，希爾伯特在巴黎舉行的國際數學家大會上概括提出了23個數學問題，涉及到數學的各個領域，他也被公認為史上最后一位數學全才。這些問題的提出為20世紀的數學研究指明了方向，每一個問題的解決或部分解決都引起轟動。1921年，希爾伯特60歲生日晚會的來賓合影中，前面兩排聚集了十多位年輕數學家的夫人，那時的哥廷根已是世界的數學中心，可以說重現了高斯時代的輝煌。這一點從戰(zhàn)爭期間散布到美國的希爾伯特弟子那里可以得到證實，外爾在新澤西州幫助組建了普林斯頓高等研究院，庫朗則在紐約大學創(chuàng)立了庫朗數學研究所，這兩個所與陳省身創(chuàng)建的伯克利數學研究所堪稱美國的三大數學圣地。

我可以推測，23個數學問題一部分是在研究所的辦公室里，另一部分則是在這間書房里醞釀的。至于希爾伯特為何沒有把華林問題列入其中，我想是因為那時他還沒有證明華林猜想，華林問題尚未落到實處。無論如何，當我坐在里面喝茶，懷有一份激動的心情。我聽主人談起戰(zhàn)爭年代的經歷，那時他們才上小學和中學，出乎我的意料，萊阿娜竟然是希爾伯特的同鄉(xiāng)，她出生在哥尼斯堡郊外的一座小鎮(zhèn)，后來全家顛沛流離遷移到漢堡附近。湯姆遜教授找到兩本他收藏的中國古籍，是列子的《沖虛真經》和《金瓶梅》，民國年代的德文版。

萊阿娜興致勃勃地用德文朗誦其中壺子算命的故事，湯姆遜教授即興把它譯成英文。列子（公元前450-前375）是戰(zhàn)國初期鄭國人，老子和莊子之間的道家名人，壺子是他的老師。列子開創(chuàng)了先秦散文，愚公移山、夸父逐日、杞人憂天等成語故事出自列子，他還講述了孔子出游遇到兩個小孩，孔子問，太陽離我們何時近？結果一個回答是早晨，另一個回答是中午，并各有理由。2025年夏天，我造訪了鄭州東站附近的列子故里和列子墓，墓的南邊有三塊墓碑，其中兩塊分別立于明代和民國。

又到了告別的時候。翌日上午，我離開了哥廷根，乘上了返回荷蘭的火車。為了使我的旅行更加圓滿，征得主人同意（旅費略有增加），歸途我向南經過了法蘭克福，繞成了一個圓圈。途中?？苛巳R茵河畔西岸的波恩、科隆，西岸的杜塞爾多夫和杜伊斯堡，那些是我前幾次德國之行遺漏的名城。科隆是古羅馬皇帝尼祿（37-68）的母親、著名的投毒者阿格里皮娜的出生地，那本是羅馬帝國的前哨陣地，原名烏比奧魯姆，后來改為Colonia Claudis Agrippina，意為克勞迪斯皇后阿格里皮娜的駐防地，后簡化成Cologne，即科隆。

尼祿是有名的暴君，依據塔西佗等歷史學家的描述，他殺死了母親、老師和一大批貴族。另一位羅馬皇帝圖拉真（53-117）也與科隆有緣，卻是羅馬“五賢帝”之一，英國歷史學家吉本在《羅馬帝國衰亡史》里贊其為“人類最幸福的時代”，羅馬城內的圖拉真廣場和圖拉真柱今天仍在。公元98年初，圖拉真奉召繼位時，他正戍守科隆。他在位時積極開拓疆土，使帝國版圖達到極限。東自美索不達米亞，南至撒哈拉沙漠，西起不列顛，北到喀爾巴阡山脈和黑海北岸，地中海成為羅馬帝國的內海。

我在科隆逗留了四個小時，獨自享用了一個比薩餅，還徒步登上100多米高的科隆大教堂，那是德國公眾選出來的首要標志，位列柏林的布蘭登堡門和巴伐利亞的新天鵝城堡之前。攀登途中，我看到墻壁上有許多到此一游的留言，世界各國的文字應有盡有。我想起哥廷根城市公墓里希爾伯特墓碑上的兩行德文，那早已為全世界的數學同行熟知，“Wir müssen wissen / Wir werden wissen”，譯成中文便是，“我們必須知道/我們必將知道”。此語出自希爾伯特的退休演說，是他對拉丁語箴言的改造，原文Ignoramus et ignorabimus，意為“我們不知道/我們不可能知道”。

2013年秋天初稿

2025年秋天修潤

本文原載《新知》試刊號開篇，該刊的外文名Wissen也來自于本文。文章經作者最新修訂后授權刊發(fā)于《返樸》，原標題“希爾伯特的故居”。

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