編者按

《物理與工程》重新刊發(fā)郝柏林先生1986年的文章《牛頓力學(xué)三百年》，孫昌璞院士撰寫了專門的評述文章《重讀《牛頓力學(xué)三百年》：經(jīng)典力學(xué)縱深與復(fù)雜系統(tǒng)物理開端》。孫院士的文章不僅是一篇導(dǎo)讀，還是一篇關(guān)于關(guān)于統(tǒng)計物理和復(fù)雜系統(tǒng)發(fā)端、發(fā)展和前瞻的評述文章，也是一篇如何學(xué)習(xí)、發(fā)展和緬懷前輩學(xué)術(shù)思想的范文。另外，鄭偉謀研究員為《牛頓力學(xué)三百年》寫了一篇導(dǎo)讀。本文是這次重新刊發(fā)活動的第二部分：鄭偉謀研究員的導(dǎo)語和郝柏林先生的原文。感謝郝柏林先生的女兒郝炘博士授權(quán)我們刊物重新刊發(fā)，感謝北京大學(xué)出版社提供郝先生文章的原始出處：孫小禮、樓格主編《人·自然·社會》(北京大學(xué)出版社，1988)。

導(dǎo)語

郝先生的文章是基于他1986年在北京大學(xué)的一次報告。當(dāng)年還是非線性科學(xué)發(fā)展的黃金時期。距今不到四十年，當(dāng)今的許多物理系大學(xué)生，甚至年青學(xué)者對非線性動力學(xué)的概念，往往感到陌生。一些物理學(xué)概念雖然重要，其“半衰期”未必就很長。此文以很小的篇幅，描繪了牛頓力學(xué)建立之后學(xué)科發(fā)展三百年的方方面面，非大家手筆不可為?！段锢砼c工程》決定重新刊發(fā)此文，相信物理界與工程界的讀者都會從中受益?！敖?jīng)過近300年的發(fā)展，現(xiàn)代自然科學(xué)才清楚認(rèn)識到，我們對于牛頓力學(xué)原來只懂得了極小的一部分。人們從大學(xué)課本中學(xué)到的關(guān)于牛頓力學(xué)的基本概念，竟然只適用于極為稀少的特例，而力學(xué)系統(tǒng)的典型行為在大多數(shù)教科書中根本沒有提到。這種認(rèn)識迄今還停留在較為狹窄的專家圈子中。有必要使它逐漸成為廣大自然科學(xué)工作者的共同的認(rèn)識，并且引起哲學(xué)界的注意。”導(dǎo)言中的這一段話，今天讀來，也仍然是振聾發(fā)聵。

——鄭偉謀(中國科學(xué)院理論物理研究所)

牛頓力學(xué)三百年

郝柏林

中國科學(xué)院理論物理研究所,北京100190

摘要

自1687年牛頓的名著《原理》首次出版以來,牛頓力學(xué)經(jīng)過300年的發(fā)展,今天人們才開始對它有比較完整的認(rèn)識。在這個經(jīng)典的領(lǐng)域中,仍然有原則性的難題和挑戰(zhàn)。

關(guān)鍵詞 牛頓力學(xué);不可積性;KAM定理;內(nèi)在隨機(jī)性;統(tǒng)計物理

THREE HUNDRED YEARS OF NEWTONIAN MECHANICS

HAO Bailin

(Institute of Theoretical Physics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190)

Abstract Developments of Newtonian Mechanics since publication of Principia in 1689 are reviewed with an emphasis on problems of nonintegrability and implications of the KAM theorem.

Key words Newtonian mechanics; nonintegrability; KAM theorem; intrinsic stochasticity; statistical physics

DOI:10.27024/j.wlygc.2026.02.24.is

牛頓的《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》一書拉丁文初版于1687年問世。英文譯本在牛頓逝世后兩年，即1729年出版，1931年上海商務(wù)印書館印行的《萬有文庫》曾收入鄭太樸譯自德文的中文本，共分十冊。三百年來，用大寫字母起頭的拉丁文“原理”(Principia)一字，一直在哲學(xué)和自然科學(xué)文獻(xiàn)中特指牛頓的這一部經(jīng)典著作。可以毫不夸大地說，這部書決定了整個西方近代自然科學(xué)的發(fā)展模式。

牛頓誕生在伽利略去世的那一年，即1642年的12月25日（按新歷計算，是1643年1月4日)。從1679年開始，在與胡克(R.Hooke)的通訊和爭論中，牛頓深入研究了行星的軌道運動問題。1684年底，牛頓因哈雷(E.Halley)的求教而撰寫了“論運動”一文。然而，只是在《原理》一書中，牛頓才完整地表述了他的絕對時空觀、運動三定律和萬有引力定律。因此，以《原理》一書的出版，標(biāo)志牛頓力學(xué)的誕生，是極為自然的。

牛頓力學(xué)的發(fā)展史，早有大量論文和專著，不是這篇短文的評述對象。本文主旨，是說明經(jīng)過近三百年的發(fā)展，現(xiàn)代自然科學(xué)才清楚認(rèn)識到，我們對于牛頓力學(xué)原來只懂得了極小的一部分。人們從大學(xué)課本中學(xué)到的關(guān)于牛頓力學(xué)的基本概念，竟然只適用于極為稀少的特例，而力學(xué)系統(tǒng)的典型行為在大多數(shù)教科書中根本沒有提到。這種認(rèn)識迄今還停留在較為狹窄的專家圈子中。有必要使它逐漸成為廣大自然科學(xué)工作者的共同的認(rèn)識，并且引起哲學(xué)界的注意。

太陽系的穩(wěn)定性

天體運行始終是牛頓力學(xué)的第一塊試金石。《原理》一書第三篇專門討論了“宇宙系統(tǒng)”。不過牛頓當(dāng)時所研究的“宇宙”，只是到土星為止的太陽系，包括六大行星和它們的某些衛(wèi)星。1781年發(fā)現(xiàn)天王星時，牛頓已經(jīng)去世54年。天體力學(xué)在拉普拉斯(P.S.Laplace，1749—1827)的五卷巨著《天體力學(xué)》(出版于1798—1825年期間)中，發(fā)展到甚為詳盡的程度。拉普拉斯應(yīng)用微擾論級數(shù)計算天體軌道，確定了擾動的周期性質(zhì)，論證了土星環(huán)不可能是一個實體，對于木星的幾個衛(wèi)星的運動，也得到了與觀察一致的計算結(jié)果。他甚至證明了一個太陽系穩(wěn)定性的定理，拉普拉斯對于牛頓力學(xué)的確定論威力深信不疑，曾經(jīng)宣稱只要給定了初始條件，就可以預(yù)言太陽系的整個未來。

拉格朗日(J.-L.Lagrange，1736—1813)開始用變分方法于牛頓力學(xué)。和《原理》書中的幾何方法不同，拉格朗日使解析方法登峰造極。他的專著《解析力學(xué)》中竟然沒有插圖。經(jīng)過許多人的努力之后，牛頓力學(xué)的基本出發(fā)點可以用變分原理表述得極為簡練。力學(xué)系統(tǒng)由廣義坐標(biāo)和廣義速度的某個函數(shù)（拉氏函數(shù))刻畫。保證這個函數(shù)在一定區(qū)間上的積分達(dá)到極值(極大或極小)的條件，就是運動方程。這種普遍的表述，提供了建立新的物理理論的一般框架。后來，從狹義相對論到弱電統(tǒng)一理論，都采用了這種數(shù)學(xué)形式。拉格朗日也證明過自己的太陽系穩(wěn)定性定理。

1846年根據(jù)對天王星軌道所受擾動的理論計算，預(yù)言并且觀察到了海王星。這一發(fā)現(xiàn)可以說是經(jīng)典的牛頓力學(xué)的輝煌頂點。(1930年用類似的方法，找到了太陽系的第九顆行星——冥王星)。從十九世紀(jì)中期開始，那些最終導(dǎo)致量子力學(xué)、狹義相對論和廣義相對論誕生的實驗事實逐步顯現(xiàn)出來。二十世紀(jì)初建立的這幾個新理論，當(dāng)然是對牛頓力學(xué)的最偉大的發(fā)展。然而，我們還是回到這篇文章開頭所提到的、尚未被人們所充分認(rèn)識的那個側(cè)面。

對太陽系穩(wěn)定性的不同提法，可能導(dǎo)致不同的結(jié)論。例如，考慮擾動的近似程度不同，或要求穩(wěn)定時間有限與無窮，當(dāng)然后果會有差別。一種合理的抽象模型是把太陽系作為N體問題。N-1個小質(zhì)量的行星，圍繞著大質(zhì)量的中心質(zhì)點運動。它們遵從牛頓的運動定律，按照牛頓萬有引力定律互相吸引。假定這個N體系統(tǒng)中的質(zhì)點過去從來沒有發(fā)生過碰撞，問這樣的系統(tǒng)在今后無限長的時間中，會不會發(fā)生質(zhì)點碰撞或逃逸?

十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們已經(jīng)知道，N體問題屬于不可積分(見下一節(jié))的難題，只能尋求近似解。迪里克萊(P.G.L.Dirichlet)曾經(jīng)在1858年宣稱找到了逼近N體問題解的方法。他在翌年去世，使這一方法成了千古之謎。20年后，魏爾斯特拉斯(K.Weierstrass)構(gòu)造了N體問題的級數(shù)解，但不能證明級數(shù)是否收斂。1885年他通過另一位數(shù)學(xué)家，把這一問題呈交給瑞典國王奧斯卡二世，作為征獎?wù)撐念}目。法國科學(xué)家龐加萊(H.Poincaré，1854—1912)的長達(dá)二百多頁的得獎?wù)撐?，雖然沒有解決這個問題，卻揭開了牛頓力學(xué)的新篇章。他的結(jié)論甚至是近乎否定的：N體問題的級數(shù)解由于小分母問題而很可能不收斂。龐加萊在研究過程中闡明了不可積系統(tǒng)運動的復(fù)雜性。它的工作后來總結(jié)在三卷《天體力學(xué)的新方法》(1892，1893，1899)中。

我們簡單解釋一下小分母問題。N體問題在“零級近似”下，忽略小質(zhì)量之間的互相作用，成為N-1個二體問題。每個二體問題給出一定頻率的周期解。加入相互作用之后，如果某些頻率之間存在簡單的比例關(guān)系，就會出現(xiàn)共振現(xiàn)象。太陽系中就有不少這種接近共振的情形。例如，按角位移計算，木星每天運行299.1秒，而土星運行120.5秒，幾乎滿足

2

木 -5

土 ≈0

這類差值進(jìn)入級數(shù)展開式，成為小分母，危及收斂性。不過魏爾斯特拉斯當(dāng)年就曾指出，龐加萊本人也承認(rèn)，這些論據(jù)并不足以證明級數(shù)就是不收斂的。

由于量子理論和相對論的迅猛發(fā)展，以及日新月異的技術(shù)進(jìn)步，吸引了絕大多數(shù)物理學(xué)家的注意力，十九世紀(jì)末就提出來的這個尖銳問題，被留給數(shù)學(xué)家們?nèi)レo心研究。二十世紀(jì)六十年代初，終于出現(xiàn)了牛頓力學(xué)發(fā)展史上最重大的突破——KAM定理。經(jīng)典的太陽系穩(wěn)定性問題，才在一定意義上得到了正面解決。近二十多年，物理學(xué)家們一直在消化，引伸或者“破壞”這個定理。不過，為了稍事介紹KAM理論，我們必須回顧力學(xué)系統(tǒng)的可積分問題。

不可積分的力學(xué)系統(tǒng)

英國天文學(xué)家哈密頓(W.R.Hamilton，1805—1865)繼續(xù)發(fā)展變分方法來研究牛頓力學(xué)。他用廣義坐標(biāo)和廣義動量來表示系統(tǒng)的能量，現(xiàn)在通稱為哈密頓函數(shù)。對于自由度為N的系統(tǒng)，N個廣義坐標(biāo)和N個廣義動量，張成2N維的相空間。牛頓力學(xué)成為相空間中的幾何學(xué)。用現(xiàn)代觀點說，這是一種辛(symplectic)幾何學(xué)，它源于哈密頓運動方程組的反對稱性質(zhì)。這是2N個一階常微分方程，來自后來以哈密頓命名的變分原理。哈密頓方程的數(shù)學(xué)形式便于對力學(xué)系統(tǒng)作一種重要分類。如果可以實現(xiàn)一系列坐標(biāo)和動量的變換，在每一步變換下都保持相應(yīng)的哈密頓方程成立，使得哈密頓函數(shù)最終只依賴于N個新的廣義動量（這時特稱為“作用量變量”)，而新的廣義坐標(biāo)(“角度變量”)完全不出現(xiàn)在其中。這N個新的廣義動量就是運動不變量(也叫運動積分)，而且運動方程可以簡單地積分出來。即使不能明顯解出來，也表示成為一批積分。這樣的力學(xué)系統(tǒng)稱為可積分的系統(tǒng)。可積分系統(tǒng)的典型行為是周期和準(zhǔn)周期運動。所謂準(zhǔn)周期運動，發(fā)生在各種頻率成分之比不是有理數(shù)(如

土 /

木 ≈2/5)時。

所有自由度為1的系統(tǒng)都是可積的。十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)家，像雅可比(C.G.J.Jacobi，1804—1815)，劉維(J.Liouville)，卡瓦列夫斯卡婭(S.Kovalevski），曾經(jīng)花了大量精力去尋求可積系統(tǒng)。然而，N體問題是不可積分的，甚至限制于平面之中的三體問題也是不可積分的。到了龐加萊的時代已經(jīng)清楚，力學(xué)系統(tǒng)一般說來是不可積分的：除了最平常的運動積分(如能量)，根本不存在N個運動不變量。

不可積分系統(tǒng)的運動圖象十分復(fù)雜，數(shù)學(xué)處理也極為困難。1941年西格爾(C.L.Siegel)曾經(jīng)寫道：“……這看來超乎已知分析方法的威力”。阿諾德(V.I.Arnold)在60年代初回顧歷史時也說過：“動力學(xué)中的不可積分問題曾非現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具所及”。其實，在龐加萊的著作中對于不可積系統(tǒng)的運動圖象已經(jīng)有相當(dāng)深刻的認(rèn)識。然而，在絕大多數(shù)為物理系學(xué)生用的力學(xué)教科書中，只講述可以積分甚至可以明顯求解的實例。這就在一代代學(xué)者心目中描繪了牛頓力學(xué)的完完全全確定論形象。

那么，天下究竟有多少不可積分的力學(xué)系統(tǒng)呢?“一切可能的力學(xué)系統(tǒng)”不大好表示出來，可以先取相當(dāng)普遍的某大類系統(tǒng)來加以研究。例如，取所謂解析哈密頓函數(shù)：它可以表示為廣義動量和廣義坐標(biāo)的一切可能乘積的線性組合，不同的組合系數(shù)(可能包含大量零系數(shù))對應(yīng)不同的力學(xué)系統(tǒng)。如果允許每個系數(shù)沿一個坐標(biāo)軸取值，它們就支撐起一個無窮維的空間，其每一點代表一個力學(xué)系統(tǒng)。在這樣的空間中有多少點是可積分的系統(tǒng)呢?答案在四十年代就由西格爾等人給出。原來，在一切解析哈密頓中，可積哈密頓的“測度”為零。這就是說，把全部可積分的點湊到一起，在上述空間中的體積仍然是零。反過來說，如果在這個空間中任意抓一個點，它幾乎必定對應(yīng)不可積分的力學(xué)系統(tǒng)。

事實上，可積分的系統(tǒng)如此稀少，以致不可能用它們來逼近不可積分的系統(tǒng)。這句話應(yīng)當(dāng)與有理數(shù)和無理數(shù)的關(guān)系對比。大家知道，在數(shù)軸上存在著可數(shù)無窮多個有理數(shù)，它們的測度為零，但是又是“稠密”的，即多到足以用來逼近無理數(shù)。然而，在解析哈密頓函數(shù)的空間中，可積分系統(tǒng)是“稀疏”的，少到不能用來逼近不可積分系統(tǒng)的程度。這就給不可積系統(tǒng)的研究帶來更大的困難。

然而，不可積系統(tǒng)的運動圖象究竟如何呢?

KAM定理

對付難題的一種辦法，是從容易的情形開始，一步一步往難處走。既然不可積系統(tǒng)的運動很難研究，那就先考察“弱”不可積、或者說近可積系統(tǒng)。假定系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)可以分成兩部分

其中H0是可積的，因此只依賴于作用量Ji，V是使H變得不可積的擾動，自然含有角度變量θ

i

。只要參數(shù) ε 很小，導(dǎo)致不可積的附加項就很小。這類系統(tǒng)的運動圖象如何呢?

問題的答案由蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家科爾莫戈羅夫(A.N.Kolmogorov)在1954年指出，1963年他的學(xué)生阿諾德(V.I.Arnold)給出了對于解析哈密頓函數(shù)的完全證明。同時，莫塞爾（J.Moser)對于只存在一定階導(dǎo)數(shù)(最初是333階，后來有人弱化為5階)的哈密頓函數(shù)也給出了證明。因此，這個定理現(xiàn)在以KAM命名。

KAM定理的嚴(yán)格表述和證明，要用到拓?fù)?、分析和?shù)論等各方面的知識。我們只限于粗略地介紹一下它的內(nèi)容，然后轉(zhuǎn)而評述它的物理后果。KAM定理的大意是：在擾動(或者說非線性)較小、

V

足夠光滑，離開共振條件一定距離等三個條件下(其中每個條件都有確切的數(shù)學(xué)表述)，對于絕大多數(shù)初始條件，弱不可積系統(tǒng)的運動圖象與可積系統(tǒng)基本相同?？煞e系統(tǒng)的運動限制在由 N 個運動不變量決定的 N 維環(huán)面上，弱不可積系統(tǒng)的絕大多數(shù)軌道仍然限制在稍有形變的 N 維環(huán)面上。這些環(huán)面稱為不變環(huán)面或KAM環(huán)面( KAM tori )。更確切些說，相空間分成大小兩個體積非零的區(qū)域。在大區(qū)域中仍然保持著與可積系統(tǒng)類似的環(huán)面結(jié)構(gòu)；初始條件如果落入小區(qū)域中，軌道就會相當(dāng)不規(guī)則地迷走，運動表現(xiàn)得很不穩(wěn)定。這些小的不穩(wěn)定區(qū)的體積隨著參數(shù)

趨向零而消失，但只要

不是零，它們的體積就是有限的。

從表面上看，這個定理的結(jié)論，一方面有些出乎意外，一方面又似乎平淡無奇。

出乎意外的是，人們(包括龐加菜)原來以為小分母引起的共振現(xiàn)象會破壞可積系統(tǒng)的不變環(huán)面，而定理的結(jié)論恰好相反。這個問題須從兩個層次理解。用未擾動的哈密頓函數(shù)H0的種種頻率，可以構(gòu)造許許多多的組合，其中總會出現(xiàn)接近零的共振情況。然而，第一，只有組合系數(shù)較小的低階(小于4階)的共振才有危險性，高階共振恨本不影響微擾級數(shù)的收斂性；第二，低階共振的區(qū)域在相空間中是彼此隔開的，只有參數(shù)

足夠大時，它們才會互相重迭，導(dǎo)致“混沌”運動。

平淡無奇則在于，對大多數(shù)軌道而言，弱不可積性好象并沒有帶來本質(zhì)上新的后果。不過，仔細(xì)一想就看出事情并非如此平淡。物理學(xué)中常常用理想氣體或者簡單諧振子的集合來描述處于平衡態(tài)的氣體或固體。這樣作的時候，通常要說明一個“顯而易見”的事實：只要計入無限小的相互作用，這些理想的體系就會“熱化”而趨近平衡。KAM定理告訴我們，事實可能完全不是這樣! 凡是KAM定理有效的情形，統(tǒng)計物理學(xué)的基本前提就不成立。遵從KAM定理的運動限于N維環(huán)面上，根本不能分散到2N-1維的等能面上，哪里談得上“等能面上處處概率相等”。下一節(jié)介紹遍歷理論時，我們再繼續(xù)討論這個問題。

從天體力學(xué)的角度看，KAM定理給出了許多重要的正面結(jié)果。它的證明過程提供了成功地解決小分母問題的方法。它調(diào)和了魏爾斯特拉斯和龐加萊關(guān)于N體問題級數(shù)解是否收斂的爭論，從而在較為廣泛的意義下解決了太陽系的穩(wěn)定性問題。當(dāng)然，對于更為實際的條件，太陽系的穩(wěn)定性問題仍未解決。

自由度為N的保守系統(tǒng)，具有2N維的相空間。能量守恒條件使運動首先限于2N-1維的等能“超面”上，KAM定理的成立進(jìn)一步把它局限到

N

維環(huán)面上。這些 N 維環(huán)面能否成為等能面的邊界(2 N -2維)，把少量迷走軌道限制在環(huán)面兩側(cè)，從而約束一下運動的隨機(jī)性呢?這就必須要求 N ≥2 N -2，它只在 N ≤2時成立。當(dāng)自由度大于2時，即使KAM定理的條件完全成立，這些迷走軌道也會從環(huán)面的一側(cè)彌散到另一側(cè)，給運動圖象添加新的隨機(jī)成分。這叫作阿諾德擴(kuò)散。它是在大加速器中造成束流不穩(wěn)定和高速粒子損失的原因之一，決不僅是純理論概念。

物理學(xué)家們更關(guān)心KAM條件不成立時會發(fā)生什么情況。既然這“非現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具所及”，人們就求助于另一種新式武器——現(xiàn)代電子計算機(jī)。伊儂(M.Hénon)、福特(J.Ford)等人作了大量數(shù)值實驗，發(fā)現(xiàn)破壞任何一個KAM條件，運動圖象都變得更為“混沌”。例如，參數(shù)ε增大的過程中，環(huán)面逐個破壞。每個環(huán)面都是由頻率之比為無理數(shù)的準(zhǔn)周期運動造成的。越難用有理數(shù)逼近的無理數(shù)，相應(yīng)的環(huán)面堅持得越久。逼近最慢的最“高貴”的無理數(shù)就是黃金比(-1)/2≈0.618…，它對應(yīng)最后消失的一個環(huán)面。其實，環(huán)面才消失時在原來的位置上只是出現(xiàn)了大大小小的空隙，它們具有康托爾(G.Cantor)集合的結(jié)構(gòu)，仍然使迷走軌道的擴(kuò)散受到一些限制。這些KAM環(huán)面剩下的“魂”，有時就叫作康托爾環(huán)面(Cantori)。KAM環(huán)面的破壞過程，可以用重正化群的方法研究。(關(guān)于康托爾集合和重正化群，可以參看《科學(xué)》第38卷（1986年）第1期“分形與分維”一文。)

數(shù)學(xué)家們早就證明，KAM環(huán)面破壞時，要出現(xiàn)個數(shù)相同的“橢圓”和“雙曲”型的不動點或周期點。橢圓點附近是穩(wěn)定的周期運動。在雙曲點附近存在穩(wěn)定和不穩(wěn)定的“不變流形”。如果不穩(wěn)定流形離開雙曲點后，最終又回到它附近，其間會和穩(wěn)定流形發(fā)生無窮多次橫截相交。這些交點稱為同宿點。出現(xiàn)一個同宿點，就會有無窮多個同宿點。如果上述圖象發(fā)生在不同的雙曲點之間，則稱為異宿點。同宿點和異宿點的存在，使得運動狀態(tài)極為敏感地依賴于初始條件。毫厘之差，就會使軌道從穩(wěn)定流形落到不穩(wěn)定流形；或者反之，導(dǎo)致不同的長時間行為。龐加萊早在其《天體力學(xué)的新方法》第三卷中就描寫了同宿和異宿軌道，意識到它們使運動圖象變得極為復(fù)雜。只是現(xiàn)代電子計算機(jī)才使得人們清楚看到這種情景怎樣出現(xiàn)在一個個具體的數(shù)學(xué)模型和力學(xué)系統(tǒng)中。

KAM定理是一種整體的關(guān)于穩(wěn)定性的論斷。軌道的不穩(wěn)定性則是力學(xué)運動中出現(xiàn)隨機(jī)性，不可預(yù)言性和混沌的原因。這就把我們帶回到十九世紀(jì)末物理學(xué)提出的另一個基本問題。

遍歷理論

十九世紀(jì)下半葉，統(tǒng)計物理學(xué)的方法在麥克斯韋(J.K.Maxwell)、玻爾茲曼(L.Boltzmann)、吉布斯（J.V.Gibbs)等人的工作中臻于完備。這種處理復(fù)雜系統(tǒng)的概率論的方法，與當(dāng)時占統(tǒng)治地位的牛頓力學(xué)的確定論觀點格格不入。必須在兩者之間尋求聯(lián)系，解決統(tǒng)計力學(xué)的奠基問題。

玻爾茲曼最早提出了遍歷性假定：“力學(xué)系統(tǒng)在運動過程中要經(jīng)歷等能面上一切可能的狀態(tài)，因此沿軌道的長時間平均可以換成對等能面上各種狀態(tài)的平均。早就知道，遍歷假定的這種原始提法并不普遍成立，具體系統(tǒng)是否遍歷更難判定。這是留給數(shù)學(xué)家們?nèi)レo心研究的另—類難題。最近二、三十年遍歷理論有了重大進(jìn)展。這些進(jìn)展使它離開統(tǒng)計物理學(xué)的基礎(chǔ)越來越遠(yuǎn)，卻成為研究復(fù)雜的力學(xué)系統(tǒng)和更一般的微分動力系統(tǒng)的強(qiáng)大工具。遍歷理論的進(jìn)展有兩個方面。

一方面，動力系統(tǒng)的遍歷性質(zhì)分成許多層次。最低的層次是狹義的“遍歷”，上面還有“混合”、科爾莫戈羅夫流(K流)、伯努利流等等，愈往上隨機(jī)性質(zhì)愈強(qiáng)。處在上面的層次必定具有下面各層的遍歷性質(zhì)，但反之不成立。例如，存在著是K流而非伯努利流的動力系統(tǒng)，它當(dāng)然是遍歷和混合的。

另一方面，證明了一批具體系統(tǒng)的遍歷或非遍歷性質(zhì)。例如，有限個耦合諧振子系統(tǒng)是不遍歷的(這是KAM定理的直接后果)。但封在盒子中的兩個剛球，卻是遍歷甚至混合的系統(tǒng)。這后一個例子，恰好反映了KAM定理條件中光滑性要求的重要意義。剛球作用勢非解析，因而KAM定理并不成立。

遍歷性并不取決于自由度大小，而是反映著運動軌道不穩(wěn)定性的程度。簡單的“遍歷”并不要求鄰近軌道相互分離，它們可以在等能面上并肩游歷。混合性則要求時間足夠長之后，出發(fā)點鄰域中的軌道要彌散到等能面上任何一個點附近。猶如一滴墨汁落入水杯拌勻之后，任意取出一滴水都會含有墨汁分子。但是，混合性并不限制相鄰軌道的分離速率。到了K流這一層，任何在初始時刻相鄰的軌道，下一時刻就必須以指數(shù)方式分開。表征相鄰軌道分離速度整體性(即沿軌道長時間平均得到)的特征量，有李雅普諾夫(A.M.Lyapunov)指數(shù)，K熵和各種信息維數(shù)。K流的基本特征是具有正的K熵，而K熵在一定意義上是所有正的李雅普諾夫指數(shù)之和。這樣，我們就有了區(qū)分簡單和復(fù)雜力學(xué)系統(tǒng)的定量判據(jù)。如果相空間中每個點都導(dǎo)致零熵，系統(tǒng)是簡單的。如果某些測度不為零的初值集合給出正K熵，則運動開始具有隨機(jī)性。上節(jié)介紹KAM定理時，提到有限的小區(qū)域中存在著迷走軌道，定量的特征就是它們導(dǎo)致正的K熵。

必須指出，K熵以及遍歷理論中引入的其他熵，與熱力學(xué)熵根本不同。熱力學(xué)熵本質(zhì)上是靜態(tài)的，是對狀態(tài)劃分和計數(shù)的結(jié)果，而K熵和動力系統(tǒng)的整個時間演化過程聯(lián)系著。這兩者之間的關(guān)系，目前并不完全清楚。

我們多次提及運動的隨機(jī)性。這種隨機(jī)性是不可積力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)秉性質(zhì)，并不來自隨機(jī)外力、環(huán)境漲落、噪聲干擾等外界因素。牛頓力學(xué)具有內(nèi)在的隨機(jī)性，具有確定論傳統(tǒng)的天體力學(xué)家們也開始接受這一命題。

天體力學(xué)是確定論科學(xué)嗎?

這是當(dāng)代著名的天體力學(xué)家，《軌道理論》一書的作者策比黑利(V.Szebehely)在同事們?yōu)樗ＹR六十壽辰時提出的問題，他甚至指出，那些堅持確定論的人是在自欺欺人，不是推動科學(xué)前進(jìn)、而是倒退。

確實，天體力學(xué)中已經(jīng)有若干個認(rèn)真研究過的內(nèi)在隨機(jī)性的實例，我們從三體問題中引證兩個。

第一個例子是蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家西特尼科夫(K.Sitnikov）、阿列克賽耶夫(V.M.Alekseev)等人在60年代證明的。取兩個相同的大質(zhì)量M，它們有一個運動平面，再拿一個小質(zhì)量m，令它在穿過兩個大質(zhì)量的質(zhì)心并垂直于上述平面的直線上運動。質(zhì)點m在一定高度以一定初速開始運動后，可能在時刻T1、T2、…Tn多次經(jīng)過此平面，然后逃逸，也可能一直來回蕩下去。西特尼科夫等人的結(jié)果可以尖銳地表述為：先給定任意個隨機(jī)數(shù)，存在相應(yīng)的初始條件，使得質(zhì)點m依次以這些隨機(jī)數(shù)為時間間隔，穿過大質(zhì)量的軌道平面，然后逃逸掉。換言之，無論對

m

的運動歷史作多少觀測，都無法知道下一次是返回還是逃逸。這里，牛頓力學(xué)已經(jīng)失去對未來運動的可預(yù)測性。

第二個例子是策比黑利本人在198年給出的。考慮小質(zhì)量m在大質(zhì)量M1和M2作用下的運動，忽略小質(zhì)點對大質(zhì)點的影響，而且把運動限制在平面內(nèi)。這是自由度為2的平面三體問題，由一個4階常微分方程組描述。在力學(xué)系統(tǒng)的某些平衡點附近，小質(zhì)點可能作范圍有限的擺動(天文學(xué)中稱為“天平動”),也可能離開平衡點遠(yuǎn)去。策比黑利等試圖用精密的數(shù)值計算確定這兩種行為的邊界。結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩類初值之間并沒有光滑、連續(xù)的邊界：擺動初值附近有導(dǎo)致逃逸的初值，而逃逸點附近又存在擺動點，初值的微小差別會導(dǎo)致定性的不同結(jié)果。

這兩個例子，一個解析、一個數(shù)值，都是精密可信的科學(xué)結(jié)論。它們并沒有引用任何外來的隨機(jī)因素，一切都發(fā)生在牛頓力學(xué)的“確定論”框架里。這兩個例子又都是能量守恒的保守系統(tǒng)。更為現(xiàn)實的物理模型應(yīng)是耗散系統(tǒng)，例如流體。牛頓雖然在《原理》一書中曾經(jīng)討論過流體的運動，流體力學(xué)的建立卻是十九世紀(jì)的事。流體力學(xué)方程具有宏觀層次上的內(nèi)在隨機(jī)性，它應(yīng)有助于認(rèn)識湍流的發(fā)生機(jī)制。這是當(dāng)前甚為活躍的混沌研究領(lǐng)域。它正在從力學(xué)系統(tǒng)借用同宿、異宿、遍歷種種概念。

有限性和隨機(jī)性

純粹確定論的描述和純粹概率論的描述都是理想化的極限，隱含著承認(rèn)某種無窮過程是可以實現(xiàn)的。

如果說牛頓力學(xué)給出的質(zhì)點運動軌道是確定的，這就意味著能以無窮精密的測量來確定和區(qū)分軌道。只要承認(rèn)在人類的任何歷史發(fā)展階段測量精度都是有限的，科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步可以縮小測量誤差，但不能作到誤差為零，那么就可以構(gòu)造出隨機(jī)的軌道，它原則上不能靠測量手段同確定軌道區(qū)分(只要在牛頓軌道上附加小于測量精度的隨機(jī)漲落就成了)。

同樣，一個完全隨機(jī)的過程應(yīng)當(dāng)能通過無窮長的隨機(jī)性檢驗。以均勻分布存(0，1)區(qū)間上的隨機(jī)數(shù)為例。如只取來N個隨機(jī)數(shù)，就只能要求它們在一定限度內(nèi)通過隨機(jī)性檢驗，允許存在量級約為N-1/2的統(tǒng)計漲落。只要N不是無窮大，就談不上純隨機(jī)數(shù)，就可以設(shè)計某種確定論過程來產(chǎn)生N個數(shù)，使它們同樣好的通過隨機(jī)性檢驗。

承認(rèn)有限測量情度和有限的隨機(jī)性鹼驗，并不是對人類認(rèn)識能力的侮辱。事實上自然界的許多基本規(guī)律，都可以用否定形式表述：不能制造出第一類和第二類永動機(jī)，溫度不可能降到絕對零度，不能區(qū)分引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量，質(zhì)量有限的物體不能以光速運動，微觀粒子的坐標(biāo)和動量不能同時精確測定，等等?？磥恚姓J(rèn)某種有限性原則(其確切表述還有待于科學(xué)發(fā)展的啟示)，我們才能從確定論和概率論的對立中解脫出來，建立更符合客觀世界的理論物理體系。

在一定意義上，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的狀況要比物理學(xué)好。二十世紀(jì)初的數(shù)學(xué)，曾是分析、代數(shù)、幾何三個正統(tǒng)的分枝(及其交叉)加上“四不像”的概率論。自從三十年代用測度論建立了概率論的公理體系，使它成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個平等的組成部分。現(xiàn)在概率論和隨機(jī)過程的概念在許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域中發(fā)揮著作用。諸如“幾乎處處”、“除去測度為零的集合”、“在一般(generic)條件下”這些提法，早已成為有嚴(yán)格涵義的現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言。

相比之下，物理學(xué)中自牛頓以來的傳統(tǒng)就更為推崇確定論描述，而把概率論作為“不得已而為之”的補(bǔ)充，以至兩套描述長期涇渭分明。隨著對不可積系統(tǒng)中內(nèi)在隨機(jī)性的認(rèn)識，這種情況正在發(fā)生變化。牛頓力學(xué)有兩個公認(rèn)的推廣，1/c≠0(c是光速)時是相對論力學(xué)，普朗克常數(shù)h≠0時是量子力學(xué)。是否存在著第三種推廣，存在著另一個基本常數(shù)，存在著像光速不變那樣的基本原理呢?目前只能作一些猜測。如果能從微觀上定義熱力學(xué)熵，熵不為零的系統(tǒng)是“復(fù)雜系統(tǒng)”，必須引用統(tǒng)計描述。玻爾茲曼常數(shù)k應(yīng)以某種方式自然地進(jìn)入理論體系，相應(yīng)的基本物理原理可能與前面論及的有限性原則有關(guān)。k趨近零時，熵和溫度都會從理論中消失。果真如此，則經(jīng)典的牛頓力學(xué)就是h=k=1/c=0的極限情況。它的延伸是量子力學(xué)(h≠0)，相對論力學(xué)(1/c≠0)和復(fù)雜系統(tǒng)的統(tǒng)計力學(xué)(k≠0)?？傊ｎD力學(xué)經(jīng)過三百年發(fā)展，人們才開始對它有比較完整的認(rèn)識。這個經(jīng)典的領(lǐng)域，仍然有原則性的難題和挑戰(zhàn)。

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HAO B L. Bifurcation, chaos, strange attractor, turbulence and all that—On intrinsic stochasticity in deterministic systems， Progress in Physics，1983, 3（3）: 329-416. (in Chinese)

【編后記】根據(jù)孫小禮、樓格主編的文集《人·自然·社會》(北京大學(xué)出版社,1988)的編者前言，北京大學(xué)1985年秋季學(xué)期為物理系研究生試開“自然科學(xué)的哲學(xué)問題”課程，課程由若干講座組成，郝柏林先生的這篇文章《牛頓力學(xué)三百年》是的這些講座中的一個。根據(jù)郝先生自己的說法，他的講座實際完成在1986年。1987年郝先生在《科學(xué)》上發(fā)表了這個講座的文章版本，和1988年收錄進(jìn)入文集《人·自然·社會》時的版本稍有不同。重印此文時，我們以文集中的版本為準(zhǔn)，同時參考了《科學(xué)》上的版本。

作者簡介: 郝柏林，中國科學(xué)院理論物理研究所研究員。

引文格式: 郝柏林. 牛頓力學(xué)三百年[J]. 物理與工程，2026：網(wǎng)絡(luò)首發(fā).

Cite this article: HAO B L. Three hundred years of Newtonian mechanics[J]. Physics and Engineering, 2026， 36（1）： online first. (in Chinese)

誠摯感謝鄭偉謀老師與劉全慧老師帶我們重溫經(jīng)典，并進(jìn)行精彩點播與編撰按語！