Compositional Neuroscience: Seeking a New Languagefor Brain Circuits with Monoids, Functors, and Operads

組合神經(jīng)科學(xué)：借幺半群、函子與操作子探索腦回路新語言

https://www.researchgate.net/profile/Debi-Prasad-Ghosh/publication/391439657_Compositional_Neuroscience_Seeking_a_New_Language_for_Brain_Circuits_with_Monoids_Functors_and_Operads/links/6817a446df0e3f544f51de69/Compositional-Neuroscience-Seeking-a-New-Language-for-Brain-Circuits-with-Monoids-Functors-and-Operads.pdf

摘要：

對(duì)大腦復(fù)雜的多尺度架構(gòu)進(jìn)行建模，需要一種形式化語言，以捕捉多樣的神經(jīng)成分如何組合成功能回路。當(dāng)前方法通常缺乏這種嚴(yán)格的組合結(jié)構(gòu)。我們引入了一種用于組合神經(jīng)科學(xué)的操作子演算，這是一個(gè)基于范疇論的框架，提供了這樣一種語言。

我們將皮層微柱建模為幺半群對(duì)象（范疇 M），以捕捉其內(nèi)部代數(shù)結(jié)構(gòu)，并將皮層下模塊建模為對(duì)象（范疇 S）。函子描述它們之間基本的保結(jié)構(gòu)投影。更豐富的皮層 - 皮層下相互作用，如預(yù)測(cè)編碼、基底節(jié)門控、海馬重放和神經(jīng)調(diào)節(jié)，通過伴隨、單子、雙函子和自然變換進(jìn)行形式化?？蚣艿暮诵氖沁B線圖操作子（W）；其圖提供了組合組件的形式語法，而 W-代數(shù)將這些圖映射到具體的復(fù)合神經(jīng)過程，保證指定代數(shù)語義（例如，幺半群/單子律）的保持。因此，該演算使得系統(tǒng)構(gòu)建具有完整性形式保證的復(fù)雜、異構(gòu)回路模型成為可能，促進(jìn)了模塊化以及對(duì)大規(guī)模腦架構(gòu)的嚴(yán)格推理。我們概述了使用富化范疇和動(dòng)態(tài)操作子的關(guān)鍵擴(kuò)展，以納入動(dòng)力學(xué)和可塑性，并討論了通往實(shí)證驗(yàn)證的途徑，旨在為神經(jīng)科學(xué)提供一種全面且可計(jì)算的組合語言。

1 引言

哺乳動(dòng)物大腦展現(xiàn)出非凡的計(jì)算能力，涌現(xiàn)自廣闊的新皮質(zhì)層與眾多皮層下核團(tuán)之間復(fù)雜的相互作用，包括丘腦、基底節(jié)、小腦和海馬體。理解這些成分如何協(xié)調(diào)感知、行動(dòng)、學(xué)習(xí)和記憶，需要模型不僅能捕捉連接性和動(dòng)力學(xué)，還能捕捉神經(jīng)計(jì)算的組合性質(zhì)——即局部處理基元如何結(jié)合形成全局認(rèn)知功能。傳統(tǒng)方法雖然有價(jià)值，但往往不足。靜態(tài)圖論模型捕捉網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洌ǔ＝y(tǒng)一對(duì)待連接，掩蓋了功能差異 (Bullmore & Sporns, 2009)，而動(dòng)力系統(tǒng)模型描述群體活動(dòng)，但難以表達(dá)不同的計(jì)算回路如何在相互作用中組合或保持結(jié)構(gòu) (Ashby, 1956)。迫切需要一種更抽象、基于形式化的語言，能夠描述功能多樣的腦回路如何由可重用組件構(gòu)建而成。

本文以組合神經(jīng)科學(xué)的操作子演算形式引入了這樣一種語言。我們利用范疇論的數(shù)學(xué)框架，特別是幺半群、函子和操作子的概念，為組裝神經(jīng)系統(tǒng)模型提供精確的語法和語義。我們提出，皮層微柱作為新皮質(zhì)的基本計(jì)算單元，可以有效地建模為合適范疇 M 內(nèi)稱為幺半群對(duì)象的代數(shù)結(jié)構(gòu)，以捕捉其內(nèi)部遞歸處理邏輯。皮層下核團(tuán)類似地被處理為不同范疇 S 內(nèi)的對(duì)象?；镜谋＝Y(jié)構(gòu)相互作用，如前饋投影或表示之間的映射，被形式化為函子。

在此基礎(chǔ)上，我們展示了更復(fù)雜的皮層 - 皮層下相互作用——通常被孤立研究——如何使用源自函子或通過函子相互作用的更豐富范疇結(jié)構(gòu)來表示：通過伴隨表示預(yù)測(cè)編碼回路（皮層 - 丘腦），通過單子表示門控機(jī)制（基底節(jié)），通過余單子表示誤差校正信號(hào)（小腦），通過雙函子表示記憶重放（海馬體），以及通過自然變換表示全局增益控制（神經(jīng)調(diào)節(jié)）。核心貢獻(xiàn)是引入了操作子演算，具體使用連線圖操作子（Spivak, 2013），它提供了將這些異構(gòu)組件（幺半群、函子、單子等）組合成更大、功能整合回路的形式規(guī)則，同時(shí)嚴(yán)格保持其底層代數(shù)屬性。這種方法將焦點(diǎn)從個(gè)別回路的定制模型轉(zhuǎn)移到通用的組合框架，為腦架構(gòu)提供了一種新視角，即視為由數(shù)學(xué)定義明確的模塊構(gòu)建的結(jié)構(gòu)化、分層系統(tǒng)。

1.1 文獻(xiàn)綜述

我們的提案建立在此基礎(chǔ)上，并尋求整合幾條不同的研究線索：

? 圖論與動(dòng)力學(xué)模型：網(wǎng)絡(luò)神經(jīng)科學(xué)已成功利用圖論揭示腦連接中的結(jié)構(gòu)和功能特性，如樞紐和模塊 (Bullmore & Sporns, 2009 [13]; Guye et al., 2010 [32]; Vecchio et al., 2016 [64])。動(dòng)力系統(tǒng)理論提供了分析神經(jīng)群體活動(dòng)模式的工具，從單個(gè)神經(jīng)元到網(wǎng)絡(luò)和認(rèn)知模型 (Coombes, 2005 [21]; Deco et al., 2008 [22])。然而，這些方法通常缺乏形式化機(jī)制來區(qū)分連接性或動(dòng)力學(xué)之外的不同類型的相互作用（例如，特定的處理基元，如神經(jīng)雪崩 - Beggs & Plenz, 2003 [7]），或指定功能組合的規(guī)則。

? 預(yù)測(cè)編碼與主動(dòng)推理：分層貝葉斯框架，包括預(yù)測(cè)編碼和主動(dòng)推理，通過預(yù)測(cè)誤差最小化或自由能最小化等原則對(duì)腦功能進(jìn)行建模，通常涉及互惠回路 (Friston et al., 2017 [28]; Pezzulo et al., 2024 [49])。雖然在解釋特定現(xiàn)象和提供過程理論方面功能強(qiáng)大（參見教程 Smith et al., 2022 [61]），但這些模型通常未嵌入更廣泛的組合語法中，無法將它們與門控或重放等其他不同回路進(jìn)行代數(shù)整合。最近的工作探索了主動(dòng)推理內(nèi)的結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí) (Friston et al., 2024 [24]; Neacsu et al., 2022 [48]; de Tinguy et al., 2025 [62]) 以及使用更形式化方法的結(jié)構(gòu)化主動(dòng)推理 (Smithe, 2024 [58])，這與組合建模的目標(biāo)一致。

? 基底節(jié)門控模型：計(jì)算模型描述了基底節(jié)在動(dòng)作選擇和門控信息流中的作用，通常基于其獨(dú)特的內(nèi)部解剖結(jié)構(gòu) (Gurney et al., 2001a [29]; Gurney et al., 2001b [29]; Redgrave et al., 2002 [54]; Baston & Ursino, 2014 [17]; Beiser et al., 1997 [18])。這些模型成功捕捉了特定的計(jì)算功能和動(dòng)力學(xué) (Humphries & Gurney, 2021 [33])，但通常缺乏一個(gè)通用代數(shù)框架，用于將此門控功能與其他類型的神經(jīng)計(jì)算模塊組合。

? 海馬重放：研究強(qiáng)調(diào)了海馬體通過在休息或睡眠期間重放神經(jīng)序列來鞏固記憶的作用 (Buzsáki, 2011 [12]; Foster & Wilson, 2006 [27]; Ambrose et al., 2016 [2])。重放的復(fù)雜性質(zhì)——涉及分布式模式、序列壓縮 (Roumi Al F et al., 2021 [52]; Roumi Al F et al., 2023 [53]) 和上下文依賴的調(diào)節(jié) (Ambrose et al., 2016 [2])——使其整合到形式組合模型中具有挑戰(zhàn)性，盡管存在計(jì)算和機(jī)器人模型 (Molter et al., 2006 [46]; Whelan et al., 2021 [65])。

? 范疇論與組合方法：人們?cè)絹碓接信d趣應(yīng)用范疇論 (Awodey, 2010 [5]; Leinster, 2016 [43]; Fong & Spivak, 2018 [26]; Iordache, 2011 [35]; Borceux, 1994 [10]) 和相關(guān)的組合數(shù)學(xué)如余代數(shù) (Jacobs, 2016 [39]; Frank et al., 2022 [25]; Lee & Lee, 2020 [44]; Teatro et al., 2022 [63]) 來建模復(fù)雜系統(tǒng)，包括馬爾可夫過程 (Baez & Fong, 2016 [6])、信號(hào)流圖 (Bonchi et al., 2014 [9])，以及可能分離控制/數(shù)據(jù)流 (Arellanes, 2023 [3])。操作子 (Arity, 2002 [4])，特別是連線圖操作子（由 Spivak 概念性引入并在 Fong & Spivak, 2018 [26] 等作品中詳細(xì)說明），為組合具有類型接口的系統(tǒng)提供了形式化語言。此外，富化范疇論 (Kelly, 1982 [40]; Johnstone, 1982 [37]; Borceux & Stubbe, 2000 [16]; Stubbe, 2014 [59]) 提供了納入動(dòng)力學(xué)和定量結(jié)構(gòu)的工具。雙函子（分布子）提供了一種處理關(guān)系結(jié)構(gòu)的方法 (Bénabou, 1973 [8])。我們的工作旨在將這些線索綜合成一個(gè)專為組合神經(jīng)科學(xué)量身定制的綜合操作子演算。

1.2 本文貢獻(xiàn) 本文做出以下具體貢獻(xiàn)：

1. 皮層幺半群模型：將單個(gè)皮層微柱形式化為范疇 M 中的幺半群對(duì)象，以代數(shù)方式捕捉其內(nèi)部計(jì)算結(jié)構(gòu)。
2. 皮層下范疇：定義一個(gè)范疇 S，其對(duì)象代表多樣的皮層下模塊（丘腦、基底節(jié)、小腦、海馬體）。
3. 函子與高階映射：使用函子建?；镜谋＝Y(jié)構(gòu)投影，并使用導(dǎo)出的范疇結(jié)構(gòu)（伴隨、單子、余單子、雙函子、自然變換）形式化關(guān)鍵的皮層 - 皮層下相互作用（預(yù)測(cè)編碼、門控、細(xì)化、重放、神經(jīng)調(diào)節(jié)）。
4. 用于組合的操作子演算：引入連線圖操作子的使用，作為一種形式演算，用于將這些多樣的神經(jīng)模塊（由幺半群、函子、單子等表示）組合成更大的回路，同時(shí)保證保持其代數(shù)語義。
5. 橋接抽象與生物學(xué)：概述了豐富范疇框架以納入真實(shí)動(dòng)力學(xué)（通過富化范疇）的途徑，并提出了利用大規(guī)模神經(jīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證驗(yàn)證和模型擬合的方向。

1.3 論文結(jié)構(gòu)

本文組織如下：

? 第 2 節(jié)：回顧范疇論預(yù)備知識(shí)（范疇、函子、幺半范疇），并引入皮層微柱幺半群模型，定義范疇 M。

? 第 3 節(jié)：定義皮層下模塊的范疇 S 及其用于并行組合的幺半結(jié)構(gòu)。

? 第 4 節(jié)：開發(fā) M 與 S 之間的函子映射，引入伴隨函子用于皮層 - 丘腦預(yù)測(cè)編碼，并使用單子形式化基底節(jié)門控。

? 第 5 節(jié)：展示雙函子（由函子構(gòu)建）如何捕捉海馬重放，以及自然變換（函子之間的變換）如何建模神經(jīng)調(diào)節(jié)。

? 第 6 節(jié)：呈現(xiàn)核心的操作子演算，展示 Spivak 的連線圖如何為組合先前定義的范疇模塊提供形式語法。

? 第 7 節(jié)：討論用動(dòng)力學(xué)和可塑性豐富框架的策略（例如，使用富化范疇、動(dòng)態(tài)操作子），并概述實(shí)證擬合與驗(yàn)證的方法。

? 第 8 節(jié)：總結(jié)該操作子演算對(duì)組合神經(jīng)科學(xué)的意義，并概述未來研究的關(guān)鍵方向。

1. 范疇論預(yù)備知識(shí)與皮層微柱幺半群模型

本節(jié)首先回顧來自范疇論的基礎(chǔ)概念——具體為范疇、函子、幺半范疇和幺半群對(duì)象——它們構(gòu)成了我們框架的數(shù)學(xué)基石。隨后我們引入模型的第一個(gè)核心組件：將單個(gè)皮層微柱形式化為合適幺半范疇內(nèi)的幺半群對(duì)象，并定義包含這些結(jié)構(gòu)的范疇 M。

2.1 范疇論預(yù)備知識(shí)

我們首先回顧標(biāo)準(zhǔn)定義（參見 Mac Lane, 1998; Awodey, 2010; Leinster, 2016 以獲得全面論述）。

范疇 (Categories)范疇 C 由一組對(duì)象（記作 A, B, C, ...）和一組態(tài)射（或箭頭，記作 f, g, h, ...）組成。每個(gè)態(tài)射 f 都有一個(gè)源對(duì)象A 和一個(gè)目標(biāo)對(duì)象B，記作 f: A→B。對(duì)于任意三個(gè)對(duì)象 A, B, C，存在一個(gè)復(fù)合運(yùn)算°，使得對(duì)于任意 f: A→B 和 g: B→C，它們的復(fù)合 g ° f 是從 A 到 C 的態(tài)射。復(fù)合必須是結(jié)合的：h ° (g ° f) = (h ° g) ° f（當(dāng)復(fù)合有定義時(shí)）。此外，對(duì)于每個(gè)對(duì)象 A，存在一個(gè)恒等態(tài)射id?: A→A，使得對(duì)于任意 f: A→B 和 g: C→A，都有 f ° id? = f 和 id? ° g = g。我們將范疇 C 中從 A 到 B 的所有態(tài)射集合記為 Hom?(A, B)。

函子 (Functors)函子 F: C→D 是兩個(gè)范疇 C 和 D 之間的保持結(jié)構(gòu)的映射。它將范疇 C 中的每個(gè)對(duì)象 A 映射到范疇 D 中的對(duì)象 F(A)，將范疇 C 中的每個(gè)態(tài)射 f: A→B 映射到范疇 D 中的態(tài)射 F(f): F(A)→F(B)。這種映射必須保持恒等性（對(duì)所有 C 中的對(duì)象 A，有 F(id?) = id_F(A)）和復(fù)合性（對(duì)所有 C 中可復(fù)合的態(tài)射 f, g，有 F(g ° f) = F(g) ° F(f)）。函子是關(guān)聯(lián)不同范疇同時(shí)尊重其內(nèi)在結(jié)構(gòu)的基本映射。

幺半范疇 (Monoidal Categories)幺半范疇是配備了用于組合對(duì)象的附加結(jié)構(gòu)的范疇 C。形式上，它由一個(gè)范疇 C、一個(gè)張量積雙函子 ?: C×C→C、一個(gè)單位對(duì)象I ∈ Ob(C)，以及稱為結(jié)合子（α?, B, C: (A?B) ?C ? A? (B?C)）、左單位子（λ?: I?A ? A）和右單位子（ρ?: A?I ? A）的自然同構(gòu)組成。這些同構(gòu)必須滿足某些一致性條件（Mac Lane 的五邊形和三角形恒等式），確保使用 ? 和 I 組合多個(gè)對(duì)象的不同方式是規(guī)范等價(jià)的。幺半范疇為"張量"或組合元素的操作（如集合范疇Set中的笛卡爾積，或向量空間范疇Vect中的張量積）提供了一個(gè)一般性框架。

幺半對(duì)象 (Monoid Objects)在任何幺半范疇 (C, ?, I) 中，可以內(nèi)部定義代數(shù)結(jié)構(gòu)。一個(gè)幺半對(duì)象（或內(nèi)部幺半群）由一個(gè)對(duì)象 M ∈ Ob(C) 和兩個(gè)態(tài)射組成：一個(gè)乘法μ: M?M→M 和一個(gè)單位η: I→M。這些態(tài)射必須滿足幺半群公理的內(nèi)部版本：

• 結(jié)合性

• 單位性

一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)幺半群（例如，整數(shù)在加法下）正是幺半范疇 (Set, ×, {}) 中的一個(gè)幺半對(duì)象，其中 × 是笛卡爾積，{} 是單元素集。

2.2 將微柱建模為幺半群對(duì)象

新皮層被組織成垂直結(jié)構(gòu)，跨越其各層，特別是在許多感覺和聯(lián)合區(qū)域，被稱為皮層柱和微柱 (Mountcastle, 1997)。一個(gè)微柱通常由 80-120 個(gè)神經(jīng)元組成，表現(xiàn)出密集的內(nèi)部連接，通常被視為一個(gè)基本計(jì)算單元，根據(jù)其內(nèi)部狀態(tài)和遞歸動(dòng)力學(xué)對(duì)其輸入執(zhí)行變換 (Buxhoeveden & Casanova, 2002; Douglas & Martin, 2004)。

我們提議通過將其建模為合適的基礎(chǔ)幺半范疇內(nèi)的幺半群對(duì)象 (M, μ, η) 來捕捉微柱內(nèi)部處理的基本代數(shù)結(jié)構(gòu)，我們將該范疇記為 Cstate。Cstate 的選擇取決于所需的細(xì)節(jié)水平（例如，對(duì)于離散狀態(tài)可以是 Set，對(duì)于拓?fù)錉顟B(tài)空間可以是 Top，或者動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)范疇）；目前，我們僅要求它是幺半的。

? 對(duì)象 M ∈ Ob(Cstate) 代表微柱的狀態(tài)空間（例如，可能神經(jīng)活動(dòng)模式的集合或空間）。

? 乘法態(tài)射 μ: M?M→M 代表內(nèi)部變換的組合或微柱狀態(tài)隨時(shí)間的演變。張量積 M?M 代表一種組合狀態(tài)信息的方式（例如，當(dāng)前狀態(tài)和輸入，或時(shí)間 t 的狀態(tài)和時(shí)間 t+1 的狀態(tài)以產(chǎn)生 t+2 的狀態(tài)）。結(jié)合律公理 (μ ° (μ ? idM) = μ ° (idM?μ) ° α) 確保這些內(nèi)部動(dòng)力學(xué)的順序組合表現(xiàn)一致。

? 單位態(tài)射 η: I→M 代表一個(gè)恒等變換或中性/基線狀態(tài)。它挑選出 M 中的元素（或從單位對(duì)象 I 映射），該元素作為組合 μ 的中性元素。單位律公理確保與恒等變換組合沒有效果。

這種幺半群對(duì)象形式化抽象掉了具體的生物物理細(xì)節(jié)（如脈沖計(jì)時(shí)或神經(jīng)遞質(zhì)類型），以專注于微柱內(nèi)部計(jì)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)——即操作序列或狀態(tài)轉(zhuǎn)換如何以結(jié)合方式組合。

2.3 微柱范疇 (M)

在將單個(gè)微柱定義為幺半群對(duì)象之后，我們將它們組裝成一個(gè)范疇，記為M。該范疇將新皮層表示為一組相互作用的計(jì)算單元的集合。

總之，范疇M為新皮層提供了一種形式化表示，將其視為由計(jì)算結(jié)構(gòu)化單元（幺半群對(duì)象）組成的網(wǎng)絡(luò)，這些單元通過尊重該結(jié)構(gòu)的通路（幺半群同態(tài)）連接。這為我們將在后續(xù)章節(jié)中構(gòu)建與皮層下系統(tǒng)相互作用的模型奠定了基礎(chǔ)。

1. 皮層下模塊范疇 S 及其幺半結(jié)構(gòu)

在定義了代表皮層片層的范疇 M 之后，我們現(xiàn)在引入第二個(gè)范疇 S，用以容納與皮層相互作用的多樣皮層下結(jié)構(gòu)。大腦的一個(gè)關(guān)鍵架構(gòu)特征是多個(gè)不同皮層下回路的并行運(yùn)作。為了形式化地捕捉這種并行性，我們?yōu)?S 配備了幺半范疇的結(jié)構(gòu)，使我們能夠表示獨(dú)立皮層下處理通路的組合。

3.1 幺半范疇 S

我們將 S = (Ob(S), Hom_S, ?, I) 定義為一個(gè)幺半范疇，其中：

• 對(duì)象 (Ob(S))：S 的對(duì)象代表單個(gè)皮層下模塊、核團(tuán)或定義的處理通道。這些是與皮層范疇 M 相互作用的基礎(chǔ)皮層下組件。示例包括特定的丘腦核團(tuán)（例如，外側(cè)膝狀體 - LGN，內(nèi)側(cè)膝狀體 - MGN，腹外側(cè)核 - VL），參與基底節(jié)回路的組件（例如，紋狀體中等多棘神經(jīng)元群，蒼白球內(nèi)/外節(jié) - GPi/GPe，黑質(zhì)網(wǎng)狀部 - SNr），小腦微區(qū)或復(fù)合體，海馬亞區(qū)或集合（例如，參與重放的 CA1、CA3 區(qū)域），以及關(guān)鍵的神經(jīng)調(diào)節(jié)中心（例如，去甲腎上腺素的藍(lán)斑 - LC，多巴胺的腹側(cè)被蓋區(qū) - VTA，乙酰膽堿的基底前腦核團(tuán)）。
• 態(tài)射 (Hom_S(X, Y))：S 內(nèi)的態(tài)射代表皮層下系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)保持變換或處理步驟。例如，一個(gè)態(tài)射可以代表發(fā)生在特定丘腦核團(tuán)內(nèi)的信號(hào)變換，或者是連接基底節(jié)回路內(nèi)兩個(gè)階段的通路，這兩個(gè)階段都被視為 S 的一部分。這些態(tài)射的確切性質(zhì)取決于為皮層下對(duì)象的內(nèi)部動(dòng)力學(xué)所選擇的抽象層次（例如，狀態(tài)空間之間的映射，保持動(dòng)力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的變換）。
• 張量積 (?: S×S→S)：雙函子 ? 定義了 S 中的幺半積。至關(guān)重要的是，我們將 X?Y 解釋為兩個(gè)獨(dú)立皮層下模塊 X 和 Y 的并行組合。這使我們能夠形式化地表示多個(gè)不同皮層下通路并發(fā)運(yùn)作的系統(tǒng)。例如，通過丘腦的并行處理流（例如，LGN ? MGN 代表并行的視覺和聽覺中繼），同時(shí)運(yùn)作的不同皮層 - 基底節(jié)回路，或有助于運(yùn)動(dòng)控制的多個(gè)小腦微區(qū)，都可以使用 ? 積進(jìn)行建模。
• 單位對(duì)象 (I)：幺半單位 I 是 S 中的一個(gè)對(duì)象，代表一個(gè)“空”或恒等模塊。它充當(dāng)張量積的中性元素，使得 X?IX≌I?X。這可能代表特定皮層下通路的缺失，或者一條沒有效應(yīng)的通路。

正如幺半范疇所要求的，張量積 ? 配備了用于結(jié)合律（結(jié)合子 α）和單位律（單位子 λ, ρ）的自然同構(gòu)，這些同構(gòu)滿足 Mac Lane 相容性條件 (Mac Lane, 1998)。這確保了由 ? 定義的并行組合在數(shù)學(xué)上是一致的，無論模塊如何分組。

3.2 皮層下模塊示例（S 中的對(duì)象）

定義 S 的力量在于其能夠在單一范疇框架內(nèi)容納多樣的功能模塊。以下是對(duì)駐留在 S 中的對(duì)象類型的簡(jiǎn)要描述，這預(yù)示了它們與 M 的特定交互模式（將在后續(xù)章節(jié)中詳述）：

• 丘腦中繼模塊 (Thalamic Relay Modules)：像 LGN（外側(cè)膝狀體）、MGN（內(nèi)側(cè)膝狀體）、VL（腹外側(cè)核）這樣的對(duì)象代表丘腦核團(tuán)。它們是感覺信息的關(guān)鍵中繼，并參與皮層 - 丘腦回路，實(shí)現(xiàn)如預(yù)測(cè)編碼等功能 (Sherman & Guillery, 2002)。它們與 M 的交互將使用伴隨函子形式化。
• 基底節(jié)通道 (Basal Ganglia Channels)：代表基底節(jié)回路組件（例如，特定紋狀體群，GPi/SNr 輸出核團(tuán)）的對(duì)象駐留在 S 中。這些回路涉及動(dòng)作選擇、門控和強(qiáng)化學(xué)習(xí) (Gurney et al., 2001; Mink, 1996)。它們對(duì) M 中皮層處理的影響將通過單子 (monads) 捕捉。
• 小腦微區(qū) (Cerebellar Microzones)：代表小腦模塊化計(jì)算單元（例如，浦肯野細(xì)胞 - 深部小腦核團(tuán)回路）的對(duì)象屬于 S。這些涉及運(yùn)動(dòng)控制、計(jì)時(shí)、預(yù)測(cè)和誤差校正 (Ito, 2006; Popa et al., 2016)。它們?cè)诰?xì)化皮層指令中的作用將使用余單子 (comonads) 建模。
• 海馬集合體 (Hippocampal Ensembles)：對(duì)應(yīng)于參與記憶形成、鞏固和檢索的特定海馬回路或細(xì)胞集合（例如，CA3 遞歸網(wǎng)絡(luò)，CA1 輸出階段）的對(duì)象被放置在 S 中。它們?cè)谛蛄兄胤乓约皩⒂洃浐圹E映射到皮層模式中的功能將使用雙函子 (profunctors) 形式化。
• 神經(jīng)調(diào)節(jié)中心 (Neuromodulatory Centers)：像藍(lán)斑 (LC)、腹側(cè)被蓋區(qū) (VTA) 或基底前腦這樣的對(duì)象代表彌散神經(jīng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的源核團(tuán)。這些對(duì)腦狀態(tài)、可塑性和增益施加全局影響 (Aston-Jones & Cohen, 2005)。它們跨 M 的統(tǒng)一作用將通過自然變換建模。

本質(zhì)上，范疇 S 充當(dāng)多樣皮層下處理模塊的結(jié)構(gòu)化存儲(chǔ)庫(kù)。通過將其定義為幺半范疇，我們通過張量積 ? 明確納入了并行處理的能力。將這些功能各異的模塊置于單一范疇框架 S 中，是構(gòu)建皮層 - 皮層下相互作用的統(tǒng)一、組合模型的第二步基礎(chǔ)步驟（在定義 M 之后）。接下來的章節(jié)將詳細(xì)闡述定義皮層范疇 M 和皮層下范疇 S 之間交互的特定范疇構(gòu)造（函子、伴隨、單子、余單子、雙函子、自然變換）。

1. 皮層-皮層下相互作用中的函子映射、伴隨與單子

在建立了范疇 M（皮層微柱幺半群）和 S（皮層下模塊）之后，我們現(xiàn)在利用基礎(chǔ)范疇構(gòu)造定義它們之間的主要相互作用模式。本節(jié)展開使用函子進(jìn)行基本的保結(jié)構(gòu)投影，引入伴隨函子對(duì)皮層與丘腦之間預(yù)測(cè)編碼背后的互惠回路進(jìn)行建模，并使用單子形式化基底節(jié)門控的計(jì)算效應(yīng)。

4.1 函子映射：基本投影

在范疇之間映射結(jié)構(gòu)的最基本方式是通過函子。一個(gè)函子F: M→S 將每個(gè)皮層微柱（幺半群對(duì)象）M∈M 映射到一個(gè)特定的皮層下模塊 F(M)∈S，并將 M 中的每個(gè)柱間投影（幺半群同態(tài)）f: M?→M? 映射到 S 中對(duì)應(yīng)的保結(jié)構(gòu)變換 F(f): F(M?)→F(M?)。根據(jù)定義，函子保持恒等態(tài)射和復(fù)合（F(id_M) = id_F(M) 且 F(g ° f) = F(g) ° F(f)）。

• 神經(jīng)生物學(xué)解釋：此類函子模擬了從皮層到皮層下（或者對(duì)于函子 G: S→M 則是反之亦然）的單向通路，這些通路嚴(yán)格保持組合結(jié)構(gòu)。例如，從廣泛皮層區(qū)域到腦橋核（小腦的主要輸入階段）的投影，或者從運(yùn)動(dòng)皮層到特定基底節(jié)輸入結(jié)構(gòu)的投影，可以建模為函子 F: M→S。函子性（Functoriality）保證了跨皮層柱的處理序列和結(jié)構(gòu)被忠實(shí)地轉(zhuǎn)換（翻譯）為目標(biāo)皮層下結(jié)構(gòu)內(nèi)的對(duì)應(yīng)序列。這比簡(jiǎn)單的連接圖提供了更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拿枋觯_保計(jì)算連貫性在接口處得以維持。

4.2 用于皮層-丘腦回路的伴隨函子（預(yù)測(cè)編碼）

許多關(guān)鍵的腦功能依賴于皮層與皮層下結(jié)構(gòu)之間的雙向通信。例如，預(yù)測(cè)編碼理論假設(shè)皮層區(qū)域與丘腦中繼之間存在一種互惠交換，以最小化預(yù)測(cè)誤差 (Friston, 2010; Rao & Ballard, 1999)。這種雙向、互補(bǔ)的關(guān)系被伴隨 (adjunction)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)自然地捕捉。

M 與 S 之間的一個(gè)伴隨由一對(duì)函子組成：F: M→S（左伴隨）和 G: S→M（右伴隨），記作 F ? G。這對(duì)函子伴隨著一個(gè)自然同構(gòu)，該同構(gòu)將 S 中從 F(M) 出發(fā)的映射與 M 中進(jìn)入 G(S) 的映射聯(lián)系起來：對(duì)于所有 M∈M 和 S∈S，有 Hom_S(F(M), S) ? Hom_M(M, G(S))。等價(jià)地，伴隨可以通過稱為單位 (unit)η: Id_M ? GF 和余單位 (counit)ε: FG ? Id_S 的自然變換來定義，它們必須滿足三角形恒等式 (triangle identities)以確保其相容性 (Mac Lane, 1998)。

• 神經(jīng)生物學(xué)解釋（預(yù)測(cè)編碼）：我們?cè)谄?丘腦相互作用的背景下將 F ? G 伴隨解釋如下：
• • F: M→S 代表從皮層區(qū)域 (M) 到對(duì)應(yīng)丘腦中繼核 (S，具體為 F(M)) 的“自上而下”投射。該通路從皮層向丘腦傳遞預(yù)測(cè)、先驗(yàn)或語境。
  • G: S→M 代表從丘腦核 (S) 返回皮層區(qū)域（具體為 G(S)）的“自下而上”投射。該通路傳遞感覺證據(jù)，或者在預(yù)測(cè)編碼框架中，傳遞預(yù)測(cè)誤差（即自上而下的預(yù)測(cè)與自下而上的感覺數(shù)據(jù)之間的不匹配）。
  • 自然同構(gòu)捕捉了預(yù)測(cè)處理中固有的對(duì)偶性：評(píng)估皮層預(yù)測(cè) M 與丘腦狀態(tài) S 之間的匹配度（通過態(tài)射 F(M)→S）等價(jià)于將皮層狀態(tài) M 映射到丘腦狀態(tài)的皮層表征 G(S)（通過態(tài)射 M→G(S)）。
  • 單位 η: M→G(F(M)) 將皮層狀態(tài)嵌入到完整的皮層-丘腦-皮層回路表征中。余單位 ε: F(G(S))→S 將丘腦-皮層-丘腦回路表征投影回丘腦狀態(tài)。滿足三角形恒等式對(duì)應(yīng)于自上而下預(yù)測(cè)和自下而上證據(jù)的有效協(xié)調(diào)，可能關(guān)聯(lián)到自由能最小化 (Friston, 2010)。

4.3 用于基底節(jié)門控的單子構(gòu)造

基底節(jié) (BG) 廣泛涉及動(dòng)作選擇、強(qiáng)化學(xué)習(xí)以及將信息“門控”進(jìn)入工作記憶或運(yùn)動(dòng)輸出通路 (O'Reilly & Frank, 2006; Gurney et al., 2001)。這種功能可以被概念化為一種調(diào)節(jié)或變換皮層處理的計(jì)算效應(yīng)。范疇論提供了單子 (monads)作為構(gòu)建此類效應(yīng)的典范方式。

范疇 M 上的一個(gè)單子由一個(gè)自函子 T: M→M 和兩個(gè)自然變換組成：單位 (unit)η: Id_M?T 和乘法 (multiplication)μ: T2→T（其中 T2 = T ° T）。這些必須滿足單子律（結(jié)合律和單位律）。關(guān)鍵在于，任何伴隨 F?G（其中 F: M→S, G: S→M）都會(huì)在 M 上誘導(dǎo)一個(gè)單子 (T, η, μ)，其中自函子是 T = G ° F，單子單位是伴隨單位 η: Id_M?GF，而乘法是從伴隨余單位 ε: FG ? Id_S 導(dǎo)出的，即 μ = GεF: GFGF?GF。

• 神經(jīng)生物學(xué)解釋（基底節(jié)門控）：我們將與 BG 相關(guān)的皮層 - 紋狀體 - 蒼白球 - 丘腦 - 皮層回路的效應(yīng)建模為皮層范疇 M 上的一個(gè)單子 T = G ° F。這里，F(xiàn): M→S_BG 概念上代表從皮層到 BG 輸入結(jié)構(gòu)（在 S 內(nèi)）的投影，而 G: S_BG→M 代表通過 BG 輸出核團(tuán)和丘腦返回皮層的回路。
• • T(M) = G(F(M)) 代表初始狀態(tài) M 經(jīng)過整個(gè) BG 回路處理后產(chǎn)生的皮層狀態(tài)。它是皮層表征的“門控”或“選擇”版本。
  • 單位 η: M→T(M) 將原始皮層狀態(tài) M 映射到其經(jīng) BG 處理后的表征 T(M)。這可以解釋為啟動(dòng)門控過程，將當(dāng)前的皮層計(jì)劃或表征發(fā)送到 BG 進(jìn)行評(píng)估。
  • 乘法 μ: T(T(M)) → T(M) 捕捉了門控效應(yīng)的組合性質(zhì)。T(T(M)) 代表連續(xù)兩次應(yīng)用 BG 處理回路。乘法 μ 確保這種迭代表現(xiàn)一致，本質(zhì)上陳述了一旦狀態(tài)通過 T 被門控或選擇，再次應(yīng)用門控過程 (T(T(M))) 會(huì)產(chǎn)生與第一次應(yīng)用 (T(M)) 相同的結(jié)果。它防止了冗余或失控的處理，并確保該效應(yīng)在結(jié)構(gòu)上是冪等的 (idempotent)
  • 涉及 BG 門控的計(jì)算可以形式化地描述為單子 T 的克萊斯利范疇 (Kleisli category)Kl(T) 中的態(tài)射。一個(gè)克萊斯利態(tài)射 f: M→T(N) 代表一個(gè)始于皮層狀態(tài) M 并終于狀態(tài) N 的過程，其中計(jì)算由 BG 門控效應(yīng) T 介導(dǎo)或影響。強(qiáng)化學(xué)習(xí)信號(hào)（如多巴胺）隨后可以被形式化為隨時(shí)間修改這些克萊斯利態(tài)射的機(jī)制。

本節(jié)確立了皮層范疇 M 與皮層下范疇 S 之間三種基本的相互作用模式?；镜?、保結(jié)構(gòu)的投影被建模為函子 (Functors)。雙向的、互補(bǔ)的回路（如預(yù)測(cè)編碼中的回路）由伴隨 (Adjunctions)捕捉。諸如門控和選擇之類的計(jì)算效應(yīng)（以基底節(jié)為例），是使用單子 (Monads)形式化的，這些單子通常直接從伴隨導(dǎo)出。這些構(gòu)造為我們范疇框架內(nèi)組裝更復(fù)雜的回路模型提供了初始構(gòu)建模塊。

1. 通過雙函子實(shí)現(xiàn)海馬重放與通過自然變換實(shí)現(xiàn)神經(jīng)調(diào)節(jié)

除了第 4 節(jié)描述的直系投影、反饋回路和門控機(jī)制之外，腦回路還表現(xiàn)出更復(fù)雜的相互作用模式。本節(jié)引入兩個(gè)進(jìn)一步的范疇概念來模擬此類現(xiàn)象：雙函子（profunctors），用于捕捉海馬記憶重放的關(guān)系結(jié)構(gòu)；以及自然變換（natural transformations），用于形式化神經(jīng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的全局、統(tǒng)一影響。

5.1 用于海馬重放的雙函子

海馬體在記憶鞏固中起著關(guān)鍵作用，部分是通過“重放”現(xiàn)象，即在休息或睡眠期間重新激活對(duì)應(yīng)于過去經(jīng)驗(yàn)的神經(jīng)活動(dòng)序列 (Buzsáki, 2011)。這一過程涉及分布式皮層表征（駐留在 M 中）與特定海馬神經(jīng)集合（S 中的對(duì)象 H）之間的復(fù)雜映射。重放可能涉及序列壓縮、時(shí)間反轉(zhuǎn)，并代表皮層特征與海馬序列表征之間的多對(duì)多關(guān)系 (Foster & Wilson, 2006; O'Neill et al., 2010)。簡(jiǎn)單的函子映射難以捕捉這種豐富的關(guān)系結(jié)構(gòu)。

雙函子（也稱為雙模 bimodules 或分配子 distributors）提供了合適的推廣。從 M 到 S 的雙函子 P 可以定義為一個(gè)函子 P: M^op × S → Set，其中 M^op 是 M 的反向范疇（態(tài)射反轉(zhuǎn)），Set 是集合范疇 (Bénabou, 1973; Borceux, 1994)。對(duì)于由皮層微柱 M∈M 和海馬集合 H∈S 組成的每一對(duì)，雙函子分配一個(gè)集合 P(M, H)。雖然與函子相關(guān)（每個(gè)函子 F: M→S 誘導(dǎo)雙函子），但雙函子更為通用，能夠捕捉兩個(gè)范疇對(duì)象之間任意的“關(guān)系”或“對(duì)應(yīng)”。

• 神經(jīng)生物學(xué)解釋（海馬重放）
• • 我們將集合 P(M, H) 解釋為特定重放事件的集合，這些事件將由微柱 M 代表的皮層狀態(tài)與海馬集合 H 內(nèi)的活動(dòng)或序列狀態(tài)聯(lián)系起來。它捕捉了皮層元素在海馬序列中特征化或被其觸發(fā)的多種可能性。
  • 對(duì) M 的反變依賴（P 是來自的函子）反映了重放事件如何可能通過索引或重構(gòu)過去目標(biāo)皮層狀態(tài) M 來發(fā)生。
  • 對(duì) S 的協(xié)變依賴反映了重放過程如何在海馬回路 H 內(nèi)部向前演變。
  • 雙函子復(fù)合，通過共端公式定義，提供了一種對(duì)跨中間海馬狀態(tài) (H) 的重放序列進(jìn)行鏈?zhǔn)竭B接或串聯(lián)進(jìn)行建模的方法。這種組合性可能提供一個(gè)抽象的抓手，用于理解碎片化記憶如何鏈接，或時(shí)間壓縮如何通過結(jié)構(gòu)化轉(zhuǎn)換產(chǎn)生。

• 雙函子的關(guān)系本質(zhì)自然地適應(yīng)了記憶編碼和檢索期間觀察到的皮層與海馬體之間的多對(duì)多映射。

5.2 用于神經(jīng)調(diào)節(jié)的自然變換

神經(jīng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)，如去甲腎上腺素 (NA)、多巴胺 (DA)、乙酰膽堿 (ACh) 和 5-羥色胺 (5-HT)，起源于相對(duì)較小的皮層下核團(tuán)（表示為 S 中的對(duì)象，例如藍(lán)斑、VTA、基底前腦），但進(jìn)行彌散性投射，對(duì)皮層 (M) 和皮層下 (S) 的處理施加廣泛影響。它們的效應(yīng)通常被表征為增益、可塑性、喚醒或注意的全局變化，以相對(duì)統(tǒng)一的方式修改目標(biāo)回路的計(jì)算屬性 (Aston-Jones & Cohen, 2005; Waterhouse & Navarra, 2019)。

本節(jié)介紹了預(yù)函子（profunctors）作為一種工具，用于建模海馬重放（hippocampal replay）等過程中固有的復(fù)雜關(guān)系映射，超越了簡(jiǎn)單的函數(shù)映射。它還引入了自然變換作為描述皮層處理上全局的、結(jié)構(gòu)保持的神經(jīng)調(diào)節(jié)效應(yīng)的精確范疇論機(jī)制。這些補(bǔ)充進(jìn)一步增強(qiáng)了我們要用范疇論語言描述大腦功能和相互作用的多樣方面的表達(dá)能力。

1. 算子演算：通過接線圖進(jìn)行組合

第 2 節(jié)至第 5 節(jié)介紹了一系列范疇結(jié)構(gòu)，用于表示神經(jīng)組件（作為 M 中幺半群（Monoids）的皮層微柱，作為 S 中對(duì)象（objects）的皮層下模塊）以及它們多樣的交互模式（函子、伴隨、單子、余單子、預(yù)函子、自然變換）。然而，迄今為止缺失的一個(gè)關(guān)鍵要素是一個(gè)形式化機(jī)制，用于將這些異質(zhì)的部分組合成更大的、整合的腦回路模型。我們?nèi)绾蜗到y(tǒng)地將一個(gè)皮層區(qū)域、一個(gè)基底核門控回路、一個(gè)丘腦中繼以及可能的小腦調(diào)節(jié)連接在一起，同時(shí)確保生成的系統(tǒng)根據(jù)其各部分定義的代數(shù)性質(zhì)連貫地運(yùn)行？

本節(jié)介紹了我們方法的核心組合框架：一個(gè)基于算子（operads）數(shù)學(xué)理論的算子演算（Operadic Calculus）。具體來說，我們利用 David Spivak 的接線圖算子（W）來提供一種形式化的圖形語法或句法，用于從先前定義的范疇模塊構(gòu)建復(fù)雜的神經(jīng)系統(tǒng)。該演算確保組合尊重類型并保留組件的代數(shù)語義。

6.1 接線圖算子 (W)

傳統(tǒng)的范疇組合（通過 ° °）通常處理順序處理。為了對(duì)電路的并發(fā)和多接口特性進(jìn)行建?！谶@些電路中，組件可以擁有多個(gè)輸入和輸出，并以復(fù)雜的方式連接——我們采用了算子（operads）。算子是一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，專門設(shè)計(jì)用于形式化具有多個(gè)輸入（元數(shù)，Arity, 2002; Leinster, 2003）的運(yùn)算的組合規(guī)則。Spivak 的接線圖算子，記為 W，提供了一個(gè)特別直觀的框架 (Spivak, 2013)。

• 類型/對(duì)象 (Types/Objects)：W 中的“類型”對(duì)應(yīng)于接口 (interfaces)，即類型化輸入和輸出端口的集合（例如，“一個(gè)類型為‘皮層狀態(tài)’的輸入，一個(gè)類型為‘門控皮層狀態(tài)’的輸出”）。
• 運(yùn)算/態(tài)射 (Operations/Morphisms)：W 中的“運(yùn)算”就是接線圖 (wiring diagrams)本身。接線圖可以可視化為一個(gè)帶有外部接口（即其整體輸入和輸出）的方框。在方框內(nèi)部，較小的組件方框相互連接：一些內(nèi)部方框的輸出被連接到其他方框的輸入，而一些輸入/輸出則連接到外部接口。這些圖可以分層嵌套。
• 算子組合 (Operadic Composition)：W 中的組合對(duì)應(yīng)于將一個(gè)接線圖代入 (substituting)到另一個(gè)接線圖的指定內(nèi)部組件方框（一個(gè)“插槽”或 slot）中。這種運(yùn)算自然地反映了將預(yù)建的電路模塊插入到更大的系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的過程。

因此，算子 W 形式化了科學(xué)家和工程師通常非正式地用來描述復(fù)雜系統(tǒng)的圖形語言，確保了接口的一致性，并為分層組合提供了嚴(yán)格的基礎(chǔ) (Fong & Spivak, 2018; Yau, 2015)。

6.2 作為接線圖算子代數(shù)的神經(jīng)模塊

算子 W 提供的抽象語法通過代數(shù)（algebra）的概念獲得了具體含義?；懂?C 上的 W 代數(shù)是一個(gè)映射，它在 C 內(nèi)部解釋算子的元素。它指派（assigns）：

• 將 C 中的一個(gè)對(duì)象指派給 W 中定義的每個(gè)接口類型。
• 將 C 中的一個(gè)態(tài)射指派給 W 中的每個(gè)接線圖（運(yùn)算）。

關(guān)鍵在于，這個(gè)映射必須是保持結(jié)構(gòu)（structure-preserving）的：W 中接線圖的組合必須精確對(duì)應(yīng)于基范疇 C 中它們對(duì)應(yīng)態(tài)射的組合。

在我們的框架中，前幾節(jié)定義的范疇結(jié)構(gòu)構(gòu)成了 W 的一個(gè)代數(shù)。

這種方法的根本優(yōu)勢(shì)在于保證的組合完整性（guaranteed compositional integrity）。因?yàn)閺?W 到我們的范疇語義的映射是一個(gè)代數(shù)，所以通過接線圖組合模塊的行為自動(dòng)確保了生成的復(fù)合系統(tǒng)尊重為各個(gè)組件定義的所有底層代數(shù)定律（幺半群結(jié)合律、函子性、單子律、自然性條件）。該算子提供了正確管理復(fù)雜交互所需的形式化記錄（formal bookkeeping）。

6.3 組合示例：一個(gè)皮層-基底核-丘腦回路

考慮組裝一個(gè)簡(jiǎn)化的電路，涉及皮層處理、基底核門控以及隨后的丘腦/皮層交互。我們可以使用 W 中的接線圖來表示這一點(diǎn)：

算子演算允許我們系統(tǒng)地?cái)U(kuò)展這一點(diǎn)。我們可以插入一個(gè)并行作用的小腦余單子，或者添加一個(gè)代表影響圖中特定組件的神經(jīng)調(diào)節(jié)的自然變換。接線圖語法提供了這些連接必須如何建立的規(guī)則，而底層的算子代數(shù)保證了生成的復(fù)合物態(tài)射正確地反映了所有交互部分的組合語義。

通過接線圖算子 (W) 實(shí)現(xiàn)的算子演算，為我們的范疇框架提供了關(guān)鍵的組合粘合劑。它提供了一種形式化的語法，用于將由幺半群、函子、單子、余單子、預(yù)函子和自然變換表示的異質(zhì)神經(jīng)模塊組裝成復(fù)雜的、整合的腦回路模型。通過基于這些范疇結(jié)構(gòu)定義 W 的代數(shù)，我們確保了組合過程嚴(yán)格保留了每個(gè)組件指定的代數(shù)性質(zhì)和功能語義，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)復(fù)雜神經(jīng)系統(tǒng)的系統(tǒng)構(gòu)建和分析。該演算構(gòu)成了所提出的組合神經(jīng)科學(xué)新語言的核心。

1. 針對(duì)動(dòng)力學(xué)、可塑性和實(shí)證驗(yàn)證的豐富化

前面的章節(jié)已經(jīng)闡述了組合神經(jīng)科學(xué)的算子演算的形式句法和結(jié)構(gòu)，主要關(guān)注腦回路的靜態(tài)架構(gòu)和代數(shù)語義。然而，為了完全彌合這種抽象形式化與生物現(xiàn)實(shí)之間的差距，該框架必須納入處理動(dòng)力學(xué)、可塑性的機(jī)制，并實(shí)現(xiàn)針對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的實(shí)證驗(yàn)證。本節(jié)討論了這些關(guān)鍵擴(kuò)展的策略并概述了潛在的路徑。

7.1 針對(duì)真實(shí)神經(jīng)動(dòng)力學(xué)的豐富化

標(biāo)準(zhǔn)范疇論，通常隱式地基于集合范疇 (Set)，缺乏固有的結(jié)構(gòu)來充分表示連續(xù)時(shí)間、隨機(jī)性或神經(jīng)狀態(tài)空間相關(guān)的度量性質(zhì)。為了捕捉這些特征，我們可以采用豐富范疇論（Kelly, 1982）。這涉及用體現(xiàn)所需動(dòng)力學(xué)或定量性質(zhì)的更結(jié)構(gòu)化的幺半群范疇 V 來替換作為 Hom-對(duì)象（態(tài)射集合）基礎(chǔ)的范疇Set。

• 豐富化范疇 (V) 的選擇：
• • 對(duì)于連續(xù)性，在 V = Top（拓?fù)淇臻g）上的豐富化賦予了 Hom-對(duì)象拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，允許變換的收斂性和連續(xù)性的概念。
  • 對(duì)于隨機(jī)性，在 V = Meas（可測(cè)空間）或概率分布范疇上的豐富化允許對(duì)概率轉(zhuǎn)換和噪聲過程進(jìn)行建模。
  • 對(duì)于連續(xù)時(shí)間動(dòng)力學(xué)，在專門為微分方程或動(dòng)力系統(tǒng)設(shè)計(jì)的范疇上的豐富化，也許使用開放系統(tǒng)的余代數(shù)框架（Jacobs, 2016），允許將時(shí)間演化直接整合到范疇結(jié)構(gòu)中。多項(xiàng)式函子也提供了一個(gè)相關(guān)的途徑，用于以函子方式建模交互的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)（Schultz, et al. 2020）。
  • 對(duì)于定量分析，在度量空間或巴拿赫空間等范疇上的豐富化可以引入距離和量級(jí)的概念。

通過在適當(dāng)?shù)幕A(chǔ) V 上豐富化 M、S 以及它們之間的函子，Hom-對(duì)象 Hom(X, Y) 本身就變成了結(jié)構(gòu)化空間（例如，拓?fù)淇臻g、可測(cè)空間），并且組合變成了 V 中保持結(jié)構(gòu)的態(tài)射。這使得形式化能夠自然地將狀態(tài)空間拓?fù)?、概率映射和連續(xù)演化等概念整合到組合框架中。范疇系統(tǒng)論中的近期工作，特別是在結(jié)構(gòu)化主動(dòng)推斷領(lǐng)域內(nèi)，利用了類似的豐富化思想來建模與腦功能相關(guān)的交互動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。

7.2 可塑性與結(jié)構(gòu)變化的建模

腦回路具有適應(yīng)性，表現(xiàn)出功能可塑性（突觸強(qiáng)度的變化）和結(jié)構(gòu)可塑性（連接性的變化）。我們的靜態(tài)算子框架需要擴(kuò)展，以解釋這種學(xué)習(xí)和重組。

• 動(dòng)態(tài)算子 (Dynamic Operads)：一種有前景的方法是使用動(dòng)態(tài)算子（Shapiro & Spivak, 2022）。這些算子擴(kuò)展了接線圖算子（W），允許運(yùn)算本身——即接線圖——隨時(shí)間演化或依賴于狀態(tài)。這提供了一種直接的方式，在組合演算中對(duì)網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)、突觸權(quán)重變化或基于規(guī)則的結(jié)構(gòu)適應(yīng)進(jìn)行建模，即使在系統(tǒng)學(xué)習(xí)和變化時(shí)，也能潛在地保持一致性保證。
• 動(dòng)態(tài)范疇與時(shí)態(tài)邏輯 (Dynamic Categories and Temporal Logic)：相關(guān)概念包括動(dòng)態(tài)范疇或利用時(shí)態(tài)邏輯框架，可能是在拓?fù)渌估碚摚╰opos-theoretic）框架內(nèi)，為范疇結(jié)構(gòu)本身演化的系統(tǒng)提供語義。學(xué)習(xí)規(guī)則可以被形式化為作用于范疇 M 和 S 或映射它們之間的函子及其他結(jié)構(gòu)的高層變換。像動(dòng)態(tài)組織（Org）這樣的框架探索了自適應(yīng)系統(tǒng)的相關(guān)思想。

這些方法旨在超越靜態(tài)快照，將適應(yīng)和學(xué)習(xí)作為神經(jīng)科學(xué)算子演算中的核心要素（first-class citizens）納入其中。

7.3 經(jīng)驗(yàn)擬合與模型驗(yàn)證

神經(jīng)科學(xué)中任何理論框架的一個(gè)關(guān)鍵要求是能夠與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立聯(lián)系并做出可檢驗(yàn)的預(yù)測(cè)。將抽象的算子演算與實(shí)證觀察聯(lián)系起來，需要開發(fā)用于模型擬合、參數(shù)估計(jì)和驗(yàn)證的穩(wěn)健方法論。

• 組合式系統(tǒng)辨識(shí) (Compositional System Identification)：算子框架的模塊化特性使其天然適用于系統(tǒng)辨識(shí)的組合方法。與其擬合一個(gè)單體模型，不如旨在識(shí)別各個(gè)組件（M 和 S 中的對(duì)象、特定函子、單子參數(shù)等）的參數(shù)，這可能利用為開放動(dòng)力系統(tǒng)開發(fā)的方法 (Bonchi et al., 2014; Baez & Fong, 2016)，并利用算子結(jié)構(gòu)來約束整體擬合過程。
• 與數(shù)據(jù)特征相連接 (Connecting to Data Features)：驗(yàn)證可以通過將模型預(yù)測(cè)與從神經(jīng)數(shù)據(jù)中提取的特定特征進(jìn)行比較來進(jìn)行：
• • 介觀動(dòng)力學(xué) (Mesoscopic Dynamics)：范疇模型的參數(shù)可能與從擬合到 EEG/MEG 數(shù)據(jù)的神經(jīng)場(chǎng)模型中估計(jì)的參數(shù)相關(guān) (Coombes et al., 2003)。
  • 群體幾何 (Population Geometry)：模型預(yù)測(cè)的狀態(tài)空間結(jié)構(gòu)（ M ∈ M ）或變換（態(tài)射）可以與從高維神經(jīng)記錄中提取的幾何或拓?fù)鋵傩裕ɡ?，流形維度、曲率）進(jìn)行比較。
  • 統(tǒng)計(jì)特征 (Statistical Signatures)：豐富范疇模型預(yù)測(cè)的動(dòng)態(tài)機(jī)制可以與數(shù)據(jù)中觀察到的統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行比較，例如神經(jīng)元雪崩或指示臨界性的特定頻譜特性 (Beggs & Plenz, 2003)。
• 利用現(xiàn)代擬合技術(shù) (Leveraging Modern Fitting Techniques)：可以調(diào)整像通用微分方程 (UDEs) 這樣的方法，它將機(jī)制模型與機(jī)器學(xué)習(xí)相結(jié)合。機(jī)制結(jié)構(gòu)可以源自算子組合，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)則學(xué)習(xí)模塊內(nèi)的未知函數(shù)或參數(shù)。此外，近似貝葉斯推斷技術(shù)，可能像在主動(dòng)推斷中那樣以函子方式構(gòu)建框架 (Friston et al., 2017)，可以提供利用實(shí)證數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和模型比較的原則性方法。

挑戰(zhàn)與展望 (Challenges and Outlook)：仍然存在著重大挑戰(zhàn)，包括確保模型可辨識(shí)性、為復(fù)雜組合結(jié)構(gòu)開發(fā)可擴(kuò)展的推斷算法，以及整合多模態(tài)數(shù)據(jù)（例如，結(jié)合 fMRI、EEG 和單單元記錄）。然而，這些方向勾勒出了一條將抽象算子演算扎根于實(shí)證現(xiàn)實(shí)的路徑。

為了成為神經(jīng)科學(xué)中真正強(qiáng)大的工具，算子演算必須擁抱動(dòng)力學(xué)、可塑性和實(shí)證驗(yàn)證。涉及豐富范疇的策略提供了一種整合真實(shí)神經(jīng)動(dòng)力學(xué)（連續(xù)性、隨機(jī)性、時(shí)間演化）的方法。動(dòng)態(tài)算子及相關(guān)概念為建模可塑性和結(jié)構(gòu)變化提供了途徑。最后，開發(fā)用于組合式系統(tǒng)辨識(shí)的方法，并利用統(tǒng)計(jì)學(xué)、機(jī)器學(xué)習(xí)和現(xiàn)有建模方法中的技術(shù)將模型預(yù)測(cè)與實(shí)證數(shù)據(jù)特征聯(lián)系起來，對(duì)于將該框架扎根至關(guān)重要。雖然充滿挑戰(zhàn)，但這些擴(kuò)展對(duì)于將形式演算轉(zhuǎn)化為關(guān)于腦功能的預(yù)測(cè)性和解釋性理論是必不可少的。

1. 結(jié)論與未來方向

8.1 總結(jié)與意義

本文介紹了一種用于組合神經(jīng)科學(xué)的算子演算（Operadic Calculus），利用了范疇論的形式語言——包括幺半群（Monoids）、函子（Functors）、伴隨（adjunctions）、單子（monads）、余單子（comonads）、預(yù)函子（profunctors）、自然變換（natural transformations），以及至關(guān)重要的接線圖算子（operads of wiring diagrams）——以解決描述多樣神經(jīng)組件如何組合成功能性腦回路這一長(zhǎng)期存在的挑戰(zhàn)。我們提出將皮層微柱建模為范疇 M 中的幺半群對(duì)象，將皮層下模塊建模為單獨(dú)的幺半群范疇 S 中的對(duì)象。各種形式的皮層-皮層下交互通過建立在函子之上的特定范疇構(gòu)造被捕捉，而接線圖算子提供了形式語法，即“演算（calculus）”，用于將這些異質(zhì)模塊組裝成更大的系統(tǒng)，同時(shí)保證保留它們的代數(shù)語義。

采用這樣一個(gè)框架對(duì)神經(jīng)科學(xué)的潛在影響可能是變革性的：

1. 統(tǒng)一性與模塊化 (Unification and Modularity)：這種方法提供了一種統(tǒng)一的語法來描述和整合多樣的計(jì)算基序（例如，預(yù)測(cè)編碼、門控、重放、神經(jīng)調(diào)節(jié)），這些通常使用不同的、往往不兼容的形式體系進(jìn)行建模。固有的模塊化允許通過定義明確、可重用的組件及其結(jié)構(gòu)化交互來理解復(fù)雜系統(tǒng)。
2. 形式嚴(yán)謹(jǐn)性與驗(yàn)證 (Formal Rigor and Verification)：通過將回路模型建立在精確的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之上，該框架實(shí)現(xiàn)了更高的嚴(yán)謹(jǐn)性。算子演算保證了在組件層面指定的代數(shù)性質(zhì)在組合過程中得以保留，從而促進(jìn)了更可靠且潛在可形式驗(yàn)證的神經(jīng)計(jì)算模型的構(gòu)建。
3. 生成性與新假設(shè) (Generativity and Novel Hypotheses)：算子演算提供的組合語法可以作為一個(gè)生成式框架，允許研究人員系統(tǒng)地探索新穎的回路配置及其潛在功能。它還可能激發(fā)關(guān)于認(rèn)知的組合結(jié)構(gòu)（例如，在語言或規(guī)劃中）與神經(jīng)回路的底層組合架構(gòu)（可能反映在算子組合規(guī)則中）之間關(guān)系的新假設(shè)。

8.2 未來研究方向

實(shí)現(xiàn)這一算子演算的全部潛力需要在理論、計(jì)算和實(shí)證領(lǐng)域進(jìn)行大量進(jìn)一步的研究。主要方向包括：

1. 針對(duì)動(dòng)力學(xué)和隨機(jī)性的豐富化 (Enrichment for Dynamics and Stochasticity)：正如第 7 節(jié)所討論的，利用豐富范疇論（基于TopMeas或動(dòng)力系統(tǒng)范疇等基）擴(kuò)展該框架，對(duì)于捕捉真實(shí)神經(jīng)動(dòng)力學(xué)的連續(xù)時(shí)間、隨機(jī)性和度量方面至關(guān)重要。
2. 可塑性與適應(yīng)性的建模 (Modeling Plasticity and Adaptation)：納入學(xué)習(xí)和發(fā)展需要超越靜態(tài)結(jié)構(gòu)。開發(fā)和應(yīng)用動(dòng)態(tài)算子或用于動(dòng)態(tài)范疇和時(shí)態(tài)邏輯的相關(guān)框架，對(duì)于在組合設(shè)置中對(duì)突觸可塑性和網(wǎng)絡(luò)重組進(jìn)行建模至關(guān)重要。
3. 實(shí)證基礎(chǔ)與驗(yàn)證 (Empirical Grounding and Validation)：需要付出巨大努力來開發(fā)穩(wěn)健的方法論，將組合范疇模型擬合到大規(guī)模、多模態(tài)神經(jīng)數(shù)據(jù)（例如，EEG、fMRI、電生理學(xué)、連接組學(xué)）中。這涉及推進(jìn)組合式系統(tǒng)辨識(shí)技術(shù)，專門設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)以測(cè)試組合預(yù)測(cè)，并將抽象范疇結(jié)構(gòu)與神經(jīng)活動(dòng)和行為的測(cè)量特征聯(lián)系起來。
4. 理論整合與工具鏈 (Theoretical Integration and Toolchains)：將算子演算與其他相關(guān)理論框架（例如，信息論、控制論、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)）聯(lián)系起來可能會(huì)產(chǎn)生更深刻的見解。關(guān)鍵在于開發(fā)可訪問且穩(wěn)健的軟件庫(kù)和工具鏈（建立在 AlgebraicJulia/Catlab 等努力之上或開發(fā)神經(jīng)科學(xué)專用平臺(tái)），這對(duì)于使更廣泛的神經(jīng)科學(xué)社區(qū)能夠使用這些高級(jí)數(shù)學(xué)技術(shù)至關(guān)重要。
5. 跨學(xué)科合作 (Cross-Disciplinary Collaboration)：進(jìn)展將很大程度上依賴于范疇論學(xué)家、計(jì)算神經(jīng)科學(xué)家、認(rèn)知科學(xué)家和實(shí)驗(yàn)神經(jīng)科學(xué)家之間持續(xù)、緊密的合作，以確保數(shù)學(xué)形式體系保持生物學(xué)相關(guān)性且可經(jīng)實(shí)證檢驗(yàn)。

8.3 結(jié)語愿景

此處提出的算子演算為組合神經(jīng)科學(xué)提供了一種新語言的藍(lán)圖——這種語言將組合性（compositionality）視為腦組織的一項(xiàng)基本原則。盡管仍存在重大挑戰(zhàn)，特別是在彌合與復(fù)雜生物細(xì)節(jié)和實(shí)證數(shù)據(jù)之間的差距方面，但潛在的回報(bào)是巨大的：從描述性或現(xiàn)象學(xué)模型轉(zhuǎn)向?qū)ι窠?jīng)組件如何組裝以產(chǎn)生知覺、認(rèn)知和行為的更具原則性、生成性和形式化基礎(chǔ)的理解。通過提供嚴(yán)謹(jǐn)推理神經(jīng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和組合的工具，這一框架（通過上述協(xié)作努力進(jìn)一步發(fā)展）有望在未來幾年和幾十年內(nèi)顯著推進(jìn)我們要理解腦計(jì)算架構(gòu)的探索。

原文鏈接：https://www.researchgate.net/profile/Debi-Prasad-Ghosh/publication/391439657_Compositional_Neuroscience_Seeking_a_New_Language_for_Brain_Circuits_with_Monoids_Functors_and_Operads/links/6817a446df0e3f544f51de69/Compositional-Neuroscience-Seeking-a-New-Language-for-Brain-Circuits-with-Monoids-Functors-and-Operads.pdf