女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

彭羅斯密鋪因其非周期性（即不具有平移對(duì)稱性）卻又結(jié)構(gòu)分明而引人注目。其被稱作"準(zhǔn)周期性"的結(jié)構(gòu)，它可通過多種方式描述，包括自相似細(xì)分法、具有匹配規(guī)則的拼塊法，以及在五維空間中立方晶格的投影切片法。這些拼圖還因擁有眾多局部五重和十重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心而與眾不同——這些特征同樣見于某些伊斯蘭幾何圖案中。這種相似性引發(fā)了比較研究，促使一些人將其視為彭羅斯密鋪的先驅(qū)，甚至認(rèn)為在傳統(tǒng)伊斯蘭設(shè)計(jì)中存在準(zhǔn)周期性的證據(jù)。邦納[2]識(shí)別出三種自相似風(fēng)格；馬科維茨基[20]受此啟發(fā)開發(fā)了彭羅斯密鋪的新變體，隨后與同事[24]將彭羅斯密鋪疊加在傳統(tǒng)摩爾人的設(shè)計(jì)上；近期盧克與斯坦哈特[17]觀察到傳統(tǒng)伊斯蘭設(shè)計(jì)體系中細(xì)分法的運(yùn)用，并將彭羅斯風(fēng)箏形與飛鏢形拼塊疊加于伊朗設(shè)計(jì)圖案之上。后者的研究成果雖在全球媒體獲得廣泛報(bào)道，但部分報(bào)道存在夸大事實(shí)與曲解研究結(jié)論的情況。

在傳統(tǒng)伊斯蘭圖案中探尋準(zhǔn)周期性實(shí)例的愿望可以理解，但我們必須謹(jǐn)慎，避免將現(xiàn)代的動(dòng)機(jī)和抽象概念投射到過去。有時(shí)，凡是創(chuàng)造出展現(xiàn)多種對(duì)稱類型的重復(fù)圖案的文化，都會(huì)被賦予對(duì)群論的直覺認(rèn)知，即便這些文化本身并沒有抽象的群概念。我們要避免以下兩種謬誤：

? 抽象化謬誤：P知曉X，且X是Y的一個(gè)實(shí)例，因此P知曉Y。

? 推導(dǎo)謬誤：P知曉X，且X可推導(dǎo)出Y，因此P知曉Y。

在這兩種情形中，P很可能從未考慮過Y，即便考慮過，也未必會(huì)將Y與X聯(lián)系起來。

本文將闡述一種基于密鋪構(gòu)建伊斯蘭幾何圖案的方法。通過技藝與巧思，這種基本技法可衍生出多種變體與精妙演繹，最終形成紛繁復(fù)雜的各類圖案。筆者還將剖析某些呈現(xiàn)準(zhǔn)周期性密鋪特征的傳統(tǒng)紋樣，借助基礎(chǔ)幾何原理揭示其異同之處，并評(píng)估伊斯蘭藝術(shù)中存在準(zhǔn)周期性的相關(guān)證據(jù)。

關(guān)于術(shù)語(yǔ)的幾點(diǎn)說明：許多構(gòu)建方法基于平面密鋪。拼塊集合指密鋪中包含有限數(shù)量且與圓盤同胚的子集。我使用"重復(fù)單元"作為通稱，指代通過等距變換重復(fù)生成圖案的模板，該術(shù)語(yǔ)不及"周期平行四邊形"或"基本域"那樣具有特定指向。具有放射狀對(duì)稱性的圖案或密鋪存在單個(gè)有限旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心。其余術(shù)語(yǔ)遵循文獻(xiàn)[8]關(guān)于密鋪的表述，并輔以文獻(xiàn)[33]對(duì)替代密鋪的補(bǔ)充說明。

伊斯蘭幾何紋樣的構(gòu)建方法

盡管伊斯蘭幾何設(shè)計(jì)的原則并不復(fù)雜，卻鮮為人知。試圖從完成的藝術(shù)品中反推其原理相當(dāng)困難，因?yàn)榧y樣中最引人注目的元素往往并非設(shè)計(jì)師使用的構(gòu)圖要素。所幸留存至今的一些中世紀(jì)文獻(xiàn)揭示了部分技藝秘訣。其中最珍貴的當(dāng)屬伊斯坦布爾托普卡帕宮圖書館珍藏的編號(hào)為MS.H.1956的手稿卷軸。這份卷軸由繪制著幾何圖形的單頁(yè)粘合而成，形成高約33厘米、長(zhǎng)達(dá)近30米的連續(xù)長(zhǎng)卷。雖無文字說明而非"操作指南"，但因其保留了輔助線而超越普通紋樣圖譜。其半尺寸彩色復(fù)制品可見于文獻(xiàn)[25]，該版本還標(biāo)注了照片中難以辨識(shí)的針管制圖痕跡。本文提及托普卡帕卷軸編號(hào)圖版時(shí)，均采用文獻(xiàn)[25]的編號(hào)體系。

伊斯蘭紋樣中常出現(xiàn)星形母題，其形態(tài)豐富多樣。本文僅需涉及平面幾何中正星形多邊形的幾種基礎(chǔ)形態(tài)：在圓周上等距取n個(gè)點(diǎn)，以直線連接相隔d個(gè)間隔的點(diǎn)，即可得到記作{n/d}的星形多邊形。但這屬于數(shù)學(xué)意義上的星形，藝術(shù)家鮮少將完整圖形直接用作裝飾母題，更常見的做法是舍棄邊線的中間線段。

許多早期伊斯蘭紋樣通過將6角、8角或12角星形排列在正方形或等邊三角形標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)格的頂點(diǎn)上創(chuàng)作而成。而更通用的菱形晶格則允許使用其他星形。圖1(a)展示了基于{10/3}星形多邊形的實(shí)例：菱形的內(nèi)角分別為72°和108°，均為星形相鄰尖角夾角36°的倍數(shù)。在晶格頂點(diǎn)繪制一組等半徑且相切的最大內(nèi)切圓，將星形母題置于圓中并使尖角對(duì)準(zhǔn)晶格邊緣，即可控制主母題的間距與朝向。但此時(shí)紋樣尚未完成——每個(gè)星形母題中總有部分尖角未能與相鄰母題連接，游離指向圓之間的剩余空間。將這些游離尖角的邊線延伸至外接圓外，直至與鄰近星形延伸出的對(duì)應(yīng)線條相交，這種簡(jiǎn)易手法既能填充剩余空間，又能增強(qiáng)星形母題的連通性。所有剩余空間需采用統(tǒng)一的間隙填充模式，并盡可能保持整體紋樣的對(duì)稱性。最終效果如圖1(c)所示，此時(shí)間隙填充的風(fēng)箏形與星形中的風(fēng)箏形全等。這種圖案是最常見的十邊形紋樣之一，我們將稱之為"星與風(fēng)箏"紋樣以便指代。

圖1. "星與風(fēng)箏"紋樣

這種基礎(chǔ)方法僅能生成重復(fù)單元較小的有限周期紋樣，且僅適用于偶數(shù)角星形。更通用的方法適用于所有星形，并能實(shí)現(xiàn)不同星形在同一紋樣中的組合運(yùn)用——其核心在于采用由邊對(duì)邊密鋪構(gòu)成的、包含邊數(shù)大于四的正凸多邊形體系。圖1(b)展示了通過十邊形密鋪形成的密鋪結(jié)構(gòu)，其間留存的非凸六邊形拼塊成為填充區(qū)域。當(dāng)在每個(gè)十邊形拼塊中置入{10/3}星形后，我們沿用前述間隙填充法，在六邊形中發(fā)展出相應(yīng)的紋樣脈絡(luò)。

這種從圓形到多邊形的轉(zhuǎn)變看似細(xì)微，卻催生了一系列普適性拓展。我們不再受限于星形的晶格排列——任何密鋪結(jié)構(gòu)皆可適用。密鋪中可包含不同類型的正多邊形，使得不同星形母題得以在同一紋樣中共存；密鋪本身自然決定了不同星形間的相對(duì)層級(jí)。我們甚至可以摒棄啟動(dòng)間隙填充的規(guī)則星形母題，直接從密鋪本身開啟紋樣生成進(jìn)程。在后一種方法中，我們?cè)诿織l邊中點(diǎn)以X形配置繪制一對(duì)短線，再將其延伸直至與同類線條相遇——這類似于對(duì)所有拼塊實(shí)施間隙填充。線條與密鋪邊界的夾角（即入射角）作為藝術(shù)家可調(diào)參數(shù)，通常在所有邊界處保持恒定。線條延伸無需止于首個(gè)交點(diǎn)：若紋樣中仍存在大片空白區(qū)域或整體效果欠佳，可持續(xù)延伸線條直至產(chǎn)生新的交錯(cuò)。

這種被稱為"接觸多邊形法"（PIC）的技藝，最早由漢金[9-13]在西方文獻(xiàn)中記載。他在印度工作期間觀察到某些紋樣的石膏底稿上刻有多邊形網(wǎng)格。托普卡帕卷軸的許多圖版同樣顯示出紋樣與其底層多邊形網(wǎng)絡(luò)的疊印關(guān)系。盡管這些網(wǎng)絡(luò)的具體用途未見文獻(xiàn)記載，但將其解讀為輔助線似無不妥。邦納[2,3]主張PIC是唯一有歷史證據(jù)表明在整個(gè)伊斯蘭世界被設(shè)計(jì)師采用的體系。該方法具有普適性，可解釋大量傳統(tǒng)紋樣，但并非放之四海而皆準(zhǔn)。卡斯特拉[5]采用的替代方案則無需隱藏網(wǎng)格，直接對(duì)最終紋樣中的圖形進(jìn)行排布。

接觸多邊形法（PIC）的應(yīng)用可通過以下四幅圖示闡明。

圖2展示了基于正十邊形、正五邊形及非凸六邊形密鋪的兩種紋樣。圖2(b)在十邊形拼塊中置入基于{10/4}的星形母題，使其他邊界獲得72°入射角，該完成紋樣是星形圖案中流傳最廣、應(yīng)用最頻繁的經(jīng)典范式之一。圖2(c)呈現(xiàn)中亞常見紋樣，采用基于{10/3}的54°入射角設(shè)計(jì)；若采用{10/2}星形與36°入射角，則可再現(xiàn)"星與風(fēng)箏"紋樣。

圖3紋樣源自文獻(xiàn)[14]，包含基于{7/3}的星形母題，其密鋪中的七邊形為正多邊形，但五邊形并非正形。

圖4基于含正九邊形與十二邊形的密鋪體系，筆者選擇55°入射角使紋樣中的凸十二邊形元素成為正多邊形，且非凸六邊形拼塊內(nèi)部線段銜接處無轉(zhuǎn)角生成，但代價(jià)是兩個(gè)星形母題均未保持幾何正則性。文獻(xiàn)[4]圖版120-122即為基于相同密鋪的傳統(tǒng)紋樣。

圖5呈現(xiàn)具有十重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的紋樣，源自托普卡帕卷軸第90a圖版——內(nèi)奇波格盧將其標(biāo)注為穹頂設(shè)計(jì)[25]。原始圖版顯示，用實(shí)黑線繪制的紋樣疊加在紅虛線密鋪網(wǎng)格上，構(gòu)成包含十分之一圖案的模板。值得注意的是部分拼塊為十邊形的十分之二或十分之三扇形區(qū)。穹頂裝飾同樣通過將PIC應(yīng)用于多面體網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)。對(duì)于星形密度較低的紋樣，則通過將PIC應(yīng)用于由正三、四、六、十二邊形構(gòu)成的k-均勻密鋪體系——文獻(xiàn)[4]圖版77、97、142收錄了若干特殊案例。

(a) 底層多邊形網(wǎng)絡(luò)

(b)72°入射角

(c) 54°入射角

圖2. 一種密鋪及其衍生的兩種星形紋樣（各紋樣中的玫瑰形花瓣已作高亮處理）

圖3. 含正七角星形的紋樣

圖4. 含九角與十二角星形的紋樣

圖5. 托普卡帕卷軸第90a圖版紋樣

圖2中的兩種紋樣展現(xiàn)了另一種常見的伊斯蘭母題：每幅紋樣中環(huán)繞星形的六邊形集合均以灰色高亮顯示。這種被放大的星形母題稱為"玫瑰花結(jié)"，其周邊的六邊形構(gòu)成"花瓣"。此處的玫瑰花結(jié)源于底層密鋪中十邊形被等邊多邊形環(huán)繞的布局，但也可通過星形外接圓周邊切圓組進(jìn)行構(gòu)建[16]，并作為獨(dú)立構(gòu)圖元素使用。

您可通過卡普蘭開發(fā)的在線Java小程序[34]親身體驗(yàn)PIC法的運(yùn)作機(jī)制——選定密鋪類型與星形母題入射角后，程序?qū)⒆詣?dòng)通過推理邏輯生成間隙填充圖案。

作為PIC構(gòu)建法底層網(wǎng)絡(luò)的密鋪體系通常具備高度對(duì)稱性，由此生成的紋樣井然有序。但伊斯蘭藝術(shù)家也創(chuàng)作出另一種紋樣：其元素排布看似混沌，局部呈現(xiàn)小層級(jí)秩序，整體卻難覓長(zhǎng)程結(jié)構(gòu)。托普卡帕卷軸圖版揭示，這類紋樣同樣存在由少量等邊拼塊（見圖6）復(fù)制拼合而成的底層多邊形網(wǎng)絡(luò)，這些拼塊的內(nèi)角均為36°的倍數(shù)：

? 內(nèi)角72°與108°的菱形

? 正五邊形（內(nèi)角108°）

? 內(nèi)角72°與144°的凸六邊形——梭形

? 內(nèi)角108°與144°的凸六邊形——桶形

? 內(nèi)角72°與216°的非凸六邊形——蝶結(jié)形

? 內(nèi)角108°與144°的凸八邊形

? 正十邊形（內(nèi)角144°）

圖6 一組伊斯蘭原胞拼塊

這些拼塊上的紋樣采用54°入射角的接觸多邊形法生成。桶形六邊形與十邊形各有兩種裝飾形態(tài)：其中一種十邊形母題僅為{10/3}星形，其構(gòu)成的風(fēng)箏形與蝶結(jié)形上的風(fēng)箏形全等；另一種十邊形母題則更為復(fù)雜，對(duì)稱性由十重旋轉(zhuǎn)降為五重旋轉(zhuǎn)。

當(dāng)嘗試用十邊形與五邊形進(jìn)行密鋪時(shí)，這些拼塊的形狀便自然顯現(xiàn)。蝶結(jié)形與桶形六邊形在前述圖示中已常見，而八邊形與另一種六邊形則可視為兩個(gè)十邊形重疊相交的產(chǎn)物。后者上的紋樣形似纏繞紗線的梭子，這種特征鮮明的母題在紋樣中極易辨識(shí)，其存在往往暗示該紋樣可能由這些拼塊構(gòu)建而成。

將不規(guī)則拼塊從輔助圖形提升為獨(dú)立構(gòu)圖元素，標(biāo)志著伊斯蘭紋樣設(shè)計(jì)的重要發(fā)展。將這些拼塊視為拼圖組件，使得構(gòu)圖方式更為靈活自由：設(shè)計(jì)者可通過在拼塊集合邊界持續(xù)附加新拼塊，在每一步自由選擇擴(kuò)展方式，從而實(shí)現(xiàn)紋樣的自然生長(zhǎng)。這種新方法賦予藝術(shù)家以創(chuàng)新方式組合拼塊的自由度與靈活性，催生出一類全新的紋樣體系。這似乎源自塞爾柱王朝的革新——12至13世紀(jì)土耳其與伊朗地區(qū)開始涌現(xiàn)此類實(shí)例。盧克與斯坦哈特[17]首次系統(tǒng)闡述了這種以裝飾拼塊為設(shè)計(jì)元素的普適性應(yīng)用體系；邦納[2]亦有類似論述，漢金[10]同樣采用過這類拼塊。

圖7展示了小型拼塊組合。特定區(qū)域的填充往往存在多種解法。即便如圖7(a)所示的梭形與蝶結(jié)形簡(jiǎn)單組合，拼塊位置也可通過垂直線鏡像，使蝶結(jié)形位于右上而非左上。圖7(d)所示的拼塊組合可替代任意十邊形拼塊，但會(huì)伴隨對(duì)稱性損失——蝶結(jié)形可指向10個(gè)方向中的任意方位。圖7(b)與(c)則是另一對(duì)可互換的填充方案，兩者對(duì)稱性存在差異。

圖7 小型拼塊組合

圖8展示了由這些拼塊構(gòu)成的若干傳統(tǒng)紋樣。圖8(a)與(b)分別源自托普卡帕卷軸第50圖版與第62圖版：原始圖版均顯示紋樣以實(shí)黑線疊加于紅點(diǎn)密鋪網(wǎng)格構(gòu)成的模板上。圖8(b)(c)(d)依次對(duì)應(yīng)文獻(xiàn)[4]圖版173、176、178；圖8(e)(f)取自文獻(xiàn)[16]圖33與34。圖中保留密鋪邊緣以揭示紋樣的底層結(jié)構(gòu)，但在完成品中這些輔助線將被抹去，僅留下交織的緞帶。這種處理既隱藏了底層框架，也保護(hù)了藝術(shù)家的創(chuàng)作技法。觀者所見的是緞帶勾勒出的背景多邊形——這些實(shí)為構(gòu)建過程的副產(chǎn)品，而非用于構(gòu)圖的主要母題。

圖8 周期性的設(shè)計(jì)

拼塊內(nèi)角均為36°的倍數(shù)，因此密鋪中所有邊緣將指向五個(gè)方向之一——即全部平行于五邊形各邊。拼塊的自發(fā)組合會(huì)在交織背景中生成正五邊形，并在紋樣中形成局部五重或十重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心。這種對(duì)稱性可見于圖7的若干構(gòu)型中。然而在通過模板平移生成的圖案里，這種對(duì)稱性必然被打破，無法作為整體紋樣特征存續(xù)。這是晶體學(xué)限制律的必然結(jié)果：周期圖案中的旋轉(zhuǎn)中心只能為二重、三重、四重或六重。盡管該定律直至19世紀(jì)方獲嚴(yán)格證明，但伊斯蘭圖案創(chuàng)作者必然憑借直覺領(lǐng)悟此理?；蛟S這些密鋪的魅力恰在于其蘊(yùn)含諸多"禁忌"對(duì)稱中心——它們營(yíng)造出人類可掙脫自然法則束縛的幻象。遺憾的是，當(dāng)展示足夠大范圍的密鋪使周期性顯形時(shí)，任何（全局）旋轉(zhuǎn)中心僅存二重對(duì)稱性，且（未裝飾）密鋪的對(duì)稱類型通常為pgg、pmm，或更常見的cmm。

圖9(b)展示了伊朗西北部馬拉蓋卡布德穹塔（藍(lán)塔）一面墻體上的紋樣；塔身其他側(cè)面亦飾有類似圖案。乍看之下，該設(shè)計(jì)似乎缺乏整體組織原則，實(shí)則與圖9(a)所示的框架完美契合。位于圖版右下角的中心區(qū)域，可見圖7(g)所示的拼塊組合被一圈十邊形環(huán)繞。左上角毗鄰首組結(jié)構(gòu)的類似布局，則留出星形空隙。十邊形環(huán)帶中除底部邊緣的拼塊采用十邊形拼塊填充外，其余均以蝶結(jié)形朝外的圖7(d)組合填充。星形空隙則由五個(gè)圖7(b)所示的菱形填補(bǔ)。值得注意的是，紋樣中存在偏離基礎(chǔ)構(gòu)型的不規(guī)則與變體，尤其在圖版左下角區(qū)域表現(xiàn)明顯；此外左上角的十邊形采用的是圖7(d)組合而非十邊形拼塊。

圖9. 伊朗馬拉蓋卡布德穹塔紋樣

圖9(a)同樣可作為圖10所示紋樣的基礎(chǔ)。圖中中心與左上角的玫瑰花結(jié)中心，恰為構(gòu)成紋樣重復(fù)單元的矩形對(duì)角線兩端點(diǎn)。此矩形內(nèi)的底層框架與馬拉蓋嵌板完全相同，通過對(duì)該單元進(jìn)行矩形邊反射即可生成完整紋樣。需注意，反射對(duì)象是拼塊的排列方式而非其裝飾紋樣——完整紋樣的交織仍保持交替規(guī)律。單元矩形邊界多由拼塊邊線或其鏡像線覆蓋，兩者均確保密鋪跨越接縫時(shí)的連續(xù)性。然而在矩形右上與左下角（該單元具有中心二重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性），部分拼塊并非內(nèi)嵌于矩形而是懸垂于邊緣。這種生成方法對(duì)此并無障礙：懸垂拼塊只需切割適配，反射機(jī)制自會(huì)處理緞帶的連續(xù)性。圖10中最明顯的例證見于底部中央?yún)^(qū)域，成對(duì)的蝶結(jié)形與梭形在此融合。密鋪中心本可采用圖7(g)所示的組合填充，但設(shè)計(jì)者棄之而選用大型玫瑰母題。里格比在文獻(xiàn)[26]中為此紋樣提供了另一種構(gòu)建方案。

圖10. 土耳其科尼亞卡拉塔伊經(jīng)學(xué)院紋樣

在嘗試圖6所示拼塊時(shí)，人們很快會(huì)發(fā)現(xiàn)首行拼塊較其他更難駕馭——108°角必須成對(duì)環(huán)繞頂點(diǎn)出現(xiàn)，這限制了組合選擇。事實(shí)上許多紋樣完全規(guī)避這些拼塊，僅基于底行三種形狀構(gòu)建。圖11的紋樣獨(dú)特之處在于主要由難用拼塊（菱形、五邊形、八邊形）及少量梭形構(gòu)成。密鋪中的大型星形區(qū)域本可采用圖7(f)所示組合填充以延續(xù)同組拼塊的使用，但此處卻替換為{10/4}星形母題。

圖11. 土耳其開塞利蘇丹驛站紋樣

紋樣構(gòu)建完成后，可根據(jù)語(yǔ)境與材料以不同方式潤(rùn)飾：部分附圖中區(qū)域采用二色著色（棋盤格陰影），另一些則將線條處理為交織緞帶?；A(chǔ)線描本身亦可直接使用，例如刻繪于石膏表面的情形。

何為準(zhǔn)周期性？

20世紀(jì)80年代，具有五重對(duì)稱性的晶體金屬合金在衍射圖譜中展現(xiàn)的發(fā)現(xiàn)引發(fā)轟動(dòng)。衍射圖譜中的尖銳斑點(diǎn)標(biāo)志著長(zhǎng)程有序——彼時(shí)這與周期性同義，但五重旋轉(zhuǎn)與晶體學(xué)限制律相悖，意味著人們觀測(cè)到全新現(xiàn)象。這種新型固體被稱為準(zhǔn)晶體，其底層有序結(jié)構(gòu)則被命名為準(zhǔn)周期性。對(duì)晶體學(xué)家而言，衍射圖譜中產(chǎn)生清晰定義的點(diǎn)是準(zhǔn)周期性的決定性特征。然而在裝飾藝術(shù)研究中，"準(zhǔn)周期"一詞的使用較為隨意，尚未形成統(tǒng)一共識(shí)。讀者在比較不同文獻(xiàn)時(shí)需注意這一潛在混淆因素。針對(duì)本文討論的密鋪及相關(guān)幾何紋樣，可采用局部拼塊構(gòu)型分布的均勻性條件作為判定依據(jù)（該條件較晶體學(xué)定義更為寬松）。這一特性及其他特征將通過以下實(shí)例加以闡明。

該示例由圖12所示的拼塊組合構(gòu)建，僅用于演示技法而不具藝術(shù)價(jià)值——蝶結(jié)形分布失衡會(huì)導(dǎo)致紋樣效果欠佳。任何由蝶結(jié)形、梭形與十邊形拼合的拼塊組合，均可通過圖中所示方式對(duì)各拼塊進(jìn)行細(xì)分，再按比例放大使小拼塊恢復(fù)原始尺寸，從而轉(zhuǎn)化為更大的同構(gòu)組合。這種"細(xì)分再放大"的工序稱為膨脹操作。每個(gè)復(fù)合拼塊的各邊均由兩個(gè)小拼塊邊與一個(gè)小梭形長(zhǎng)對(duì)角線構(gòu)成；在膨脹后的密鋪中，半梭形兩兩配對(duì)形成完整拼塊。

圖12. 三種拼塊細(xì)分生成同型小拼塊的過程?？s放系數(shù)為(7+√5)/2≈4.618

設(shè)P?為單個(gè)十邊形，對(duì)于所有自然數(shù)i，令Pi+1為Pi經(jīng)膨脹操作所得拼塊集合。圖12(b)展示P?，圖13則呈現(xiàn)P?。通過迭代膨脹過程，可實(shí)現(xiàn)對(duì)平面任意大區(qū)域的密鋪覆蓋。值得注意的是，由于P?中心包含十邊形結(jié)構(gòu)，Pi+1中部必然包含Pi的復(fù)制體。因此Pi+1實(shí)為P?的擴(kuò)展延伸，當(dāng)i趨向無窮時(shí)，該拼塊集合將延展為覆蓋整個(gè)平面的密鋪P∞。初始拼塊的對(duì)稱性在膨脹過程中得以保持，故P∞具有全局十重對(duì)稱中心，因而必然是非周期性的。

圖13 準(zhǔn)周期密鋪構(gòu)建步驟示意圖

通常而言，膨脹操作僅能生成無需同心排列的任意大型拼塊集合，因此需要論證極限存在的合理性及其作為平面密鋪的有效性[19]。若兩密鋪中任一拼塊的任意局部構(gòu)型均能在對(duì)方密鋪中找到復(fù)制體，則稱二者為局部不可區(qū)分。由圖12所示原胞拼塊及其細(xì)分規(guī)則定義的替代密鋪?zhàn)?，正是所有與P∞局部不可區(qū)分的密鋪構(gòu)成的集合。事實(shí)上該族包含不可數(shù)無窮多種密鋪，但其中任一密鋪的任意局部構(gòu)型必包含于某個(gè)Pn之中。

基于有限原胞拼塊集合T?,…,T?構(gòu)建的替代密鋪，其基本組合特性可通過n×n矩陣編碼：第i行第j列元素表示復(fù)合拼塊Tj中包含小型Ti的數(shù)量。以本文示例按蝶結(jié)形、梭形、十邊形順序排列，其替代矩陣為：

若矩陣的某次冪所有元素均為正數(shù)，則稱該矩陣為本原矩陣。當(dāng)替代矩陣具有本原性時(shí)，任意拼塊經(jīng)反復(fù)膨脹生成的拼塊集合最終將包含所有原胞拼塊的復(fù)制體。密鋪的性質(zhì)可通過本原矩陣的代數(shù)特性推導(dǎo)得出：例如最大特征值為膨脹比例因子的平方，對(duì)應(yīng)特征向量包含平面完整密鋪中原胞拼塊的相對(duì)頻率；轉(zhuǎn)置矩陣的對(duì)應(yīng)特征向量則包含三種原胞拼塊的相對(duì)面積。本例中頻率特征向量為(5+5√5; 5+7√5; 4)。由于向量分量比值存在無理數(shù)，此類細(xì)分規(guī)則生成的任何替代密鋪均具有非周期性[30,31]。

盡管我們的替代密鋪缺乏平移對(duì)稱性，但仍與周期密鋪共享若干特性。首先，每幅密鋪均為邊對(duì)邊結(jié)構(gòu)，由有限種拼塊形狀構(gòu)成，每種拼塊僅以有限種朝向出現(xiàn)，且頂點(diǎn)鄰域構(gòu)型種類有限——這種性質(zhì)被稱為有限局部復(fù)雜性。對(duì)于本原替代密鋪而言，該特性引申出重要推論：給定密鋪中任意局部構(gòu)型X，存在半徑R使得在密鋪任意位置放置的半徑為R的圓盤內(nèi)必包含X的復(fù)制體。具備此性質(zhì)的密鋪稱為重復(fù)性密鋪。這意味著密鋪中任意有限部分的復(fù)制體將均勻分布在整個(gè)密鋪中——你無法通過任何有限圖樣判斷其所屬的密鋪區(qū)域。

就本文而言，若密鋪滿足非周期性、有限局部復(fù)雜性及重復(fù)性三重屬性，則稱為準(zhǔn)周期密鋪。據(jù)此可引申定義：若某伊斯蘭紋樣的底層多邊形網(wǎng)絡(luò)為準(zhǔn)周期密鋪，則采用接觸多邊形法構(gòu)建的該紋樣可稱為準(zhǔn)周期紋樣。但遺憾的是，僅憑密鋪的任意有限子集無法判定其是否具有準(zhǔn)周期性。因此若要論證某密鋪可能具有準(zhǔn)周期性，必須識(shí)別出類似膨脹法這樣的生成機(jī)制——既能用于構(gòu)建所示局部圖樣，又可延展生成完整的準(zhǔn)周期密鋪。

多層級(jí)紋樣

托普卡帕卷軸的部分圖版呈現(xiàn)不同層級(jí)的紋樣疊加現(xiàn)象。這種多層級(jí)紋樣的交織互動(dòng)，正是某些大型伊斯蘭建筑裝飾的特征——觀者接近時(shí)能體驗(yàn)圖案的遞進(jìn)變化：遠(yuǎn)觀時(shí)高對(duì)比度的大層級(jí)形態(tài)占據(jù)主導(dǎo)，近察時(shí)這些形態(tài)因?qū)蛹?jí)過大而難以辨識(shí)，小層級(jí)紋樣轉(zhuǎn)而成為視覺焦點(diǎn)。早期實(shí)現(xiàn)這種從粗獷雄渾到精巧細(xì)膩過渡的手法較為樸素，通常通過逐步填充背景空隙形成無留白紋樣（卡布德穹塔即存此類次級(jí)紋樣），層級(jí)與細(xì)節(jié)層次的差異借助密度、雕刻深度、色彩及肌理變化來表現(xiàn)。后世設(shè)計(jì)更為宏闊，在同一作品中運(yùn)用同種風(fēng)格進(jìn)行多層級(jí)表達(dá)，甚至可能重復(fù)使用相同紋樣。

可在多層級(jí)上解讀的紋樣常被稱為自相似，但該術(shù)語(yǔ)本身具有多重含義層級(jí)。在最嚴(yán)格意義上，它指代層級(jí)不變性：存在將紋樣映射到自身的相似變換（等距變換后接放大操作）。該變換可弱化為拓?fù)涞葍r(jià)性——例如迭代函數(shù)系統(tǒng)產(chǎn)生分形的同胚映射。在更寬泛的語(yǔ)境下，它僅表示不同層級(jí)的母題在風(fēng)格或構(gòu)圖上具有相似性，而非嚴(yán)格復(fù)制。本文將采用"層級(jí)結(jié)構(gòu)"指代后者這類多層級(jí)紋樣。

托普卡帕卷軸第28圖版中，三組圖樣疊加于同一畫面：小層級(jí)多邊形網(wǎng)絡(luò)以紅點(diǎn)繪制，對(duì)應(yīng)的小層級(jí)紋樣以實(shí)黑線呈現(xiàn)，大層級(jí)紋樣則以實(shí)紅線附加。大層級(jí)紋樣對(duì)應(yīng)的多邊形網(wǎng)絡(luò)雖未直接顯示，但可推導(dǎo)得出——圖14(a)即呈現(xiàn)這兩個(gè)疊加的多邊形網(wǎng)絡(luò)。該圖其余部分展示了卷軸中另外三組雙層紋樣的底層多邊形網(wǎng)絡(luò)，這些圖版僅以黑紅兩色呈現(xiàn)完成的雙層紋樣，并未單獨(dú)繪制網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

圖14 托普卡帕卷軸圖版的雙層多邊形網(wǎng)絡(luò)底層結(jié)構(gòu)

將上述圖版的大、小層級(jí)多邊形網(wǎng)絡(luò)疊加，可發(fā)現(xiàn)若干拼塊的細(xì)分規(guī)律：第28圖版中的菱形、第32圖版中的兩個(gè)五邊形、第34圖版中的梭形均呈現(xiàn)細(xì)分結(jié)構(gòu)。所有復(fù)合拼塊的邊均由兩個(gè)小拼塊邊與一個(gè)小十邊形對(duì)角線構(gòu)成。我們還能識(shí)別出被圖版邊界裁切的大層級(jí)多邊形碎片——這些圖版并非隨意截取的紋樣局部，而是通過邊界矩形反射生成紋樣的模板。盡管圖14(d)乍看之下可能被誤認(rèn)為大層級(jí)網(wǎng)絡(luò)是由六個(gè)五邊形環(huán)繞梭形的構(gòu)型（該構(gòu)型在小層級(jí)網(wǎng)絡(luò)中確可觀察到），但經(jīng)邊界反射后會(huì)生成菱形、五邊形及桶形。第31圖版生成的大層級(jí)紋樣見圖8(g)。第28圖版右側(cè)似被截?cái)?，或受限于版面空間。若其關(guān)于大菱形中心具有二重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，則大層級(jí)紋樣應(yīng)如圖8(h)所示。四個(gè)圖版共同呈現(xiàn)出一致的細(xì)分選擇，五種拼塊的細(xì)分方式歸納于圖15——據(jù)筆者所知，這一發(fā)現(xiàn)此前未見報(bào)道。

圖15 源自托普卡帕卷軸的細(xì)分結(jié)構(gòu)（縮放系數(shù)為3+√5≈5.236）

圖16展示了基于第32圖版構(gòu)建的雙層紋樣：復(fù)合拼塊生成大層級(jí)紋樣（灰色區(qū)域），小拼塊則填充其背景區(qū)域形成小層級(jí)紋樣（黑白相間）。桶形拼塊存在兩種裝飾形態(tài)——大層級(jí)紋樣采用簡(jiǎn)約母題，小層級(jí)紋樣則運(yùn)用另一種復(fù)雜形態(tài)。在復(fù)合五邊形中心完成小層級(jí)紋樣存在技術(shù)難點(diǎn)：對(duì)于該層級(jí)的五邊形，僅能實(shí)現(xiàn)部分細(xì)分——置入半十邊形后，轉(zhuǎn)角處被迫使用五邊形；與轉(zhuǎn)角五邊形相鄰的只能是五邊形或桶形，這兩種選擇均會(huì)產(chǎn)生無法密鋪的小區(qū)域。圖15(b)中的灰色區(qū)域即標(biāo)識(shí)此類必然存在的空洞。筆者采用與托普卡帕卷軸略有差異的填充方案。大層級(jí)紋樣對(duì)應(yīng)圖2(c)所示形態(tài)。

圖16 基于托普卡帕卷軸第32圖版的雙層紋樣

圖17對(duì)第34圖版進(jìn)行了類似處理，包含四個(gè)圖14(d)所示模板矩形的復(fù)制體（兩個(gè)正向復(fù)制與兩個(gè)鏡像復(fù)制）。此案例中，大層級(jí)紋樣通過區(qū)域著色予以呈現(xiàn)。這兩種風(fēng)格實(shí)例均可見于伊朗伊斯法罕的建筑裝飾中。

圖17 基于托普卡帕卷軸第34圖版的雙層紋樣

圖15中蝶結(jié)形的缺席引人注目，其遭遇與五邊形相同：兩端拼塊被強(qiáng)制鎖定后，腰部區(qū)域無法實(shí)現(xiàn)密鋪（卷宗第29圖版底層大層級(jí)多邊形網(wǎng)絡(luò)右上角雖可見四分之一蝶結(jié)形被十邊形碎片環(huán)繞，但其構(gòu)建方式與其他圖版基于細(xì)分的邏輯不同）。

圖16中可見的大層級(jí)紋樣局部構(gòu)型雖同樣存在于小層級(jí)紋樣中，但更大范圍的展示揭示出圖案并不具有層級(jí)不變性——這是此類細(xì)分方法的固有局限。由于五邊形與蝶結(jié)形缺乏細(xì)分規(guī)則，圖15的細(xì)分體系無法作為替代密鋪的迭代基礎(chǔ)，膨脹過程因而不可持續(xù)。

阿爾罕布拉宮紋樣

圖18所示紋樣占據(jù)阿爾罕布拉宮博物館大型嵌板的主體部分（照片見文獻(xiàn)[24]）。該嵌板由1958年出土的碎片拼接而成，原件可追溯至14世紀(jì)。圖樣下半部分為完成紋樣，上半部分則呈現(xiàn)筆者擬定的底層多邊形網(wǎng)絡(luò)。網(wǎng)絡(luò)的核心構(gòu)圖元素是環(huán)繞著十個(gè)五邊形的十邊形結(jié)構(gòu)，這一母題在最終紋樣中演變?yōu)榉磸?fù)出現(xiàn)的十重玫瑰花結(jié)。該元素的復(fù)制體以雙層環(huán)狀排列（可見于圖樣左上區(qū)域）：內(nèi)環(huán)十組、外環(huán)二十組，相鄰元素共享兩個(gè)五邊形。內(nèi)外環(huán)間的連接分為兩類：灰色菱形區(qū)域內(nèi)嵌圖2(b)所示經(jīng)典周期紋樣的平移單元。剩余空間的構(gòu)建邏輯如圖19所示：圖19(b)揭示該紋樣實(shí)為圖19(a)五邊形母題構(gòu)型的子集，而圖19(c)則展示了基于包含半桶形與十分之一十邊形（即圖18所用多邊形）網(wǎng)絡(luò)的相同紋樣。生成的多邊形網(wǎng)絡(luò)包含兩種邊長(zhǎng)，其比例關(guān)系與五邊形拼塊的邊對(duì)角線比一致。最終紋樣可通過廣義接觸多邊形法由該網(wǎng)絡(luò)生成：短邊入射角72°，長(zhǎng)邊入射角36°。中心置入二十重玫瑰花結(jié)，間隔花瓣尖端與十重玫瑰花結(jié)相接，中間花瓣尖端的線條延伸直至與紋樣中其他線條交匯。經(jīng)復(fù)原的矩形嵌板四角本應(yīng)設(shè)有二十重玫瑰花結(jié)的四分之一扇形區(qū)（此類嵌板常見特征，反映多數(shù)紋樣實(shí)為周期圖案的局部截?。蛳笙掊e(cuò)位且屬嵌板修復(fù)最密集區(qū)域，圖中已予省略。

圖18 阿爾罕布拉宮博物館第4584號(hào)嵌板結(jié)構(gòu)解析

圖19

此紋樣的獨(dú)特之處在于包含大量近乎連續(xù)的貫通直線。圖18右下角標(biāo)注的水平線高度顯示，存在五個(gè)方向族系，彼此夾角36°。在某些準(zhǔn)周期密鋪中，可通過在原胞拼塊上裝飾線段，使其跨越密鋪邊緣銜接，形成覆蓋整個(gè)平面的連續(xù)直線網(wǎng)格——這類線條稱為阿曼棒。平行阿曼棒的相鄰間距存在兩種規(guī)格，傳統(tǒng)記作S（短距）與L（長(zhǎng)距）。它們構(gòu)成的非重復(fù)序列既不會(huì)出現(xiàn)相鄰S，也不會(huì)出現(xiàn)連續(xù)三個(gè)L。

圖18中的線條并非真正的阿曼棒——標(biāo)注星號(hào)者未能在紋樣全幅范圍內(nèi)保持精確對(duì)齊，出現(xiàn)偏移導(dǎo)致S與L間隔互換位置（此類結(jié)構(gòu)缺陷在準(zhǔn)晶體中被稱為相子）。圖2(b)的周期紋樣雖具有相似線條，但其序列呈現(xiàn)重復(fù)性：垂直方向的"類阿曼棒"序列為SLSL，與垂直方向呈36°夾角的線條序列為SLLSLL，而與垂直方向呈72°夾角的線條則未形成規(guī)整對(duì)齊。

馬科維茨基團(tuán)隊(duì)[24]將圖18視為準(zhǔn)周期紋樣的典型案例，試圖探尋其與彭羅斯密鋪中"車輪"元素的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)。在承認(rèn)風(fēng)箏形與飛鏢形拼塊匹配存在困難后，他們轉(zhuǎn)而嘗試匹配馬科維茨基在研究圖9(b)馬拉蓋紋樣時(shí)發(fā)現(xiàn)的彭羅斯拼塊變體[20]。其最具突破性的論斷見于結(jié)論6[24, p. 125]：

阿爾罕布拉宮出土及摩洛哥地區(qū)發(fā)現(xiàn)的非周期"車輪"十邊形紋樣，基于馬科維茨基近期提出的彭羅斯非周期密鋪改良版"PM1密鋪"……我們推斷，馬林王朝與奈斯?fàn)柾醭墓そ常〝?shù)學(xué)家）必然掌握著類PM1對(duì)稱化的彭羅斯密鋪?zhàn)凅w，此類紋樣無疑收錄于其高級(jí)紋樣集中。

在論文其他章節(jié)中，作者對(duì)其推測(cè)性質(zhì)展現(xiàn)出更為審慎務(wù)實(shí)的態(tài)度。他們提出了另一種構(gòu)建方案：基于頂點(diǎn)位于十邊形拼塊中心的徑向?qū)ΨQ菱形網(wǎng)絡(luò)[24, 圖23]。

要將圖案歸類為周期性或徑向?qū)ΨQ，必須擁有足夠大的樣本以識(shí)別其模板及重復(fù)規(guī)則。同理，若要將圖案歸為準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)，則需描述一套構(gòu)建流程，使得給定局部圖樣能被視作覆蓋整個(gè)平面的準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)的一部分。僅憑有限片段中紋樣的幾何特征（如旋轉(zhuǎn)中心）與某種熟知的準(zhǔn)周期密鋪相吻合，并不足以構(gòu)成證據(jù)——我們必須找到基于紋樣自身元素構(gòu)建的生成程序。圖18底層拼塊集合與圖13所示P?拼塊集合均為具十重對(duì)稱性的大型拼塊，但僅后者具備準(zhǔn)周期延展的構(gòu)建邏輯。

筆者認(rèn)為，阿爾罕布拉宮紋樣的設(shè)計(jì)策略并不需要理解彭羅斯密鋪，其內(nèi)核不過是：將大型對(duì)稱母題（玫瑰花結(jié)）排布成徑向?qū)ΨQ模式，再填充空隙。本節(jié)開篇概述的構(gòu)建方法，完全采用據(jù)信為伊斯蘭藝術(shù)家所使用的技藝與母題完成了該紋樣的完整生成。其整體結(jié)構(gòu)與圖5具有相同氣質(zhì)。"阿曼棒"實(shí)為構(gòu)建過程的副產(chǎn)品，盡管紋樣結(jié)構(gòu)可能經(jīng)過演化篩選以強(qiáng)化其視覺效果，這些線條在構(gòu)建過程中也有助于維持各元素間的精確對(duì)齊。

伊斯法罕紋樣

圖20所示雙層紋樣與前述托普卡帕卷軸案例類似，均基于細(xì)分原理構(gòu)建。大層級(jí)紋樣為源自圖1(b)蝶結(jié)-十邊形密鋪的"星與風(fēng)箏"圖案。用于生成小層級(jí)紋樣的蝶結(jié)形與十邊形細(xì)分方式如圖21(a)與(c)所示（灰色區(qū)域?yàn)榇髮蛹?jí)紋樣疊加）。復(fù)合拼塊的邊由兩個(gè)梭形對(duì)角線及一個(gè)十邊形對(duì)角線構(gòu)成。該圖案不具備層級(jí)不變性：大層級(jí)紋樣的多邊形網(wǎng)絡(luò)包含被4個(gè)十邊形環(huán)繞的蝶結(jié)形，但這種局部構(gòu)型并未出現(xiàn)在小層級(jí)網(wǎng)絡(luò)中。

圖20 仿伊斯法罕伊瑪目陵墓的雙層紋樣

圖21 細(xì)分結(jié)構(gòu) (a) 與 (c) 源自伊斯法罕建筑紋樣[17]，縮放系數(shù)為4+2√5≈8.472

這些細(xì)分規(guī)則由盧克與斯坦哈特[17]從伊斯法罕建筑的三組層級(jí)紋樣中推導(dǎo)得出。圖22灰色區(qū)域標(biāo)示出這些紋樣底層大層級(jí)多邊形網(wǎng)絡(luò)的局部：矩形帶狀區(qū)域環(huán)繞聚禮清真寺門道內(nèi)側(cè)，三角形區(qū)域?yàn)橐连斈苛昴挂粚?duì)鏡像拱肩之一，拱形區(qū)域同樣源自伊瑪目陵墓門道的鼓室——照片見文獻(xiàn)[17,35]。邦納[2]為伊瑪目陵墓拱形紋樣提出了另一種細(xì)分方案，其大層級(jí)紋樣以圖2(a)密鋪為基礎(chǔ)。

圖22 伊斯法罕紋樣中使用的蝶結(jié)形與十邊形密鋪局部

伊瑪目陵墓鼓室馬賽克與圖20的完美對(duì)稱構(gòu)建存在數(shù)處差異：例如中心復(fù)合蝶結(jié)形右上角的蝶結(jié)-梭形組合（如圖7(a)所示）發(fā)生鏡像翻轉(zhuǎn)；上部復(fù)合十邊形邊角的蝶結(jié)-梭形組合同樣出現(xiàn)翻轉(zhuǎn)；兩側(cè)邊界弧段下端的十邊形被替換為圖7(d)組合。這些對(duì)復(fù)合十邊形的修改似為刻意為之——所有邊角均采用統(tǒng)一改動(dòng)，以小十邊形替換可能更便于馬賽克嵌入壁龕。而蝶結(jié)形的異?；蛟S源于工匠失誤。

若欲以伊斯法罕細(xì)分為基礎(chǔ)構(gòu)建替代密鋪，則需為梭形拼塊設(shè)計(jì)配套的細(xì)分規(guī)則。在此過程中應(yīng)效仿兩種樣本的特征——細(xì)分的鏡像對(duì)稱性，以及拼塊與灰線的相對(duì)位置關(guān)系。需注意灰線的焦點(diǎn)（如角點(diǎn)或交叉點(diǎn)）始終位于十邊形中心，而連接路徑則縱向貫穿蝶結(jié)形。圖21(b)呈現(xiàn)筆者的解決方案：雖部分滿足上述準(zhǔn)則，但存在缺陷——灰線某些角點(diǎn)間距過近，導(dǎo)致以其為中心的十邊形相互重疊，且路徑貫穿蝶結(jié)形與兩端鏡像對(duì)稱要求產(chǎn)生沖突。該補(bǔ)充細(xì)分雖使膨脹過程得以實(shí)現(xiàn)，但生成的密鋪可能僅具數(shù)學(xué)理論價(jià)值。細(xì)分的大縮放系數(shù)導(dǎo)致膨脹增長(zhǎng)率相應(yīng)增大：十邊形經(jīng)兩次膨脹后，拼塊總數(shù)將達(dá)約15000枚（作為對(duì)比，圖13所示拼塊集合約含1500枚）。

盧克與斯坦哈特在探討準(zhǔn)周期性時(shí)引用了伊斯法罕紋樣，針對(duì)拱肩部分他們指出[17, p. 1108]：

"伊瑪目陵墓的鑲嵌圖案雖未嵌入非周期框架，但理論上可擴(kuò)展為無限準(zhǔn)周期紋樣。"

此言意指大層級(jí)紋樣的可見局部足夠小，尚未顯現(xiàn)平移對(duì)稱性，故該拼塊可能屬于非周期密鋪的一部分。若僅憑任意密鋪的有限片段，在缺乏局部或整體結(jié)構(gòu)信息的情況下，根本無法判定其周期性。盡管伊瑪目陵墓紋樣中明顯周期性的缺失，可被解讀為藝術(shù)家刻意營(yíng)造的模糊性表達(dá)，但依我之見，這更可能是受紋樣美學(xué)特質(zhì)、小層級(jí)紋樣嵌片相對(duì)尺寸與填充區(qū)域面積等多重因素影響的選擇結(jié)果。事實(shí)上，三組伊斯法罕紋樣均以同一周期密鋪為基礎(chǔ)，這一事實(shí)本身即暗示其底層組織原則的周期性特征——聚禮清真寺紋樣中單向平移的可見性便是明證。

盧克與斯坦哈特同時(shí)觀察到，中世紀(jì)藝術(shù)家并非對(duì)單個(gè)大型拼塊進(jìn)行細(xì)分，而是采用由若干大型拼塊構(gòu)成的組合進(jìn)行細(xì)分——這種構(gòu)型在小層級(jí)網(wǎng)絡(luò)中并不存在。他們隨后指出[17, p. 1108]：

"這種任意且非必要的選擇意味著，嚴(yán)格來說該密鋪并非自相似，盡管重復(fù)應(yīng)用細(xì)分規(guī)則仍可生成非周期密鋪。"

這給人以下印象：若中世紀(jì)工匠有此意愿，他們完全可以單塊拼塊為起點(diǎn)，通過膨脹操作直至覆蓋所需空間。但我們必須警惕以現(xiàn)代抽象概念解讀古代作品。尚無證據(jù)表明中世紀(jì)工匠理解膨脹流程——這些馬賽克僅需單次細(xì)分層級(jí)，且未包含迭代膨脹所必需的梭形細(xì)分規(guī)則。

依我之見，伊斯法罕紋樣與托普卡帕卷軸的雙層設(shè)計(jì)如出一轍，最合理的解釋是：將細(xì)分法應(yīng)用于周期性大層級(jí)紋樣以生成小層級(jí)填充。更進(jìn)一步說，大層級(jí)紋樣的選擇絕非隨意之舉——它作為最古老、最普遍的十邊形星形紋樣之一，必然為中世紀(jì)觀者所熟知，即便僅憑局部片段亦能辨識(shí)。

與彭羅斯密鋪的關(guān)聯(lián)

20世紀(jì)70年代，隨著非周期拼塊組（以彭羅斯風(fēng)箏與飛鏢形最為著名）的發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用細(xì)分與膨脹法生成具有禁忌旋轉(zhuǎn)中心的準(zhǔn)周期密鋪成為研究熱點(diǎn)。彭羅斯密鋪具有局部五重與十重旋轉(zhuǎn)中心，部分伊斯蘭紋樣同樣具備這些非尋常對(duì)稱特性，這一現(xiàn)象促使眾多學(xué)者探索二者間的關(guān)聯(lián)[1, 17, 20, 24, 27]。

圖23展示了風(fēng)箏形與飛鏢形拼塊向蝶結(jié)形、梭形及十邊形拼塊的細(xì)分過程。與前例相同，風(fēng)箏形與飛鏢形的邊線均落在拼塊的鏡像線上。通過這種替代規(guī)則，任何彭羅斯密鋪皆可轉(zhuǎn)化為伊斯蘭風(fēng)格的紋樣[27]。更值得注意的是，由于風(fēng)箏形與飛鏢形拼塊屬于非周期組合，由此生成的紋樣必然具有非周期性。

圖23 彭羅斯風(fēng)箏形與飛鏢形拼塊的細(xì)分

這種轉(zhuǎn)換亦可反向進(jìn)行。圖24展示了三種伊斯蘭拼塊向風(fēng)箏形與飛鏢形細(xì)分的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中兩個(gè)組合對(duì)彭羅斯密鋪研究者而言尤為熟悉：(a)為康威蠕蟲結(jié)構(gòu)中的長(zhǎng)蝶結(jié)形組件，(b)為車輪密鋪的中心樞紐。值得注意的是，(b)的構(gòu)成方式與圖7(d)如出一轍，即由(a)與(c)組合而成。

圖24 彭羅斯風(fēng)箏形與飛鏢形拼塊組合

風(fēng)箏形與飛鏢形拼塊附有匹配規(guī)則，旨在通過拼圖式組裝阻止周期密鋪的構(gòu)建。圖24中，每個(gè)飛鏢形"翼部"的兩個(gè)角與每個(gè)風(fēng)箏形鏡像線上的兩個(gè)角均以灰色扇形標(biāo)記；匹配規(guī)則要求灰色角僅能與灰色角相鄰。這一規(guī)則有效阻止了諸如蝶結(jié)形與十邊形在圖中以"星與風(fēng)箏"紋樣方式組合——例如，十邊形對(duì)角位置無法同時(shí)放置兩個(gè)蝶結(jié)形。

圖24中風(fēng)箏形與飛鏢形拼塊的標(biāo)記賦予復(fù)合拼塊獨(dú)特的匹配規(guī)則：每個(gè)復(fù)合拼塊的各邊均設(shè)有將邊長(zhǎng)按黃金比例分割的灰點(diǎn)，并以箭頭指向較短區(qū)段進(jìn)行標(biāo)識(shí)。與前述彭羅斯密鋪的頂點(diǎn)匹配規(guī)則不同，此處對(duì)密鋪邊施加約束——構(gòu)成密鋪邊的兩側(cè)箭頭必須指向相同方向。通過此類標(biāo)記與匹配規(guī)則，蝶結(jié)形與梭形即構(gòu)成非周期拼塊組。其證明思路如下：圖25的細(xì)分規(guī)則表明可通過膨脹法實(shí)現(xiàn)平面密鋪，而任何由蝶結(jié)形與梭形構(gòu)成的周期密鋪均可轉(zhuǎn)化為風(fēng)箏形與飛鏢形的周期密鋪——但后者根本不可能存在。這些標(biāo)記拼塊的替代矩陣與斐波那契數(shù)列相關(guān)聯(lián)，替代密鋪中梭形與蝶結(jié)形的數(shù)量比即為黃金分割比。值得注意的是，貫穿復(fù)合蝶結(jié)形中心的水平線縱向穿越小蝶結(jié)形、橫向穿越小梭形，經(jīng)膨脹生成具有相同屬性的更長(zhǎng)線段，最終替代密鋪中將包含任意長(zhǎng)度的此類平行線（因無法相交而必保持平行）。這些線段承襲了自身的一維替代規(guī)則。

結(jié)論

在前述章節(jié)中，筆者闡述了伊斯蘭幾何紋樣的構(gòu)建方法，簡(jiǎn)要介紹了替代密鋪的現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論，并剖析了若干傳統(tǒng)伊斯蘭紋樣。現(xiàn)將討論中得出的結(jié)論歸納如下：

1伊斯蘭藝術(shù)家使用的原胞拼塊集合（圖6）具備構(gòu)建準(zhǔn)周期密鋪的潛力。通過基于膨脹的替代密鋪或采用標(biāo)記拼塊的匹配規(guī)則，均可生成此類范例。

2藝術(shù)家確實(shí)運(yùn)用細(xì)分法創(chuàng)作層級(jí)紋樣。托普卡帕卷軸存有技法實(shí)例，伊斯法罕建筑的三組紋樣亦可由此技法闡釋。這些原胞拼塊以多元自我細(xì)分能力展現(xiàn)出非凡特質(zhì)。

3尚無證據(jù)表明伊斯蘭藝術(shù)家曾迭代運(yùn)用細(xì)分流程——筆者所見的全部紋樣僅具雙層結(jié)構(gòu)。這在一定程度上受限于實(shí)際因素：大小層級(jí)紋樣間的縮放系數(shù)通常較大，而紋樣區(qū)域相對(duì)較小。托普卡帕卷軸的細(xì)分體系更因五邊形與蝶結(jié)形缺乏復(fù)合版本，導(dǎo)致迭代無法實(shí)現(xiàn)。

4未見伊斯蘭藝術(shù)家使用匹配規(guī)則的證據(jù)。最接近強(qiáng)制非周期性裝飾手法的當(dāng)屬阿曼棒——某些紋樣中出現(xiàn)的相似線條實(shí)為構(gòu)建過程的副產(chǎn)品，而非設(shè)計(jì)流程的輸入要素，盡管此類特征可能因美學(xué)吸引力而被刻意保留。

5本文分析的紋樣不足以證明伊斯蘭藝術(shù)家掌握準(zhǔn)周期紋樣的生成工藝。這些紋樣要么是通過矩形邊反射生成的周期結(jié)構(gòu)，要么是具有徑向?qū)ΨQ性的大型設(shè)計(jì)。多層級(jí)紋樣呈現(xiàn)的是層級(jí)性，而非層級(jí)不變性。

本文聚焦于具局部五重對(duì)稱性的紋樣研究。西班牙與摩洛哥地區(qū)存在具局部八重對(duì)稱性的同類紋樣，塞維利亞王宮少女中庭的精美雙層設(shè)計(jì)即為典例[22]——這些紋樣底層多邊形網(wǎng)絡(luò)的幾何結(jié)構(gòu)基于√2比例體系而非黃金分割比。穆克納斯（通過層疊單元逐級(jí)縮小中心孔洞形成的鐘乳石狀穹頂）的平面圖有時(shí)亦展現(xiàn)相似特征，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與由正方形和45°-135°菱形構(gòu)成的阿曼-賓克準(zhǔn)周期密鋪[33]高度相似。后者作為另一種可通過細(xì)分與膨脹生成的替代密鋪，其拼塊同樣可裝飾線段以形成阿曼棒。針對(duì)某些伊斯蘭八重紋樣，學(xué)界已提出與本文評(píng)估相類的論斷[2, 6, 22, 23]。

依筆者之見，伊斯蘭世界對(duì)細(xì)分的興趣最可能源于多層紋樣的創(chuàng)作需求。伊斯蘭藝術(shù)家無疑熟稔通過反射、旋轉(zhuǎn)和平移重復(fù)模板生成紋樣的技法，他們或許對(duì)晶體學(xué)限制律具有直覺認(rèn)知，意識(shí)到全局五重與十重旋轉(zhuǎn)中心與周期性的天然矛盾。盡管他們確實(shí)掌握構(gòu)建準(zhǔn)周期紋樣的工具，卻缺乏相應(yīng)的理論框架來認(rèn)知這種可能性及其深遠(yuǎn)意義。

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最后照例放些跟張大少有關(guān)的圖書鏈接。

青山 不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。

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