Categorical probability spaces, ergodic decompositions, and

transitions to equilibrium

范疇概率空間、遍歷分解與趨向平衡

https://arxiv.org/pdf/2310.04267

摘要

我們研究了一個由概率空間和保測馬爾科夫核構(gòu)成的范疇，其等價(jià)關(guān)系為幾乎必然相等。該范疇的同構(gòu)其中包括了概率空間的模零同構(gòu)。它還建立了隨機(jī)變量的值空間與其在結(jié)果空間上生成的σ-代數(shù)之間的同構(gòu)，反映了標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)實(shí)踐，即互換使用兩者，例如在取條件期望時。

我們表明，來自經(jīng)典概率論的許多構(gòu)造和結(jié)果，主要涉及平衡概念，可以用該范疇來表達(dá)和證明。特別是：

? 給定一個作用在標(biāo)準(zhǔn)博雷爾空間上的隨機(jī)動力系統(tǒng)，我們表明幾乎必然不變σ-代數(shù)可以作為極限和余極限得到；

? 在上述設(shè)定下，幾乎必然不變σ-代數(shù)模我們范疇的同構(gòu)，導(dǎo)出了一個標(biāo)準(zhǔn)博雷爾空間；

? 作為推論，我們給出了隨機(jī)作用的遍歷分解定理的一個純范疇的、幾乎必然版本；

? 作為示例，我們展示了德菲內(nèi)蒂定理和休伊特 - 薩維奇零一律如何融入這一極限 - 余極限圖景。

本工作使用了范疇概率論的工具，特別是馬爾科夫范疇，以及 dagger 范疇理論。

1 引言

近年來，人們對概率論及相關(guān)領(lǐng)域的范疇論結(jié)構(gòu)越來越感興趣。雖然這方面的第一步可以追溯到 Lawvere [Law] 和 ˇCencov [ ˇC65]，他們研究了可測空間和馬爾科夫核的范疇 Stoch，但直到最近十年，才出現(xiàn)了通過范疇方法陳述、證明和解釋概率論結(jié)果的系統(tǒng)性努力。

今天，范疇概率論主要有兩種形式體系，它們密切相關(guān)。一方面是有概率單體 1，例如 Giry 單體 [Gir82] 和 Radon 單體 [ ?Sw74]，參見 [Jac17] 概述和 [Per18, 第 1 章] 介紹。這些單體允許形成概率分布、聯(lián)合分布、邊緣分布的空間，并且通過 Kleisli 和 Eilenberg-Moore 構(gòu)造，它們允許談?wù)撾S機(jī)映射和期望值。另一方面，我們有特別結(jié)構(gòu)的幺半范疇，例如 copy-discard 范疇（[CJ19]，也稱為 garbage-share 幺半范疇 [Gad96]）和 Markov 范疇（[Fri20]，也稱為 affine copy-discard 范疇）。它們將確定性、隨機(jī)獨(dú)立性和條件化等概率概念作為額外結(jié)構(gòu)納入其中。Markov 范疇已被用于以范疇方式陳述和證明經(jīng)典概率論的許多結(jié)果，例如 Hewitt-Savage 和 Kolmogorov 零一律（[FR20]）、de Finetti 定理（[FGP21]）、d-分離準(zhǔn)則（[FK23]）以及確定性動力系統(tǒng)的遍歷分解定理（[MP22a]）。

正如 [FGPR] 和 [MP22b] 所示，Markov 范疇和概率單體以富有成效的方式相互作用。例如，笛卡爾幺半范疇上的 affine 幺半單體的 Kleisli 范疇是 Markov 的。這兩種形式體系也可以從計(jì)算機(jī)科學(xué)的視角來看，其中概率單體可以將概率計(jì)算添加到純程序中 [JP89]，而諸如 Markov 范疇之類的幺半范疇可以描述概率程序的范疇語義，特別是條件化過程 [Ste21, SS21]。

在這項(xiàng)工作中，我們推進(jìn)了基于 dagger 范疇的范疇概率論第三種形式體系，研究了它與 Markov 范疇的一些聯(lián)系，并用它來表達(dá)一些經(jīng)典概率結(jié)果。dagger 范疇可以被視為一個范疇，其中態(tài)射可以“雙向行走”而不必是同構(gòu)，類似于無向圖的邊（參見例如 [Kar18] 了解更多細(xì)節(jié)）。dagger 范疇在量子信息論的范疇方法中有著悠久的使用歷史，至少自 [AC04, CP07, Sel07] 以來（另見 [HV19] 了解更近期的敘述）。這里我們感興趣的卻是經(jīng)典概率。我們想要建模的情況是一個范疇，其對象是概率空間（即配備有概率測度的可測空間），其態(tài)射是隨機(jī)映射的一個版本，dagger 結(jié)構(gòu)由貝葉斯逆給出。等價(jià)地，從傳輸理論 [Vil09] 的角度來看，我們可以將這樣的 dagger 范疇視為概率空間及其之間傳輸計(jì)劃的范疇（參見例如 [Per21]）。正如 Markov 范疇的原型例子是 BorelStoch，我們目的的主要 dagger 范疇例子是標(biāo)準(zhǔn)博雷爾概率空間和幾乎必然相等商化的馬爾科夫核構(gòu)成的范疇 PS(BorelStoch)。據(jù)我們所知，這個范疇及其 dagger 結(jié)構(gòu)首先在 [DDGS18] 中被研究。在 [Fri20, 第 13 節(jié)] 中展示了如何從 BorelStoch 范疇地獲得這個范疇，以便人們可以通過用任意具有條件化的 Markov 范疇替換 BorelStoch 來推廣這個構(gòu)造。

我們在這里用 dagger 研究的主要概率現(xiàn)象是動力系統(tǒng)和馬爾科夫鏈的不變性和平衡概念。我們表明，在范疇 PS(BorelStoch) 中，不變σ-代數(shù)滿足一個 dagger-范疇泛性質(zhì)，既是極限又是余極限。僅這一事實(shí)就允許人們陳述和證明一般遍歷分解定理的幾乎必然版本（類似于 [MP22a] 的版本，但在確定性情況之外有效）。我們還表明，所有冪等元在 PS(BorelStoch) 中分裂，使用在 [FGL+23] 中為 BorelStoch 證明的類似結(jié)果，并根據(jù)對動力學(xué)的“平均”給出 PS(BorelStoch) 中冪等元的解釋（見第 3.5 節(jié)）。2 為了說明我們的形式體系，我們表明它允許我們將 de Finetti 定理和 Hewitt-Savage 零一律結(jié)合成一個連貫、統(tǒng)一的圖景，與傳統(tǒng)概率論中這些陳述的使用兼容（見第 4 節(jié)）。

我們希望這項(xiàng)工作為 dagger-范疇方法在概率和動力系統(tǒng)上的進(jìn)一步應(yīng)用鋪平道路，并提供經(jīng)典概率和量子概率之間更深的聯(lián)系。

大綱 ? 在第 2 節(jié)中，我們回顧了 ProbStoch(C)（或 PS(C)）的構(gòu)造，其中 C 是一個因果 Markov 范疇，并建立了關(guān)于它的一些新事實(shí)。首先，我們表明（幾乎必然）確定性，在 Markov-范疇意義上，可以用 PS(C) 中的 dagger 滿性來表示（命題 2.5）。然后我們轉(zhuǎn)而研究 PS(Stoch) 的具體情況下的同構(gòu)：我們在命題 2.8 中表明，它們包括測度空間的模零同構(gòu)，并且任何滿射隨機(jī)變量 f 誘導(dǎo)值空間與結(jié)果空間（具有由 f 生成的σ-代數(shù)）之間的同構(gòu)。在 2.2 節(jié)中，我們定義了 PS(Stoch) 中的動力系統(tǒng)，解釋了它們作為平穩(wěn)馬爾科夫鏈的解釋，并查看了態(tài)射的不變性概念，推廣了不變測度和不變可觀測量。

? 在第 3 節(jié)中，我們陳述并證明了這項(xiàng)工作的主要結(jié)構(gòu)結(jié)果。在 3.1 節(jié)中，我們表明對于 PS(Stoch) 中的每個（隨機(jī)、保測）動力系統(tǒng)，幾乎必然不變集的σ-代數(shù)是一個余極限，與 dagger 結(jié)構(gòu)兼容。在 3.2 節(jié)中，我們表明所有冪等元在 PS(BorelStoch) 中分裂（定理 3.14），并且作為結(jié)果，標(biāo)準(zhǔn)博雷爾空間上幾乎必然不變集的σ-代數(shù)在 PS(Stoch) 的同構(gòu)下再次是標(biāo)準(zhǔn)博雷爾空間（推論 3.17）。這特別意味著每個配備有任何子σ-代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)博雷爾空間在 PS(Stoch) 的同構(gòu)下再次是標(biāo)準(zhǔn)博雷爾空間（推論 3.18）。在 3.3 節(jié)中，我們表明幾乎必然不變集的σ-代數(shù)在 PS(BorelStoch) 中也是一個極限，而不僅僅是一個余極限。在 3.4 節(jié)中，我們使用這一事實(shí)來陳述并證明遍歷分解定理的幾乎必然版本定理 3.29。然后在 3.5 節(jié)中，我們展示了 PS(BorelStoch) 中的冪等元如何用于表達(dá)動力系統(tǒng)和馬爾科夫鏈的“平衡”概念。

? 在第 4 節(jié)中，我們將第 3 節(jié)的結(jié)果應(yīng)用于 C = BorelStoch 的具體情況，以范疇方式表達(dá)概率論的一些經(jīng)典構(gòu)造和陳述。我們首先查看有限置換（4.1 節(jié)），然后轉(zhuǎn)向無限情況，在那里我們給出了 de Finetti 定理和 Hewitt-Savage 零一律的范疇幾乎必然版本，表明獨(dú)立同分布序列在置換下是遍歷的（4.2 節(jié)），以及伯努利移位（4.3 節(jié)）。

? 最后，在附錄 A 中，我們給出了一些關(guān)于 Markov 范疇的背景。我們也為感興趣的讀者提供了更深入材料的參考文獻(xiàn)。

2 PS構(gòu)造

本工作中主要關(guān)注的范疇是范疇 PS(Borel)，它由概率空間和馬爾可夫核構(gòu)成，并在幾乎必然相等的意義下取值。它首先在 [DDGS18] 中被定義（使用名稱 Krn）。

首先，讓我們?yōu)轳R爾可夫核定義幾乎必然相等，實(shí)例化一般馬爾可夫范疇的概念（見附錄 A.1，以及原始來源 [CJ19, 第 5 節(jié)] 和 [Fri20, 第 13 節(jié)]）?？紤]可測空間 X 和 Y，以及 X 上的概率測度 p。我們說兩個馬爾可夫核 f, g: X → Y 是 p-幾乎必然相等的，如果對于 X 的所有可測子集 A 和 Y 的所有可測子集 B，我們有

由于范疇 Stoch 和 BorelStoch 是因果的，我們可以形成范疇 PS(Stoch) 和 PS(BorelStoch)，且后者恰好恢復(fù)了定義 2.1。

每當(dāng)我們有 C 的態(tài)射的一個平行對 f, g : X → Y，并且我們還有 X 上的一個狀態(tài) p 時，如果這兩個態(tài)射是 p-幾乎必然相等的（即如果 PS(C) 中得到的態(tài)射是相等的），我們記作 f ? g；而如果 C 的態(tài)射是相等的，我們記作 f = g，這是一個更強(qiáng)的條件。對于 C = BorelStoch，這恰好是馬爾可夫核的相等性與幾乎必然相等性之間的區(qū)別。

2.1 PS(Stoch) 中的同構(gòu)

2.2 動力系統(tǒng)和馬爾可夫鏈

本工作中考慮的另一個主要結(jié)構(gòu)是動力系統(tǒng)（dynamical system），我們將其寫成一個圖表（即作為一個函子），并將對其取極限和余極限。正如我們將看到的，PS(Stoch) 中的動力系統(tǒng)推廣了平穩(wěn)馬爾可夫鏈。

定義 2.11. 設(shè) A A 為一個范疇。 A A 中的一個動力系統(tǒng)由以下組成：

3 主要結(jié)果

3.1 作為余極限的不變 σ σ-代數(shù)

我們現(xiàn)在將不變對象（invariant objects）定義為特定的余極限。它們可以被視為“模不可區(qū)分性和模零測的軌道空間”。為了獲得額外的直觀（不含零測部分），參見 [MP22a, 第 2.1 節(jié)和附錄 A]。對于 S t o c h
，正如我們要展示的，它們由（幾乎必然）不變 σ -代數(shù)給出。

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2310.04267