幾何的重構(gòu)：從歐幾里得的直覺(jué)到現(xiàn)代公理的嚴(yán)謹(jǐn)
數(shù)學(xué)家引入的線性代數(shù)方法，從未否定歐幾里得的幾何觀念。恰恰相反，推廣了這些經(jīng)典思想，拓寬了適用邊界，甚至更豐富了歐氏幾何的內(nèi)涵。但在數(shù)學(xué)史上，另有一股巨大的思想浪潮，從根本上動(dòng)搖了歐幾里得幾何的形式化基礎(chǔ)，也開(kāi)啟了一場(chǎng)貫穿百年的幾何體系重構(gòu)之路。

一、第五公設(shè)之謎：重構(gòu)的起點(diǎn)

19世紀(jì)，數(shù)學(xué)界迎來(lái)了幾何分支的爆發(fā)，而引爆這一切的導(dǎo)火索，正是對(duì)第五公設(shè)（Parallel Postulate）的深深質(zhì)疑。古希臘學(xué)者普羅克洛斯（Proclus）曾這樣清晰表述這條公設(shè)：

在平面上，過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行。

這條公設(shè)被歐幾里得納入《幾何原本》，也完全契合我們的日常直覺(jué)。但數(shù)學(xué)家們始終存有一個(gè)疑問(wèn)：它看起來(lái)更像一條可以被證明的定理，而非無(wú)需證明的公設(shè)？換個(gè)角度想，我們能否構(gòu)想出一套幾何體系，讓這條公設(shè)徹底失效？

對(duì)19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家而言，這不僅是學(xué)術(shù)難題，更是一場(chǎng)思維突破：他們必須擺脫那些源于物理直覺(jué)、卻可能僵化思維的固有認(rèn)知，還要克服對(duì)古人教條的盲目尊崇，才敢觸碰這套可能顛覆經(jīng)典的全新幾何，而這條探索之路，從一開(kāi)始就布滿阻礙。

早在19世紀(jì)初，卡爾·弗里德里?！じ咚梗–arl Friedrich Gauss）就已著手質(zhì)疑這條公設(shè)。1813年，他在給朋友的信中寫(xiě)道：“在平行線理論上，我們比歐幾里得高明不到哪去，這簡(jiǎn)直是數(shù)學(xué)的恥辱?！倍?817年，高斯已然確信非歐幾里得幾何（Non-Euclidean geometry）是真實(shí)存在的。

1832年，數(shù)學(xué)家鮑耶·亞諾什（János Bolyai）完成了相關(guān)主題的論文。此時(shí)，非歐幾何的存在雖未得到嚴(yán)格的形式化證明，卻已有了強(qiáng)有力的佐證。高斯對(duì)此的評(píng)價(jià)耐人尋味：“祝賀你，就像是祝賀我自己一樣?！庇幸馑嫉氖?，高斯生前從未發(fā)表相關(guān)成果，大概率是為了規(guī)避當(dāng)時(shí)的學(xué)術(shù)爭(zhēng)論。

幾乎在同一時(shí)期，尼古拉·羅巴切夫斯基（Nikola? Lobatchevski，1792-1856）領(lǐng)先鮑耶·亞諾什一步，于1829年在俄國(guó)期刊《喀山通報(bào)》（Le messager de Kazan）上，率先系統(tǒng)描述了同類幾何體系。遺憾的是，他后續(xù)發(fā)表的兩篇相關(guān)著作，在當(dāng)時(shí)并未引起數(shù)學(xué)界的重視。

后來(lái)，伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866）在高斯的指導(dǎo)下完成博士論文中確立了另一類非歐幾何的存在。這篇極具開(kāi)創(chuàng)性的論文，同樣生不逢時(shí)，直到黎曼去世兩年后才正式出版，當(dāng)時(shí)的影響力也十分有限。

雙曲幾何示例

這兩類非歐幾何，徹底打破了歐幾里得的直覺(jué)框架：

• 雙曲幾何（Hyperbolic structure）（羅巴切夫斯基、鮑耶·亞諾什體系）：過(guò)直線外一點(diǎn)，能作出無(wú)數(shù)條與已知直線平行的直線。如上圖所示，直線 、 、 均過(guò)點(diǎn) 且不與直線 相交，因此都是 的平行線；但奇怪的是，這三條直線彼此之間并不平行——這意味著，我們熟知的“平行公理”失效了：兩條直線都平行于第三條直線，但它們之間卻不一定平行。

• 橢圓幾何（Elliptic structure）（黎曼體系）：這里不存在任何平行線，所有直線最終都會(huì)相交，就像球面上的大圓（如地球的經(jīng)線），看似平行，實(shí)則終將匯聚于兩極。

隨著各類新幾何的涌現(xiàn)，整個(gè)幾何領(lǐng)域變得更復(fù)雜。歐幾里得的《幾何原本》，早已無(wú)法解釋眼前這五花八門的幾何體系：歐幾里得向量空間（Euclidean Vector Space）、歐幾里得仿射空間（Euclidean Affine Space）、射影空間（Projective Space）、橢圓幾何、雙曲幾何，還有莫比烏斯帶（M?bius strip）這類奇異的幾何對(duì)象。

每種幾何都有獨(dú)立的定義，彼此間既有諸多相似之處，推導(dǎo)出的定理卻又因人而異、因體系而異。歐幾里得幾何的霸主地位終結(jié)后，幾何領(lǐng)域失去了統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)習(xí)和研究變得異常艱難，而終結(jié)這場(chǎng)混亂的人是一位年僅24歲的年輕教授。

1872年，剛受聘為埃爾朗根大學(xué)教授的菲利克斯·克萊因（Felix Klein，1848-1925），在就職演說(shuō)中提出了一套全新框架，這就是著名的埃爾朗根綱領(lǐng)（Erlangen Program），為所有幾何分支找到了統(tǒng)一的標(biāo)尺。

這項(xiàng)工作在科學(xué)界引發(fā)了巨大反響：歐幾里得幾何的獨(dú)尊地位雖被終結(jié)，但圍繞第五公設(shè)的百年?duì)幷?，也終于畫(huà)上了句號(hào)。克萊因并未拋棄歐幾里得幾何，而是對(duì)其進(jìn)行了徹底重構(gòu)——他借鑒了詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特（James Joseph Sylvester，1814-1897）關(guān)于內(nèi)積（Scalar product）的研究，這是定義距離和角度的關(guān)鍵工具，讓這套經(jīng)典體系以全新的形式重獲生機(jī)。

克萊因的核心洞見(jiàn)是用變換群（Group）定義幾何——他提出，一類幾何的本質(zhì)，由其等距變換（Isometries）的集合決定。所謂等距變換，就是保持距離不變的幾何變換（如平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱），這些變換共同構(gòu)成一個(gè)幾何群。

這套框架的價(jià)值，遠(yuǎn)超所有人的預(yù)期：它將所有幾何系統(tǒng)分類整理，原本零散的特殊幾何，都成為了一般幾何體系下的特例；通用的幾何定理，也能在其整個(gè)適用范圍內(nèi)統(tǒng)一表述。更關(guān)鍵的是，滿足歐幾里得公理的空間（曲率為零），恰好處于兩種非歐幾何的中間狀態(tài)——一邊是曲率為負(fù)的雙曲幾何，另一邊是曲率為正的橢圓幾何，完美串聯(lián)起了看似對(duì)立的幾何世界。

對(duì)歐幾里得幾何而言，克萊因的這種定義，與通過(guò)內(nèi)積定義是完全等價(jià)的。雖然它的表述更抽象，卻擁有更強(qiáng)的普適性，這樣用變換群定義幾何，也成為了數(shù)學(xué)史上最高效的幾何研究方法之一。

三、歐幾里得的漏洞：嚴(yán)謹(jǐn)性的終極拷問(wèn)

歐幾里得幾何的重構(gòu)之路，并未隨著克萊因的統(tǒng)一而結(jié)束。它面臨的最后一場(chǎng)改革，直指幾何的核心邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性。

這場(chǎng)批判的焦點(diǎn)，并非歐幾里得的證明過(guò)程本身，而是他的公理體系地基不牢，缺少足夠的基礎(chǔ)公設(shè)，無(wú)法支撐起嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。這種質(zhì)疑，其實(shí)從古希臘時(shí)期就已存在：

• 克尼多斯的歐多克索斯（Eudoxus of Cnidus，公元前408-前355）和阿基米德（Archimedes，公元前287-前212），補(bǔ)充了如今被稱為阿基米德公理的內(nèi)容（簡(jiǎn)單說(shuō)，就是任何線段經(jīng)過(guò)有限次疊加，總能超過(guò)任意給定的更長(zhǎng)線段）；

• 16世紀(jì)，克里斯托弗·克拉維烏斯（Christophorus Clavius，1538-1612）指出，歐幾里得在建立比例論時(shí)缺少一條關(guān)鍵公設(shè)，無(wú)法保證比例線段的存在——而這正是《幾何原本》第五卷的核心內(nèi)容；

• 萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716）更敏銳地發(fā)現(xiàn)，歐幾里得常會(huì)借助幾何直覺(jué)，掩蓋公設(shè)的缺失。比如在構(gòu)造等邊三角形時(shí)，他畫(huà)了兩個(gè)圓，讓每個(gè)圓的圓心落在另一個(gè)圓上，卻未經(jīng)證明就默認(rèn)兩圓一定有交點(diǎn)；

• 高斯也補(bǔ)充道，歐幾里得對(duì)“圓周上兩點(diǎn)關(guān)系”的形式化描述十分粗糙，根本無(wú)法推廣到球面幾何中。

到了19世紀(jì)末，這類批評(píng)愈發(fā)密集，數(shù)學(xué)家們開(kāi)始主動(dòng)補(bǔ)全這些缺失的公設(shè)。其中最關(guān)鍵的一塊是連續(xù)性公設(shè)（Postulate of continuity），它由格奧爾格·康托爾（Georg Cantor，1845-1918）和理查德·戴德金（Richard Dedekind，1831-1916）論證其必要性，并完成了嚴(yán)格的形式化定義。

勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）的證明便是歐幾里得體系漏洞的典型例子。如上圖所示，歐幾里得認(rèn)為， 和 面積相等，因?yàn)橐粋€(gè)是另一個(gè)旋轉(zhuǎn)90度得到的。但在他的公理體系內(nèi)，這個(gè)結(jié)論根本無(wú)法嚴(yán)格證明——核心問(wèn)題在于，歐幾里得從未明確“數(shù)的性質(zhì)”：如果我們的幾何世界只包含有理數(shù)坐標(biāo)的點(diǎn)，那么旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)（坐標(biāo)可能是無(wú)理數(shù)）就會(huì)掉出這個(gè)世界，變得不存在了。

他既沒(méi)有說(shuō)明所用數(shù)的類型，也沒(méi)有任何公設(shè)能保證：旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱等變換，一定能保持距離不變，而這恰恰是幾何證明的核心前提。

四、希爾伯特的回答：現(xiàn)代幾何的公理基石

▼ 莫里茨?帕施(1843.11.8~1930.9.20)

20世紀(jì)初，歐幾里得公理化體系的漏洞已人盡皆知，補(bǔ)全漏洞的方案也逐漸成熟，重建一套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀未髲B，時(shí)機(jī)終于到來(lái)。這項(xiàng)重任，落在了莫里茨·帕施（Moritz Pasch，1843-1930）與大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert，1862-1943）的肩上。

他們的目標(biāo)清晰而激進(jìn)：所有幾何定理的證明，必須完全依賴邏輯推演，絕不能借助任何圖形直觀——邏輯規(guī)則，是唯一被允許的證明方法。帕施曾明確表述這一原則：

“我們必須明確列出原始概念，并通過(guò)它們邏輯地定義其他概念；我們必須明確列出基本命題（公設(shè)），并通過(guò)它們邏輯地證明其他命題（定理）。這些基本命題，必須表現(xiàn)為原始概念之間純粹的邏輯關(guān)系，且獨(dú)立于我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)中賦予這些原始概念的意義?！?/p>

如果一套公理體系足夠堅(jiān)固，不再需要直覺(jué)的支撐，那么用來(lái)描述概念的詞匯，本身就無(wú)關(guān)緊要了。希爾伯特有一句名言，生動(dòng)詮釋了這種形式化思想：

“我們必須能隨時(shí)把‘點(diǎn)、直線、平面’換成‘桌子、椅子、啤酒杯’，而定理依然成立。”

1899年，希爾伯特發(fā)表專題論文，在引言中為自己設(shè)定了明確目標(biāo)：構(gòu)建一套模擬平面的公理系統(tǒng)，同時(shí)滿足三項(xiàng)核心約束——簡(jiǎn)單性、完備性、獨(dú)立性。

雖然他沒(méi)有直接定義“完備性”，但隨即補(bǔ)充：這里的完備性主要指公理體系的完備性（Completeness），意指該公理系統(tǒng)已足夠滿(即體系自洽且無(wú)空隙)，無(wú)法在不違背現(xiàn)有公理的前提下再添加新的幾何元素。所謂簡(jiǎn)單性，是指能清晰判斷證明每條定理所需的公理，無(wú)冗余表述；獨(dú)立性則是指，去掉任意一條公設(shè)，都會(huì)誕生與歐幾里得幾何性質(zhì)相矛盾的新幾何——這也證明了，每條公設(shè)都是不可或缺的。

起初，希爾伯特構(gòu)建的系統(tǒng)包含五組公理，最后一組專門規(guī)范“連續(xù)性”，且可根據(jù)需求，補(bǔ)充一條與完備性等價(jià)的公理。隨后，他證明了這幾組公理的相容性（Consistency）——即至少存在一種幾何模型，能同時(shí)滿足所有公理。

為了證明相容性，希爾伯特構(gòu)造了一個(gè)代數(shù)宇宙：一個(gè)基于特定數(shù)域的仿射平面（Affine Plane）。這個(gè)數(shù)域具有特殊的代數(shù)性質(zhì)（如所有平方和的平方根仍在該數(shù)域內(nèi)），從而保證了所有幾何作圖都能完成。這個(gè)模型的存在，直接證明了所有公理之間不會(huì)相互矛盾——如果公理不相容，這樣的代數(shù)宇宙根本無(wú)法存在。

而公理的獨(dú)立性，則通過(guò)構(gòu)造殘缺公理體系的幾何模型來(lái)證明：去掉某組公理后，會(huì)得到性質(zhì)奇異的幾何世界，希爾伯特嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明了這類幾何的存在，甚至證明了存在不滿足乘法交換律的非帕斯卡幾何，以及包含無(wú)窮小量的非阿基米德幾何。

不過(guò)即便是希爾伯特的嚴(yán)謹(jǐn)構(gòu)建也還存在微小疏漏。后來(lái)，伊薩伊·舒爾（Issai Schur，1875-1941）與伊萊亞金·黑斯廷斯·穆?tīng)枺‥liakim Hastings Moore，1862-1932）各自獨(dú)立證明，這套公理體系中有一條公理是冗余的，它能由其他公理推導(dǎo)得出。

但這絲毫不影響這套體系的價(jià)值。希爾伯特的公理體系徹底填補(bǔ)了歐幾里得的漏洞，完成了幾何從直覺(jué)驅(qū)動(dòng)到公理驅(qū)動(dòng)的終極重構(gòu)，也成為了現(xiàn)代幾何的邏輯基石，影響至今。

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翻譯：【遇見(jiàn)數(shù)學(xué)】譯制，并補(bǔ)充部分內(nèi)容/圖片

來(lái)源：遇見(jiàn)數(shù)學(xué)

編輯：韶音

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