導(dǎo)語

對大規(guī)模量子系統(tǒng)（尤其是量子模擬器和巨型量子計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的系統(tǒng)）進(jìn)行高效刻畫，是量子科學(xué)領(lǐng)域面臨的核心挑戰(zhàn)，這源于希爾伯特空間隨系統(tǒng)規(guī)模呈指數(shù)級增長的特性。近年來，人工智能（AI）憑借其在高維模式識別和函數(shù)逼近方面的卓越能力，已成為應(yīng)對這一挑戰(zhàn)的利器。越來越多的研究將 AI 應(yīng)用于可擴(kuò)展量子系統(tǒng)的表征與建模，從理論基礎(chǔ)到實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)均有所涉獵。根據(jù)如何整合先驗(yàn)知識和學(xué)習(xí)架構(gòu)，AI 在量子系統(tǒng)表征中的應(yīng)用可歸納為三大協(xié)同范式：機(jī)器學(xué)習(xí)（特別是深度學(xué)習(xí)和語言模型）。本文綜述了這些 AI 范式如何助力量子系統(tǒng)表征的兩大核心任務(wù)——量子屬性預(yù)測與量子態(tài)替代模型構(gòu)建。這些任務(wù)支撐著從量子認(rèn)證、基準(zhǔn)測試到量子算法優(yōu)化、強(qiáng)關(guān)聯(lián)物質(zhì)相理解等多樣化應(yīng)用。文中還探討了關(guān)鍵挑戰(zhàn)與未解問題，并展望了 AI 與量子科學(xué)交叉領(lǐng)域的未來前景。

關(guān)鍵詞：??智能、量?系統(tǒng)表征、量?屬性預(yù)測、量?態(tài)替代模型、量?多體系統(tǒng)

杜玉軒、朱燕等丨作者

羅云丨譯者

張江丨審校

論文題目：Artificial intelligence for representing and characterizing quantum systems 論文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2509.04923 發(fā)表時(shí)間：2025年9月5日 論文來源：arxiv

關(guān)鍵點(diǎn)

• 人工智能模型可以用來以數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方式表示和刻畫可擴(kuò)展的量子系統(tǒng)，以完成量子屬性預(yù)測和隱式地去近似量子態(tài)重建的任務(wù)。

• 已設(shè)計(jì)出用于表征可擴(kuò)展量子系統(tǒng)的線性特性并分類量子相，并被證明是高效的機(jī)器學(xué)習(xí)模型。

• 深度學(xué)習(xí)模型通過表征學(xué)習(xí)為預(yù)測多種量子特性提供了強(qiáng)大工具，同時(shí)還能利用生成式建模方法隱式地重構(gòu)量子態(tài)。

• 基于 GPT 架構(gòu)的語言模型，為自回歸的方式表征大量量子態(tài)家族提供了靈活框架，為量子系統(tǒng)基礎(chǔ)模型的構(gòu)建鋪平道路，并為研究與應(yīng)用開辟了新方向。

I. 引言

量子工程領(lǐng)域的最新進(jìn)展使得制造和控制高度復(fù)雜的量子器件變得越來越常規(guī)化[34,149,173,232,256]。這些發(fā)展使得利用可擴(kuò)展量子模擬器探索量子多體系統(tǒng)[13,174,285]以及構(gòu)建量子計(jì)算機(jī)[7，29，77，98,197]成為可能，而且人們正朝著“超級量子”時(shí)代邁進(jìn)（例如處理約 100 個(gè)邏輯量子比特，深度約 10000[197]）。然而，隨著實(shí)驗(yàn)室中可操作的量子系統(tǒng)的規(guī)模不斷擴(kuò)大給人們帶來了新挑戰(zhàn)。由于量子比特?cái)?shù)量的指數(shù)級增長導(dǎo)致狀態(tài)空間急劇擴(kuò)大，現(xiàn)代量子模擬器和量子計(jì)算機(jī)生成的量子系統(tǒng)在描述和表征方面變得極其困難。經(jīng)典模擬器如張量網(wǎng)絡(luò)[194]雖能捕捉重要類態(tài)，卻無法模擬高糾纏態(tài)的行為。雖然針對克利福德電路（Clifford circuits）的定制方法能實(shí)現(xiàn)高效模擬，但擴(kuò)展到包含非克利福德（non Clifford）門電路時(shí)，計(jì)算成本通常會(huì)隨非克利福德操作的數(shù)量呈指數(shù)級增長，這種現(xiàn)象通常用“魔法”（magic）概念來形容[2，5，35]。這些挑戰(zhàn)要求我們采用新方法，以獲取經(jīng)典模擬器計(jì)算能力無法精確存儲(chǔ)的量子系統(tǒng)特性。

過去十年間，人工智能技術(shù)因其在大數(shù)據(jù)中識別模式與關(guān)聯(lián)的能力，已成為破解量子系統(tǒng)表征難題的有力工具。參考文獻(xiàn)[103]系統(tǒng)梳理了貝葉斯推斷、淺層架構(gòu)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及基礎(chǔ)訓(xùn)練算法等早期 AI 技術(shù)在量子系統(tǒng)研究中的應(yīng)用。近年來，生成式預(yù)訓(xùn)練 Transformers（GPT）[204]的突破性進(jìn)展，以及量子學(xué)習(xí)理論[14]的深化，推動(dòng)了大規(guī)模量子系統(tǒng)表征方法的創(chuàng)新。這些技術(shù)突破顯著提升了人工智能模型在理解量子多體物理學(xué)和量子計(jì)算領(lǐng)域的應(yīng)用水平[12，57，65，78，81，89, 130, 132, 136, 147, 157, 164, 166, 183, 186, 193, 199, 213, 236, 245, 246, 268, 271, 282–284, 289, 296, 299, 302, 303]。面對如此迅猛的發(fā)展態(tài)勢，系統(tǒng)梳理核心研究成果并明確未來研究方向，已成為指導(dǎo)人們后續(xù)探索的關(guān)鍵任務(wù)。

在本綜述中，我們系統(tǒng)梳理了自 2022 年以來人工智能在量子系統(tǒng)表征（representation）與刻畫（characterizing）領(lǐng)域的最新進(jìn)展，重點(diǎn)聚焦理論基礎(chǔ)與算法創(chuàng)新。具體而言，我們按照人工智能模型的方法論層級結(jié)構(gòu)組織這些研究進(jìn)展，包括機(jī)器學(xué)習(xí)（ML）——其中涵蓋了深度學(xué)習(xí)（DL）作為重要分支，以及語言模型（LMs）作為深度學(xué)習(xí)架構(gòu)的特定類別，如圖 2 所示。與許多其他領(lǐng)域不同，人工智能新方法并非取代舊技術(shù)，量子系統(tǒng)表征領(lǐng)域的進(jìn)步得益于多種模型的互補(bǔ)優(yōu)勢。為闡明機(jī)器學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)和語言模型在該領(lǐng)域的應(yīng)用，我們采用任務(wù)導(dǎo)向視角，重點(diǎn)聚焦三大核心任務(wù)：（1）預(yù)測量子系統(tǒng)的線性特性，（2）預(yù)測非線性特性的實(shí)例，（3）重構(gòu)量子態(tài)與過程。如圖 1 所示，這些任務(wù)支撐著廣泛的應(yīng)用場景，包括量子認(rèn)證與基準(zhǔn)測試[86]、量子硬件表征[10]、變分量子算法優(yōu)化[50]以及奇異量子相位發(fā)現(xiàn)[43]。從概念層面看，層析重建與特性測試方法正日益被視為量子學(xué)習(xí)理論的重要組成部分[14，17]，這反映出人們思維方式的轉(zhuǎn)變。

關(guān)于人工智能在量子物理學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用，已有諸多綜述文獻(xiàn)，涵蓋物理學(xué)領(lǐng)域的人工智能應(yīng)用[3，43，75，277]、量子計(jì)算與量子技術(shù)中的人工智能應(yīng)用[3，10，154]、量子模擬中的語言模型[175]、量子陰影層析成像（quantum shadow tomography）[86，88,129]、神經(jīng)量子態(tài)[48，75，159]以及變分量子算法[27，50，80]等主題。盡管多數(shù)綜述聚焦于特定領(lǐng)域的人工智能模型應(yīng)用，但我們的研究視角截然不同。我們通過不同人工智能方法論的視角來分析這些應(yīng)用，探索更廣泛的人工智能技術(shù)在量子模擬器和量子計(jì)算機(jī)所生成的量子系統(tǒng)表征與刻畫中的應(yīng)用。研究范圍涵蓋從具有理論保證的機(jī)器學(xué)習(xí)方法到前沿基礎(chǔ)模型（如 GPTs）等，分別突出其優(yōu)勢與局限性。

在本綜述中，我們特別聚焦于以數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方式表征和描述量子系統(tǒng)的 AI 模型。因此，變分神經(jīng)量子態(tài)方法并非主要研究方向[48]。與此同時(shí)，我們強(qiáng)調(diào)可擴(kuò)展的 AI 方法在學(xué)習(xí)量子系統(tǒng)時(shí)，如何突破傳統(tǒng)非機(jī)器學(xué)習(xí)方法中固有的維度詛咒。相反，針對小規(guī)模量子系統(tǒng)設(shè)計(jì)的 AI 方法（例如用于重構(gòu)未知量子態(tài)密度矩陣的技術(shù)[159]），由于無法推廣到可擴(kuò)展量子系統(tǒng)，故已超出本綜述的核心關(guān)注范圍。此外，利用 AI 方法自適應(yīng)地精準(zhǔn)控制量子系統(tǒng)并提取知識的應(yīng)用同樣重要，但這也超出了本綜述的討論范疇。由于我們側(cè)重理論與算法進(jìn)展，實(shí)驗(yàn)工作并非主要研究重點(diǎn)——盡管需要明確的是，所討論的方法在實(shí)驗(yàn)領(lǐng)域具有直接應(yīng)用價(jià)值。本文僅涵蓋那些支持理論或算法突破的實(shí)驗(yàn)成果。

圖1. 利用人工智能表征與刻畫量子系統(tǒng)的關(guān)鍵任務(wù)與應(yīng)用場景概覽。通過量子模擬器生成的基態(tài)表征、數(shù)字量子計(jì)算機(jī)生成的量子態(tài)表征，可歸納為三大核心任務(wù)：線性特性預(yù)測、非線性特性預(yù)測以及量子態(tài)與過程重構(gòu)。每個(gè)任務(wù)又細(xì)分為體現(xiàn)具體目標(biāo)的子類別。底部圖標(biāo)標(biāo)注了各任務(wù)通常采用的人工智能范式，即圖2中提及的機(jī)器學(xué)習(xí)模型、深度學(xué)習(xí)模型和語言模型。這些方法的現(xiàn)有及潛在應(yīng)用包括：量子算法優(yōu)化、量子設(shè)備認(rèn)證與性能評估、量子硬件研發(fā)以及科學(xué)發(fā)現(xiàn)。

圖2. 人工智能模型學(xué)習(xí)大規(guī)模量子系統(tǒng)的概述。層次結(jié)構(gòu)反映了人工智能模型能力的提升及其對處理大規(guī)模量子系統(tǒng)適應(yīng)性的增強(qiáng)，從廣泛的人工智能概念到機(jī)器學(xué)習(xí)模型、深度學(xué)習(xí)模型以及基于Transformer的模型。每個(gè)類別中的代表性策略用綠色圓圈標(biāo)出。符號‘NN’、‘ NQS ’和‘LLM’分別指神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、神經(jīng)量子態(tài)和大型語言模型。序列模型包括循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、 LSTM 及相關(guān)架構(gòu)。

II. 學(xué)習(xí)范式的概況

要大規(guī)模運(yùn)用人工智能對量子系統(tǒng)進(jìn)行表征和刻畫，關(guān)鍵在于設(shè)計(jì)能夠識別量子系統(tǒng)家族中相關(guān)模式和結(jié)構(gòu)特征的學(xué)習(xí)模型。經(jīng)過訓(xùn)練后，這些模型就能對訓(xùn)練過程中遇到的具有相似特征的未知量子系統(tǒng)進(jìn)行泛化。這種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法與傳統(tǒng)做法截然不同——傳統(tǒng)方法往往孤立處理每個(gè)系統(tǒng)，無法利用可遷移的洞見。

現(xiàn)有針對可擴(kuò)展量子系統(tǒng)的學(xué)習(xí)協(xié)議主要研究兩類量子態(tài)：（i） 模擬量子模擬（analog quantum simulation）中的態(tài)，例如哈密頓基態(tài)；（ii）數(shù)字量子計(jì)算中的態(tài)，即由量子電路產(chǎn)生的態(tài)。對于這兩類態(tài)，學(xué)習(xí)目標(biāo)都是從具有共同物理結(jié)構(gòu)的訓(xùn)練態(tài)集合中進(jìn)行泛化，以準(zhǔn)確預(yù)測特定物理特性（如磁化強(qiáng)度和保真度）或重構(gòu)超出訓(xùn)練數(shù)據(jù)范圍的量子態(tài)。如圖 1 所示，該領(lǐng)域核心學(xué)習(xí)任務(wù)包括線性和非線性特性預(yù)測（見方框 1）以及量子系統(tǒng)的重構(gòu)。

H(x)|ψ(x)?= E 0 (x)|ψ(x)?

為了說明這一點(diǎn)，我們接下來簡要回顧如何將量子系統(tǒng)的表征和刻畫重新表述為學(xué)習(xí)任務(wù)。以哈密頓基態(tài)為例，我們考慮一個(gè)由哈密頓量 {H(x)|x∈ R d } 組成的家族，每個(gè)哈密頓量由一組相對較小的實(shí)參數(shù) x 定義，這些參數(shù)定義了一些概念類。例如，在橫向場伊辛模型中，參數(shù) x 編碼了相互作用強(qiáng)度和外部場強(qiáng)度。哈密頓基態(tài)向量 H(x) 的基態(tài)矢量記為 |ψ(x)? ，其中 |ψ(x)? 由 x 參數(shù)化的純量子態(tài)。假設(shè) |ψ(x)? 滿足

H(x)|ψ(x)?= E 0 (x)|ψ(x)?

其中 E 0 (x) 是 H(x) 的最低本征值。在訓(xùn)練階段，學(xué)習(xí)模型在包含 x 的采樣值及其相關(guān)測量結(jié)果數(shù)據(jù) |ψ(x)? 的經(jīng)典數(shù)據(jù)集上進(jìn)行訓(xùn)練。在預(yù)測階段，這些訓(xùn)練好的學(xué)習(xí)模型被應(yīng)用于預(yù)測狀態(tài)向量 |ψ( x ′ )? 的物理性質(zhì)或重建以前未見過的參數(shù) x ′ 的經(jīng)典表示。

圖3. 量子系統(tǒng)學(xué)習(xí)協(xié)議框架?，F(xiàn)有的用于表示和表征可擴(kuò)展量子系統(tǒng)的模型通常包括三個(gè)階段：數(shù)據(jù)收集、模型實(shí)現(xiàn)與優(yōu)化以及模型預(yù)測。左圖展示了數(shù)據(jù)收集階段，其中量子系統(tǒng)被制備成具有參數(shù) x (i) 和輔助信息 z (i) 的狀態(tài)。然后，制備好的量子態(tài) ρ( x (i) ) 被測量 T 次以獲得測量結(jié)果 s (i) 。中間圖說明了數(shù)據(jù)集構(gòu)建和模型實(shí)現(xiàn)的不同階段。一旦收集到原始數(shù)據(jù)集 τ ，應(yīng)將其預(yù)處理為特定任務(wù)的數(shù)據(jù)集 τ ML 、 τ DL 和 τ LM ，分別用于訓(xùn)練基于機(jī)器學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)和邏輯門的模型。右圖展示了模型預(yù)測階段。根據(jù)預(yù)測過程是否需要量子測量數(shù)據(jù)作為輸入，學(xué)習(xí)協(xié)議被分類為基于測量的和與測量無關(guān)的。

Box 1: Linear and nonlinear property prediction

方框1：線性和非線性屬性預(yù)測

預(yù)測量子態(tài) ρ 的線性特性是指估計(jì) ρ 上一組可觀測量 D 的期望值，即 {Tr(ρO)|O∈D} 典型例子包括能量、磁化強(qiáng)度和關(guān)聯(lián)函數(shù)。預(yù)測量子態(tài) ρ 的非線性特性是指估計(jì)可以表示為 Tr(f(ρ,O)) 的物理量，其中函數(shù) f(.,.) 對于量子態(tài) ρ 是非線性的。典型例子包括馮·諾依曼熵，其中 f(ρ,1)=?ρ log ?ρ ，以及烏爾曼保真度，其中 ， σ 表示混合量子態(tài)

|ψ(x)?=U(x)| ψ 0 ? ,

在數(shù)字量子計(jì)算領(lǐng)域，一個(gè)例子是由參數(shù)化量子電路 U(x) 制備的一組量子態(tài)，該電路由一組固定的門和一組可調(diào)門組成，這些可調(diào)門由例如 x∈[?π,π ) d 參數(shù)化。給定任意 x，對應(yīng)的量子態(tài)向量為

|ψ(x)?=U(x)| ψ 0 ?

其中 | ψ 0 ? 是一個(gè)固定的 N 量子比特的初始態(tài)向量。在這種設(shè)置下，訓(xùn)練和預(yù)測的兩個(gè)階段類似于學(xué)習(xí)哈密頓量基態(tài)的過程。

根據(jù)學(xué)習(xí)范式不同，現(xiàn)有用于表征和刻畫量子系統(tǒng)的協(xié)議可分為機(jī)器學(xué)習(xí)（ML）、深度學(xué)習(xí)（DL）和語言模型（LM）三種方法。盡管模型架構(gòu)和應(yīng)用范圍存在差異，但這些協(xié)議都遵循包含三個(gè)階段的通用工作流程：數(shù)據(jù)收集、模型實(shí)現(xiàn)與優(yōu)化、模型預(yù)測，如圖3所示。

在接下來的內(nèi)容中，我們將概述協(xié)議中每個(gè)階段三種學(xué)習(xí)范式的聯(lián)系與差異，詳細(xì)討論將留待后續(xù)內(nèi)容討論。根據(jù)應(yīng)用的不同，我們將使用狀態(tài)向量表示 |ψ(x)? 或密度矩陣表示 ρ(x) 。

A. 數(shù)據(jù)收集

一般而言，訓(xùn)練數(shù)據(jù)集可以表示為

的形式，其中 n 表示訓(xùn)練樣本的數(shù)量， x (i) 和 z (i) 分別代表每個(gè)訓(xùn)練樣本的經(jīng)典描述和輔助信息， s (i) 表示第 i 個(gè)訓(xùn)練樣本 ρ( x (i) ) 的測量數(shù)據(jù)，共 T 次采樣。例如，如圖3所示，當(dāng) |ψ( x (i) )? 由數(shù)字量子計(jì)算機(jī)在等式(2)中生成時(shí)， x (i) 表示可調(diào)門中的旋轉(zhuǎn)角度， z (i) 表示 U( x (i) ) 的門布局， s (i) 表示 |ψ( x (i) )? 的測量結(jié)果。需要注意的是，等式(3)中的數(shù)據(jù)集 τ 采用了最全面的形式。根據(jù)學(xué)習(xí)協(xié)議的不同，可以省略單獨(dú)的輔助信息 s (i) ，或省略輔助信息 s (i) 與經(jīng)典描述 x (i) 的組合。

方框2：人工智能術(shù)語

監(jiān)督學(xué)習(xí)、半監(jiān)督學(xué)習(xí)、自監(jiān)督學(xué)習(xí)和無監(jiān)督學(xué)習(xí)

人工智能學(xué)習(xí)范式通常分為監(jiān)督學(xué)習(xí)、自監(jiān)督學(xué)習(xí)、半監(jiān)督學(xué)習(xí)和無監(jiān)督學(xué)習(xí)四大類，它們在使用標(biāo)注數(shù)據(jù)與未標(biāo)注數(shù)據(jù)的方式上各有不同。監(jiān)督學(xué)習(xí)模型通過標(biāo)注數(shù)據(jù)集進(jìn)行訓(xùn)練，學(xué)習(xí)輸入與輸出之間的映射關(guān)系。半監(jiān)督學(xué)習(xí)結(jié)合少量標(biāo)注數(shù)據(jù)與大量未標(biāo)注數(shù)據(jù)，從而提升學(xué)習(xí)效率和泛化能力。自監(jiān)督學(xué)習(xí)通過數(shù)據(jù)本身生成監(jiān)督信號，通常采用預(yù)設(shè)任務(wù)的形式，使模型無需顯式標(biāo)簽即可學(xué)習(xí)有效表征。無監(jiān)督學(xué)習(xí)則通過分析未標(biāo)注數(shù)據(jù)，識別數(shù)據(jù)內(nèi)部的模式、聚類或相似性特征。

判別學(xué)習(xí)和生成學(xué)習(xí)

人工智能學(xué)習(xí)任務(wù)可根據(jù)其建模數(shù)據(jù)與標(biāo)簽間關(guān)系的類型分為判別式學(xué)習(xí)和生成式學(xué)習(xí)。判別式學(xué)習(xí)通過學(xué)習(xí)條件概率 P(y|x) （其中 x 為輸入數(shù)據(jù)，例如圖像； y 為標(biāo)簽，如對應(yīng)類別）來構(gòu)建不同類別間的決策邊界，這種學(xué)習(xí)方式在房產(chǎn)預(yù)測任務(wù)中應(yīng)用廣泛。與之形成對比的是，生成式學(xué)習(xí)旨在建模聯(lián)合分布 P(y,x) 或邊緣分布 P(x) ，從而實(shí)現(xiàn)新數(shù)據(jù)樣本的生成。例如在圖像生成任務(wù)中，輸入 x 代表圖像，輸出 y 對應(yīng)類別，使模型能夠生成逼真的圖像-標(biāo)簽配對或合成新圖像。在本文綜述的語境下，一個(gè)典型范例是隱式量子態(tài)重構(gòu)——通過生成經(jīng)典替代系統(tǒng)，其目標(biāo)是產(chǎn)生能模擬量子系統(tǒng)測量結(jié)果的測量結(jié)果。

特征工程與表征學(xué)習(xí)

特征工程與表征學(xué)習(xí)都是人工智能模型數(shù)據(jù)準(zhǔn)備的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，二者相輔相成，共同提升學(xué)習(xí)效果。特征工程是指將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為適合學(xué)習(xí)算法處理的形式，通常借助領(lǐng)域知識設(shè)計(jì)或篩選具有信息量的輸入特征。例如，這可能涉及將量子系統(tǒng)的經(jīng)典描述轉(zhuǎn)化為適合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。而表征學(xué)習(xí)則專注于從原始數(shù)據(jù)或經(jīng)過特征工程處理的輸入中提取有用且信息豐富的表征，使模型能夠?qū)W習(xí)有效模式以完成下游任務(wù)。

用于收集 s (i) 的量子測量方法具有靈活性且取決于具體問題?；仡櫼幌拢魏瘟孔訙y量都可以用一個(gè)正算子值測度（POVM）來描述[190]。形式上， POVM 的形式為 M={ M s } ，其中 0? M s 且 Pr(s)=Tr(ρ M s ) （當(dāng)集合 {s} 是不可數(shù)時(shí)， ∫ds M s =1 ）。每次 POVM 測量 M 的一次測量都會(huì)從概率分布 Pr(s)=Tr(ρ M s ) 中產(chǎn)生一個(gè)樣本。因此，有限次數(shù)的測量會(huì)產(chǎn)生有限數(shù)量的測量結(jié)果樣本，即 。當(dāng) M 是一個(gè)信息完備的 POVM 時(shí)，隨著 T→ ∞ ，可以從 s (i) 漸近地重構(gòu)出 ρ 的密度矩陣。在收集 s (i) 時(shí)廣泛采用的一種重要測量策略是利用適當(dāng)?shù)碾S機(jī)測量[88]，相對于一個(gè)概率測度。這種測度的選擇既受到數(shù)學(xué)考慮的影響，以確保合理的樣本復(fù)雜度，也受到物理約束的影響，例如某些 POVM 的局域性要求。

與傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)任務(wù)相比，構(gòu)建用于表征和描述量子系統(tǒng)的高質(zhì)量數(shù)據(jù)集T面臨著獨(dú)特挑戰(zhàn)。首先，不同于計(jì)算機(jī)視覺和自然語言處理等傳統(tǒng)領(lǐng)域，要確定哪些測量指標(biāo)能為研究量子系統(tǒng)提供最關(guān)鍵的信息并非易事。其次，隨著系統(tǒng)規(guī)模的擴(kuò)大，狀態(tài)空間呈指數(shù)級增長，這使得收集全面且高質(zhì)量的數(shù)據(jù)（例如全量子態(tài)層析成像所需的數(shù)據(jù)）變得成本高昂到難以承受。

B. 模型的實(shí)現(xiàn)與優(yōu)化

現(xiàn)有學(xué)習(xí)協(xié)議依賴于收集的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集T進(jìn)行訓(xùn)練。然而，基于機(jī)器學(xué)習(xí)（ML）、深度學(xué)習(xí)（DL）和語言模型（LM）范式的協(xié)議在信息處理與提取方式上存在差異，其針對特定學(xué)習(xí)任務(wù)的優(yōu)化策略亦有所不同。

在機(jī)器學(xué)習(xí)模型領(lǐng)域，先前研究[81,132,164]主要聚焦于預(yù)測量子系統(tǒng)的單一或多重線性屬性（如圖1所示），并建立了樣本復(fù)雜度與預(yù)測精度之間的可驗(yàn)證關(guān)系。收集的數(shù)據(jù) τ 被轉(zhuǎn)換為監(jiān)督學(xué)習(xí)格式（參見框2）。構(gòu)建完標(biāo)注數(shù)據(jù)集后，采用基于回歸和核方法，并結(jié)合任務(wù)特定特征圖來完成訓(xùn)練[28]。具體而言，定制化的特征圖將原始輸入 x (i) 轉(zhuǎn)換至高維空間，使得輸入與目標(biāo)之間的復(fù)雜關(guān)系在該空間中呈現(xiàn)線性可分性，從而更有利于回歸或分類任務(wù)的完成。

對于深度學(xué)習(xí)模型，先前的研究可以根據(jù)目標(biāo)學(xué)習(xí)任務(wù)主要分為兩個(gè)子類。第一類子類專注于屬性預(yù)測，旨在推斷所研究的量子系統(tǒng)的某個(gè)或多個(gè)物理屬性（包括線性和非線性）[47,99,101,152,199,201,259,268,282–284,294,302]。在這種情況下，數(shù)據(jù)預(yù)處理與機(jī)器學(xué)習(xí)模型非常相似，即將收集的量子數(shù)據(jù) τ 重新格式化為監(jiān)督學(xué)習(xí)格式。有了準(zhǔn)備好的數(shù)據(jù)集，已經(jīng)開發(fā)出多種具有不同神經(jīng)架構(gòu)和優(yōu)化策略的深度學(xué)習(xí)模型。這一研究方向的核心目標(biāo)是構(gòu)建能夠利用有限訓(xùn)練數(shù)據(jù)準(zhǔn)確預(yù)測更廣泛物理屬性的深度學(xué)習(xí)模型[283]。第二類子類專注于使用神經(jīng)量子態(tài)（NQS）進(jìn)行隱式和近似量子態(tài)重構(gòu)[49,54,252,300]。與旨在創(chuàng)建量子態(tài)完整經(jīng)典描述的傳統(tǒng)量子態(tài)層析成像不同，這種方法訓(xùn)練深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以近似重現(xiàn)目標(biāo)量子態(tài) ρ(x) 的測量統(tǒng)計(jì)。重要的是，屬性預(yù)測被表述為判別學(xué)習(xí)任務(wù)，而使用 NQS 的量子態(tài)重構(gòu)本質(zhì)上是生成性的（參見框2的解釋）。在此背景下，目標(biāo)是設(shè)計(jì)高效的深度生成模型，以使用相對較少的訓(xùn)練樣本來近似與 ρ(x) 相關(guān)的真實(shí)測量分布。

對于語言模型，近期的研究探索了生成式預(yù)訓(xùn)練Transformers （GPTs）[36]，以實(shí)現(xiàn)類似GPT的模型，這些模型能夠執(zhí)行與量子系統(tǒng)表示和表征相關(guān)的多種任務(wù)。與機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)方法不同，基于語言模型的方法通常在兩個(gè)不同的階段進(jìn)行優(yōu)化：預(yù)訓(xùn)練和微調(diào)。在預(yù)訓(xùn)練階段，模型通過執(zhí)行廣義狀態(tài)重構(gòu)來學(xué)習(xí)捕捉廣泛量子態(tài)中的常見結(jié)構(gòu)模式，旨在近似與參數(shù)集合 x 條件下的 ρ(x) 相對應(yīng)的測量分布[271, 289]。在隨后的微調(diào)階段，模型被調(diào)整以適應(yīng)特定的屬性預(yù)測任務(wù)[245,296]。這一過程反映了機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)模型中使用的訓(xùn)練策略。該階段的目標(biāo)是通過監(jiān)督學(xué)習(xí)準(zhǔn)確推斷所需的量子屬性。

C. 模型預(yù)測

量子系統(tǒng)表征與刻畫過程中涉及的多樣化任務(wù)和多重學(xué)習(xí)范式表明，不存在能夠涵蓋所有模型的單一且確定的分類方式。此前，我們已根據(jù)其實(shí)現(xiàn)策略和應(yīng)用領(lǐng)域?qū)@些模型進(jìn)行分類。另一個(gè)區(qū)分它們的關(guān)鍵角度是驗(yàn)證預(yù)測階段是否需要訪問量子系統(tǒng)，這通常被稱為“量子數(shù)據(jù)”。從這個(gè)角度來看，所有學(xué)習(xí)協(xié)議——即機(jī)器學(xué)習(xí)模型、深度學(xué)習(xí)模型和語言模型——均可歸類為測量無關(guān)協(xié)議和基于測量的協(xié)議，如圖3所示。具體而言，測量無關(guān)協(xié)議的預(yù)測僅依賴經(jīng)典輸入[81, 132, 164, 268, 271, 289]，例如參數(shù) x 和輔助信息 z ，而無需進(jìn)行量子測量。相比之下，基于測量的協(xié)議則需要在預(yù)測階段獲取待研究量子系統(tǒng)的測量結(jié)果s作為輸入[99,101,147,152,199,201,245,282,283,294,302]。

III. 機(jī)器學(xué)習(xí)范式

機(jī)器學(xué)習(xí)（ML）模型是一類基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)原理從數(shù)據(jù)中推斷規(guī)律的算法[180]。當(dāng)前該研究方向聚焦于開發(fā)可驗(yàn)證高效的機(jī)器學(xué)習(xí)模型，用于預(yù)測量子態(tài)的線性特性（參見方框1），尤其關(guān)注預(yù)測誤差隨訓(xùn)練樣本數(shù)量變化的規(guī)律。盡管這些學(xué)習(xí)協(xié)議存在多樣性，但可歸納為通用框架。為便于理解，我們首先闡明機(jī)器學(xué)習(xí)模型的通用框架，隨后討論其應(yīng)用場景，最后探討其局限性及其他前沿議題。

A. 線性屬性預(yù)測的總體方案

需注意的是，用于預(yù)測線性特性的機(jī)器學(xué)習(xí)模型包含三個(gè)步驟：數(shù)據(jù)收集、模型構(gòu)建與訓(xùn)練，以及預(yù)測。下文將對這些步驟逐一展開說明，以補(bǔ)充前文所述的高層次概覽。

(5)

將機(jī)器學(xué)習(xí)模型應(yīng)用于線性屬性預(yù)測的第一步是將原始數(shù)據(jù)集 τ 在等式(3)中轉(zhuǎn)化為用于監(jiān)督學(xué)習(xí)的標(biāo)記數(shù)據(jù)集，即

(5)

其中 表示第 i 個(gè)訓(xùn)練樣本的物理屬性估計(jì)值，這些估計(jì)值來源于測量結(jié)果 s (i) ， ? i∈[n] 。給定一組可觀測變量 D，狀態(tài) ρ(x) 的線性特性指的是 y={Tr(ρ(x)O) } O∈D 。當(dāng)測量次數(shù) T 趨于無窮大時(shí)， y 與 之間的估計(jì)誤差趨近于零，對于某些精確設(shè)置，可以證明嚴(yán)格的樣本復(fù)雜度界限。

模型實(shí)現(xiàn)與訓(xùn)練。在訪問 τ ML 的情況下，機(jī)器學(xué)習(xí)模型依賴于專門定制的特征工程（見框2）來完成學(xué)習(xí)。將所使用的機(jī)器學(xué)習(xí)模型的預(yù)測表示為 h ML (x) 。優(yōu)化過程涉及最小化模型預(yù)測與 τ ML 中標(biāo)簽之間的差異。

Box 3: Classical shadows方框3：經(jīng)典陰影

經(jīng)典陰影方案用于未知的N量子比特態(tài) ρ ，該方案重復(fù)以下過程 T 次[131]。每次，首先將從適當(dāng)選擇的預(yù)定義酉集合 υ 中隨機(jī)采樣的酉算子 U 作用于態(tài) ρ ，然后在計(jì)算基上測量每個(gè)量子比特，以獲得一個(gè)N位字符串 b∈{0,1 } N 。這種測量平均產(chǎn)生線性映射 M(ρ)= E U～U E b～P(b) U ? |b??b|U ，其中 P(b)=?b|Uρ U ? |b? 。未知態(tài) ρ 可以表述為

這意味著可以通過按照分布 P(b) 采樣快照 T 次來估計(jì) ρ 。定義第 t 次快照為 ，其中 t∈[T] 且 Ut～υ 。這些 T 次快照對應(yīng)的 ρ 的影子表示為

雖然前向過程通過物理量子通道反映，但逆向過程可以在經(jīng)典層面實(shí)現(xiàn)。當(dāng)采用基于泡利的隨機(jī)測量時(shí)，幺正系綜U等同于單量子比特克利福德門，即

，具有均勻權(quán)重。在這種情況下，逆向快照的形式為

這種張量積形式允許高效估計(jì)給定狀態(tài) ρ 的局域可觀測量的期望值。對于此類隨機(jī)單量子比特克利福德門，所需樣本數(shù)量與所選可觀測量的泡利權(quán)重成正比。其他常見的系綜是全局隨機(jī)克利福德電路[131]，這導(dǎo)致陰影在信息上是完備的，并允許估計(jì)任何可觀測量的期望值。已提出多種原始方案的重要變體，特別是那些利用對數(shù)深度克利福德電路的變體[26,128,228]。

大多數(shù)用于預(yù)測可擴(kuò)展量子系統(tǒng)線性特性的機(jī)器學(xué)習(xí)模型采用線性回歸框架[28]。這些模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

h ML (x;w)=?w,?(x)?,

(6)

其中 w 表示可訓(xùn)練參數(shù)， ?(x) 表示應(yīng)用于輸入 x 的工程化特征映射。這些機(jī)器學(xué)習(xí)模型的主要關(guān)注點(diǎn)是手動(dòng)特征工程 ?(·) ，它將原始輸入 x 轉(zhuǎn)換到高維空間，使得輸入與目標(biāo)屬性之間的關(guān)系近似線性。 ?(x) 的實(shí)現(xiàn)取決于任務(wù)，并將在下文中詳細(xì)說明。

等式(6)中線性回歸模型的優(yōu)化涉及確定使損失函數(shù)最小化的最優(yōu)參數(shù) w ? ，即

(7)

其中 ?(·，·) 表示每個(gè)樣本的損失，例如均方誤差，而 λ≥ R + 是正則化項(xiàng)的超參數(shù)。根據(jù) α 的選擇，線性回歸模型有三種類型（值為 0、1 和（0,1）分別對應(yīng)于Lasso回歸、嶺回歸和彈性網(wǎng)絡(luò)回歸 [306]）。除了線性回歸模型外，核方法構(gòu)成了另一類廣泛用于預(yù)測可擴(kuò)展量子系統(tǒng)線性特性的機(jī)器學(xué)習(xí)模型 [28]。其基本機(jī)制和常用核函數(shù)總結(jié)在框 4 中。

模型預(yù)測。訓(xùn)練好的機(jī)器學(xué)習(xí)模型可以直接用于預(yù)測新量子態(tài) ρ(x) 的有趣量子特性。如圖3所示，這些模型以測量無關(guān)的方式運(yùn)行，提供了一種高效的方法來刻畫量子系統(tǒng)，而無需將量子數(shù)據(jù)作為輸入。

(8)

評估訓(xùn)練完成的學(xué)習(xí)模型性能的常用方法是計(jì)算其期望風(fēng)險(xiǎn)，該指標(biāo)用于衡量模型預(yù)測結(jié)果與實(shí)際目標(biāo)物理量的吻合程度。從數(shù)學(xué)角度而言，期望風(fēng)險(xiǎn)（亦稱預(yù)測誤差）是

(9)

其中輸入變量 x 從數(shù)據(jù)分布 D X 中采樣， y 代表物理屬性的真實(shí)值。通常情況下，數(shù)據(jù)分布 D X 未知，因此無法直接進(jìn)行評估。另一種方法是在測試數(shù)據(jù)集上評估損失函數(shù)，該數(shù)據(jù)集由從同一數(shù)據(jù)分布 D X 中抽取的未見過樣本組成。

方框4:核方法

核方法是一類通過評估高維特征空間中數(shù)據(jù)點(diǎn)相似度來實(shí)現(xiàn)分類或回歸的機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)[28]。這種方式能夠揭示復(fù)雜數(shù)據(jù)中原始變量可能無法直接體現(xiàn)的關(guān)聯(lián)關(guān)系。值得注意的是，當(dāng)以對偶形式表達(dá)時(shí)，核方法在數(shù)學(xué)上等價(jià)于線性回歸[225]。一個(gè)核機(jī)器的通用形式為

其中 { α i } 表示與每個(gè)訓(xùn)練樣本點(diǎn)相關(guān)的對偶系數(shù)（或權(quán)重），表示偏置項(xiàng)， k( x (i) ,x):=??( x (i) ),?(x)? 是評估 x (i) 和 x 在特征空間中相似性的核函數(shù)。與線性回歸模型中的 ?(·) 一樣， k(·,·) 的選擇也取決于任務(wù)。下面列出了用于預(yù)測量子系統(tǒng)屬性的代表性核函數(shù)：

? Dirichlet核。該核旨在預(yù)測一組基態(tài)的線性特性。設(shè) Λ 為頻率截?cái)嗟拈撝怠irichlet核的顯式形式為

正的良核（Positive good kernel）。該核同樣用于預(yù)測一系列基態(tài)的線性特性。采用與Dirichlet核相同的符號體系，其顯式形式為

拓?fù)溆行蛳喾诸惖暮?。設(shè) τ 和 γ 為兩個(gè)超參數(shù)。將經(jīng)典陰影 T (x) 在第i個(gè)量子比特處的t快照的約化密度矩陣表示為 。所提出的核函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

截?cái)嗟娜呛瘮?shù)單項(xiàng)式核。記 ω∈{0，±1 } d 為 d 維頻率向量。定義特征映射為 ，其中 α i (·;·) 包含三個(gè)不同的映射函數(shù)，取決于值 ω i 。具體來說， α( x i ;0)=0 ， α i (x;1)=cos( x i ) ，以及 α i (x;?1)=?sin( x j ) ，對于 ? i∈[d] 。記截?cái)嘀档拈撝禐? Λ ，則核的形式為

B. 的機(jī)器學(xué)習(xí)模型及其應(yīng)用

在可擴(kuò)展量子系統(tǒng)刻畫領(lǐng)域，大量研究聚焦于開發(fā)高效的機(jī)器學(xué)習(xí)模型，以解決各類線性屬性預(yù)測任務(wù)及部分非線性任務(wù)，這主要源于其可解釋性與理論保證的優(yōu)勢。本文根據(jù)應(yīng)用場景對這些機(jī)器學(xué)習(xí)模型進(jìn)行分類，并系統(tǒng)梳理其實(shí)現(xiàn)方案與理論成果。表I匯總了該領(lǐng)域代表性方法的最新進(jìn)展。

1. 哈密頓量基態(tài)的線性性質(zhì)預(yù)測

該領(lǐng)域的開創(chuàng)性工作由黃等人[132]建立，證明了基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的機(jī)器學(xué)習(xí)算法可以有效解決某些經(jīng)典算法無法處理的量子多體問題。具體而言，機(jī)器學(xué)習(xí)模型預(yù)測了一組可觀測量 D={O} 在一系列有能隙、幾何局域哈密頓量 H(x) 態(tài)上的期望值。例如，O可以是低權(quán)重泡利算符的線性組合。學(xué)習(xí)器采用基于泡利的經(jīng)典影子[131]來獲取原始數(shù)據(jù) τ(3) ，其中 s (i) 對應(yīng)于 ρ( x (i) ) 的隨機(jī)測量結(jié)果，而輔助信息 z (i) 則不是必需的。根據(jù)這些測量結(jié)果，學(xué)習(xí)器按照框3中的步驟重建影子表示 。訓(xùn)練數(shù)據(jù)集 τ ML (5)通過影子估計(jì)計(jì)算標(biāo)簽 構(gòu)建。給定 τ ML ，對于每個(gè)可觀測量 O j ∈D ，核機(jī)器采用顯式形式。

其中 的第j個(gè)條目指的是 ? O j ? 的估計(jì)， κ Λ (·,·) 表示截?cái)嗟腄irichlet核（參見框4）。

所提出的機(jī)器學(xué)習(xí)模型在許多實(shí)際場景中被證明是高效的。具體而言，當(dāng)x從均勻分布中采樣時(shí)，平均梯度范數(shù)是有界的，即 ，且可觀測值良好有界，所提出的模型以高概率在等式(8)中實(shí)現(xiàn) ? 預(yù)測誤差。此外，模型實(shí)現(xiàn)的經(jīng)典訓(xùn)練時(shí)間和預(yù)測時(shí)間均被上界為 O( d O(C / ?) ) 所約束。通過預(yù)測一維51原子里德伯原子系統(tǒng)（Rydberg atom systems）的基態(tài)局部期望值以及二維25量子比特反鐵磁海森堡模型基態(tài)的兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)，該機(jī)器學(xué)習(xí)模型的有效性得到了驗(yàn)證。

后續(xù)研究工作將重點(diǎn)放到探討如何通過利用哈密頓量的不同條件進(jìn)一步減少樣本和運(yùn)行時(shí)間的復(fù)雜性。當(dāng)已知所探索的N量子比特哈密頓量族 {H(x)} 的幾何結(jié)構(gòu)時(shí)，特征映射 ?(·) 可以融入幾何歸納偏置，由此產(chǎn)生的Lasso方法能夠?qū)崿F(xiàn)高效且精確的預(yù)測，僅需 O( ) 個(gè)樣本和 O(N poly( ? ?1 )) 的運(yùn)行時(shí)間[164]。此外，當(dāng)可觀測集 D 僅包含一個(gè)已知分解的單元素且哈密頓量族具有幾何局部性和能隙時(shí)，嶺回歸可實(shí)現(xiàn) O( 2 poly log ?(1 / ?) ) 的樣本復(fù)雜度（與 d 無關(guān)）和與 N 呈線性關(guān)系的運(yùn)行時(shí)間。所采用的特征映射，與參考文獻(xiàn)[164]類似，也通過輕微修改編碼了哈密頓量的幾何結(jié)構(gòu)[275]。

當(dāng)經(jīng)典參數(shù)d的數(shù)量恒定，或與量子比特?cái)?shù)N無關(guān)時(shí)，定義在框4中的正良核可以用狄利克雷核替代，以達(dá)到改進(jìn)的樣本復(fù)雜度 O(poly(1 / ?,N)) [57]。此外，存在高效的機(jī)器學(xué)習(xí)模型可以用于預(yù)測（等變）長程哈密頓量的性質(zhì)。與參考文獻(xiàn)[164]類似，與幾何信息特征圖相關(guān)的Lasso能夠準(zhǔn)確預(yù)測具有長程相互作用的基態(tài)的線性性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)樣本復(fù)雜度隨系統(tǒng)大小 N 對數(shù)增長[236]。另外，保持相互作用超圖自同構(gòu)群下等變性的機(jī)器學(xué)習(xí)模型可以進(jìn)一步降低樣本復(fù)雜度[235]。這些機(jī)器學(xué)習(xí)模型的有效性已在127量子比特的IBM量子計(jì)算機(jī)上得到驗(yàn)證，成功預(yù)測了隨機(jī)跳躍系統(tǒng)和Su-Schrieffer-Heeger系統(tǒng)中的兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)[65]。

除了能隙哈密頓量的基態(tài)之外，最初的努力還集中在預(yù)測馬爾可夫開放量子系統(tǒng)中李烏維利安穩(wěn)態(tài)的線性性質(zhì)[193,213]。與傳統(tǒng)的最大似然模型不同，預(yù)測這些性質(zhì)的關(guān)鍵策略是計(jì)算經(jīng)典陰影協(xié)議的經(jīng)驗(yàn)平均值。通過這種方式， O( log ?(N / δ ) 2polylog(1 / ?) ) 個(gè)樣本足以學(xué)習(xí)相位內(nèi)量子系統(tǒng)的局域期望值，預(yù)測誤差小于 ? ，失敗概率至多為 δ 。

2. 哈密頓基態(tài)的相分類

量子相分類是機(jī)器學(xué)習(xí)在可擴(kuò)展量子系統(tǒng)刻畫中的另一個(gè)關(guān)鍵應(yīng)用。黃等人[132]在該研究領(lǐng)域做出了開創(chuàng)性貢獻(xiàn)，他們提出了兩種針對不同量子相分類任務(wù)的機(jī)器學(xué)習(xí)模型：區(qū)分對稱性破缺相和識別拓?fù)溆行蛳唷?/p>

在對稱性破缺相分類的任務(wù)中，假設(shè)存在兩個(gè)相，分別記為A和B。存在一個(gè)由多個(gè)局域可觀測量組成的可觀測量 O ，稱為局域序參量，使得相關(guān)基態(tài)滿足當(dāng) ρ(x) 屬于相 A 時(shí) Tr(ρ(x)O)≥1 ，而當(dāng) ρ(x) 屬于相B時(shí) Tr(ρ(x)O)≤?1 ?；诖耍梢圆捎每?中的截?cái)嗟依死缀藖韺?shí)現(xiàn)基于最大似然的分類器，以達(dá)到滿意的分類精度。

在拓?fù)溆行蛳喾诸惾蝿?wù)中，我們無法使用關(guān)于 ρ(x) 的線性函數(shù)來完成準(zhǔn)確預(yù)測。然而，參考文獻(xiàn)[132]證明了非線性分類器可以在嚴(yán)格證明的保證下解決此任務(wù)。具體而言，他們設(shè)計(jì)了一種特征映射，將經(jīng)典陰影轉(zhuǎn)換為包含任意大約化密度矩陣的特征向量，相應(yīng)的核函數(shù)在框4中指定。所提出的機(jī)器學(xué)習(xí)模型提供了嚴(yán)格的保證：如果少體（few body）約化密度矩陣的非線性函數(shù)能夠分類不同的相，則所提出的機(jī)器學(xué)習(xí)模型可以準(zhǔn)確學(xué)習(xí)執(zhí)行此類分類。所需訓(xùn)練數(shù)據(jù)量n和計(jì)算資源隨系統(tǒng)大小 N 呈多項(xiàng)式增長。該機(jī)器學(xué)習(xí)模型的有效性已通過在200量子比特系統(tǒng)中區(qū)分拓?fù)湎嗯c平凡相得到驗(yàn)證。

3. 基于門態(tài)的線性屬性預(yù)測

針對數(shù)字量子計(jì)算機(jī)輸出的量子態(tài)線性特性預(yù)測，存在兩種不同的機(jī)器學(xué)習(xí)模型應(yīng)用場景，其差異源于可觀測量的靈活性。每種場景都給我們帶來獨(dú)特的挑戰(zhàn)，需要采用不同的學(xué)習(xí)策略，下文將分別探討。

固定輸入狀態(tài)和可觀測量。第一種設(shè)置考慮了輸入狀態(tài) ρ0 和可觀測量O都固定的案例。這種設(shè)置的主要?jiǎng)訖C(jī)來自于開發(fā)變分量子算法的經(jīng)典替代方案[50]，包括變分量子特征求解器（VQE）及其變體以及量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（QNNs）。換句話說，我們的目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)模型，以準(zhǔn)確預(yù)測期望值 Tr(ρ(x)O) ，其中 ρ(x)=U(x) ρ 0 U(x ) ? ，而 U(x) 是一個(gè)在等式(2)中定義的N量子比特參數(shù)化電路。

圖4. 預(yù)測數(shù)字量子計(jì)算機(jī)狀態(tài)屬性的場景。左圖展示了一個(gè)典型的 VQE 電路，其中所有可調(diào)門（用橙色圓圈表示）作為可訓(xùn)練參數(shù)。右圖描繪了一個(gè) QNN 架構(gòu)，其中一部分可調(diào)門用于編碼經(jīng)典數(shù)據(jù)，而其余門則作為優(yōu)化的可訓(xùn)練參數(shù)。六邊形和矩形門代表克利福德門。

如圖4所示，量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的經(jīng)典輸入由兩部分組成，即 ，其中 代表經(jīng)典數(shù)據(jù)，如圖像和文本，而 θ 則包含可訓(xùn)練參數(shù)。量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的通用形式為

先前的研究[227,265]已經(jīng)證明，訓(xùn)練好的 QNN 可以擴(kuò)展為截?cái)嗟母道锶~級數(shù)，其中截?cái)嘀档拈撝等Q于所采用的 。更多細(xì)節(jié)請參見框5。

Schreiber等人[226]采用這種基于傅里葉的公式設(shè)計(jì)了一個(gè)線性回歸模型，用于預(yù)測量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出 。所提出的模型形式為，其中 { c ω } 是可訓(xùn)練的傅里葉系數(shù)。學(xué)習(xí)目標(biāo)是通過最小化等式(7)中的損失函數(shù)來優(yōu)化這些系數(shù)，使用標(biāo)記數(shù)據(jù)集 。標(biāo)簽 指的是從測量結(jié)果 s (i) 中得出的 估計(jì)值。在最壞情況下，所提出的機(jī)器學(xué)習(xí)模型以高概率實(shí)現(xiàn)預(yù)測誤差被限定在 范圍內(nèi)，前提是訓(xùn)練樣本數(shù)量滿足，其中， d 為 維度。所提出模型的有效性已在標(biāo)準(zhǔn)經(jīng)典機(jī)器學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)集和最多八個(gè)量子比特的合成數(shù)據(jù)集上得到驗(yàn)證。

經(jīng)典替代方法可能會(huì)遇到效率瓶頸，因?yàn)槠溥\(yùn)行時(shí)間復(fù)雜度會(huì)隨著頻率集的大小——或者說，隨著經(jīng)典輸入向量 的維度——呈指數(shù)增長。為了緩解這一問題，一個(gè)有前景的解決方案是使用隨機(jī)傅里葉特征進(jìn)行模型構(gòu)建[156,241]。具體來說， h ML ( ) 中的原始特征圖 ?(·) 被替換為D維的隨機(jī)傅里葉特征（見框5）。

該替代方案可帶來顯著的計(jì)算優(yōu)勢：模型訓(xùn)練的空間和時(shí)間復(fù)雜度均為 O(n D 2 ) 和 O(n D 2 + D 3 ) ，且與訓(xùn)練數(shù)據(jù)的維度無關(guān)。此外，當(dāng) 有良好邊界且 { s (i) } 通過足夠大的 T 收集時(shí)， n～O(d / ? 2 ) 保證了良好的預(yù)測性能，即對于 ? x∈X 成立。

方框5：量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的傅里葉分析

在不失一般性的前提下，量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（QNNs）中采用的參數(shù)化量子電路始終可表示為

其中 L 表示層數(shù)，可訓(xùn)練的酉矩陣 { W (l) (θ) } l 與數(shù)據(jù)編碼的酉矩陣 { S (l) ( ) } l 交錯(cuò)排列 [83]。根據(jù)上述符號，先前的研究已經(jīng)證明量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以展開為截?cái)嗟母道锶~級數(shù) [227,265]。數(shù)學(xué)表達(dá)式如下

其中 指最優(yōu)傅里葉系數(shù)，頻率集合 Ω 僅取決于 { S (l) ( ) } l 的結(jié)構(gòu)和層數(shù) L 。 QNN 輸出的傅里葉展開為采用隨機(jī)傅里葉特征預(yù)測其行為提供了理論基礎(chǔ)。經(jīng)典學(xué)習(xí)模型的數(shù)學(xué)形式為 ，其中隨機(jī)傅里葉特征 [206] 定義為

具有。這里， D 是一個(gè)超參數(shù)，特征 ν i =( a i , b i ) 從先驗(yàn)分布中采樣。

關(guān)于訓(xùn)練樣本數(shù)量 n 與每個(gè)樣本快照 T 之間的關(guān)系，參考文獻(xiàn)[97]進(jìn)行了進(jìn)一步探討。具體而言，他們提出了一種新的機(jī)器學(xué)習(xí)模型，通過引入L1-Lipschitz非遞減函數(shù) u(·) ，即 ，其中核函數(shù) k 對應(yīng)于傅里葉特征映射。通過基于 τ ML 的迭代方法優(yōu)化 ，等式(8)中的預(yù)測誤差被上界限制為 。此處參數(shù) c 1 和 c 2 與 L 1 范數(shù)、可觀測量 O 的無窮范數(shù)以及傅里葉系數(shù)的范數(shù)呈多項(xiàng)式關(guān)系。研究結(jié)果突顯了 n 相較于 T 的主導(dǎo)作用，因?yàn)橛邢薜?n 會(huì)導(dǎo)致較高的預(yù)測誤差。

正交研究路徑涉及采用傅里葉級數(shù)展開、參數(shù)化量子電路結(jié)構(gòu)及海森堡演化來設(shè)計(jì)高效的VQAs經(jīng)典模擬器，而非基于學(xué)習(xí)的模型[23,51,69,92,106,189,214]。由于量子電路的高效模擬超出了本綜述的范圍，故不再詳述。

固定輸入狀態(tài)和可變觀測值。這種設(shè)置考慮了更廣泛的情況，即輸入狀態(tài) ρ 0 是固定的，而觀測值 D 中的各個(gè)可以變化。一個(gè)直接的觀察是，第一種設(shè)置是后者的特例。在這種情況下，一個(gè)高效的機(jī)器學(xué)習(xí)模型作為影子表示預(yù)測器 ，這意味著對于任何新的輸入 x ′ ，它都能準(zhǔn)確預(yù)測其影子表示 。因此，機(jī)器學(xué)習(xí)模型能夠準(zhǔn)確預(yù)測許多觀測值的期望值，即。

實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的首個(gè)方法在參考文獻(xiàn)[81]中被提出，旨在預(yù)測量子態(tài)的許多線性特性，其中等式(2)中的量子電路 U(x) 由 d 個(gè)旋轉(zhuǎn)-泡利門和 G?d 個(gè)克利福德門組成，輸入態(tài) ρ 0 是任意的。學(xué)習(xí)過程遵循標(biāo)準(zhǔn)的三階段監(jiān)督學(xué)習(xí)流程。從概念上講，學(xué)習(xí)器從先驗(yàn)分布中抽取輸入控制參數(shù) x (i) ，并將其輸入到探索的電路中。對于每個(gè)示例 x (i) ，學(xué)習(xí)器采用基于泡利的經(jīng)典陰影[131]來收集測量結(jié)果 s (i) 。通過重復(fù)此過程 n 次，原始數(shù)據(jù) τ 被收集。

在獲得 τ 的情況下，對于任何新輸入 x ，影子表示預(yù)測器的顯式形式可得出

其中 κ Λ (x, x (i) ) 指的是在框4中定義的截?cái)嗳嵌囗?xiàng)式核。對于任何可觀測變量 O∈D ，最大似然模型為 ，當(dāng) n 和 Λ 不太大時(shí)，該模型可以在經(jīng)典端高效實(shí)現(xiàn)。

當(dāng)輸入數(shù)據(jù)從均勻分布中采樣且 Λ=d 時(shí)，陰影預(yù)測器是 ρ(x) 的無偏估計(jì)量。此外，當(dāng)平均梯度范數(shù) 被一個(gè)小 C 上界時(shí)，所提出的最大似然模型在樣本和計(jì)算效率上都表現(xiàn)優(yōu)異。為了在等式(8)中實(shí)現(xiàn) ? 預(yù)測誤差，所需的樣本復(fù)雜度為 O(|E(Λ)| ? ?1 ) ，其中 Λ=4C / ? 且 E(Λ)={ω|ω∈ 0,±1 d ,s.t.∥ω∥0≤Λ} 。此外，多項(xiàng)式樣本復(fù)雜度確保了整體多項(xiàng)式計(jì)算復(fù)雜度。數(shù)值模擬證明了所提方法在預(yù)測60量子比特旋轉(zhuǎn)GHZ態(tài)的兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)、預(yù)測60量子比特全局哈密頓量的磁化強(qiáng)度以及預(yù)訓(xùn)練50量子比特 VQE 用于橫向場伊辛模型方面的有效性。

C. 基本限制

現(xiàn)有機(jī)器學(xué)習(xí)模型的一個(gè)共同特征是，它們都遵循圖3所示的測量無關(guān)學(xué)習(xí)協(xié)議。這些模型采用先進(jìn)行測量、再對采集數(shù)據(jù)進(jìn)行經(jīng)典處理的策略。這引發(fā)了一個(gè)關(guān)鍵問題：在理解經(jīng)典機(jī)器學(xué)習(xí)模型與量子學(xué)習(xí)模型[112,229]之間可計(jì)算的分離時(shí)，需要明確學(xué)習(xí)過程是完全還是部分在量子設(shè)備上執(zhí)行的。解決這個(gè)問題不僅能豐富量子學(xué)習(xí)理論，還能為識別量子效用和量子優(yōu)勢提供具體指導(dǎo)。例如，假設(shè)所有量子問題都能通過經(jīng)典機(jī)器學(xué)習(xí)模型高效解決，那么量子計(jì)算的實(shí)際優(yōu)勢將僅限于數(shù)據(jù)采集階段。然而最新研究表明，盡管本文綜述的現(xiàn)有機(jī)器學(xué)習(xí)模型在許多實(shí)際場景中表現(xiàn)優(yōu)異，但它們也存在根本性局限，導(dǎo)致性能遠(yuǎn)遜于對應(yīng)的量子模型。

首個(gè)探索機(jī)器學(xué)習(xí)模型在刻畫可擴(kuò)展量子系統(tǒng)中計(jì)算難度的研究由Gyurik等人[113]完成。他們構(gòu)建了一類哈密頓量家族，其基態(tài)特性無法通過任何經(jīng)典機(jī)器學(xué)習(xí)方法預(yù)測，假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)密碼學(xué)假設(shè)成立。這些結(jié)果表明，高效預(yù)測所需的條件（如平滑性和幾何局域性[132]）不能顯著放寬。采用相同方法，后續(xù)研究進(jìn)一步強(qiáng)化了這些結(jié)果，通過證明在溫和假設(shè) BQP ? P/多項(xiàng)式下，從基態(tài)測量中預(yù)測未知可觀測量的期望值存在經(jīng)典-量子分離[184]。此外，相關(guān)結(jié)果可有效擴(kuò)展，以確立機(jī)器學(xué)習(xí)模型在預(yù)測有界門量子態(tài)線性特性方面的計(jì)算難度[81]。對于非線性任務(wù)，研究表明在標(biāo)準(zhǔn)密碼學(xué)假設(shè)下，學(xué)習(xí)“無能隙”量子物質(zhì)相是計(jì)算上困難的[32,33]。

在進(jìn)行一般性理論分析的同時(shí)，另一項(xiàng)獨(dú)立研究方向致力于探索特定類機(jī)器學(xué)習(xí)模型的根本局限性。典型案例是理解隨機(jī)傅里葉特征在量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（QNN）去量化過程中既具潛力又存在局限性。具體而言，近期一項(xiàng)研究通過反例證明，基于隨機(jī)傅里葉特征的經(jīng)典替代模型無法實(shí)現(xiàn)可靠的預(yù)測性能[241]，該結(jié)論建立在參考文獻(xiàn)[226]的研究基礎(chǔ)上。后續(xù)研究進(jìn)一步確立了回歸模型作為QNN經(jīng)典替代模型的必要條件，表明當(dāng)量子模型優(yōu)化的參數(shù)趨近最優(yōu)值時(shí)，經(jīng)典量子分離現(xiàn)象就會(huì)顯現(xiàn)[248]。此外，參考文獻(xiàn)[52,105]揭示，在變分量子學(xué)習(xí)模型可訓(xùn)練的場景中，研究者不僅能為當(dāng)前場景找到高效的經(jīng)典算法，還能實(shí)現(xiàn)對場景的“去量化”。

表I. 采?機(jī)器學(xué)習(xí)模型刻畫可擴(kuò)展量?系統(tǒng)的代表性結(jié)果總結(jié)。所探索的量?系統(tǒng)類型?G.S.表?基態(tài)，Q.C.表?由數(shù)字量?計(jì)算機(jī)制備的狀態(tài)。多重線性屬性預(yù)測和單線性屬性預(yù)測分別?M.L.P和S.L.P表?。相位分類任務(wù)?P.C.表?。符號aQ表?量??特?cái)?shù)為 a 。

D. 高級主題

現(xiàn)有的用于表征和刻畫可擴(kuò)展量子系統(tǒng)的機(jī)器學(xué)習(xí)模型主要遵循監(jiān)督學(xué)習(xí)范式。然而，在相分類任務(wù)中，有一條獨(dú)特的研究路線采用無監(jiān)督學(xué)習(xí)算法（見框2）來實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)[58,132,217]。例如，主成分分析已被應(yīng)用于識別物質(zhì)的不同量子相，這受到凝聚態(tài)物理研究問題的啟發(fā)，在一個(gè)300量子比特的鍵交替 XXZ 模型中[132]，而張量核支持向量機(jī)則被用于重建簇伊辛模型的相圖[217]。關(guān)于無監(jiān)督學(xué)習(xí)方法在相分類中的全面綜述，請參閱參考文獻(xiàn)[43,75]。

與應(yīng)用機(jī)器學(xué)習(xí)模型預(yù)測數(shù)字量子計(jì)算機(jī)生成的量子態(tài)線性特性類似，另一個(gè)研究方向是開發(fā)針對特定量子態(tài)、幺正操作和量子過程的可證明高效學(xué)習(xí)方法。在量子態(tài)學(xué)習(xí)領(lǐng)域，某些受限態(tài)類（如穩(wěn)定子態(tài)[209]、 t 摻雜穩(wěn)定子態(tài)[109,163]以及淺層電路制備的態(tài)[155]）可在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)高效學(xué)習(xí)。對于幺正態(tài)學(xué)習(xí)，經(jīng)典多項(xiàng)式時(shí)間算法可重構(gòu)任意未知N量子比特淺層量子電路的描述[133]。最后，在量子過程研究中，高效的機(jī)器學(xué)習(xí)模型能夠預(yù)測未知過程輸出的任何局部特性，且在從特定先驗(yàn)分布抽取的輸入態(tài)上具有較小的平均誤差[62,130]。

盡管上述研究部分涉及機(jī)器學(xué)習(xí)在可擴(kuò)展量子系統(tǒng)中的應(yīng)用，但出于兩個(gè)原因我們在此不作詳細(xì)闡述。首先，這些問題可視為量子態(tài)/過程重構(gòu)的簡化版本——要么完全不涉及經(jīng)典控制，要么僅限于輸入態(tài)的控制。例如，雖然重構(gòu)未知量子態(tài)通常需要指數(shù)級運(yùn)行時(shí)間，但該問題可通過影子層析成像[1]等高效算法轉(zhuǎn)化為更易處理的學(xué)習(xí)場景。其次，文獻(xiàn)[14]已對這些方法進(jìn)行了全面綜述。

IV. 深度學(xué)習(xí)范式

深度學(xué)習(xí)（DL）在2010年代初的興起[196]，為可擴(kuò)展量子系統(tǒng)的表征與刻畫開辟了新途徑。通過利用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大的表征能力，深度學(xué)習(xí)模型能夠從數(shù)據(jù)中隱式捕捉復(fù)雜模式與結(jié)構(gòu)，在廣泛任務(wù)中展現(xiàn)出優(yōu)異的實(shí)證性能。為深入闡述該領(lǐng)域深度學(xué)習(xí)模型的發(fā)展，本文首先梳理了深度學(xué)習(xí)應(yīng)用于可擴(kuò)展量子系統(tǒng)的一般框架，繼而重點(diǎn)介紹當(dāng)前主流深度學(xué)習(xí)模型的主要應(yīng)用及前沿研究課題。

A. 總體方案

深度學(xué)習(xí)模型通過深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（DNN）自動(dòng)且隱式地從訓(xùn)練數(shù)據(jù)中提取有意義的表征[107]。現(xiàn)有深度學(xué)習(xí)模型已廣泛應(yīng)用于屬性預(yù)測與重構(gòu)等多樣化任務(wù)，如圖1所示。這與傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)方法形成鮮明對比——后者通常專為線性屬性的測量無關(guān)預(yù)測而設(shè)計(jì)。根據(jù)具體任務(wù)和學(xué)習(xí)目標(biāo)的不同，深度學(xué)習(xí)模型的實(shí)現(xiàn)方式存在顯著差異：從測量無關(guān)到基于測量的協(xié)議不等，輔助信息的整合程度也各不相同。下文將詳細(xì)闡述這些差異，并說明深度學(xué)習(xí)模型如何適應(yīng)可擴(kuò)展量子系統(tǒng)表征與刻畫的多樣化任務(wù)。

數(shù)據(jù)集構(gòu)建。從學(xué)習(xí)范式視角來看，屬性預(yù)測屬于判別學(xué)習(xí)范疇，而狀態(tài)重構(gòu)通常被歸類為生成式學(xué)習(xí)，如框2所示。這種區(qū)分導(dǎo)致訓(xùn)練數(shù)據(jù)集構(gòu)建應(yīng)該采用不同方法：屬性預(yù)測任務(wù)采用多種針對特定模型和目標(biāo)定制的數(shù)據(jù)預(yù)處理策略，而重構(gòu)任務(wù)通常遵循更標(biāo)準(zhǔn)化的統(tǒng)一的方法論。

屬性預(yù)測。在此背景下，最通用的方法是采用單一深度學(xué)習(xí)模型來預(yù)測給定量子態(tài)家族的多種線性和非線性屬性。為此，等式(3)中的原始數(shù)據(jù)T被重新格式化為帶有標(biāo)簽的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集 τ DL ，這與多任務(wù)判別學(xué)習(xí)框架一致。如圖3所示， τ DL 的構(gòu)建可以根據(jù)深度學(xué)習(xí)模型是基于測量無關(guān)協(xié)議還是基于測量協(xié)議來分類。

大多數(shù)基于深度學(xué)習(xí)的方法屬于測量協(xié)議類別，其中訓(xùn)練數(shù)據(jù)集 TDL 包含來自T的測量結(jié)果s(i)作為輸入的一部分。在這種情況下，通常研究兩種場景。第一種場景[101,152,283,284,294,302]中，只有測量數(shù)據(jù)可用，而底層物理參數(shù)x(i)要么未知要么無法獲取。在這種情況下，數(shù)據(jù)集構(gòu)建為，其中 (i) 表示從測量結(jié)果 s (i) 計(jì)算出的感興趣物理屬性的估計(jì)值。值得注意的是，原始測量結(jié)果 s (i) 必須適當(dāng)處理成與深度學(xué)習(xí)架構(gòu)兼容的表示，記為 (i) 。在第二種場景[181,199]中，物理參數(shù)x由學(xué)習(xí)器控制，訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的形式為。

對于測量無關(guān)協(xié)議[183,268]，訓(xùn)練數(shù)據(jù)集不包含明確的測量信息。給定原始數(shù)據(jù)T，預(yù)處理后的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集形式為 ，其中標(biāo)簽的構(gòu)建過程與基于測量的深度學(xué)習(xí)模型相同。在此設(shè)置下，不同深度學(xué)習(xí)模型的關(guān)鍵區(qū)別在于是否（以及如何）納入輔助信息 ，這些信息要么被省略，要么用于編碼系統(tǒng)特定細(xì)節(jié)，如量子系統(tǒng)的門布局或噪聲特征[268]。

單態(tài)重構(gòu)。與屬性預(yù)測任務(wù)不同，大多數(shù)用于量子態(tài)重構(gòu)的深度學(xué)習(xí)模型[6, 49, 54, 223, 237, 252, 300]采用簡單且標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)集構(gòu)建方法。由于該任務(wù)屬于生成建模范式，訓(xùn)練數(shù)據(jù)集通常為未標(biāo)注數(shù)據(jù)，其形式為

(9)

對于 POVM 測量 { M s } ，相應(yīng)的結(jié)果 { s t } 是從概率分布 P(s)=Tr(ρ M s ) 中采樣的。

模型實(shí)現(xiàn)與訓(xùn)練。用于屬性預(yù)測的深度學(xué)習(xí)模型通常在判別學(xué)習(xí)框架內(nèi)構(gòu)建。根據(jù)學(xué)習(xí)協(xié)議的不同，所采用的 DNN 表示為 用于基于測量的協(xié)議，而 h DL (x,z;θ) 用于測量無關(guān)模型，其中 θ 代表可訓(xùn)練參數(shù)。目標(biāo)是通過最小化經(jīng)驗(yàn)損失函數(shù)來優(yōu)化這些參數(shù)。

其中每個(gè)組件 x (i ) 、 z (i) 和是否包含取決于可用的 τ DL ， ?(·,·) 表示特定任務(wù)的損失函數(shù)，例如回歸的均方誤差或分類的交叉熵。優(yōu)化通常使用基于梯度的優(yōu)化器進(jìn)行。

盡管先前關(guān)于屬性預(yù)測的研究大多遵循判別學(xué)習(xí)范式，但深度學(xué)習(xí)模型的實(shí)現(xiàn)沿著兩個(gè)關(guān)鍵方向發(fā)展。首先，許多研究[199,246,302]專注于開發(fā)專門的神經(jīng)架構(gòu)和優(yōu)化策略，以提高數(shù)據(jù)效率，使模型能夠從有限數(shù)量的訓(xùn)練樣本n中準(zhǔn)確預(yù)測出更廣泛的物理屬性（即高維 ）。這些架構(gòu)通常由模塊化組件組成，如全連接層、卷積層或圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（GNNs），這些組件針對數(shù)據(jù)集 TDL 的特定結(jié)構(gòu)和模態(tài)進(jìn)行了定制。其次，越來越多的研究[64,176]通過解決先前文獻(xiàn)中未探索的屬性預(yù)測任務(wù)，將深度學(xué)習(xí)的應(yīng)用擴(kuò)展到標(biāo)準(zhǔn)基準(zhǔn)之外。

用于重構(gòu)單個(gè)量子態(tài)的深度學(xué)習(xí)模型通常被稱為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)（NQS）[159]?，F(xiàn)有方法可以分為兩類：顯式重構(gòu)和隱式重構(gòu)。主要區(qū)別在于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出表示。在顯式重構(gòu)中， DNN 直接輸出目標(biāo)量子態(tài)密度矩陣的完整經(jīng)典描述[6,54,82]。然而，這種方法隨著量子比特?cái)?shù)N的增加而呈指數(shù)級增長，使得其在可擴(kuò)展系統(tǒng)中不切實(shí)際。因此，我們在本綜述中不強(qiáng)調(diào)顯式重構(gòu)。

相比之下，重要的是，隱式重構(gòu)方法模擬了量子態(tài)的行為，而無需顯式地重構(gòu)其完整的密度矩陣，該矩陣的形式化描述見框6。這些方法可以進(jìn)一步分為兩種范式。第一種范式開發(fā)了深度學(xué)習(xí)模型，這些模型以測量基為輸入，并輸出相應(yīng)的測量結(jié)果概率[223,237]。第二種范式，即更廣泛研究的范式，將 DNN 視為生成模型，特別是以自回歸架構(gòu)的形式，如循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNNs）[107]和Transformer[261]（見框7）。

當(dāng)使用自回歸模型 h DL (θ) 進(jìn)行量子態(tài)重構(gòu)時(shí)，它通過鏈?zhǔn)椒▌t將測量結(jié)果的聯(lián)合概率分布分解為條件概率的乘積。具體來說，分布表示 ，其中 s 表示索引 i 前的比特序列。經(jīng)過這種重構(gòu)后，模型參數(shù) θ 在 h DL (θ ）中通過最小化負(fù)對數(shù)似然損失來優(yōu)化。

該損失函數(shù)促使模型對與測量結(jié)果高度吻合的構(gòu)型分配更高概率。

方框6：隱性狀態(tài)重構(gòu)

隱式狀態(tài)重構(gòu)是指學(xué)習(xí)一個(gè)生成模型的任務(wù)，該模型作為參數(shù)化分布 Q(s;θ) 的作用，目的是優(yōu)化 θ ，使得 Q(s;θ) 盡可能接近測量結(jié)果s上的目標(biāo)分布 P(s)=Tr(ρ(x) M s ) 。這里， M={ M s } 表示一組預(yù)定義的 POVM 元素，例如與計(jì)算基測量相對應(yīng)的元素。這種方法使模型能夠在不顯式重構(gòu)其密度矩陣的情況下，重現(xiàn)量子態(tài) ρ(x) 的測量統(tǒng)計(jì)特性。

當(dāng)深度學(xué)習(xí)模型用于量子態(tài)重構(gòu)時(shí)，其性能通過學(xué)習(xí)到的分布 Q 與真實(shí)測量結(jié)果分布 P 之間的相似性來評估。與采用標(biāo)準(zhǔn)化準(zhǔn)確度度量（等式(8)）的屬性預(yù)測任務(wù)不同，量子態(tài)重構(gòu)中沒有標(biāo)準(zhǔn)度量。常見的性能度量包括Kullback-Leibler（KL）散度、總變差距離和Wasserstein距離。如果所使用的學(xué)習(xí)模型在訓(xùn)練樣本數(shù)量、量子系統(tǒng)的總查詢次數(shù)以及計(jì)算復(fù)雜度隨量子比特?cái)?shù) N 最多呈多項(xiàng)式增長的情況下，仍能實(shí)現(xiàn) Q 與 P 之間的 ? 精度估計(jì)，則認(rèn)為該模型是高效的。

模型預(yù)測。深度學(xué)習(xí)模型經(jīng)過訓(xùn)練后，可根據(jù)其學(xué)習(xí)目標(biāo)應(yīng)用于下游預(yù)測任務(wù)。在屬性預(yù)測中，它們用于推斷先前未見過的量子態(tài)的物理特性。在量子態(tài)重構(gòu)中，訓(xùn)練好的深度學(xué)習(xí)模型充當(dāng)采樣器，生成比特串樣本，這些樣本在與訓(xùn)練時(shí)相同的測量設(shè)置下，能真實(shí)還原目標(biāo)量子態(tài)的統(tǒng)計(jì)特性。這使得人們無需直接接觸物理系統(tǒng)，就能高效地從測量結(jié)果的分布中進(jìn)行采樣。

B. 具體的深度學(xué)習(xí)模型及其應(yīng)用

下文將介紹深度學(xué)習(xí)模型在量子屬性預(yù)測、量子系統(tǒng)重構(gòu)及量子計(jì)算領(lǐng)域的最新進(jìn)展。為便于理解，我們進(jìn)一步區(qū)分了屬性預(yù)測類別中的單屬性與多屬性預(yù)測任務(wù)。表II匯總了該領(lǐng)域部分代表性研究成果。

圖5. 量子系統(tǒng)表征與刻畫的深度學(xué)習(xí)模型示意圖。上半部分展示了在單任務(wù)和多任務(wù)場景中應(yīng)用深度學(xué)習(xí)模型預(yù)測量子系統(tǒng)特性的流程。無論是單任務(wù)還是多任務(wù)場景，輔助信息和測量結(jié)果都會(huì)先經(jīng)過預(yù)處理，以確保與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)的兼容性。在單任務(wù)預(yù)測中，深度學(xué)習(xí)模型用于估算保真度或熵等特定屬性。而在多任務(wù)場景中，常用策略是學(xué)習(xí)潛在表征，從而支持保真度預(yù)測和相位分類等多種下游任務(wù)。下半部分展示了深度學(xué)習(xí)模型在隱式狀態(tài)重構(gòu)中的應(yīng)用，通過訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)生成能高度復(fù)現(xiàn)量子系統(tǒng)測量結(jié)果的樣本。

1. 預(yù)測特定量子性質(zhì)

與主要設(shè)計(jì)用于線性屬性預(yù)測的機(jī)器學(xué)習(xí)（ML）模型不同，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的表達(dá)能力使得深度學(xué)習(xí)（DL）模型能夠針對特定屬性（無論是線性還是非線性）進(jìn)行定制化預(yù)測，如圖1所示。

量子態(tài)相似性。與量子保真度類似，量子態(tài)相似性是用于描述量子態(tài)之間接近程度的量化指標(biāo)[190]。檢測量子態(tài)相似性對于驗(yàn)證可擴(kuò)展量子處理器的可靠性至關(guān)重要。量子相似性檢測的兩大核心任務(wù)包括直接量子保真度估計(jì)[91]和跨平臺量子驗(yàn)證[87]。在直接保真度估計(jì)任務(wù)中，研究者通過對實(shí)驗(yàn)態(tài)的副本進(jìn)行測量，來評估其相對于理論目標(biāo)態(tài)的量子保真度。而在跨平臺驗(yàn)證任務(wù)中，研究者則通過分別對兩個(gè)未刻畫的實(shí)驗(yàn)量子態(tài)進(jìn)行局部測量，來估算它們之間的量子相似性。

直接保真度估計(jì)旨在量化實(shí)驗(yàn)制備態(tài)與目標(biāo)純態(tài)之間的相似性，同時(shí)最小化測量開銷。最初的方法采用了一個(gè)簡單的全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（FCNN）來進(jìn)行多類分類[294]。直觀來說， FCNN 以從量子態(tài)測量得到的泡利算符期望值的統(tǒng)計(jì)估計(jì)子集作為輸入，并輸出保真度預(yù)測。訓(xùn)練標(biāo)簽是通過將保真度離散化為預(yù)定義區(qū)間生成的，這些區(qū)間是通過使用理想化的無限測量場景計(jì)算得出的。后續(xù)研究提出，與其將保真度估計(jì)作為分類問題來處理，不如采用回歸模型從測量數(shù)據(jù)[201]以及所探索量子系統(tǒng)的物理參數(shù)[82]中估計(jì)實(shí)驗(yàn)態(tài)的保真度。

方框7：深度學(xué)習(xí)模型中的術(shù)語

潛在表征

潛在表示指一組內(nèi)部變量或特征——通常由深度學(xué)習(xí)模型自動(dòng)學(xué)習(xí)——它們能概括下游任務(wù)最相關(guān)的信息。通過操作這些潛在表示，模型可更高效地進(jìn)行屬性預(yù)測或分類，并提升泛化能力。

遷移學(xué)習(xí)與少樣本學(xué)習(xí)

這些范式旨在通過利用先前學(xué)習(xí)任務(wù)或模型的知識，以最小的量子計(jì)算成本預(yù)測新量子系統(tǒng)的特性。具體而言，遷移學(xué)習(xí)通過調(diào)整在某一任務(wù)上訓(xùn)練的模型來提升相關(guān)任務(wù)的性能，而少樣本學(xué)習(xí)則使模型僅需少量標(biāo)注樣本即可實(shí)現(xiàn)泛化。這兩種方法對于減少數(shù)據(jù)采集成本高昂的場景下對量子系統(tǒng)的訪問次數(shù)至關(guān)重要。

多模態(tài)學(xué)習(xí)

多模態(tài)學(xué)習(xí)是指模型能夠處理并整合來自多種不同來源或數(shù)據(jù)類型的信息的能力[19]。這類模型通常采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)，為每種數(shù)據(jù)模態(tài)配置專用模塊——例如使用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）處理圖像類數(shù)據(jù)，采用循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN）處理序列數(shù)據(jù)——隨后通過聯(lián)合層將這些模塊融合，從而實(shí)現(xiàn)有效信息整合與跨模態(tài)推理。當(dāng)應(yīng)用于量子系統(tǒng)刻畫時(shí)，該方法通過整合量子測量結(jié)果與物理控制參數(shù)等多樣化數(shù)據(jù)，構(gòu)建出更全面的量子系統(tǒng)表征。

深度生成模型

深度生成模型是通過深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)生成與訓(xùn)練期間所見數(shù)據(jù)樣本相似的新數(shù)據(jù)。當(dāng)應(yīng)用于隱式量子態(tài)重構(gòu)任務(wù)時(shí)，這些模型旨在學(xué)習(xí)量子測量結(jié)果的潛在概率分布。主要實(shí)現(xiàn)方式有兩種：

· 自回歸模型。這類模型通過鏈?zhǔn)椒▌t，將測量結(jié)果的聯(lián)合概率分布分解為條件概率的乘積。典型應(yīng)用包括循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNNs）、像素卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（PixelCNNs）以及用于神經(jīng)量子態(tài)采樣的Transformers模型。

·基于能量的模型。這類模型為每個(gè)可能的構(gòu)型分配一個(gè)未歸一化的能量值，并通過能量函數(shù)定義概率分布。模型通過訓(xùn)練來降低觀測樣本的能量值，同時(shí)對所有構(gòu)型進(jìn)行歸一化處理。與自回歸模型不同，基于能量的模型本質(zhì)上不需要順序采樣。典型代表包括受限玻爾茲曼機(jī)（RBMs）和深度玻爾茲曼機(jī)（DBMs）。

跨平臺量子驗(yàn)證技術(shù)通過實(shí)驗(yàn)手段直接比較不同設(shè)備生成的量子態(tài)。該領(lǐng)域存在多種實(shí)現(xiàn)路徑：第一種方法將不同設(shè)備產(chǎn)生的測量結(jié)果分布轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)化輸入張量，通過卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）進(jìn)行特征提取和相似性比對[282]；第二種方法以量子電路布局為輸入，運(yùn)用圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（GNN）分析電路結(jié)構(gòu)并預(yù)測量子保真度[268]?；诙嗄B(tài)學(xué)習(xí)理論（詳見方框7），最新研究提出通過將電路布局與測量數(shù)據(jù)結(jié)合來估算量子態(tài)間的重疊度，該方法在包含50個(gè)量子比特的模擬實(shí)驗(yàn)中展現(xiàn)出顯著效果[199]。另有研究嘗試估算任意量子態(tài)間的保真度，其方案采用CNN模型，以電路的獨(dú)熱編碼表示作為輸入來預(yù)測保真度[253]。

量子糾纏與其他非經(jīng)典特性。量子糾纏[123]是量子力學(xué)區(qū)別于經(jīng)典物理學(xué)的根本特征。然而，在任意量子系統(tǒng)中檢測和量化糾纏不僅需要大量量子資源，而且在計(jì)算上也難以實(shí)現(xiàn)[111]。深度學(xué)習(xí)模型的最新進(jìn)展提供了一種有前景的替代方法，無需直接從第一性原理進(jìn)行估算，即可高效預(yù)測特定類量子態(tài)的糾纏程度。

早期解決這一任務(wù)的努力利用了一個(gè)簡單的 FCNN 來分類糾纏和可分離的二分態(tài)[99]。從概念上講， FCNN 以泡利算符期望值的統(tǒng)計(jì)估計(jì)作為輸入，并輸出預(yù)測結(jié)果。后來的研究開發(fā)了更先進(jìn)的深度學(xué)習(xí)模型來檢測多量子比特態(tài)中的多體糾纏[18, 60, 63, 64, 115, 150, 172, 195, 211]。最近的一項(xiàng)工作采用 LSTM 來預(yù)測動(dòng)態(tài)演化量子系統(tǒng)中子系統(tǒng)的糾纏熵，僅使用單量子比特和雙量子比特測量，規(guī)模擴(kuò)展到100個(gè)量子比特[136]。此外，還設(shè)計(jì)了專門的深度學(xué)習(xí)模型用于連續(xù)變量量子系統(tǒng)的糾纏檢測[101]。除了糾纏檢測，最近的研究開始探索能夠量化糾纏的深度學(xué)習(xí)模型[79, 152, 168, 208, 210]。超越糾纏的研究開始設(shè)計(jì)深度學(xué)習(xí)模型來量化更廣泛的量子特性，如非經(jīng)典性[67]、量子不協(xié)調(diào)（quantum discord）[153, 242]和非穩(wěn)定性（nonstabilizerness）[176, 233]。

相分類。相變是多體物理中普遍存在的基本現(xiàn)象，特定物理參數(shù)的微小擾動(dòng)可以導(dǎo)致系統(tǒng)行為的顯著變化。相分類并不強(qiáng)制要求訪問哈密頓量參數(shù) x 。然而，當(dāng) x 可訪問時(shí)，分類不同相有助于識別相變臨界點(diǎn)。當(dāng)收集的原始數(shù)據(jù) τ 對應(yīng)于一組示例基態(tài)向量 時(shí)，優(yōu)化的學(xué)習(xí)模型可以識別出臨界點(diǎn) x ? ，在此處 |ψ( x ? )? 發(fā)生量子相變。

深度學(xué)習(xí)模型已被廣泛應(yīng)用于識別經(jīng)典相變和量子相變參數(shù)空間中的臨界點(diǎn)或相界。在監(jiān)督學(xué)習(xí)范式中，每個(gè)訓(xùn)練樣本都需要足夠數(shù)量的測量數(shù)據(jù) τ 或輔助信息 z (i) ，以明確該樣本所屬的物質(zhì)相態(tài)[47]。相比之下，混淆學(xué)習(xí)[169,259]和預(yù)測學(xué)習(xí)[16,108,221]模型則完全不依賴任何先驗(yàn)輔助信息。

為探索未知物質(zhì)相態(tài)，基于異常檢測的深度學(xué)習(xí)模型[151]能夠在缺乏或僅有少量先驗(yàn)數(shù)據(jù)的情況下，識別潛在的新物質(zhì)相態(tài)。這類模型不僅用于模擬數(shù)據(jù)測試，還成功應(yīng)用于量子相態(tài)分類及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的完整相圖生成[30,147,177,178]。針對深度學(xué)習(xí)模型在物質(zhì)相態(tài)分類中的可靠性問題，特別是對抗樣本的存在性，學(xué)界已展開深入研究[142,292]。

在具有中間測量的隨機(jī)量子電路中也會(huì)發(fā)生相變現(xiàn)象[234]。這類量子系統(tǒng)中，臨界點(diǎn)附近隨機(jī)測量速率的微小波動(dòng)會(huì)引發(fā)輸出量子態(tài)糾纏熵的劇烈變化。研究這類量子系統(tǒng)的可學(xué)習(xí)性已成為檢測測量誘導(dǎo)相變的重要手段[4,9,21,138]。通過訓(xùn)練卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）從中間測量快照中預(yù)測參考量子比特的泡利期望值，預(yù)測精度可有效識別相變[78]。近期一項(xiàng)研究采用基于注意力機(jī)制的模型，通過區(qū)分兩種不同亂序態(tài)的測量軌跡來識別測量誘導(dǎo)相變[148]。

除上述研究外，深度學(xué)習(xí)模型還通過利用量子系統(tǒng)的經(jīng)典先驗(yàn)知識（如糾纏譜[222]）而非基于測量數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)了對物質(zhì)相態(tài)的分類。除監(jiān)督學(xué)習(xí)范式外，通過聚類算法對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行降維[273]，以及分析自編碼器的瓶頸[276]，也可實(shí)現(xiàn)對不同物質(zhì)相態(tài)的無監(jiān)督分類。

2. 多量子特性預(yù)測

量子陰影層析成像技術(shù)能夠在不進(jìn)行完整態(tài)層析成像的情況下，有效估計(jì)多個(gè)可觀測量的期望值[1]。受此啟發(fā)，深度學(xué)習(xí)模型被開發(fā)用于同時(shí)預(yù)測多種物理特性。這些模型從數(shù)據(jù)集 TDL 中學(xué)習(xí)可遷移的潛在表示[24]（關(guān)于潛在表示和遷移學(xué)習(xí)的詳細(xì)解釋參見框7），捕捉量子態(tài)內(nèi)的結(jié)構(gòu)模式和物理關(guān)聯(lián)。一旦訓(xùn)練完成，這些潛在表示可用于推斷訓(xùn)練期間未見過的多種物理特性。從這個(gè)意義上說，潛在表示與經(jīng)典陰影的作用類似，作為量子態(tài)的壓縮但信息豐富的摘要，用于下游預(yù)測任務(wù)。

根據(jù)潛在表征的構(gòu)建方式，現(xiàn)有深度學(xué)習(xí)模型可分為監(jiān)督學(xué)習(xí)、半監(jiān)督學(xué)習(xí)和自監(jiān)督學(xué)習(xí)三種類型（具體概念參見方框7）。本文將重點(diǎn)闡述前兩類模型，而自監(jiān)督學(xué)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容將在后續(xù)語言模型范式中展開討論。

現(xiàn)有的監(jiān)督學(xué)習(xí)和半監(jiān)督學(xué)習(xí)的深度學(xué)習(xí)模型通常遵循基于測量的協(xié)議，其中測量結(jié)果 { s (i) } 作為 τ DL 的輸入數(shù)據(jù)。這些深度學(xué)習(xí)模型之間的主要區(qū)別在于它們?nèi)绾螛?gòu)建潛在表示以及獲取標(biāo)注樣本的相關(guān)成本。

在監(jiān)督表示學(xué)習(xí)這一領(lǐng)域，開創(chuàng)性的工作是利用生成查詢神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（GQNN）的概念來學(xué)習(xí)量子態(tài)的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)表示[302]。所學(xué)習(xí)到的潛在表示能夠預(yù)測尚未進(jìn)行的測量基上的測量統(tǒng)計(jì)量，并對不同類別的量子態(tài)進(jìn)行聚類。后續(xù)研究探索了如何學(xué)習(xí)可遷移的表示，這些表示可以應(yīng)用于其他任務(wù)。具體來說，訓(xùn)練用于區(qū)分量子相位的分類器可以重用所學(xué)習(xí)到的潛在表示來預(yù)測其他物理屬性，包括糾纏熵和量子態(tài)重疊[284]。此外，訓(xùn)練用于預(yù)測泡利期望值的深度學(xué)習(xí)模型可以遷移至動(dòng)態(tài)量子系統(tǒng)中預(yù)測糾纏熵[182]。

在監(jiān)督表示學(xué)習(xí)范式中，一種互補(bǔ)方法涉及多任務(wù)學(xué)習(xí)，即訓(xùn)練深度學(xué)習(xí)模型同時(shí)預(yù)測多個(gè)量子屬性。具體而言，每個(gè)訓(xùn)練樣本都帶有多個(gè)標(biāo)簽，即 τ DL 中的 維度大于1，且等式（10）中的損失函數(shù)計(jì)算所有目標(biāo)屬性的預(yù)測誤差。Wu等人[283]給出了一個(gè)代表性例子。他們證明，對于鍵交替 XXZ 模型的基態(tài)，一個(gè)訓(xùn)練用于從短程測量預(yù)測自旋關(guān)聯(lián)和熵互信息的深度學(xué)習(xí)模型，也能區(qū)分對稱性保護(hù)拓?fù)洌⊿PT）相和平凡相。這是通過在學(xué)習(xí)到的表示上應(yīng)用降維方法實(shí)現(xiàn)的，無需顯式相位監(jiān)督即可揭示相位差異。

半監(jiān)督表示學(xué)習(xí)通過結(jié)合少量標(biāo)注數(shù)據(jù)與海量未標(biāo)注數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)高效學(xué)習(xí)[258]。最新研究表明，該方法仍能可靠預(yù)測量子屬性（如相位分類）[246]。其核心創(chuàng)新在于采用混合損失函數(shù)，將標(biāo)注數(shù)據(jù)的監(jiān)督損失與無監(jiān)督對比損失相結(jié)合。這種對比損失機(jī)制能確保具有相似測量統(tǒng)計(jì)特征的量子態(tài)在潛在表示層面保持高度一致性[282]。

3. 量子系統(tǒng)重構(gòu)

盡管在大規(guī)模量子系統(tǒng)中以顯式方式完全重構(gòu)任意量子態(tài)難以實(shí)現(xiàn)，但已開發(fā)出多種深度學(xué)習(xí)模型來高效隱式重構(gòu)結(jié)構(gòu)良好的量子系統(tǒng)。這不僅包括利用生成模型隱式重構(gòu)量子態(tài)，還涵蓋預(yù)測量子動(dòng)力學(xué)的輸出態(tài)或其物理特性，以及學(xué)習(xí)預(yù)測量子系統(tǒng)的哈密頓量。

隱式量子態(tài)重構(gòu)。對于隱式態(tài)重構(gòu)，當(dāng)前關(guān)于 NQS 的研究，將DNNs作為生成模型，采用了兩種方法：數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)和變分法。數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的 NQS 方法通常采用自回歸模型或基于能量的模型。

正如在模型實(shí)現(xiàn)部分所介紹的，一類廣泛研究的用于 NQS 的生成模型是基于自回歸架構(gòu)的[49,230,281]。例如，RNN及其變體已成功應(yīng)用于從測量數(shù)據(jù)中隱式重建未知量子態(tài)[49,185,191]。這些深度學(xué)習(xí)模型因其在捕捉復(fù)雜量子關(guān)聯(lián)方面的強(qiáng)大表達(dá)能力而備受重視。一個(gè)值得注意的最新進(jìn)展是使用Transformer架構(gòu)，它們擅長建模序列數(shù)據(jù)中的長程依賴關(guān)系。例如，參考文獻(xiàn)[54,300]提出了基于Transformer的學(xué)習(xí)模型，用于重建GHZ態(tài)和橫向場伊辛模型的基態(tài)。

另一種構(gòu)建 NQS 的主要方法，比自回歸模型更早發(fā)展，是基于能量生成模型的。這些模型為每個(gè)可能的構(gòu)型分配一個(gè)未歸一化的能量值，采樣過程遵循低能量構(gòu)型對應(yīng)高概率的原則。采樣通常使用馬爾可夫鏈蒙特卡洛等技術(shù)完成。這一類方法中的一個(gè)開創(chuàng)性例子是受限玻爾茲曼機(jī)（RBM）[121]，它是最早應(yīng)用于量子態(tài)重構(gòu)的架構(gòu)之一[251,252]。

對于變分方法，所使用的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被視為變分假設(shè)，用于近似哈密頓量的基態(tài)[44]。與數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法不同，這種方法專門針對基態(tài)估計(jì)設(shè)計(jì)，不需要訪問量子測量數(shù)據(jù)。訓(xùn)練目標(biāo)是使目標(biāo)哈密頓量 H(x) 的期望值最小化，從而在由 DNN 定義的表達(dá)函數(shù)空間中尋找最低能量態(tài)。訓(xùn)練后， DNN 的輸出模擬了基態(tài)向量 |ψ(x)? 的測量統(tǒng)計(jì)特性。

這種變分方法可與基于測量數(shù)據(jù)訓(xùn)練的自回歸模型相結(jié)合，從而提升量子模擬的準(zhǔn)確性[74,157,186]。具體實(shí)施時(shí)，首先通過自回歸模型從噪聲量子模擬器生成的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中重建近似基態(tài)，隨后通過變分優(yōu)化進(jìn)一步逼近理想基態(tài)。該混合方法已被證實(shí)比傳統(tǒng)變分方法更高效，且對實(shí)驗(yàn)誤差具有更強(qiáng)的魯棒性。

由于本綜述側(cè)重于從測量中學(xué)習(xí)量子系統(tǒng)的AI應(yīng)用，因此并未全面涵蓋所有關(guān)于 NQS 的研究。如需了解 NQS 的完整概述，讀者可參考文獻(xiàn)[48,75,159]。

在顯式恢復(fù)與隱式恢復(fù)之間存在一種值得簡要提及的中間方法，即在特定結(jié)構(gòu)假設(shè)下顯式構(gòu)建量子態(tài)。那些在系統(tǒng)所有切割面上精確意義上具有低糾纏度的量子態(tài)[85]，可以用張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)[68]進(jìn)行良好近似。一旦學(xué)習(xí)到張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)，就可以從一個(gè)與目標(biāo)分布P(s)高度接近的分布中進(jìn)行采樣。當(dāng)前研究場景在單空間維度的純態(tài)（即矩陣乘積態(tài)）中尤為明顯，但對局部純化的混合態(tài)的推廣研究也已展開。早期方法主要關(guān)注從局部或合適的隨機(jī)全局測量中實(shí)現(xiàn)實(shí)際恢復(fù)[70,192]，而新近研究則為從適當(dāng)（通常是隨機(jī)化）數(shù)據(jù)中嚴(yán)格學(xué)習(xí)張量網(wǎng)絡(luò)提供了樣本復(fù)雜度邊界[14,110,141]。這些方法與經(jīng)典陰影理論也存在密切關(guān)聯(lián)。

預(yù)測量子動(dòng)力學(xué)。在量子動(dòng)力學(xué)中，相關(guān)的參數(shù)化量子態(tài)向量變?yōu)? |ψ(x;t)?:= e ??H(x)t |ψ0? ，其中 x 表示所探索哈密頓量的經(jīng)典控制，t 表示演化時(shí)間。給定一個(gè)包含多個(gè)時(shí)間點(diǎn) |ψ(x;t)? ? 的測量數(shù)據(jù)集，這些時(shí)間點(diǎn)對應(yīng)不同的控制參數(shù)，目標(biāo)是使用深度學(xué)習(xí)模型來預(yù)測未來時(shí)間 t ′ 的狀態(tài)向量 |ψ( x ′ ; t ′ )? 或其物理特性。由于問題的時(shí)間序列特性，具有捕捉時(shí)間依賴性的順序深度學(xué)習(xí)模型自然適合解決此類任務(wù)。

早期的一項(xiàng)嘗試?yán)?RNN 和 LSTM 模型來預(yù)測自旋模型中隨時(shí)間演化狀態(tài)矢量 |ψ(x;t)? 的可觀測量期望值[181]。通過將自旋系統(tǒng)參數(shù)和一系列過去的測量數(shù)據(jù)作為輸入，這些模型輸出未來時(shí)間步長的預(yù)測期望值。采用相同的方法，序列深度學(xué)習(xí)模型已被應(yīng)用于預(yù)測由量子電路生成的隨時(shí)間演化狀態(tài)的可觀測量期望值[183]。最近提出的一種雙向深度學(xué)習(xí)模型不僅能基于其哈密頓量預(yù)測動(dòng)態(tài)演化中可觀測量的期望值，還能從相關(guān)的動(dòng)態(tài)觀測數(shù)據(jù)中預(yù)測隨時(shí)間變化的哈密頓量參數(shù)[11]。與上述研究方向不同，受機(jī)器學(xué)習(xí)模型啟發(fā)，文獻(xiàn)[130]開發(fā)了一種深度學(xué)習(xí)模型，通過預(yù)測從預(yù)設(shè)集合中隨機(jī)抽取的任何輸入狀態(tài)對應(yīng)的未知量子過程輸出特性來模擬量子過程[303]。

除預(yù)測封閉量子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)外，當(dāng)前研究熱點(diǎn)還聚焦于運(yùn)用深度學(xué)習(xí)模型模擬開放量子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)，該領(lǐng)域在量子化學(xué)與藥物研發(fā)中具有廣泛應(yīng)用前景。由于這些內(nèi)容超出本綜述范疇，具體細(xì)節(jié)可參閱文獻(xiàn)[38,46,116,117]。

哈密頓量學(xué)習(xí)。量子物理的核心在于系統(tǒng)的哈密頓量，它不僅決定著量子態(tài)的結(jié)構(gòu)，還主導(dǎo)著量子態(tài)的動(dòng)態(tài)演化。鑒于其核心地位，哈密頓量學(xué)習(xí)[272,278]成為研究熱點(diǎn)，該領(lǐng)域致力于通過測量數(shù)據(jù)推斷哈密頓量的底層結(jié)構(gòu)并估算其耦合強(qiáng)度。所學(xué)得的模型參數(shù)不僅能揭示系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性，還可用于可擴(kuò)展量子系統(tǒng)的刻畫與驗(yàn)證[45,86]，并能顯著提升量子模擬的預(yù)測能力。

近期研究引入了專用深度學(xué)習(xí)模型，在特定哈密頓量結(jié)構(gòu)假設(shè)（通常包含幾何局域性）下，以最小測量開銷完成不同哈密頓量學(xué)習(xí)任務(wù)。例如，基于少量局域測量結(jié)果訓(xùn)練的 FCNN 已被用于學(xué)習(xí)和驗(yàn)證穩(wěn)定子哈密頓量實(shí)例的結(jié)構(gòu)，其在量子糾錯(cuò)領(lǐng)域的潛在應(yīng)用備受關(guān)注[255]。在非平衡態(tài)條件下，全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（FCNNs）也被用于從動(dòng)態(tài)測量數(shù)據(jù)重構(gòu)哈密頓量[188,254]。超越前饋架構(gòu)，循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNNs）通過處理單量子比特測量的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，展現(xiàn)出學(xué)習(xí)時(shí)變哈密頓量參數(shù)（如驅(qū)動(dòng)伊辛模型參數(shù)）的潛力[56]。此外，一項(xiàng)涉及多達(dá)27個(gè)量子比特的大規(guī)模實(shí)驗(yàn)研究運(yùn)用張量ESPRIT和約束流形優(yōu)化等超分辨率技術(shù)，成功學(xué)習(xí)了超導(dǎo)量子處理器的哈密頓量[114]。這類大規(guī)模實(shí)驗(yàn)研究也凸顯了開發(fā)能夠適應(yīng)量子態(tài)制備和測量誤差的魯棒哈密頓量學(xué)習(xí)方法的重要性。

4 . 在量子計(jì)算中的應(yīng)用

除前述應(yīng)用外，研究者已開始探索深度學(xué)習(xí)（DL）模型在各類量子計(jì)算任務(wù)中的潛在應(yīng)用。

量子系統(tǒng)基準(zhǔn)測試。大規(guī)模量子處理器的基準(zhǔn)測試對于實(shí)現(xiàn)可靠的量子計(jì)算和量子模擬至關(guān)重要[86,198]?；鶞?zhǔn)測試方法能驗(yàn)證量子態(tài)的正確制備或量子電路及其組件的精確實(shí)現(xiàn)。為提升效率和可擴(kuò)展性，采用深度學(xué)習(xí)模型預(yù)測特定量子處理器性能是一種頗具前景的方法[118,125,126]。在具體案例中，人們通過集成多個(gè)深度學(xué)習(xí)模型，以時(shí)間、矩陣積態(tài)的鍵維數(shù)（bond dimension）和系統(tǒng)規(guī)模作為輸入?yún)?shù)，來評估實(shí)驗(yàn)?zāi)M與經(jīng)典模擬之間的保真度[232]。完成系統(tǒng)基準(zhǔn)測試后，通常還能獲得關(guān)于如何優(yōu)化當(dāng)前實(shí)驗(yàn)設(shè)置的實(shí)用建議。值得注意的是，基準(zhǔn)測試的概念正日益被視為量子學(xué)習(xí)理論的重要組成部分。

量子誤差緩解（Quantum error mitigation，QEM）。量子誤差緩解的概念在抑制量子系統(tǒng)中由噪聲引起的估計(jì)誤差方面起著關(guān)鍵作用[37]。它并非單一方法，而是一系列主要在經(jīng)典層面操作的方法組合，旨在消除部分量子噪聲。根據(jù)其算法策略，現(xiàn)有的 QEM 技術(shù)可以分為非學(xué)習(xí)和基于學(xué)習(xí)的方法。非學(xué)習(xí)類別包括零噪聲外推[247]和虛擬蒸餾[137]等方法。相比之下，基于學(xué)習(xí)的方法可以進(jìn)一步分為采用傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)[72,73,239]和基于深度學(xué)習(xí)的方法，本文討論主要集中在后者。這些方法在近期實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)中對緩解量子噪聲至關(guān)重要，但在可擴(kuò)展性方面面臨重大障礙，需要電路規(guī)模超過指數(shù)級的采樣復(fù)雜度[203,243]。

當(dāng)前應(yīng)用于 QEM 的深度學(xué)習(xí)模型屬于基于測量的協(xié)議，其中噪聲測量結(jié)果{s(i)}作為模型的輸入，相應(yīng)的估計(jì)期望值作為標(biāo)簽。遵循這一范式， FCNN 結(jié)合任務(wù)特定輔助信息z(i)已被開發(fā)用于緩解多種場景中的錯(cuò)誤，包括量子比特噪聲譜學(xué)[279]、小規(guī)模量子電路[146]、量子近似優(yōu)化算法[216]和哈密頓量模擬[305]。除了這些應(yīng)用外，一種通過數(shù)據(jù)增強(qiáng)賦能的深度學(xué)習(xí)模型被引入，以實(shí)現(xiàn)直接在硬件生成的數(shù)據(jù)上進(jìn)行訓(xùn)練，從而提高對設(shè)備特定噪聲的適應(yīng)性[167]。此外，非消息傳遞圖Transformer被提出以提高在不同電路架構(gòu)和噪聲類型中的性能[20]。與直接應(yīng)用深度學(xué)習(xí)模型預(yù)測誤差緩解的可觀測量并行，基態(tài)估計(jì)的另一種解決方案涉及使用 NQS 從噪聲測量數(shù)據(jù)中重建近似基態(tài)，然后進(jìn)一步通過經(jīng)典優(yōu)化來最小化相對于目標(biāo)哈密頓量的能量[25]。

量子糾錯(cuò)。盡管量子誤差緩解對于現(xiàn)代量子處理器作為中間步驟至關(guān)重要，但量子糾錯(cuò)（QEC）仍然是實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)量子計(jì)算的最終途徑。深度學(xué)習(xí)模型已成功應(yīng)用于 QEC ，特別是在解碼過程中，它們在某些情況下優(yōu)于傳統(tǒng)方法。這些應(yīng)用可以分為識別特定量子錯(cuò)誤的發(fā)生，從而推導(dǎo)出實(shí)際的糾錯(cuò)操作[22,240,270,301]，以及生成量子解碼配置[40]，其中訓(xùn)練后，模型可以高效計(jì)算任何給定綜合征的邏輯運(yùn)算符的可能性。雖然兩種方法都使用測量綜合特征作為深度學(xué)習(xí)模型的輸入，但前者通常被視為分類任務(wù)，類似于屬性預(yù)測，而后者屬于生成學(xué)習(xí)，類似于隱式狀態(tài)重構(gòu)?；趯W(xué)習(xí)的解碼器面臨的一個(gè)具體挑戰(zhàn)是在容錯(cuò)量子存儲(chǔ)器中錯(cuò)誤測量導(dǎo)致的綜合征識別錯(cuò)誤。深度學(xué)習(xí)的概念也被常規(guī)用于識別新的量子糾錯(cuò)碼，但這一應(yīng)用超出了本綜述的范圍。

增強(qiáng)型變分量子算法。變分量子算法（VQAs）仍是研究熱點(diǎn)領(lǐng)域，它不僅具有豐富的理論分析，更在實(shí)際應(yīng)用中大顯身手。鑒于已有大量相關(guān)綜述文獻(xiàn)[27,50,80,249,250]，本文不作全面綜述，而是聚焦于利用深度學(xué)習(xí)模型提升VQAs性能與擴(kuò)展性的最新進(jìn)展。

與直接預(yù)測數(shù)字量子計(jì)算機(jī)輸出的量子態(tài)特性不同，深度學(xué)習(xí)增強(qiáng)的變分量子算法（VQAs）旨在提升優(yōu)化效率和電路部署效果。在優(yōu)化方面，研究者開發(fā)了深度學(xué)習(xí)模型來識別高質(zhì)量初始參數(shù)[94,140,162,220]，并作為替代優(yōu)化器預(yù)測梯度軌跡[53,135,145,171,263]。為提升性能，深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（DNNs）被用于設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)編碼器和量子門陣列布局[119,200,293]。此外，強(qiáng)化學(xué)習(xí)和擴(kuò)散模型也被探索用于發(fā)現(xiàn)緊湊的門序列以實(shí)現(xiàn)電路編譯，從而進(jìn)一步促進(jìn)實(shí)際部署[93,96,215]。

C. 高級主題

深度學(xué)習(xí)的黑箱特性給理解其在可擴(kuò)展量子系統(tǒng)中的行為帶來了巨大挑戰(zhàn)。因此，與機(jī)器學(xué)習(xí)模型不同，深度學(xué)習(xí)模型的基本原理仍大部分未被探索。然而，近年來在可解釋人工智能理論的發(fā)展上取得了顯著進(jìn)展，這使得我們能夠更好地理解、可視化和解釋深度學(xué)習(xí)模型[218]。一個(gè)顯著的例子是在基態(tài)線性性質(zhì)預(yù)測中， DNN 已被證明能提供可證明的預(yù)測準(zhǔn)確性保證[275]。此外，在相位分類中，當(dāng)使用的 DNN 具有足夠的表達(dá)能力時(shí)，其輸出可以有效地被具有閉合解的代理函數(shù)所替代，從而無需顯式訓(xùn)練[15]。在狀態(tài)重構(gòu)的背景下，多項(xiàng)研究探討了 NQS 的表達(dá)能力，即底層神經(jīng)架構(gòu)能有效表示的量子態(tài)類別。研究結(jié)果表明，條件關(guān)聯(lián)和糾纏熵是主導(dǎo)因素[100,231,288,298]。盡管取得了這些進(jìn)展，大多數(shù)深度學(xué)習(xí)模型的內(nèi)部運(yùn)作機(jī)制仍然難以捉摸，需要進(jìn)一步研究以揭示其底層機(jī)制。

解決這一問題的另一種方法是開發(fā)可解釋的深度學(xué)習(xí)模型。透明且可解釋的深度學(xué)習(xí)模型不僅能提升量子特性預(yù)測的可靠性，還能增強(qiáng)物理學(xué)家對其作為推動(dòng)科學(xué)知識發(fā)展的強(qiáng)大工具的信心。該研究方向已取得若干進(jìn)展[66,71,76,90,95,139,224,267,297]。這些研究的核心原則在于揭示輸入數(shù)據(jù)與潛在表征之間的關(guān)聯(lián)。借助降維算法（如t-SNE算法[257]），研究者可直觀展示數(shù)據(jù)表征在高維表征空間中的分布情況。關(guān)于量子系統(tǒng)可解釋深度學(xué)習(xí)模型的最新進(jìn)展，可參閱本綜述[277]。

除了提升可解釋性之外，建立深度學(xué)習(xí)模型的可遷移性同樣至關(guān)重要——即拓展其從簡單系統(tǒng)到復(fù)雜系統(tǒng)、從小規(guī)模到大規(guī)模量子體系的適用范圍。該領(lǐng)域的突破有望大幅減少數(shù)據(jù)采集、訓(xùn)練和預(yù)測所需的量子資源，從而構(gòu)建更具擴(kuò)展性和效率的學(xué)習(xí)框架。目前已有初步進(jìn)展：例如，基于不同尺寸一維里德伯原子數(shù)據(jù)訓(xùn)練的深度學(xué)習(xí)模型，即便真實(shí)相圖具有高度尺寸依賴性[271]，仍能有效預(yù)測訓(xùn)練過程中未涉及的更大系統(tǒng)相圖。

V. 語言模型范式

生成式人工智能[42]，以大型語言模型（LLMs）[55]為代表，自2020年代初迅速崛起以來，已徹底改變了人工智能研究格局及其社會(huì)影響。這一演進(jìn)過程中的里程碑是GPT框架[36]的開發(fā)，該框架確立了兩階段訓(xùn)練范式：先在大規(guī)模未標(biāo)注文本語料庫上進(jìn)行預(yù)訓(xùn)練，再進(jìn)行任務(wù)特定的微調(diào)。雖然Transformer架構(gòu)[261]和預(yù)訓(xùn)練-微調(diào)策略[170,204,205,219]本身并不新穎，但它們的結(jié)合揭示了一個(gè)顯著的實(shí)證現(xiàn)象——神經(jīng)規(guī)模法則（Neural Scaling Law）[143]，即模型性能會(huì)隨著模型規(guī)模、訓(xùn)練數(shù)據(jù)和計(jì)算資源的增加而可預(yù)測地提升。這一洞見在分布式計(jì)算技術(shù)進(jìn)步的支持下，使得擁有數(shù)百億參數(shù)的LLMs（如ChatGPT和DeepSeek）能夠在各類自然語言任務(wù)中達(dá)到甚至超越人類水平[55]。LLMs的成功引發(fā)了人們對于探索類GPT架構(gòu)在表征和刻畫可擴(kuò)展量子系統(tǒng)潛力的與日俱增的濃厚興趣。下文將首先概述這類方法的基本原理，隨后討論其應(yīng)用及前沿課題。

方框8：語言模型中的術(shù)語

基礎(chǔ)模型

基礎(chǔ)模型是通過自監(jiān)督學(xué)習(xí)目標(biāo)，在廣泛且多樣化的數(shù)據(jù)集上訓(xùn)練而成的大規(guī)模通用型AI模型。以GPT為代表的這類模型，能夠習(xí)得靈活多樣的表征能力和處理能力，只需少量額外訓(xùn)練即可適配各類下游任務(wù)。它們通常采用深度Transformers等先進(jìn)神經(jīng)架構(gòu)，從而能夠捕捉跨模態(tài)的復(fù)雜模式與關(guān)聯(lián)關(guān)系。憑借這種靈活且可遷移的知識特性，基礎(chǔ)模型已成為近年來人工智能領(lǐng)域突破性進(jìn)展的基石。

Transformer架構(gòu)

Transformer是一種基于自注意力機(jī)制的深度學(xué)習(xí)架構(gòu)，旨在建模序列內(nèi)部的依賴關(guān)系，無論其長度或位置如何。其核心在于用多頭自注意力機(jī)制替代循環(huán)結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)高效的并行化處理并捕捉長距離相關(guān)性。對于輸入序列，自注意力模塊通過加權(quán)求和計(jì)算表示

其中Q、K和V分別表示從輸入序列中提取的可訓(xùn)練查詢矩陣、鍵矩陣和值矩陣，dk為特征維度。該機(jī)制使Transformer能夠有效學(xué)習(xí)上下文相關(guān)關(guān)系，從而成為GPT等現(xiàn)代大語言模型（LLM）的核心架構(gòu)。

預(yù)訓(xùn)練和微調(diào)

預(yù)訓(xùn)練與微調(diào)是大型語言模型（如GPT）中廣泛應(yīng)用的兩階段訓(xùn)練范式。在預(yù)訓(xùn)練階段，模型通過自監(jiān)督目標(biāo)從海量未標(biāo)注文本語料庫中學(xué)習(xí)通用語言模式與表征。在量子應(yīng)用領(lǐng)域，這可能涉及跨不同場景的測量結(jié)果分布學(xué)習(xí)。微調(diào)階段則通過在較小規(guī)模的標(biāo)注數(shù)據(jù)集上訓(xùn)練，使預(yù)訓(xùn)練模型進(jìn)一步適應(yīng)特定任務(wù)或領(lǐng)域。這種訓(xùn)練方式使GPT模型能在廣泛任務(wù)中表現(xiàn)出色，例如針對糾纏熵?cái)?shù)據(jù)或特定量子硬件噪聲特征進(jìn)行微調(diào)。

A. 總體方案

在量子系統(tǒng)刻畫領(lǐng)域，類GPT架構(gòu)通常采用預(yù)訓(xùn)練-微調(diào)的范式。具體而言，首...