論文信息：

Ru Jia, Xinyu Zhang, Yufei Sheng, Jiaxuan Xu, Yonglin Xia, and Hua Bao,Thermal transport near hotspots in cryogenic devices via the phonon Boltzmann transport equation.J. Appl. Phys. 139, 015705 (2026)

論文鏈接：

https://doi.org/10.1063/5.0306135

Part.1

研究背景

熱點(diǎn)在低溫器件中普遍存在，尤其是在硅基低溫互補(bǔ)金屬氧化物半導(dǎo)體（低溫 CMOS）中，這類(lèi)器件在量子計(jì)算、天文傳感以及空間探索等應(yīng)用領(lǐng)域中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。這些熱點(diǎn)會(huì)引發(fā)顯著的溫度升高，進(jìn)而導(dǎo)致器件電學(xué)性能下降，在低溫環(huán)境下這種影響尤為突出。以往的大多數(shù)研究主要集中在低溫下熱輸運(yùn)的實(shí)驗(yàn)研究方面。大多數(shù)現(xiàn)有的聲子玻爾茲曼輸運(yùn)方程求解器僅限于室溫附近的模擬。本研究結(jié)合第一性原理方法與非線(xiàn)性溫度自適應(yīng)聲子玻爾茲曼輸運(yùn)方程，對(duì)低溫器件熱點(diǎn)附近的聲子輸運(yùn)進(jìn)行了深入分析。首先，對(duì)低溫下功率密度與溫度升高之間的非線(xiàn)性關(guān)系進(jìn)行了分析和解釋。其次，通過(guò)在不同環(huán)境溫度下改變熱點(diǎn)尺寸和硅膜厚度，定量評(píng)估了偏置條件和聲子 - 邊界散射對(duì)熱阻的影響。此外，本實(shí)驗(yàn)還將溫度自適應(yīng)聲子玻爾茲曼輸運(yùn)方程得到的結(jié)果與縮放后的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以及聲子黑體輻射模型的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

Part.2

研究?jī)?nèi)容

在器件模擬中，宏觀(guān)熱輸運(yùn)常用基于傅里葉定律的熱擴(kuò)散方程，但器件尺寸縮小時(shí)，特征長(zhǎng)度與聲子平均自由程相當(dāng)或更小，聲子輸運(yùn)會(huì)從擴(kuò)散型轉(zhuǎn)為彈道型，低溫下這一現(xiàn)象更顯著，且會(huì)引發(fā)局部升溫影響器件性能，此時(shí)需采用聲子玻爾茲曼輸運(yùn)方程（BTE）捕捉微納尺度熱輸運(yùn)。該方程常基于小溫差近似求解，假設(shè)聲子特性均勻，相關(guān)參數(shù)通過(guò)灰色近似評(píng)估。低溫下求解面臨兩大挑戰(zhàn)：一是缺乏準(zhǔn)確的模式分辨聲子特性，已通過(guò)加速第一性原理計(jì)算解決；二是聲子特性隨溫度變化強(qiáng)烈，需考慮平衡能量狀態(tài)非線(xiàn)性及聲子特性溫度依賴(lài)性，本研究采用灰色近似平衡精度與效率。此外，聲子黑體輻射模型因能重現(xiàn)熱通量與溫度的四次方關(guān)系也用于低溫?zé)彷斶\(yùn)研究，本研究通過(guò)對(duì)比該模型與聲子 BTE 的偏差，驗(yàn)證結(jié)果并明確二者適用范圍。

本研究重點(diǎn)關(guān)注體硅金屬 - 氧化物 - 半導(dǎo)體場(chǎng)效應(yīng)晶體管（體硅 MOSFET）和絕緣體上硅金屬 - 氧化物 - 半導(dǎo)體場(chǎng)效應(yīng)晶體管（SOI MOSFET）中熱點(diǎn)附近的熱輸運(yùn)。由于熱點(diǎn)位于漏極 - 溝道結(jié)處，我們重點(diǎn)關(guān)注了兩種器件硅有源區(qū)中的聲子輸運(yùn)，如圖 1 所示。

圖 1（a）為具有硅有源區(qū)的體硅金屬 - 氧化物 - 半導(dǎo)體場(chǎng)效應(yīng)晶體管（體硅 MOSFET）的示意圖。（b）為絕緣體上硅金屬 - 氧化物 - 半導(dǎo)體場(chǎng)效應(yīng)晶體管（SOI MOSFET）的示意圖。黑色虛線(xiàn)勾勒出了本研究中所考慮的模擬域。其中，黑色圓點(diǎn)代表彈道聲子，白色圓點(diǎn)代表擴(kuò)散聲子，箭頭代表邊界散射。

本研究對(duì)體硅金屬 - 氧化物 - 半導(dǎo)體場(chǎng)效應(yīng)晶體管（體硅 MOSFET）有源區(qū)中低溫下熱點(diǎn)附近的熱輸運(yùn)進(jìn)行了量化和分析。如圖 2 所示，熱點(diǎn)區(qū)域的平均溫度升高（即熱點(diǎn)溫度與環(huán)境溫度的差值）以及單位長(zhǎng)度熱阻（熱阻與器件深度的乘積）是通過(guò)聲子玻爾茲曼輸運(yùn)方程（BTE）獲得的。這一觀(guān)察結(jié)果表明，低溫下的熱輸運(yùn)最初由彈道聲子主導(dǎo)，但隨著溫度的升高，會(huì)逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閿U(kuò)散聲子主導(dǎo)。在實(shí)際的低溫器件中，僅需幾微瓦的功率，局部熱點(diǎn)就容易出現(xiàn)幾十開(kāi)爾文的溫度升高。這凸顯了溫度依賴(lài)性聲子玻爾茲曼輸運(yùn)方程（BTE）的必要性，與黑體輻射近似相比，該方程能夠提供更準(zhǔn)確的建模結(jié)果。

圖 2（a）為不同功率密度下，環(huán)境溫度分別為 20K、50K 和 300K 時(shí)，熱點(diǎn)區(qū)域的平均溫度升高情況。（b）為不同功率密度下，環(huán)境溫度分別為 20K、50K 和 300K 時(shí)，單位長(zhǎng)度熱阻情況。模擬域?qū)?yīng)于圖 1（a）所示的體硅金屬 - 氧化物 - 半導(dǎo)體場(chǎng)效應(yīng)晶體管（體硅 MOSFET）結(jié)構(gòu)，其長(zhǎng)度 L=1μm。均勻聲子玻爾茲曼輸運(yùn)方程（BTE）和溫度自適應(yīng)聲子玻爾茲曼輸運(yùn)方程（BTE）是本研究中對(duì)比的兩種方法。前者在給定的環(huán)境溫度下使用均勻的聲子特性，而后者則根據(jù)局部溫度升高自洽地更新聲子特性。

在金屬 - 氧化物 - 半導(dǎo)體場(chǎng)效應(yīng)晶體管（MOSFET）中，熱點(diǎn)尺寸通常在幾納米到幾微米之間，并且受偏置條件的顯著影響。實(shí)驗(yàn)表明，低溫下偏置條件對(duì)熱阻的影響比室溫下更為顯著，但內(nèi)在的聲子輸運(yùn)機(jī)制仍不明確。為了填補(bǔ)這一空白，本節(jié)研究了熱點(diǎn)尺寸對(duì)熱輸運(yùn)的影響。在圖 3 中，我們計(jì)算了兩種具有代表性熱點(diǎn)尺寸（熱點(diǎn)長(zhǎng)度分別為 5nm 和 100nm）在不同環(huán)境溫度下，熱阻隨熱點(diǎn)溫度的變化情況。通過(guò)分析可知：在 60K 以下，低溫下的熱阻與熱點(diǎn)尺寸成反比。在 150K 以上，小熱點(diǎn)尺寸的熱阻開(kāi)始上升，而大熱點(diǎn)尺寸的熱阻則繼續(xù)下降。這一現(xiàn)象與實(shí)驗(yàn)觀(guān)察結(jié)果一致，并且首次通過(guò)聲子輸運(yùn)機(jī)制進(jìn)行了解釋。

圖 3 與溫度相關(guān)的歸一化熱阻。圓形對(duì)應(yīng)兩種熱點(diǎn)尺寸（熱點(diǎn)長(zhǎng)度分別為 5nm 和 100nm）下的熱阻?；疑€(xiàn)表示聲子黑體輻射的預(yù)測(cè)結(jié)果，而綠色曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)于相關(guān)文獻(xiàn)中的歸一化實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。模擬域?qū)?yīng)于圖 1（a）所示的體硅金屬 - 氧化物 - 半導(dǎo)體場(chǎng)效應(yīng)晶體管（體硅 MOSFET）結(jié)構(gòu)，其長(zhǎng)度 L=10μm。

除了彈道聲子和聲子特性的溫度依賴(lài)性變化外，絕緣體上硅金屬 - 氧化物 - 半導(dǎo)體場(chǎng)效應(yīng)晶體管（SOI MOSFET）中的聲子 - 邊界散射還會(huì)進(jìn)一步導(dǎo)致溫度升高。在室溫下，隨著硅膜厚度的增加，絕緣體上硅金屬 - 氧化物 - 半導(dǎo)體場(chǎng)效應(yīng)晶體管（SOI MOSFET）的熱阻會(huì)降低，并在超過(guò)一定厚度后最終達(dá)到飽和。在低溫下，盡管有研究報(bào)道稱(chēng)，當(dāng)厚度減小時(shí)（7nm、11nm 和 24nm），熱阻沒(méi)有顯著變化，但由于實(shí)驗(yàn)復(fù)雜性和制造挑戰(zhàn)，邊界散射的作用仍然難以分離和分析。因此，本節(jié)研究了硅膜厚度對(duì)室溫和低溫下熱輸運(yùn)的影響。

圖 4（a）為圖 1（b）所示的絕緣體上硅（SOI）結(jié)構(gòu)在熱點(diǎn)溫度分別為 20K、77K 和 300K 時(shí)，厚度為 7nm、20nm、50nm 和 80nm 的單位長(zhǎng)度熱阻。（b）為在環(huán)境溫度分別為 5K、20K 和 77K，厚度為 7nm 時(shí)，單位長(zhǎng)度熱阻隨功率密度的變化情況。虛線(xiàn)曲線(xiàn)表示相關(guān)方程的結(jié)果。

如圖 5 所示，第一性原理結(jié)果證實(shí)，在 30K 時(shí)，聲子 - 聲子散射率（包括正規(guī)（N）過(guò)程和倒逆（U）過(guò)程）比邊界散射率低幾個(gè)數(shù)量級(jí)。這表明在如此低的溫度下，正規(guī)（N）過(guò)程的貢獻(xiàn)是有限的。在升高的溫度（150K）下，聲子 - 聲子散射增加并變得與邊界散射相當(dāng)，其中倒逆（U）過(guò)程占主導(dǎo)地位。盡管我們的方法存在簡(jiǎn)化，但本研究的目的是關(guān)注彈道聲子和邊界散射對(duì)熱阻的影響，這可以捕捉低溫條件下的主要機(jī)制。

圖 5 硅在 30K 和 150K 時(shí)的聲子 - 聲子散射率和邊界散射率。

平均自由程（MFP）分布可以通過(guò)累積函數(shù)來(lái)描述。然后，代表性的灰色聲子平均自由程（MFP）可以通過(guò)灰色群速度與灰色弛豫時(shí)間的乘積來(lái)計(jì)算。圖 6 顯示了不同溫度下灰色平均自由程（MFP）分布（虛線(xiàn)）和非灰色平均自由程（MFP）分布（實(shí)線(xiàn)）。

圖 6 不同溫度下硅的灰色平均自由程（MFP）（虛線(xiàn)）和非灰色平均自由程（MFP）（實(shí)線(xiàn)）的累積函數(shù)。

將非灰色聲子特性簡(jiǎn)化為灰色聲子特性后，硅的溫度依賴(lài)性聲子特性如圖 7 所示。灰色比熱容隨溫度的變化與德拜模型在低溫下與溫度的三次方關(guān)系一致。

圖 7 硅的溫度依賴(lài)性聲子特性。（a）與溫度相關(guān)的體積比熱容，（b）與溫度相關(guān)的平均自由程（MFP），（c）無(wú)邊界散射時(shí)與溫度相關(guān)的熱導(dǎo)率（κ）。

不同能帶數(shù)量下最高溫度的相對(duì)誤差如圖 8 所示?；疑葡碌南鄬?duì)誤差小于 7%，在本案例中被認(rèn)為是可接受的。我們觀(guān)察到，隨著溫度從 300K 降低到 60K，灰色近似引起的誤差逐漸減小。這一趨勢(shì)是因?yàn)樵谳^低溫度下，彈道聲子的貢獻(xiàn)變得更加主導(dǎo)，使得聲子輸運(yùn)可以通過(guò)單一彈道模式有效地表示。

圖 8 在環(huán)境溫度分別為 60K、200K 和 300K 時(shí)，不同能帶數(shù)量下最高溫度的相對(duì)誤差。

在本研究中，為了討論長(zhǎng)度 L 對(duì)低溫模擬中熱阻的影響，我們?cè)诠潭狳c(diǎn)尺寸（熱點(diǎn)長(zhǎng)度 = 5nm）的情況下進(jìn)行了系統(tǒng)測(cè)試。長(zhǎng)度 L 在 0.5 至 10μm 之間變化，如圖 9 所示。

圖 9 不同低溫下，不同長(zhǎng)度 L 對(duì)應(yīng)的單位長(zhǎng)度熱阻。

比熱容的定義在確定最終溫度結(jié)果中起著關(guān)鍵作用。在非灰色溫度自適應(yīng)聲子玻爾茲曼輸運(yùn)方程（BTE）方法中，比熱容被視為特定模式且與溫度相關(guān)，能夠準(zhǔn)確捕捉單個(gè)聲子的貢獻(xiàn)。相比之下，灰色溫度自適應(yīng)聲子玻爾茲曼輸運(yùn)方程（BTE）使用平均聲子特性，但保留了比熱容的整體溫度依賴(lài)性，如圖 10 中的藍(lán)線(xiàn)所示。

圖 10 不同方法中考慮的與溫度相關(guān)的比熱容。

盡管關(guān)于互補(bǔ)金屬氧化物半導(dǎo)體（CMOS）器件低溫?zé)嶙铚y(cè)量的可用文獻(xiàn)有限，特別是在低溫下以及對(duì)于具有良好表征幾何形狀的器件，本實(shí)驗(yàn)仍提供圖 11，以更直觀(guān)地驗(yàn)證我們模型的預(yù)測(cè)能力，并支持與實(shí)驗(yàn)觀(guān)察結(jié)果的比較。

圖 11 在幾種環(huán)境溫度下，溫度升高隨耗散功率的變化，比較了聲子玻爾茲曼輸運(yùn)方程（BTE）模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

圖 12 顯示了在兩種邊界條件下獲得的溫度升高與功率密度的關(guān)系。結(jié)果表明，熱平衡和絕熱邊界條件之間的溫度升高差異在 5% 以?xún)?nèi)。

圖 12 側(cè)邊界為絕熱和熱平衡時(shí)，溫度升高隨耗散功率的變化。

Part.3

研究總結(jié)

本研究結(jié)合第一性原理與溫度自適應(yīng)聲子玻爾茲曼輸運(yùn)方程（BTE），分析了低溫器件熱點(diǎn)附近熱輸運(yùn)，模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合良好。研究表明，彈道聲子、聲子特性的溫度依賴(lài)性變化及熱點(diǎn)尺寸是低溫下熱輸運(yùn)的關(guān)鍵影響因素，彈道聲子加劇溫度升高，熱點(diǎn)附近聲子特性劇變導(dǎo)致非線(xiàn)性溫度升高，5K-60K 內(nèi)熱阻與熱點(diǎn)尺寸成反比，150K 以上可重現(xiàn)并解釋溫度依賴(lài)性熱阻；7nm-80nm 硅膜厚度對(duì)低溫下熱阻的影響弱于室溫，擬合聲子黑體輻射模型在低溫下適用。這些發(fā)現(xiàn)為低溫器件設(shè)計(jì)中預(yù)測(cè)自熱、優(yōu)化結(jié)構(gòu)以降低熱阻、提升可靠性提供了物理層面的指導(dǎo)。

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