北京
導(dǎo)語
從互聯(lián)網(wǎng)、人類社會(huì)網(wǎng)絡(luò)到生物網(wǎng)絡(luò)，真實(shí)世界的網(wǎng)絡(luò)常包含數(shù)百萬個(gè)異質(zhì)節(jié)點(diǎn)。這些復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)不僅節(jié)點(diǎn)之間的連接模式復(fù)雜，單個(gè)節(jié)點(diǎn)也可能很復(fù)雜。要如何控制具有如此多復(fù)雜節(jié)點(diǎn)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)呢？今年3月發(fā)表于 Nature Reviews Physics 的綜述文章“Controlling complex networks with complex nodes”指出，結(jié)合統(tǒng)計(jì)物理和控制理論可以為此提供新視角，架起微觀節(jié)點(diǎn)和宏觀網(wǎng)絡(luò)的橋梁。該綜述回顧了領(lǐng)域最新進(jìn)展，并提供了一份研究指南。今天的文章是對(duì)綜述文章的全文翻譯。
關(guān)鍵詞：復(fù)雜系統(tǒng)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，統(tǒng)計(jì)物理，控制理論，機(jī)器學(xué)習(xí)
Raissa M. D’Souza, Mario di Bernardo & Yang-Yu Liu | 作者
朱欣怡 | 譯者
胡一冰 | 審校
論文題目： Controlling complex networks with complex nodes 論文地址： https://www.nature.com/articles/s42254-023-00566-3
目錄
摘要
1. 引言
2. 背景
3. 現(xiàn)有建模范式
4. 新范式和建模技術(shù)
5. 研究指南
摘要
真實(shí)世界的網(wǎng)絡(luò)常含有數(shù)百萬個(gè)異質(zhì)節(jié)點(diǎn)，這些節(jié)點(diǎn)有跨時(shí)間尺度和空間尺度相互作用。為理解、建模和控制這些系統(tǒng)，統(tǒng)計(jì)物理 （statistical physics） 和控制理論 （control theory） 等領(lǐng)域都提供了不同的視角。這些領(lǐng)域之間更多的交互和新范式 （如異質(zhì)性和多層次表示） 的集成，對(duì)解決現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)來說是必要的。研究者們可以結(jié)合統(tǒng)計(jì)物理拓展模型、整合 （正負(fù)） 反饋的概念和拓展控制理論公式，從介觀角度進(jìn)行分析 （mesoscopic analysis） 以計(jì)算整體自由度的平均值。同時(shí)，還需要整合理論模型、機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)等控制方法。本綜述回顧了最新的進(jìn)展，并發(fā)現(xiàn)了有助于理解和控制真實(shí)系統(tǒng) （從振蕩器網(wǎng)絡(luò)和社會(huì)網(wǎng)絡(luò)到生物和技術(shù)網(wǎng)絡(luò)） 的新契機(jī)。
1. 引言
統(tǒng)計(jì)物理學(xué) 主要關(guān)注節(jié)點(diǎn)集的平衡 （equilibrium） 和宏觀系綜性質(zhì)，并為理解和預(yù)測大量簡單和相同實(shí)體的集體行為提供了一個(gè)框架。這種行為的典型實(shí)例包括描述氣體粒子的麥克斯韋-玻爾茲曼速度分布，還包括當(dāng)材料被冷卻到居里溫度 （Tc） 時(shí)的鐵磁相變。
相反，傳統(tǒng)的控制理論逐漸演變?yōu)閯?dòng)力系統(tǒng)和工程的一個(gè)分支，致力于按照預(yù)期自動(dòng)地控制系統(tǒng)或設(shè)備，使其能夠忽略噪聲、延遲和擾動(dòng)。這涉及到設(shè)計(jì)反饋策略，在理想情況下希望通過影響相對(duì)較少的微觀自由度，引導(dǎo)目標(biāo)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為與期望演變同步。
然而現(xiàn)代網(wǎng)絡(luò)規(guī)模巨大 （如互聯(lián)網(wǎng)或人類交互網(wǎng)絡(luò)） ，人們無法完全了解每一個(gè)自由度及其相互聯(lián)系，更不用說對(duì)所有自由度進(jìn)行控制。因此，亟需架起宏觀和微觀的橋梁，建立平衡和動(dòng)力學(xué)方法之間的聯(lián)系，以控制具有復(fù)雜節(jié)點(diǎn)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò) （complex networks with complex nodes） 。本文強(qiáng)調(diào)“復(fù)雜”這一形容詞，與復(fù)雜系統(tǒng) （complex systems） 意義上的“復(fù)雜”相同，這意味著此系統(tǒng)是具有非線性行為的潛在異構(gòu)系統(tǒng)。具體而言，“復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)”是指節(jié)點(diǎn)之間的連接模式，“復(fù)雜節(jié)點(diǎn)”是指單個(gè)節(jié)點(diǎn)有非線性行為。
本文的組織結(jié)構(gòu)如下：
首先，介紹研究背景。具體包括（1）關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)和控制理論在統(tǒng)計(jì)物理的學(xué)科交叉點(diǎn)；（2）一般反饋控制理論和在真實(shí)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用中的挑戰(zhàn)。
接著，介紹并討論現(xiàn)有的方法與思想，主要為適用于指導(dǎo)和控制復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)行為的統(tǒng)計(jì)物理和控制理論。然后，文章提出了可能有效的新方法和建模技術(shù)。
最后，作者總結(jié)了一套研究指南，以促進(jìn)未來跨學(xué)科發(fā)展。
在此明確貫穿全文的兩個(gè)控制理論中的基本概念：可控性 （controllability） 和可觀測性 （observability） 。
可控性是指控制輸入的存在性，描述了人們?cè)谟邢迺r(shí)間內(nèi)通過合適的輸入選擇，引導(dǎo)動(dòng)力系統(tǒng)從任何初始狀態(tài)到任何期望的最終狀態(tài)的能力。
可觀測性是通過衡量系統(tǒng)的輸入和輸出來估計(jì)系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的能力，通常識(shí)別攜帶足夠信息的變量子集來重構(gòu)系統(tǒng)的行為。注意，文中使用術(shù)語“控制理論”來指代專注于分析和設(shè)計(jì)反饋系統(tǒng)以實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的工作主體。
2. 背景
2.1 統(tǒng)計(jì)物理與結(jié)構(gòu)可控性
1990年代后期，隨著互聯(lián)網(wǎng)和萬維網(wǎng)迅速發(fā)展、基因組數(shù)據(jù)和基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)逐步完善、經(jīng)濟(jì)全球化勢不可擋，網(wǎng)絡(luò)科學(xué)[1]應(yīng)運(yùn)而生。統(tǒng)計(jì)物理的工具 （如：隨機(jī)圖模型、生成函數(shù)和速率方程等） 有助于人們更好地理解復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)和行為——通常被描述為具有廣泛規(guī)模、跨越幾個(gè)數(shù)量級(jí)的潛在度分布。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)帶來的關(guān)鍵影響是對(duì)隨機(jī)干擾魯棒、對(duì)針對(duì)攻擊脆弱以及潛在的缺乏傳染閾值。除了度分布，網(wǎng)絡(luò)的顯著結(jié)構(gòu)特征包括小世界性、模塊性和三元閉包[2] （圖1） 。
圖1. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的常見指標(biāo)。a.節(jié)點(diǎn)度（k）在較大尺度上的分布（P）；b.集聚系數(shù)；c.社區(qū)結(jié)構(gòu)：節(jié)點(diǎn)可以被分配到組內(nèi)的連接密度高于組之間的連接密度的組。d.小世界屬性：大多數(shù)節(jié)點(diǎn)不直接相連，而是通過網(wǎng)絡(luò)上的短路徑鏈接。e.相變，例如滲流相變，其中網(wǎng)絡(luò)的最大連通片大小S隨著平均度的增加而表現(xiàn)出相變。
2011年，統(tǒng)計(jì)物理與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)控制之間建立了重要聯(lián)系，以分析研究具有線性動(dòng)力學(xué)和任意度分布的網(wǎng)絡(luò)系綜 （network ensemble） 的可控性[3]。這種聯(lián)系建立在結(jié)構(gòu)控制的框架上，20世紀(jì)70年代的一篇文章[4]，通過圖論方法解決了線性動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)上的可控性問題。問題在于，當(dāng)應(yīng)用在特定節(jié)點(diǎn) （[3]中的“驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)”(driver nodes)） 時(shí)，如何確定是否存在控制輸入能在有限時(shí)間內(nèi)引導(dǎo)動(dòng)力系統(tǒng)從任何初始狀態(tài)到任何期望的最終狀態(tài)，即使其可控。解決此問題的關(guān)鍵靈感來自于將識(shí)別最小驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)集的問題映射到網(wǎng)絡(luò)上的最大匹配問題 （圖2） ，然后使用統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的空腔方法 （在“統(tǒng)計(jì)物理方法”一節(jié)中深入討論） 進(jìn)行分析解決。
圖2. 結(jié)構(gòu)控制框架中的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)的識(shí)別和相變。
a. 線性節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)（狀態(tài)變量）有向網(wǎng)絡(luò)上最大匹配問題的求解。能夠識(shí)別最小驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)集，保證整個(gè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可控性。對(duì)于一般有向網(wǎng)絡(luò)（如圖），可能有多個(gè)最大匹配（紅色連邊集）。因此，可以識(shí)別多個(gè)最小驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)集合（藍(lán)色節(jié)點(diǎn)）。對(duì)于每個(gè)驅(qū)動(dòng)器節(jié)點(diǎn)，必須施加確保結(jié)構(gòu)可控性所必需的唯一控制信號(hào)（ui，藍(lán)色波浪形箭頭）。
b. 控制魯棒性（robustness）和核心滲流（core percolation）。量化不可避免的邊故障下控制的魯棒性，可以通過計(jì)算連邊l的類型：
1）臨界（critical，lc），若其不存在，則必須增加驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)的數(shù)量以保持對(duì)系統(tǒng)的完全控制。換句話說，lc是網(wǎng)絡(luò)的所有最大匹配的一部分。
2）冗余（redundant，lr），移除此類邊不影響當(dāng)前的驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)集。也就是說，它不屬于任何最大匹配。
3）一般（ordinary，lo），既非關(guān)鍵，也不冗余。
lr作為平均度函數(shù)的非單調(diào)行為（上半部分）與網(wǎng)絡(luò)中的核心滲流躍遷（下半部分）密切相關(guān)，其中ncore是核中節(jié)點(diǎn)的比例。當(dāng)不同的最大匹配的數(shù)量開始呈指數(shù)增加時(shí)，發(fā)生核心滲流，這使得冗余連邊的比例下降。
對(duì)于有向ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，核心滲流發(fā)生在平均度=2e時(shí)（下半部分）。圖經(jīng)許可改編自參考文獻(xiàn)[3]。
在結(jié)構(gòu)控制中，連邊是否存在 （即結(jié)構(gòu)） 比連邊的權(quán)重更重要。傳統(tǒng)上，結(jié)構(gòu)控制框架假設(shè)節(jié)點(diǎn)根據(jù)線性非時(shí)變動(dòng)力學(xué)演化： （有關(guān)非線性動(dòng)力學(xué)的詳細(xì)信息和擴(kuò)展，請(qǐng)參見“新范式和建模技術(shù)”一節(jié)） 。這種線性意味著：可以用線性代數(shù)的工具來闡明網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和可控性之間的聯(lián)系，包括網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中的相變連接[5，6]。此外，還建立了可控性轉(zhuǎn)變和控制狀態(tài)軌跡的非局部性和控制輸入的非局部性之間的平衡。
除了結(jié)構(gòu)控制之外，許多研究已經(jīng)深入理解了控制能量 （control energy） [8]、控制配置文件 （control profiles）（基于控制流模式） [9]和來自現(xiàn)實(shí)世界系統(tǒng)的約束[10]。相關(guān)更全面的綜述，請(qǐng)參見參考文獻(xiàn)[11，12]。物理學(xué)家的控制理論綜合入門，見參考文獻(xiàn)13。然而，如何從統(tǒng)計(jì)物理的方法擴(kuò)展到動(dòng)態(tài)、非平衡、非線性的系統(tǒng)？這個(gè)問題仍然懸而未決。
2.2 控制理論綜述
在經(jīng)典的控制范式中，人們感測和控制感興趣的特定系統(tǒng)或設(shè)備的行為，例如汽車、飛機(jī)或機(jī)器人?？刂圃O(shè)計(jì)通常從感興趣的系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué) （或計(jì)算） 表示開始，并且包括合成反饋控制策略，該反饋控制策略通過感知系統(tǒng)行為來計(jì)算所需的輸入以驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)達(dá)到期望的狀態(tài)。負(fù)反饋提供了穩(wěn)定行為的能力，即使在存在噪聲、延遲或擾動(dòng)的情況下，也具有保證魯棒性的一些期望性能。相反，正反饋可以用于在非線性系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)雙穩(wěn)定性和分叉，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)能達(dá)到多個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)。
順著控制策略的思想，已經(jīng)發(fā)展了許多針對(duì)線性和非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)公式[14]。這些方法中，許多是分布式或分散式的，并且有些使用了復(fù)雜的非線性、自適應(yīng)、計(jì)算和時(shí)變方法[15]。多數(shù)方法集中在單個(gè)系統(tǒng)上，這意味著所有相關(guān)的自由度及其動(dòng)力學(xué)和耦合都是已知的 （圖3a） 。然而，這一經(jīng)典范式面臨著新興應(yīng)用的挑戰(zhàn)——如何應(yīng)用到大規(guī)模、通過復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)關(guān)系相互作用的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中 （圖3b） 。當(dāng)下，控制這種復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)來協(xié)調(diào)它們的集體行為是控制理論的核心問題和熱門研究主題，最早可以追溯到?iljak在20世紀(jì)70年代后期的開創(chuàng)性工作[16]。
圖3. 控制范式。
a）經(jīng)典反饋控制范式。系統(tǒng)的控制輸出y被傳感器測量或估計(jì)；測量輸出反饋回比較節(jié)點(diǎn)（黑灰色），測量和參考信號(hào)（Ref）的差；控制誤差e被饋送到控制器，該控制器再根據(jù)某個(gè)控制規(guī)則計(jì)算控制輸入（u1）；計(jì)算的輸入通過一組驅(qū)動(dòng)器在系統(tǒng)的實(shí)際輸入（u）中實(shí)現(xiàn)；在這種情況下，所有相關(guān)的自由度及其耦合都是已知的。
b）分布式分散牽制控制策略。一些網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)（黃色圓圈）向控制器（粉色方塊）發(fā)送包含其狀態(tài)或輸出的信息（藍(lán)色箭頭）?？刂破骱献鳎ê谶叄┲贫ňW(wǎng)絡(luò)控制策略，然后選擇性地干預(yù)網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)（紅色箭頭）的行為，以實(shí)現(xiàn)一些期望的集體行為。
圖片由Davide Salzano提供。
從控制的角度來看，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是由許多連續(xù)時(shí)間或離散時(shí)間單元組成的大規(guī)模動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的例子，這些個(gè)體可以通過靜態(tài)或時(shí)變的互連網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行交互[16,17]。
因?yàn)樾枰谖覀兏信d趣的宏觀行為 （如共識(shí)或同步） 與微觀行動(dòng)之間建立反饋聯(lián)系，以設(shè)計(jì)所需的集體動(dòng)力學(xué)機(jī)制，所以關(guān)鍵問題就成了
1.判斷給定網(wǎng)絡(luò)是否滿足基本的控制屬性 （例如可控性和可觀測性） ；
2.如何在不同尺度上閉合反饋回路 （圖4） ？
實(shí)現(xiàn)控制的方法有：控制網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)、賦予邊動(dòng)力學(xué)屬性、通訊協(xié)定 （communication protocol） 、控制網(wǎng)絡(luò)本身的結(jié)構(gòu)或組合以上方法。一個(gè)突出的例子是牽制控制 （pinning control） [18 -21]，其中只需控制相對(duì)小部分的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)或邊緣就能夠控制系統(tǒng)的集體行為朝一些參考平衡或漸近軌跡[22，23]發(fā)展。然而，我們還想要設(shè)計(jì)策略控制更一般的、有更廣泛節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的系統(tǒng) （如，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)隨時(shí)間或是節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)函數(shù)演變） 。
圖4. 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的閉合反饋回路需要在不同尺度上進(jìn)行感測、計(jì)算和驅(qū)動(dòng)（actuation）。感測和制動(dòng)可以在圖中描繪的任何尺度下執(zhí)行。在該圖中，為了簡單起見，我們描繪了集中式控制策略；然而，當(dāng)處理網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)時(shí)，控制策略通常是分布式和分散式的。注意r是表示系統(tǒng)的期望行為的參考信號(hào)。圖片由Marco Coraggio提供。
2.3 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)背景下的控制
交叉學(xué)科真實(shí)世界網(wǎng)絡(luò)對(duì)控制主要提出了三點(diǎn)挑戰(zhàn)：
一、可能存在多個(gè)長度尺度和時(shí)間尺度的行為和交互，包括個(gè)體之間會(huì)相互影響的自組織行為。在某些情況下，我們只關(guān)注集體行為 （例如，感染總?cè)藬?shù)） 。然而在其他情況下，我們有可能對(duì)微觀細(xì)節(jié)感興趣 （例如，哪些特定的人被感染） 。同樣地，對(duì)于測量和輸入控制信號(hào)與自由度相互作用的能力，可能存在約束。此外，有時(shí)我們或許不需要非得將系統(tǒng)控制到特定狀態(tài)，只需要簡單地控制，使系統(tǒng)遠(yuǎn)離不期望的狀態(tài) （例如系統(tǒng)崩潰） 或朝向期望狀態(tài)可能就足夠了。參考文獻(xiàn)[10，24，25]中有對(duì)真實(shí)系統(tǒng)的干預(yù)中的高維性，非線性和約束所帶來的挑戰(zhàn)的深入討論。
二、網(wǎng)絡(luò)本身具有模糊性。在大腦網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)可以是單個(gè)神經(jīng)元、神經(jīng)元塊、甚或是跨越大量神經(jīng)元的腦區(qū)。研究節(jié)點(diǎn)之間的交互，學(xué)習(xí)連接模式 （如“線路圖，wiring diagram”） 此類的實(shí)驗(yàn)成本很高，并且無法學(xué)習(xí)到完整的連接模式。注意，單個(gè)邊的存在與否對(duì)介數(shù)中心性之類的屬性有明顯的影響。此外，網(wǎng)絡(luò)上發(fā)生的動(dòng)力學(xué)活動(dòng)與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)同樣重要。例如，在交通網(wǎng)絡(luò)中，確定擁堵模式的是網(wǎng)絡(luò)流和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?。長程序就這樣從節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的相互作用中涌現(xiàn)而出[26，27]。
三、將異質(zhì)性 （heterogeneity） 和多尺度結(jié)合起來意味著，系統(tǒng)的不同部分可能需要不同類型的表征。其中一些能夠用離散時(shí)間動(dòng)力學(xué)建模，而另一些可能需要基于連續(xù)時(shí)間；某些方面可能需要用常微分方程 （ODE） 描述，另一些方面則需要用偏微分方程 （PDE） 描述。例如，在交通管理應(yīng)用中，ODE能很好地描述車流的運(yùn)動(dòng)；而PDE在描述個(gè)體級(jí)別的車輛接受信號(hào)燈或其他信號(hào)的建模中，更具優(yōu)勢。如何整合這種分析仍然懸而未決，還有噪音和不確定性在旁“蠢蠢欲動(dòng)”。最后，此應(yīng)用領(lǐng)域的跨度也很大，從電網(wǎng)到社會(huì)網(wǎng)絡(luò)到生物系統(tǒng)，各自有不同的目標(biāo)和約束，這就意味著我們必須謹(jǐn)慎地選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)慕７妒健?/p>
建模時(shí)的關(guān)鍵問題是：
1.我們測量什么？
2.什么因素有影響？
3.何時(shí)影響？
4.如何影響？
此外，研究如何收斂到目標(biāo)狀態(tài)與保持復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)控制策略魯棒性和彈性的恰當(dāng)方法也至關(guān)重要。
3. 現(xiàn)有建模范式
3.1 統(tǒng)計(jì)物理方法
統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的概念和技術(shù)已廣泛用于研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)特性[2，28，29]，研究領(lǐng)域覆蓋網(wǎng)絡(luò)生長 （network growth） ，相變和級(jí)聯(lián)故障 （cascading failures） 等復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)基本行為。從統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的角度研究控制這些行為并不是為了嚴(yán)格滿足可控屬性，更像是在控制系統(tǒng)：例如，引導(dǎo)它遠(yuǎn)離臨界點(diǎn)或減少故障發(fā)生。直接應(yīng)用統(tǒng)計(jì)物理工具來研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的傳統(tǒng)控制性質(zhì)主要涉及到可控性和可觀測性。我們將在接下來討論這些主題，并將方法總結(jié)在表1中。
表1. 基于統(tǒng)計(jì)物理的概念和方法，用于研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)、動(dòng)力學(xué)或控制特性
為了研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的生長，特別是以冪律分布而聞名的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)[30]，已經(jīng)有了許多具有強(qiáng)烈統(tǒng)計(jì)物理色彩的分析方法，例如連續(xù)統(tǒng)理論[31]、主方程方法[32]和速率方程方法[33]。
統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的一個(gè)核心研究點(diǎn)是相變 （臨界點(diǎn)外部控制參數(shù)的小擾動(dòng)，使系統(tǒng)宏觀行為發(fā)生劇烈變化的現(xiàn)象） [34]。在網(wǎng)絡(luò)的背景下，有一個(gè)著名的相變，就是滲流相變 （圖1e） ，可以使用隨機(jī)圖模型進(jìn)行分析[35]。這些模型基于統(tǒng)計(jì)系綜的概念，是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的基礎(chǔ)。
網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計(jì)系綜 考慮給定的一組屬性，例如指定的度分布。系綜中的每個(gè)體系是具有特定節(jié)點(diǎn)和連邊構(gòu)型的網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)，并有其出現(xiàn)的概率（即，統(tǒng)計(jì)權(quán)重）。除了給定的屬性集之外，我們假設(shè)其他屬性都是完全隨機(jī)的，因此它們可以通過使用一些平均場方法在整個(gè)系綜上平均，例如基于分支過程和樹假設(shè)的生成函數(shù)形式[36，37]。
滲流相變描述了網(wǎng)絡(luò)中大規(guī)模連通片的突現(xiàn)，逐漸連通過程中的小擾動(dòng)可以控制臨界點(diǎn)的位置，并可能導(dǎo)致爆炸性滲流[38，39]。對(duì)于臨界轉(zhuǎn)變，已有研究表明，系統(tǒng)到達(dá)臨界點(diǎn)時(shí)，預(yù)測的漲落和自相關(guān)時(shí)間會(huì)增加，這可以作為早期的預(yù)警信號(hào)[40，41]。
統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中自組織研究的理論基礎(chǔ)是自組織臨界性 （self-organized criticality, SOC） 的范式[42]。在SOC中，競爭力的平衡 （例如驅(qū)動(dòng)和耗散） 會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)接近臨界點(diǎn)，從而引發(fā)遵循冪律分布的級(jí)聯(lián)故障。這種級(jí)聯(lián)故障在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò) （如電網(wǎng)和腦網(wǎng)絡(luò)） 中時(shí)有發(fā)生[43]。通過驅(qū)動(dòng)力的性質(zhì)來控制SOC是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)文獻(xiàn)中的一個(gè)重要主題[44 -47]，正如最近“龍王”事件[48 -51]備受關(guān)注 （‘dragon king’ events，災(zāi)難轉(zhuǎn)變前兆） 。
統(tǒng)計(jì)物理工具在可控性和可觀測性方面的直接應(yīng)用是存在的。下面，我們將介紹幾個(gè)完全從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) （或連接模式） 的角度，研究控制特性的典型案例。
其一是應(yīng)用空腔法 （cavity method） 來解決結(jié)構(gòu)控制問題[3]。由于結(jié)構(gòu)可控性定理[4]的圖形解釋，人們可以簡單地檢查網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，來檢查網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是否可控，而避免依賴復(fù)雜的邊權(quán)矩陣運(yùn)算。特別地，我們可以識(shí)別動(dòng)力節(jié)點(diǎn) （driver nodes） 的最小集合，其時(shí)間相關(guān)控制 （time-dependent control） 足以控制系統(tǒng)的整個(gè)動(dòng)力學(xué)。這種識(shí)別可以通過將結(jié)構(gòu)控制問題映射成為最大匹配的純圖論問題來實(shí)現(xiàn)[52 -54]。利用統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的空腔方法[55 -57] （及其在解決最大匹配問題[58]中的進(jìn)一步應(yīng)用） ，可以分析計(jì)算具有指定度分布的網(wǎng)絡(luò)系綜的某些控制屬性[3]。這些屬性包括：最大匹配的大小，它與確保結(jié)構(gòu)可控性的驅(qū)動(dòng)器節(jié)點(diǎn) （或控制輸入） 的最小數(shù)目直接相關(guān)；以及不同最大匹配的總數(shù)，它與不同控制配置的數(shù)量直接相關(guān)，并且會(huì)因此影響控制魯棒性。
另一典例是電網(wǎng)的可觀測性研究。在該系統(tǒng)中，可以使用相量測量單元 （phasor measurement units，PMU） 來確定節(jié)點(diǎn)的電壓 （還可看作狀態(tài)變量） 。PMU能夠測量其對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的實(shí)時(shí)電壓和線路電流，因此PMU不僅能確定其所放置的節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變量，還能確定其所有最近鄰居的狀態(tài)變量。在這種情況下，可觀測性問題可以映射成一個(gè)純粹的圖論問題。事實(shí)上，PMU的隨機(jī)放置會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)可觀測性轉(zhuǎn)換[59]，可以使用母函數(shù)形式 （generating function formalism） 進(jìn)行分析研究[36，37]。此外，識(shí)別電網(wǎng)中傳感器節(jié)點(diǎn) （即PMU） 的最小集合問題可以映射成為經(jīng)典的圖論問題：盡管它通常求解困難，但最小支配集問題可以通過消息傳遞算法 （源于自旋玻璃理論） 來解決，該算法提供了接近最優(yōu)的解決方案，并且在真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中表現(xiàn)良好[60]。
如何將控制問題映射為純圖論問題？任何控制屬性 （如控制能量成本） ，都需要相關(guān)領(lǐng)域的具體知識(shí)，而且純粹的圖論解釋和相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)集成方法在此無用武之地。隨機(jī)矩陣?yán)碚揫61]中可以直接處理復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)邊權(quán)重的技術(shù)，這對(duì)適當(dāng)?shù)木W(wǎng)絡(luò)系綜的建模來說必不可少。一般來說，具體的結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)都很重要[62]。
3.2 控制理論方法
傳統(tǒng)控制理論方法的目的是分析和操縱特定系統(tǒng)的行為?？刂茊栴}可以概括成如下三個(gè)：確定需要感測什么、需要控制什么以及如何用感測信息實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)。因此，任何控制設(shè)計(jì)的三個(gè)關(guān)鍵要素是感測、計(jì)算和驅(qū)動(dòng)[14]。表2中總結(jié)了一些方法。
表2. 控制理論中用于分析和控制復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的概念和方法。
多智能體系統(tǒng)中經(jīng)典控制目標(biāo)包含一致性 （consensus，即所有單元會(huì)朝著同一個(gè)平衡點(diǎn)收斂） [63-71]和同步性 （synchronization，即收斂到漸進(jìn)時(shí)變解[asymptotic time-varying solution]） [72-75]，同時(shí)也還包括如編隊(duì)控制 （formation control） [76 -78]，模式生成 （pattern formation） [79]和多智能體協(xié)同運(yùn)動(dòng) （如集群） [80]等目標(biāo)?？刂颇繕?biāo)通常根據(jù)性能 （側(cè)重于瞬態(tài)特性，例如建立時(shí)間、上升時(shí)間和超調(diào)量） 、穩(wěn)定性 （例如收斂到狀態(tài)空間中的平衡或流形） 以及對(duì)噪聲和外部擾動(dòng)的魯棒性來制定[14]。
從系統(tǒng)的數(shù)學(xué) （或數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)） 模型和控制目標(biāo)出發(fā)，我們可以嘗試：1.建立系統(tǒng)的可控性和可觀測性；2.設(shè)計(jì)控制策略，并通過對(duì)閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的這些特性進(jìn)行適當(dāng)?shù)膰?yán)格證明，證明該控制策略能保證所需行為的收斂性和穩(wěn)定性 （圖5） 。
圖5. 經(jīng)典閉環(huán)控制器設(shè)計(jì)的主要階段。始于真實(shí)系統(tǒng)，先建模分析其在沒有控制的情況下的性質(zhì)。然后設(shè)計(jì)控制策略以滿足目標(biāo)要求，須在實(shí)施之前進(jìn)行驗(yàn)證。通常，這種設(shè)計(jì)方法在實(shí)現(xiàn)精確的控制之前需要多次迭代。丨圖像來源：Gian Carlo Maffettone
我們常希望設(shè)計(jì)分布式和分散式策略來處理多智能體系統(tǒng)，不必以集中的方式?jīng)Q定感測、制動(dòng)和控制輸入。某些控制問題也用無需反饋的開環(huán)策略來解決，但一旦存在擾動(dòng)，穩(wěn)定性和性能要求就無法被滿足，就不夠魯棒。因此在此處，我們只關(guān)注閉環(huán)反饋控制策略。
可控性問題 是一個(gè)存在性問題，關(guān)注在給定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、主體的動(dòng)力學(xué)和連邊交互的情況下，引導(dǎo)集體行為需要控制哪些節(jié)點(diǎn)。在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的背景下，無法通過秩來判斷是否系統(tǒng)是否能控時(shí)，可以使用結(jié)構(gòu)可控性的和Gramians可控性來解決這個(gè)問題[81-85]。盡管過去十年可控性問題取得了顯著進(jìn)展，但仍然存在許多未決的問題，包括理解非線性或時(shí)變系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中的可控性，或者當(dāng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)隨時(shí)間或動(dòng)力學(xué)函數(shù) （狀態(tài)依賴網(wǎng)絡(luò)演化） 演化時(shí)的可控性。
研究可觀測性問題是為了發(fā)現(xiàn)哪些變量的信息量足以重現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)行為。當(dāng)應(yīng)用于大規(guī)模復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)時(shí)，可觀測性的評(píng)估也變得復(fù)雜繁瑣，因?yàn)樗Q于能重塑整體網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)的變量。同樣，控制的方法 （如結(jié)構(gòu)可觀性理論） 也是為了這一目的[82，86-88]。然而現(xiàn)在仍有許多可觀測性問題有待解決 （如研究非線性動(dòng)力系統(tǒng)的時(shí)變網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的可觀測性） 。
由于圖論工具可以補(bǔ)充和增強(qiáng)代數(shù)或幾何基礎(chǔ)理論，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的可控性和可觀測性方法與傳統(tǒng)的控制理論方法相比有明顯變化。這一重要研究方向在20世紀(jì)70年代末由?iljak的早期工作[16]中首次得到承認(rèn)，并在后來的工作中得到進(jìn)一步發(fā)展[82]，它使得處理大量相互作用的動(dòng)態(tài)變量具有可行性。 （我們注意到，使用圖論方法來研究網(wǎng)絡(luò)問題至少可以追溯到20世紀(jì)60年代的數(shù)學(xué)社會(huì)學(xué)社群。[89]）
如果已經(jīng)分析了目標(biāo)系統(tǒng)的基本特性，就可以設(shè)計(jì)反饋控制策略 （閉環(huán)策略） 了。通過觀測信息和控制輸入，來操縱系統(tǒng)以實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)。驗(yàn)證控制策略的一個(gè)基本問題是分析和證明受控網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)從不同的初始條件 （穩(wěn)定性） 和外部擾動(dòng) （魯棒性） 下的收斂性。通過借鑒同類系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性方法，現(xiàn)已推廣出許多研究動(dòng)力系統(tǒng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性和魯棒性的方法。 （關(guān)于可用方法，詳見參考文獻(xiàn)[17，21-23，90-95]） 。
關(guān)于穩(wěn)定性，研究給定復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的局部或全局穩(wěn)定性的方法包括兩方面：
1.將網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)視為一個(gè)整體，研究其在擾動(dòng)下的穩(wěn)定性的方法；
2.研究節(jié)點(diǎn)以某種方式耦合時(shí)，系統(tǒng)保持穩(wěn)定的方法。
考慮整個(gè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的分析工具包括：基于李亞普諾夫直接法的方法[90]或基于線性化工具 （如主穩(wěn)定性函數(shù)方法，master stability function） 的方法[96]。其他的有效方法包括增量穩(wěn)定性和使用收斂工具，如收縮理論[23,92-95]或增量被動(dòng)性[91]。這些理論工具也適用于研究連接穩(wěn)定性[16]相關(guān)概念的其他問題，譬如前面提到的另一個(gè)核心問題——底層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如何影響發(fā)生在其上的動(dòng)力學(xué)。
控制設(shè)計(jì)的方法在文獻(xiàn)中比比皆是，各領(lǐng)域基于動(dòng)態(tài)優(yōu)化控制理論的控制設(shè)計(jì)方法包括：最優(yōu)控制、博弈理論、自適應(yīng)控制、智能控制、非線性控制、模型預(yù)測控制和魯棒控制等等。目前，基于機(jī)器學(xué)習(xí)的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法和控制策略也越來越多地被用于控制復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的行為。更多信息詳見參考文獻(xiàn)[97，98]，在“新范例和建模技術(shù)”一節(jié)中，我們也有討論。
盡管在控制理論的研究領(lǐng)域有許多進(jìn)展，但仍有許多挑戰(zhàn)有待解決。最近控制學(xué)界致力于研究噪聲對(duì)網(wǎng)絡(luò)中系統(tǒng)集體行為的影響、抗擾動(dòng)能力 （包括結(jié)構(gòu)擾動(dòng)） 、發(fā)展協(xié)同和共識(shí)策略以保障節(jié)點(diǎn)的隱私，以及網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中擾動(dòng)傳播分析與控制[99-109]。
3.3 動(dòng)力系統(tǒng)方法
正如統(tǒng)計(jì)物理學(xué)對(duì)控制策略的啟發(fā)，動(dòng)力系統(tǒng)方法也打開了控制策略的思路。控制策略常旨在操縱和影響系統(tǒng)，而不是嚴(yán)格的可控。有許多方法直接利用系統(tǒng)的非線性性質(zhì)，還有利用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法 （如系統(tǒng)識(shí)別） 。我們接下來將聊聊這些內(nèi)容。
給定動(dòng)力學(xué)方程對(duì)系統(tǒng)的行為及其吸引子、極限環(huán)和吸引盆邊界的相空間進(jìn)行建模，可以找到利用自然軌跡將系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)到相空間的期望區(qū)域的蓄意擾動(dòng) （strategic perturbations） 。早期，這一領(lǐng)域的控制混沌的后續(xù)工作[111 -113]證明了這種可能性是混沌吸引子[110]。最近，學(xué)者們已解決了如何通過一系列考慮了擾動(dòng)約束的策略性反沖來實(shí)現(xiàn)控制[114]。雖然利用相空間中的自然軌跡看上去完美，但在實(shí)踐中它難以提供傳統(tǒng)控制理論所必需的嚴(yán)格性能保障和對(duì)噪聲的魯棒性。例如，吸引盆的邊界可以是網(wǎng)狀的或分形的。
在相關(guān)文獻(xiàn)中，有大量關(guān)于嵌合體狀態(tài) （chimaera states） 控制的工作[115]。嵌合體狀態(tài)由對(duì)稱耦合的相同振蕩器系統(tǒng)中相干和非相干動(dòng)力學(xué)的共存所定義，故顯示出驚人的對(duì)稱破缺性質(zhì)[116、117]。這方面的研究包括延時(shí)反饋控制[118 -120]、牽制控制[121]、周期性強(qiáng)迫[122]、通過拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)控制[123]或耦合修改[124]以及多層網(wǎng)絡(luò)中嵌合體的控制[125]。參考文獻(xiàn)[126]以自組織非線性動(dòng)力系統(tǒng)為中心進(jìn)行了綜述，雖然還有許多方向有待探索。
通常，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程是未知的，甚至連狀態(tài)空間也可能是未知的。但是系統(tǒng)上的數(shù)據(jù)可能很豐富。如果一個(gè)系統(tǒng)上的數(shù)據(jù)，即可觀測量，是它狀態(tài)的函數(shù)，人們就可以從時(shí)間序列數(shù)據(jù)中推斷出系統(tǒng)的演化。例如，許多文獻(xiàn)中有用于系統(tǒng)識(shí)別或網(wǎng)絡(luò)推斷的技術(shù) （如文獻(xiàn)[127-129]及其參考文獻(xiàn)） 。在下一節(jié)中，我們將討論基于算子理論和稀疏識(shí)別技術(shù)的最新方法。
4. 新范式和建模技術(shù)
本節(jié)討論如何改進(jìn)前述方法，使之更適合真實(shí)系統(tǒng)。
4.1 網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜性會(huì)增加多少？
近年來，增加網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜性一直是物理學(xué)研究的焦點(diǎn)?！熬W(wǎng)絡(luò)”在形式上由元素之間的成對(duì)交互的集合組成，但是真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中經(jīng)?？梢哉业匠蕉母唠A交互作用。例如，在化學(xué)反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中，反應(yīng)進(jìn)行可能需要三種試劑；在共同作者網(wǎng)絡(luò)中，常有多個(gè)作者。有人用超圖 （hypergraphs） 和單純復(fù)形 （simplicial complexes） 來解決這個(gè)挑戰(zhàn)[130，131]。該部分前沿進(jìn)展包括定義統(tǒng)計(jì)系綜[132，133]、分析可接受的同步模式、完全同步[134 -136]和集群同步[137，138]的穩(wěn)定性以及可控性[139]，但目前特定問題的控制 （ad hoc control） 策略尚未完全開發(fā)。
同樣，提供網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)的瞬時(shí)描述[140-141]的活動(dòng)驅(qū)動(dòng)時(shí)序網(wǎng)絡(luò) （activity-driven temporal networks） 的范式也富有成效。在這種方法中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的活動(dòng)潛力 （activity potential） 是根據(jù)該節(jié)點(diǎn)相對(duì)活動(dòng)程度來確定的，相對(duì)活動(dòng)程度可以從給定時(shí)間窗的時(shí)序網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集中測出，活動(dòng)電位分布函數(shù)可以表征系統(tǒng)級(jí)動(dòng)力學(xué)。
真實(shí)世界系統(tǒng)通常是多層網(wǎng)絡(luò) （multilayered networks） 形式的。例如，每個(gè)人有許多種社會(huì)身份，關(guān)鍵基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)通常具有物理分層或邏輯分層結(jié)構(gòu)。這一概念是多層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)控制 （structural control of multiplex networks） [142、143]、使用圖論捕捉分層關(guān)鍵基礎(chǔ)架構(gòu)[144、145]和使用多重控制策略[146]的基礎(chǔ)。
4.2 人們能控制非平衡統(tǒng)計(jì)物理模型嗎？
統(tǒng)計(jì)物理學(xué)方法傾向于關(guān)注平衡系統(tǒng)，但對(duì)于細(xì)致平衡 （detailed balance，嚴(yán)格熱動(dòng)平衡） 的系統(tǒng)仍存在漲落耗散關(guān)系 （fluctuation–dissipation relations） 。例如，可以使用雙量子點(diǎn)模型 （double quantum dot model） [147]上的反饋控制方案將熱量轉(zhuǎn)換為功，這一發(fā)現(xiàn)正推動(dòng)關(guān)于反饋控制和漲落的進(jìn)一步研究[148]。同樣，有幾個(gè)經(jīng)典的驅(qū)動(dòng)遠(yuǎn)離平衡系統(tǒng)的模型，如自組織臨界性[42] （在“統(tǒng)計(jì)物理方法”一節(jié)有敘述） 、Kardar-Parisi-Zhang （KPZ） 方程[149]和不對(duì)稱簡單排斥過程 （ASEP） 模型[150]。盡管這些模型伴隨著許多普遍現(xiàn)象 （由一般屬性支配，一般屬性獨(dú)立于系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)細(xì)節(jié)的基本對(duì)稱性） ，但我們?nèi)钥梢杂梅答亖碛绊懞涂刂菩袨椤?/p>
4.3 結(jié)構(gòu)控制框架較線性模型好多少？
結(jié)構(gòu)控制的經(jīng)典框架中有一個(gè)基本限制：基于線性非時(shí)變動(dòng)力學(xué)。
其中A,B中的元素都是零或獨(dú)立的自由參數(shù)。這個(gè)框架基于線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可控性的概念。如果我們說系統(tǒng)（A,B）是結(jié)構(gòu)可控的，那就是說，可以在A,B中設(shè)置特定非零元素，使得系統(tǒng)可控。這需要滿足卡夫曼可控性判據(jù) （Kalman’s criterion of controllability） ：
最近，有學(xué)者在結(jié)構(gòu)控制框架的基礎(chǔ)上提出了非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可達(dá)性（structural accessibility）的概念[151-152]，并將其適用于一般非線性系統(tǒng)：
動(dòng)力學(xué)假設(shè)的條件不嚴(yán)，要求f(x(t))和g(x(t))是亞純函數(shù) （meromorphic functions） 。亞純函數(shù)一詞源于希臘語 (meros) ，定義為兩個(gè)整函數(shù)之比，只有有限階、孤立的極點(diǎn)和零點(diǎn)，無非必要奇點(diǎn)。結(jié)構(gòu)可達(dá)性的概念可以被認(rèn)為是線性系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)可控性的非線性推廣。令人驚訝的是，結(jié)構(gòu)可達(dá)性和結(jié)構(gòu)可控性幾乎有相同的圖論條件。二者關(guān)鍵區(qū)別是，“自循環(huán)” （對(duì)應(yīng)內(nèi)稟節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)） 是結(jié)構(gòu)可控性的圖論充分條件，而非結(jié)構(gòu)可達(dá)性的充分條件。這種結(jié)構(gòu)可達(dá)性框架可以從底層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中識(shí)別驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)[151]，并已在生態(tài)和生化系統(tǒng)中得到了應(yīng)用。
4.4 如何處理大型復(fù)雜的多智能體系統(tǒng)？
另一個(gè)緊迫的眾所周知的控制難題是，如何解決復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)的節(jié)點(diǎn)數(shù)目限制？或者更準(zhǔn)確地說，讓系統(tǒng)出現(xiàn)涌現(xiàn)行為時(shí)節(jié)點(diǎn)數(shù)目仍保持不變。在這種情況下，問題就變成了：找到一個(gè)對(duì)目標(biāo)可觀測量 （我們希望控制的） 的宏觀描述。這樣做需要目標(biāo)變量在宏觀尺度和被控微觀個(gè)體層面的閉循環(huán)。對(duì)于極其復(fù)雜和大型的網(wǎng)絡(luò)，即使是線性時(shí)變的系統(tǒng)，都很難實(shí)現(xiàn)除了識(shí)別驅(qū)動(dòng)節(jié)點(diǎn)之外的任何控制目標(biāo)。
連續(xù)化 （continuification or continuation） 方法[153，154]將由大量常微分方程描述的微觀問題，轉(zhuǎn)化為描述宏觀水平上目標(biāo)可觀測量的偏微分方程 （PDE）（連續(xù)化階段） 。然后，使用控制偏微分方程[155、156]的技術(shù)來設(shè)計(jì)宏觀控制動(dòng)作，并且最終將所得的控制律離散化，使得其可以被部署回到微觀個(gè)體級(jí)別[157]。在這種方法中，挑戰(zhàn)就轉(zhuǎn)變成了尋找連續(xù)化目標(biāo)問題然后離散化的方法，在微觀水平上進(jìn)行分布式控制策略。然而主要障礙是當(dāng)從PDE得到的控制律被離散化時(shí)，大多數(shù)微觀個(gè)體通常會(huì)受到控制輸入的影響，這與牽制控制的思想 （控制少的節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)） 相反。
另一個(gè)框架是基于線性系統(tǒng)的大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)的圖子控制 （graphon control） [158]。圖子 （graphon） 是收斂圖序列的極限，形成了一種自然的非參數(shù)方法來建模和估計(jì)超大型網(wǎng)絡(luò)[159]。由于其與統(tǒng)計(jì)物理、極值組合學(xué)和網(wǎng)絡(luò)上的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)分析的聯(lián)系被廣泛討論[160 -162]，圖子理論 （Graphon theory） 已經(jīng)成為圖論的一個(gè)子領(lǐng)域。
基于圖子的控制復(fù)雜大型網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的策略由三個(gè)步驟組成：
一、當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)趨于無窮大時(shí)，首先確定有限網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)序列S的圖子極限。
二、在此約束下解決相應(yīng)的控制問題。
三、通過逼近極限系統(tǒng)的控制律，生成沿著有限網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的序列S的任何系統(tǒng)的控制律。
該策略已被用于大規(guī)模復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)控制問題和線性二次型調(diào)節(jié)器問題。
圖子博弈 （graphon games） 的概念源于網(wǎng)絡(luò)博弈和干預(yù)的統(tǒng)計(jì)框架。此框架是用圖子理論研究大型網(wǎng)絡(luò)干預(yù)的另一典例。但如何利用圖子理論來控制具有一般非線性動(dòng)力學(xué)的任意大網(wǎng)絡(luò)仍有待解決。
隨著研究漸漸開始面向更大規(guī)模的網(wǎng)絡(luò)，通過控制和觀察介觀尺度來控制目標(biāo)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的問題變得愈發(fā)重要，這樣的介觀尺度可以是群體或節(jié)點(diǎn)或連邊的集群水平。這個(gè)方向有待進(jìn)一步研究，并且需要從控制的觀點(diǎn)來定義適當(dāng)?shù)慕橛^層次。
4.5 我們能用數(shù)據(jù)重構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程嗎？
除了成熟的系統(tǒng)識(shí)別 （system identification） 方法之外，還有其他的方法可以重建有效的運(yùn)動(dòng)方程。
Koopman算子方法就是其中一種。它是對(duì)可觀測向量空間的線性變換，用著名的Koopman算子的特征函數(shù)將其表示為線性展開式，以實(shí)現(xiàn)從無限維的觀測空間到線性的演化。不穩(wěn)定性與具有正本征值的模式有關(guān)，甚至可以通過相關(guān)聯(lián)的本征向量中的相對(duì)振幅來識(shí)別各個(gè)節(jié)點(diǎn)在不穩(wěn)定性中的作用。Koopman算子用于動(dòng)力系統(tǒng)分析的能力已經(jīng)毋庸置疑[164，165]，并且也可以應(yīng)用于非線性流[166]中，例如近期在應(yīng)用最優(yōu)控制器[167，168]和反饋控制[169 -171]的方法中效果顯著。參考文獻(xiàn)[172]是一本實(shí)用的入門書，參考文獻(xiàn)[173，174]介紹了最近的兩個(gè)綜合應(yīng)用。
另一種不同的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法依賴于這樣的假設(shè)——盡管數(shù)據(jù)是高維的，但動(dòng)力學(xué)主要只受幾個(gè)主要變量的影響，使得方程在可能的函數(shù)空間中是稀疏的。稀疏性促進(jìn)技術(shù)和機(jī)器學(xué)習(xí)可以在有噪聲的測量數(shù)據(jù)上組合使用以識(shí)別控制方程，這是一種被稱為非線性動(dòng)力學(xué)的稀疏識(shí)別 （sparse identification of nonlinear dynamics，SINDY） [175]的技術(shù)。SINDY已被擴(kuò)展到包括驅(qū)動(dòng)的影響，并且能顯示如何基于有限的噪聲數(shù)據(jù)增強(qiáng)模型預(yù)測控制的性能[176]。
我們常用降維技術(shù)將高維時(shí)間序列數(shù)據(jù)映射到低維子空間，然后用非線性動(dòng)力學(xué)的稀疏識(shí)別 （SINDY） 來確定失去的動(dòng)力學(xué)信息。
如果所得到的相空間由幾個(gè)固定點(diǎn)組成，我們就可以調(diào)節(jié)系統(tǒng)，誘導(dǎo)期望的不穩(wěn)定性和吸引子，從而實(shí)現(xiàn)高維、非線性、網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的前饋控制[177]。
4.6 如何使用機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的控制方法來征服復(fù)雜性？
隨著計(jì)算能力的提高，應(yīng)用中有趣的復(fù)雜性問題越來越多，基于機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)控制方法在各科技領(lǐng)域變得越來越普遍。
典型的例子包括互聯(lián)自動(dòng)駕駛車輛的原型設(shè)計(jì)。Google Waymo (https://waymo.com) 等公司已經(jīng)提出使用深度學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)自動(dòng)駕駛汽車或?qū)崿F(xiàn)自動(dòng)車輛排隊(duì)的方法，如卡車排隊(duì)。 （https://highways.dot.gov/research/laboratories/saxton-transportation-operations-laboratory/Truck-Platooning）
還有在自主機(jī)器人和群體機(jī)器人領(lǐng)域中，機(jī)器學(xué)習(xí)的計(jì)算技術(shù)[178]使用頻率也愈加頻繁。如前所述，已經(jīng)有很多在不同場景下對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制的方法，但是我們?nèi)匀粵]有在更普適的環(huán)境中使用這些方法的框架。
然而，當(dāng)問題太難分析解決時(shí)，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)和機(jī)器學(xué)習(xí)方法[179，180]可能是唯一的選擇，例如當(dāng)無法推導(dǎo)出數(shù)學(xué)模型或要解決的任務(wù)太復(fù)雜時(shí)。當(dāng)目標(biāo)是通過在時(shí)間上動(dòng)力學(xué)自適應(yīng)來實(shí)現(xiàn)控制時(shí)，其時(shí)序網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)會(huì)響應(yīng)動(dòng)力學(xué)的變化，從而各節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)依此進(jìn)行交互[140、141] （參見參考文獻(xiàn)[181]以獲得更簡單的說明性示例） 。考慮到實(shí)際應(yīng)用中的目標(biāo)通常是，在存在故障或擾動(dòng)的情況下，賦予網(wǎng)絡(luò)重塑其結(jié)構(gòu)的能力以保持其所需的功能，因此解決這個(gè)問題在實(shí)際應(yīng)用中極為重要。例如，自組織電網(wǎng)能夠自我隔離以防止故障或電流過載、自動(dòng)駕駛車輛或機(jī)器人組能改變其互連結(jié)構(gòu)以更好地執(zhí)行避障或復(fù)雜機(jī)動(dòng)的情況。
5. 研究指南
要想推進(jìn)前沿和解決實(shí)際問題，就需要推進(jìn)多學(xué)科和交叉學(xué)科的研究。不僅要征服復(fù)雜性，還要順勢利用它，來實(shí)現(xiàn)更好的控制性能、來解決更復(fù)雜的問題。研究目標(biāo)應(yīng)該是雙重的：
第一，要彌補(bǔ)學(xué)科之間差距，將平均場方法等技術(shù)的使用擴(kuò)展到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的控制中去[182]。同時(shí)，要考慮到現(xiàn)實(shí)的約束條件和實(shí)現(xiàn)反饋策略的需要，以保證研究問題所需的穩(wěn)定性、目標(biāo)性能和魯棒性。
第二，確定一組范例問題或標(biāo)準(zhǔn)案例用于驗(yàn)證和對(duì)比控制復(fù)雜系統(tǒng)的不同方法。這樣做非常重要，因?yàn)樵谠S多不同領(lǐng)域中出現(xiàn)的應(yīng)用程序和在特定領(lǐng)域中開發(fā)的技術(shù)可以被抽象以解決更一般的問題。例如分析非線性振蕩器 （如神經(jīng)元） 的動(dòng)力學(xué)相位響應(yīng)曲線技術(shù)，最近就有人利用它來實(shí)現(xiàn)更普遍類別的非線性系統(tǒng)的控制 （見參考文獻(xiàn)[183]和其中的參考文獻(xiàn)） 。
為了推動(dòng)這一領(lǐng)域的發(fā)展并促進(jìn)跨學(xué)科的合作，我們需要集體共同努力。為解決控制復(fù)雜系統(tǒng)的基本問題，第一個(gè)呼吁就是：發(fā)起一系列針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方法的挑戰(zhàn)！在計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域，舉行挑戰(zhàn)賽已經(jīng)成為一種傳統(tǒng)。目前已經(jīng)有一系列成功的挑戰(zhàn)賽，如微軟想象杯、谷歌人工智能挑戰(zhàn)賽、ImageNet挑戰(zhàn)賽和Netflix獎(jiǎng)等等。可以說，這些挑戰(zhàn) （如ImageNet挑戰(zhàn)） 促進(jìn)了當(dāng)今的人工智能的繁榮。同樣地，在系統(tǒng)生物學(xué)和醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，也有一個(gè)很好的挑戰(zhàn)賽榜樣，即夢想挑戰(zhàn)賽 （DREAM challenges） 。該比賽提供高質(zhì)量的生物醫(yī)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集，邀請(qǐng)參與者針對(duì)指定問題提出解決方案，促進(jìn)交流并在此過程中建立合作團(tuán)體。網(wǎng)絡(luò)控制領(lǐng)域的研究人員也可以從其他領(lǐng)域現(xiàn)有的挑戰(zhàn)平臺(tái)中學(xué)習(xí)，以進(jìn)一步推進(jìn)領(lǐng)域前沿，讓“群眾的智慧”發(fā)揮對(duì)出最大的科學(xué)效益。
由于控制復(fù)雜系統(tǒng)具有多學(xué)科性質(zhì)，挑戰(zhàn)不必集中在純理論問題上，也可以是應(yīng)用甚至是轉(zhuǎn)化。例如，有人試圖對(duì)定向人類蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行結(jié)構(gòu)可控性分析，以鑒定疾病基因和藥物靶點(diǎn)[184]，雖然這方面的研究還有待進(jìn)一步深入。此外，為了設(shè)計(jì)更好地操縱人類腸道微生物組的方法，控制理論也能有許多潛在的應(yīng)用 （人類內(nèi)部生態(tài)系統(tǒng)由數(shù)萬億微生物組成，相互作用方式很復(fù)雜） [185]。譬如，在該領(lǐng)域中一個(gè)非常實(shí)際的控制問題是設(shè)計(jì)明確定義的活聚生體組 （consortium of live microorganisms）（通常叫做益生菌混合物、細(xì)菌，即藥物或活生物治療產(chǎn)品） 以防止某些病原體寄身，從而預(yù)防感染[186]。此外，標(biāo)準(zhǔn)測試方法 （benchmarking methods） 還可以用于保護(hù)和控制微型電網(wǎng) （microgrids，即具有確定電邊界的本地電網(wǎng)，充當(dāng)單個(gè)和可控的實(shí)體） [187]。
總之，我們的最終目標(biāo)是將來自不同科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的工具和技術(shù)結(jié)合起來，解決在不同尺度上閉合控制回路的關(guān)鍵問題，從而協(xié)調(diào)大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng)的集體行為，這將會(huì)對(duì)大量交叉學(xué)科的應(yīng)用產(chǎn)生極大影響。
參考文獻(xiàn)
National Research Council. Network Science (The National Academies Press, 2005).
Newman, M. E. J. Networks: An Introduction (Oxford Univ. Press, 2018).
Liu, Y.-Y., Slotine, J.-J. & Barabási, A.-L. Controllability of complex networks. Nature 473,
167–173 (2011).
Lin, C.-T. Structural controllability. IEEE Trans. Autom. Control. 19, 201 (1974).
Liu, Y. Y., Csoka, E., Zhou, H. & Posfai, M. Core percolation on complex networks.
Phys. Rev. Lett. 109, 205703 (2012).
Jia, T. et al. Emergence of bimodality in controlling complex networks. Nat. Commun. 4,
2002 (2013).
Sun, J. & Motter, A. E. Controllability transition and nonlocality in network control.
Phys. Rev. Lett. 110, 208701 (2013).
Yan, G., Ren, J., Lai, Y.-C., Lai, C.-H. & Li, B. Controlling complex networks — how much
energy is needed? Phys. Rev. Lett. 108, 218703 (2012).
Ruths, J. & Ruths, D. Control profiles of complex networks. Science 343, 1373–1376
(2014).
Motter, A. E. Networkcontrology. Chaos 25, 097621 (2015).
Liu, Y.-Y. & Barabási, A.-L. Control principles of complex systems. Rev. Mod. Phys. 88,
053006 (2016).
Xiang, L., Chen, F., Ren, W. & Chen, G. Advances in network controllability. IEEE Circuits
Syst. Mag. 19, 8–32 (2019).
Bechhoefer, J. Control Theory for Physicists (Cambridge Univ. Press, 2021).
?str?m, K. J. & Murray, R. M. Feedback Systems: An Introduction for Scientists and
Engineers 2nd edn (Princeton Univ. Press, 2021).
Khalil, H. K. Nonlinear Systems (Prentice Hall, 2002).
Siljak, D. D. Large-scale Dynamic Systems: Stability and Structure (North-Holland, 1978).
Bullo, F. Lectures on Network Systems 1.6 edn (Kindle Direct Publishing, 2022).
Li, X., Wang, X. & Chen, G. Pinning a complex dynamical network to its equilibrium.
IEEE Trans. Circuits Syst. 51, 2074–2087 (2004).
Wang, X. & Chen, G. Pinning control of scale-free dynamical networks. Phys. A Stat.
Mech. Appl. 310, 521–531 (2002).
Sorrentino, F., di Bernardo, M., Garofalo, F. & Chen, G. Controllability of complex
networks via pinning. Phys. Rev. E 75, 046103 (2007).
Su, H. & Wang, X. Pinning Control of Complex Networked Systems 1st edn (Springer, 2013).
Moreau, L. Stability of multiagent systems with time-dependent communication links.
IEEE Trans. Autom. Control 50, 169–182 (2005).
Cisneros-Velarde, P., Jafarpour, S. & Bullo, F. Contraction theory for dynamical systems on
Hilbert spaces. IEEE Trans. Autom. Control 67, 6710–6715 (2021).
Murray, R. M. Control in an Information Rich World (Society for Industrial and Applied
Mathematics, 2003).
Lamnabhi-Lagarrigue, F. et al. Systems and control for the future of humanity, research
agenda: current and future roles, impact and grand challenges. Annu. Rev. Control 43,
1–64 (2017).
Matheny Matthew, H. et al. Exotic states in a simple network of nanoelectromechanical
oscillators. Science 363, eaav7932 (2019).
Salova, A. & D’Souza, R. M. Decoupled synchronized states in networks of linearly
coupled limit cycle oscillators. Phys. Rev. Res. 2, 043261 (2020).
Albert, R. & Barabási, A.-L. Statistical mechanics of complex networks. Rev. Mod. Phys.
74, 47–97 (2002).
Dorogovtsev, S. N., Goltsev, A. V. & Mendes, J. F. F. Critical phenomena in complex
networks. Rev. Mod. Phys. 80, 1275 (2008).
Barabási, A.-L. & Albert, R. Emergence of scaling in random networks. Science 286,
509–512 (1999).
Albert, R. & Barabási, A.-L. Topology of evolving networks: local events and universality.
Phys. Rev. Lett. 85, 5234–5237 (2000).
Dorogovtsev, S. N., Mendes, J. F. F. & Samukhin, A. N. Structure of growing networks with
preferential linking. Phys. Rev. Lett. 85, 4633–4636 (2000).
Krapivsky, P. L., Redner, S. & Leyvraz, F. Connectivity of growing random networks.
Phys. Rev. Lett. 85, 4629–4632 (2000).
Stanley, H. E. Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena (Oxford Univ.
Press, 1971).
Erd?s, P. & Rényi, A. On the evolution of random graphs. Publ. Math. Inst. Hungarian
Acad. Sci. 5, 17–61 (1960).
Newman, M. E. J., Strogatz, S. H. & Watts, D. J. Random graphs with arbitrary degree
distributions and their applications. Phys. Rev. E 64, 026118 (2001).
Callaway, D. S., Newman, M. E. J., Strogatz, S. H. & Watts, D. J. Network robustness and
fragility: percolation on random graphs. Phys. Rev. Lett. 85, 5468–5471 (2000).
Achlioptas, D., D’Souza, R. M. & Spencer, J. Explosive percolation in random networks.
Science 323, 1453–1455 (2009).
D’Souza, R. M., Gómez-Garde?es, J., Nagler, J. & Arenas, A. Explosive phenomena in
complex networks. Adv. Phys. 68, 123–223 (2019).
Scheffer, M. et al. Early-warning signals for critical transitions. Nature 461, 53–59 (2009).
Boettiger, C. & Hastings, A. Quantifying limits to detection of early warning for critical
transitions. J. R. Soc. Interface 9, 2527–2539 (2012).
Bak, P., Tang, C. & Wiesenfeld, K. Self-organized criticality: an explanation of the 1/f noise.
Phys. Rev. Lett. 59, 381–384 (1987).
D’Souza, R. M. Curtailing cascading failures. Science 358, 860–861 (2017).
Cajueiro, D. O. & Andrade, R. F. Controlling self-organized criticality in sandpile models.
Phys. Rev. E 81, 015102 (2010).
Cajueiro, D. O. & Andrade, R. F. Dynamical programming approach for controlling the
directed Abelian Dhar–Ramaswamy model. Phys. Rev. E 82, 031108 (2010).
No?l, P.-A., Brummitt, C. D. & D’Souza, R. M. Controlling self-organizing dynamics on
networks using models that self-organize. Phys. Rev. Lett. 111, 078701 (2013).
Qi, J. & Pfenninger, S. Controlling the self-organizing dynamics in a sandpile model on
complex networks by failure tolerance. EPL 111, 38006 (2015).
Sornette, D. Dragon-kings, black swans and the prediction of crises. CCSS Working
Paper No. CCSS-09-005 (2009).
Cavalcante, H. L., Oria, M., Sornette, D., Ott, E. & Gauthier, D. J. Predictability and
suppression of extreme events in a chaotic system. Phys. Rev. Lett. 111, 198701 (2013).
Lin, Y., Burghardt, K., Rohden, M., No?l, P.-A. & D’Souza, R. M. Self-organization of dragon
king failures. Phys. Rev. E 98, 022127 (2018).
Mikaberidze, G. & D’Souza, R. M. Sandpile cascades on oscillator networks: the BTW
model meets Kuramoto. Chaos 32, 053121 (2022).
Yamada, T. & Foulds, L. R. A graph-theoretic approach to investigate structural and
qualitative properties of systems: a survey. Networks 20, 427 (1990).
Commault, C., Dion, J. M. & Van Der Woude, J. W. Characterization of generic
properties of linear structured systems for efficient computations. Kybernetika 38,
503–520 (2002).
Murota, K. Matrices and Matroids for Systems Analysis (Springer, 2009).
Mézard, M. & Parisi, G. The Bethe lattice spin glass revisited. Eur. Phys. J. B 20, 217 (2001)
Mézard, M. & Parisi, G. The cavity method at zero temperature. J. Stat. Phys. https://doi.org/
10.1023/A:1022221005097 (2003).
Mezard, M., Parisi, G. & Virasoro, M. Spin Glass Theory and Beyond Vol. 9 (World Scientific,
1986).
Zdeborová, L. & Mézard, M. The number of matchings in random graphs. J. Stat. Mech.
Theory Exp. 05, P05003 (2006).
Yang, Y., Wang, J. & Motter, A. Network observability transitions. Phys. Rev. Lett. 109,
258701 (2012).
Zhao, J.-H, Habibulla, Y. & Zhou, H.-J. Statistical mechanics of the minimum dominating
set problem. J. Stat. Phys. 159, 1154–1174 (2015).
Wigner, E. P. Random matrices in physics. SIAM Rev. 9, 1–23 (1967).
Gates, A. J. & Rocha, L. M. Control of complex networks requires both structure and
dynamics. Sci. Rep. 6, 24456 (2016).
Olfati-Saber, R. & Murray, R. M. Consensus problems in networks of agents with switching
topology and time-delays. IEEE Trans. Autom. Control. 49, 1520–1533 (2004).
Paley, D. A., Leonard, N. E., Sepulchre, R., Grunbaum, D. & Parrish, J. K. Oscillator models
and collective motion. IEEE Control. Syst. Mag. 27, 89–105 (2007).
Jadbabaie, A., Lin, J. & Morse, A. S. Coordination of groups of mobile autonomous agents
using nearest neighbor rules. IEEE Trans. Autom. Control. 48, 988–1001 (2003).
Tanner, H. G., Jadbabaie, A. & Pappas, G. J. Flocking in fixed and switching networks.
IEEE Trans. Autom. Control. 52, 863–868 (2007).
Leonard, N. E. & Fiorelli, E. Proc. 40th IEEE Conference on Decision and Control
(Cat. No.01CH37228) (IEEE, 2001).
Olfati-Saber, R. Flocking for multi-agent dynamic systems: algorithms and theory.
IEEE Trans. Autom. Control 51, 401–420 (2006).
Olfati-Saber, R., Fax, J. A. & Murray, R. M. Consensus and cooperation in networked
multi-agent systems. Proc. IEEE 95, 215–233 (2007).
Wei, R. & Beard, R. W. Consensus seeking in multiagent systems under dynamically
changing interaction topologies. IEEE Trans. Autom. Control 50, 655–661 (2005).
Sepulchre, R. Consensus on nonlinear spaces. Annu. Rev. Control 35, 56–64 (2011).
DeLellis, P., diBernardo, M. & Garofalo, F. Novel decentralized adaptive strategies for the
synchronization of complex networks. Automatica 45, 1312–1318 (2009).
Dorfler, F., Chertkov, M. & Bullo, F. Synchronization in complex oscillator networks and
smart grids. Proc. Natl Acad. Sci. USA 110, 2005–2010 (2013).
Scardovi, L. & Sepulchre, R. 2008 47th IEEE Conference on Decision and Control 546–551
(IEEE, 2008).
Wieland, P., Sepulchre, R. & Allg?wer, F. An internal model principle is necessary and
sufficient for linear output synchronization. Automatica 47, 1068–1074 (2011).
Andrea, R. D. & Dullerud, G. E. Distributed control design for spatially interconnected
systems. IEEE Trans. Autom. Control 48, 1478–1495 (2003).
Bullo, F., Cortés, J. & Martínez, S. Distributed Control of Robotic Networks: A Mathematical
Approach to Motion Coordination Algorithms (Princeton Univ. Press, 2009).
Shamma, J. S. (ed.) Cooperative Control of Distributed Multi-agent Systems (John Wiley
& Sons, Ltd, 2007).
Oh, K.-K., Park, M.-C. & Ahn, H.-S. A survey of multi-agent formation control. Automatica
53, 424–440 (2015).
Kumar, V., Leonard, N. & Morse, A. S. Cooperative Control (Springer Berlin, 2005).
Porfiri, M. & di Bernardo, M. Criteria for global pinning-controllability of complex
networks. Automatica 44, 3100–3106 (2008).
Mesbahi, M. & Egerstedt, M. Graph Theoretic Methods in Multiagent Networks (Princeton
Univ. Press, 2010).
Mesbahi, M. On state-dependent dynamic graphs and their controllability properties.
IEEE Trans. Autom. Control 50, 387–392 (2005).
Rahmani, A., Ji, M., Mesbahi, M. & Egerstedt, M. Controllability of multi-agent systems
from a graph-theoretic perspective. SIAM J. Control Optim. 48, 162–186 (2009).
Pasqualetti, F., Zampieri, S. & Bullo, F. Controllability metrics, limitations and algorithms
for complex networks. IEEE Trans. Control Netw. Syst. 1, 40–52 (2014).
Bianchin, G., Frasca, P., Gasparri, A. & Pasqualetti, F. The observability radius of networks.
IEEE Trans. Autom. Control 62, 3006–3013 (2017).
Liu, Y.-Y., Slotine, J.-J. & Barabási, A.-L. Observability of complex systems. Proc. Natl Acad.
Sci. USA 110, 2460–2465 (2013).
Sundaram, S. & Hadjicostis, C. N. Structural controllability and observability of linear
systems over finite fields with applications to multi-agent systems. IEEE Trans. Autom.
Control 58, 60–73 (2013).
Harary, F., Norman, R. Z. & Cartwright, D. Structural Models: An Introduction to the Theory
of Directed Graphs (John Wiley & Sons, 1965).
Xiang, J. & Chen, G. On the V-stability of complex dynamical networks. Automatica 43,
1049–1057 (2007).
Arcak, M. Passivity as a design tool for group coordination. IEEE Trans. Autom. Control 52,
1380–1390 (2007).
Slotine, J.-J. E. & Wang, W. in Cooperative Control: A Post-Workshop Volume 2003 Block
Island Workshop on Cooperative Control (eds Kumar, V., Leonard, N. & Morse, A. S.)
207–228 (Springer, 2005).
Forni, F. & Sepulchre, R. A differential Lyapunov framework for contraction analysis.
IEEE Trans. Autom. Control 59, 614–628 (2014).
Moylan, P. & Hill, D. Stability criteria for large-scale systems. IEEE Trans. Autom. Control
23, 143–149 (1978).
di Bernardo, M., Fiore, D., Russo, G. & Scafuti, F. in Complex Systems and Networks: Dynamics,
Controls and Applications (eds Lü, J., Yu, X., Chen, G. & Yu, W.) 313–339 (Springer, 2016).
Pecora, L. M. & Carroll, T. L. Master stability functions for synchronized coupled systems.
Phys. Rev. Lett. 80, 2109–2112 (1998).
Baggio, G., Bassett, D. S. & Pasqualetti, F. Data-driven control of complex networks.
Nat. Commun. 12, 1429 (2021).
Nguyen, T. T., Nguyen, N. D. & Nahavandi, S. Deep reinforcement learning for multiagent
systems: a review of challenges, solutions, and applications. IEEE Trans. Cybern. 50,
3826–3839 (2020).
Battistelli, G. & Chisci, L. Kullback–Leibler average, consensus on probability densities,
and distributed state estimation with guaranteed stability. Automatica 50, 707–718
(2014).
Dibaji, S. M., Ishii, H. & Tempo, R. Resilient randomized quantized consensus. IEEE Trans.
Autom. Control 63, 2508–2522 (2018).
Fiore, D. & Russo, G. Resilient consensus for multi-agent systems subject to differential
privacy requirements. Automatica 106, 18–26 (2019).
Nozari, E., Tallapragada, P. & Cortés, J. Differentially private distributed convex optimization
via functional perturbation. IEEE Trans. Control Netw. Syst. 5, 395–408 (2018).
Mo, Y. & Murray, R. M. Privacy preserving average consensus. IEEE Trans. Autom. Control
62, 753–765 (2017).
Xie, S., Russo, G. & Middleton, R. H. Scalability in nonlinear network systems affected by
delays and disturbances. IEEE Trans. Control Netw. Syst. 8, 1128–1138 (2021).
Stüdli, S., Seron, M. M. & Middleton, R. H. From vehicular platoons to general networked
systems: string stability and related concepts. Annu. Rev. Control 44, 157–172 (2017).
Russo, G., Wirth, F. & Shorten, R. On synchronization in continuous-time networks of
nonlinear nodes with state-dependent and degenerate noise diffusion. IEEE Trans.
Autom. Control 64, 389–395 (2019).
Li, T., Wu, F. & Zhang, J. Multi-agent consensus with relative-state-dependent
measurement noises. IEEE Trans. Autom. Control 59, 2463–2468 (2014).
Burbano-L, D. A., Russo, G. & Bernardo, M. D. Pinning controllability of complex network
systems with noise. IEEE Trans. Control Netw. Syst. 6, 874–883 (2019).
Della Rossa, F. & De Lellis, P. Synchronization and pinning control of stochastic coevolving
networks. Annu. Rev. Control 53, 147–160 (2022).
Ott, E., Grebogi, C. & Yorke, J. A. Controlling chaos. Phys. Rev. Lett. 64, 1196–1199 (1990).
Ditto, W. L., Rauseo, S. N. & Spano, M. L. Experimental control of chaos. Phys. Rev. Lett.
65, 3211–3214 (1990).
Shinbrot, T., Grebogi, C., Ott, E. & Yorke, J. A. Using small perturbations to control chaos.
Nature 363, 411 (1993).
Boccaletti, S., Grebogi, C., Lai, Y.-C., Mancini, H. & Maza, D. The control of chaos: theory
and applications. Phys. Rep. 329, 103–197 (2000).
Cornelius, S. P., Kath, W. L. & Motter, A. E. Realistic control of network dynamics.
Nat. Commun. 4, 1942 (2013).
Bick, C. & Martens, E. A. Controlling chimeras. New J. Phys. 17, 033030 (2015).
Kuramoto, Y. & Davaasambuu, B. Coexistence of coherence and incoherence in nonlocally
coupled phase oscillators. Nonlin. Phenom. Complex Syst. 5, 380–385 (2002).
Abrams, D. M. & Strogatz, S. H. Chimera states for coupled oscillators. Phys. Rev. Lett. 93,
174102 (2004).
Sieber, J., Omel’chenko, O. E. & Wolfrum, M. Controlling unstable chaos: stabilizing
chimera states by feedback. Phys. Rev. Lett. 112, 054102 (2014).
Gjurchinovski, A., Scholl, E. & Zakharova, A. Control of amplitude chimeras by time delay
in oscillator networks. Phys. Rev. E 95, 042218 (2017).
Zakharova, A., Semenova, N., Anishchenko, V. & Sch?ll, E. Time-delayed feedback control
of coherence resonance chimeras. Chaos 27, 114320 (2017).
Gambuzza, L. V. & Frasca, M. Pinning control of chimera states. Phys. Rev. E 94, 022306
(2016).
Semenov, V., Zakharova, A., Maistrenko, Y. & Sch?ll, E. Delayed-feedback chimera states:
forced multiclusters and stochastic resonance. EPL 115, 10005 (2016).
Bera, B. K., Majhi, S., Ghosh, D. & Perc, M. Chimera states: effects of different coupling
topologies. EPL 118, 10001 (2017).
Ruzzene, G., Omelchenko, I., Sch?ll, E., Zakharova, A. & Andrzejak, R. G. Controlling
chimera states via minimal coupling modification. Chaos 29, 051103 (2019).
Omelchenko, I., Hülser, T., Zakharova, A. & Sch?ll, E. Control of chimera states in multilayer
networks. Front. Appl. Math. Stat. 4, 00067 (2019).
Sch?ll, E., Klapp, S. H. L. & H?vel, P. Control of Self-organizing Nonlinear Systems
(Springer, 2016).
Ljung, L. System Identification: Theory for User (Prentice Hall, 1999).
Xue, Y. & Bogdan, P. Reconstructing missing complex networks against adversarial
interventions. Nat. Commun. 10, 1738 (2019).
Timme, M. Revealing network connectivity from response dynamics. Phys. Rev. Lett. 98,
224101 (2007).
Battiston, F. et al. The physics of higher-order interactions in complex systems. Nat. Phys.
17, 1093–1098 (2021).
Bianconi, G. Higher-Order Networks (Cambridge Univ. Press, 2021).
Ghoshal, G., Zlatic, V., Caldarelli, G. & Newman, M. E. Random hypergraphs and their
applications. Phys. Rev. E 79, 066118 (2009).
Courtney, O. T. & Bianconi, G. Generalized network structures: the configuration model
and the canonical ensemble of simplicial complexes. Phys. Rev. E 93, 062311 (2016).
Lucas, M., Cencetti, G. & Battiston, F. Multiorder Laplacian for synchronization in
higher-order networks. Phys. Rev. Res. 2, 033410 (2020).
Gambuzza, L. V. et al. Stability of synchronization in simplicial complexes. Nat. Commun.
12, 1255 (2021).
Ferraz de Arruda, G., Tizzani, M. & Moreno, Y. Phase transitions and stability of dynamical
processes on hypergraphs. Commun. Phys. 4, 24 (2021).
Zhang, Y., Latora, V. & Motter, A. E. Unified treatment of synchronization patterns
in generalized networks with higher-order, multilayer, and temporal interactions.
Commun. Phys. 4, 195 (2021).
Salova, A. & D’Souza, R. M. Cluster synchronization on hypergraphs. Preprint at https://
doi.org/10.48550/arXiv.2101.05464 (2021).
Chen, C., Surana, A., Bloch, A. M. & Rajapakse, I. Controllability of hypergraphs.
IEEE Trans. Netw. Sci. Eng. 8, 1646–1657 (2021).
Perra, N., Goncalves, B., Pastor-Satorras, R. & Vespignani, A. Activity driven modeling
of time varying networks. Sci. Rep. 2, 469 (2012).
Liu, S., Perra, N., Karsai, M. & Vespignani, A. Controlling contagion processes in activity
driven networks. Phys. Rev. Lett. 112, 118702 (2014).
Posfai, M., Gao, J., Cornelius, S. P., Barabasi, A. L. & D’Souza, R. M. Controllability
of multiplex, multi-time-scale networks. Phys. Rev. E 94, 032316 (2016).
Menichetti, G., Dall’Asta, L. & Bianconi, G. Control of multilayer networks. Sci. Rep. 6,
20706 (2016).
González, A. D., Chapman, A., Due?as-Osorio, L., Mesbahi, M. & D’Souza, R. M. Efficient
infrastructure restoration strategies using the recovery operator. Comput.-Aided Civ.
Infrastruct. Eng. 32, 991–1006 (2017).
Chapman, A., González, A. D., Mesbahi, M., Due?as-Osorio, L. & D’Souza, R. M. 2017 IEEE
56th Annual Conference on Decision and Control (CDC) 493–498 (IEEE, 2017).
Burbano, D. & di Bernardo, M. Multiplex PI control for consensus in networks of
heterogeneous linear agents. Automatica 67, 310–320 (2016).
Annby-Andersson, B., Samuelsson, P., Maisi, V. F. & Potts, P. P. Maxwell’s demon in a
double quantum dot with continuous charge detection. Phys. Rev. B 101, 165404 (2020).
Bhattacharyya, D. & Jarzynski, C. From a feedback-controlled demon to an information
ratchet in a double quantum dot. Phys. Rev. E 106, 064101 (2022).
Kardar, M., Parisi, G. & Zhang, Y. C. Dynamic scaling of growing interfaces. Phys. Rev. Lett.
56, 889–892 (1986).
Spitzer, F. Interaction of Markov processes. Adv. Math. 5, 246–290 (1970).
Angulo, M. T., Moog, C. H. & Liu, Y.-Y. A theoretical framework for controlling complex
microbial communities. Nat. Commun. 10, 1045 (2019).
Angulo, M. T., Aparicio, A. & Moog, C. H. Structural accessibility and structural observability
of nonlinear networked systems. IEEE Trans. Netw. Sci. Eng. 7, 1656–1666 (2020).
Nikitin, D., Wit, C. C. D. & Frasca, P. A continuation method for large-scale modeling and
control: from ODEs to PDE, a round trip. IEEE Trans. Autom. Control 67, 5118–5133 (2021).
Nikitin, D. Scalable Large-scale Control of Network Aggregates (Université Grenoble
Alpes, 2021).
Krstic, M. & Smyshlyaev, A. Boundary Control of PDEs (SIAM Press, 2008).
Smyshlyaev, A. & Krstic, M. Adaptive Control of Parabolic PDEs (Princeton Univ. Press,
2010).
Maffettone, G., Boldini, A., di Bernardo, M. & Porfiri, M. Continuification control of
large-scale multiagent systems in a ring. IEEE Control Syst. Lett. 7, 841–846 (2023).
Gao, S. & Caines, P. E. Graphon control of large-scale networks of linear systems.
IEEE Trans. Autom. Control 65, 4090–4105 (2020).
Borgs, C. & Chayes, J. Proceedings of the 2017 ACM Conference on Economics and
Computation 665–672 (Association for Computing Machinery, 2017).
Lovász, L. Large Networks and Graph Limits Vol. 60 (American Mathematical Society, 2012).
Borgs, C., Chayes, J. T., Lovász, L., Sós, V. T. & Vesztergombi, K. Convergent sequences
of dense graphs I: subgraph frequencies, metric properties and testing. Adv. Math. 219,
1801–1851 (2008).
Lovász, L. & Szegedy, B. Limits of dense graph sequences. J. Comb. Theory Ser. B 96,
933–957 (2006).
Parise, F. & Ozdaglar, A. Graphon games: a statistical framework for network games and
interventions. Econometrica 91, 191–225 (2023).
Mezi?, I. & Banaszuk, A. Comparison of systems with complex behavior. Phys. D Nonlin.
Phenom. 197, 101–133 (2004).
Mezi?, I. Spectral properties of dynamical systems, model reduction and decompositions.
Nonlin. Dyn. 41, 309–325 (2005).
Rowley, C. W., Mezi?, I., Bagheri, S., Schlatter, P. & Henningson, D. S. Spectral analysis
of nonlinear flows. J. Fluid Mech. 641, 115–127 (2009).
Brunton, S. L., Brunton, B. W., Proctor, J. L. & Kutz, J. N. Koopman invariant subspaces and
finite linear representations of nonlinear dynamical systems for control. PLoS ONE 11,
e0150171 (2016).
Kaiser, E., Kutz, J. N. & Brunton, S. L. D...
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