中國中世紀(jì)時(shí)期數(shù)學(xué)

中世紀(jì)時(shí)期的中國數(shù)學(xué)基本上可以分成兩個(gè)階段：隋唐時(shí)期(581-907)和宋元時(shí)期(960-1368）。隋唐時(shí)期，中國建立了數(shù)學(xué)教育制度，同時(shí)在中外數(shù)學(xué)交流方面也達(dá)到了一個(gè)高峰。宋元時(shí)期，數(shù)學(xué)水平大為提高，出現(xiàn)了被稱為宋元數(shù)學(xué)大家的秦九韶、李冶、楊輝、朱世杰，以及其他著名學(xué)者劉益、賈憲、沈括等人。這一時(shí)期的成就，如珠算、天元術(shù)、四元術(shù)、大衍求一術(shù)等，代表了中國古典數(shù)學(xué)的最高成就。

中國的數(shù)學(xué)教育有悠久的歷史，據(jù)史籍記載，周代就開始有了數(shù)學(xué)教育。但是，直到隋唐時(shí)代才建立了數(shù)學(xué)教育制度。

隋代存在的時(shí)間雖然不長(581-618)，但卻建立了最高學(xué)府——國子寺，并在國子寺里設(shè)立了明算學(xué)。國子寺相當(dāng)于現(xiàn)今的國立大學(xué)，明算學(xué)相當(dāng)于現(xiàn)今的數(shù)學(xué)系。國子寺在中國開創(chuàng)了高等數(shù)學(xué)教育機(jī)構(gòu)，并設(shè)置算學(xué)博士2人，算助教2人，從事數(shù)學(xué)教育工作。國子寺招收學(xué)生一般在80人左右。

到了唐代，在隋代數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步發(fā)展了數(shù)學(xué)教育。唐初在最高學(xué)府——國子監(jiān)里增設(shè)六個(gè)?？疲疵鹘?jīng)、進(jìn)士、秀才、明法、明字及明算六科。出于教學(xué)的需要，李淳風(fēng)等人奉勅注釋并校訂了十部數(shù)學(xué)書，作為明算科的教科書。根據(jù)史料記載，這十本書是《九章》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《張邱建算經(jīng)》、《周髀》、《五經(jīng)算術(shù)》、《綴術(shù)》、《輯古算經(jīng)》和《夏侯陽算經(jīng)》。這十部數(shù)學(xué)書稱為"十部算經(jīng)"，是明算科學(xué)生的主要教科書。學(xué)習(xí)期間，有的學(xué)生還兼學(xué)《數(shù)術(shù)記遺》和《三等數(shù)》。明算科的學(xué)制年限為7年，學(xué)習(xí)期滿后要進(jìn)行考試，要求"明數(shù)造術(shù)，詳明術(shù)理，然后為通"?？荚嚭细竦娜藛T將交給吏部錄用，給予九品以下的官級(jí)。

隋唐設(shè)立了算學(xué)主要是因?yàn)橘x稅量和名目的增加，對算學(xué)的社會(huì)需要越來越大。但是統(tǒng)治者解決這一需要的方法不是提高算學(xué)的社會(huì)地位，用物質(zhì)利益誘導(dǎo)知識(shí)層投身于算學(xué)，而是使算學(xué)職業(yè)化、技藝化。算學(xué)的設(shè)立，就是把計(jì)算職業(yè)化的一種措施。把算學(xué)推入"吏"這個(gè)社會(huì)階層，從而導(dǎo)致士大夫與算學(xué)的進(jìn)一步分離。例如漢代大儒巨卿劉向、鄭玄、張衡等人都通曉數(shù)學(xué)；南北朝的一些算學(xué)名家如何承天、祖沖之等也大多兼通儒術(shù)。然而自隋唐以后，算學(xué)名家卻大多非僧即道，或是太史局專職官員，如僧一行、付仁均、李淳風(fēng)等人，很少是名儒巨宦了。

算學(xué)的設(shè)立，最大功績在于滿足了社會(huì)對算學(xué)日益增加的需求，為社會(huì)的許多部門培養(yǎng)了專業(yè)書計(jì)人員，從而對于數(shù)學(xué)——尤其實(shí)用數(shù)學(xué)的普及起了積極作用。不過，這些專職人員大多是所謂"俗吏"，社會(huì)地位不高，從事的工作也是一些瑣屑偎雜的簡單計(jì)算，無需高深的數(shù)學(xué)理論，更缺乏深入鉆研的精神。因此，南北朝時(shí)圓周率的計(jì)算已經(jīng)很進(jìn)步，但是直到明代，"周三徑一、方五斜七"的歌訣仍被一些算學(xué)著作津津樂道地重復(fù)著。由此可見，官設(shè)算學(xué)校對算學(xué)的發(fā)展所起作用是很有限的。

這一時(shí)期，中國與周邊國家的學(xué)術(shù)交流十分繁榮。中國數(shù)學(xué)原著通過佛教僧侶傳入朝鮮，朝鮮還仿照隋唐數(shù)學(xué)教育制度，建立了國學(xué)(后改為大學(xué)監(jiān)）。日本采取的數(shù)學(xué)教育制度，也是仿照唐制。而且唐代隨使船來中國留學(xué)的日本學(xué)生及僧侶有十余批，共約2000人。乘商船求學(xué)的有二三十批，人數(shù)更多。其中有不少人就是專門來學(xué)習(xí)歷法和數(shù)學(xué)的。

此外，印度的一些數(shù)學(xué)知識(shí)也于這一時(shí)期傳入中國，如印度數(shù)碼、正弦數(shù)值表等。同時(shí)，有人發(fā)現(xiàn)印度古代數(shù)學(xué)與中國古代數(shù)學(xué)有很多相似之處，甚至有個(gè)別部分完全一樣。就時(shí)間上來說，其相似之處一般晚于中國的記載。因此，有人懷疑印度古代數(shù)學(xué)可能也受到過中國古代數(shù)學(xué)的某些影響。

前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家哥爾門果洛夫指出："中國數(shù)學(xué)和希臘、羅馬、印度、中亞和中世紀(jì)歐洲的關(guān)系還很少研究，但這種關(guān)系是存在的。不少國家的數(shù)學(xué)手稿上，算題和數(shù)據(jù)恰恰與中國的原著相同。"由此可見，中國數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)作出過卓越的貢獻(xiàn)。

由于商業(yè)的發(fā)展，促進(jìn)了宋元時(shí)期整個(gè)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)也達(dá)到了較高的水平，特別在代數(shù)方面成就尤為突出。秦九韶、李冶、楊輝、朱世杰被稱為宋元數(shù)學(xué)四大家，他們都遺留下大量的數(shù)學(xué)著作，成就卓著。

秦九韶(約1202-1261)，字道古，魯郡人。他年輕時(shí)隨父到杭州，得以有機(jī)會(huì)向太史們學(xué)習(xí)天文歷法。他聰敏好學(xué)，喜歡在解決實(shí)際問題中深入研究學(xué)問。他于1247年寫成數(shù)學(xué)巨著《數(shù)書九章》。

《數(shù)書九章》今傳本分9類，各2類，合18卷，9類為大衍、天時(shí)、田域、測望、賦役、錢谷、營建、軍旅、市易，以習(xí)題集的形式寫成，共81題。每題有答，有術(shù)，有草，大都配圖說明，很是難得。此書在學(xué)術(shù)方面的成就主要表現(xiàn)在高次方程的數(shù)值解法。書中出現(xiàn)的高次方程有"連枝"乘方(最高次項(xiàng)系數(shù)不等于1的方程）、"玲瓏"乘方(奇次冪為零的方程）等。各項(xiàng)系數(shù)不限正負(fù)(惟常數(shù)項(xiàng)常為負(fù)值）有所謂的"正負(fù)開方術(shù)"。書中對大衍求一術(shù)及其應(yīng)用做了詳細(xì)敘述，這是中國古代在一次剩余問題解法方面極為輝煌的成就。

李冶(1192-1279)，原名李治，字仁卿，號(hào)敬齋，真定欒城人。少時(shí)在元氏求學(xué)，中進(jìn)士后曾任鈞州(今河南禹縣）知事。1248年寫成《測圓鏡?！肥?。李冶1251年回到元氏，隱居于封龍山講學(xué)。1259年又著《益古演段》。1265年他應(yīng)忽必烈之召為翰林學(xué)士，修遼金二史。一年后告老還鄉(xiāng)，仍隱居封龍山。李冶學(xué)習(xí)過《九章》，"洞淵九客之說"；學(xué)習(xí)過《益古集》，"遍觀諸家如積圖式"。這些無疑為他的數(shù)學(xué)著作奠定了知識(shí)基礎(chǔ)。

李冶不僅是數(shù)學(xué)家，還是一位精于文史的學(xué)者。著有"《敬齋古今黈》四十卷，《泛說》四十卷，《文集》四十卷，《壁書叢削》十二卷。"李冶的《益古演段》是一部關(guān)于天元術(shù)的入門書。天元術(shù)是建立代數(shù)方程的一般方法，相當(dāng)于現(xiàn)在的"設(shè)某為X"，并由此建立方程。由于所設(shè)的未知數(shù)稱為天元，所以這種方法就被稱作"天元術(shù)"。天元術(shù)是公元11-13世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家的一項(xiàng)杰出成就。

楊輝，字謙光，錢塘(今杭州）人。關(guān)于楊輝生卒年月、生平事跡的史料記載很少，但是他的數(shù)學(xué)著述很豐富，雖經(jīng)散佚，流傳至今的尚有多種：

《詳解九章算法》12卷后附《篡類》(公元1261年）

《日用算法》2卷(公元1262年）

《乘余通變本末》3卷(公元1274年）

《田畝比類乘除捷法》2卷(公元1275年）

《續(xù)古摘奇算法》2卷(公元1275年）后三種為楊輝后期的著作，一般稱之為《楊輝算法》。

楊輝編寫的算書廣泛征引古代數(shù)學(xué)典籍。除漢唐以來的"算經(jīng)十書"以外，還引用了宋代的許多算書，許多基本的算法賴以流傳下來。此外，楊輝學(xué)術(shù)上的成就主要有：《九章算法纂類》中記述的增乘開方法；《詳解九章算法》記載了西方稱之為"巴斯客三角"的"開方作法本源圖"。楊輝在中國數(shù)學(xué)史上不僅是一位著述甚豐的數(shù)學(xué)家，而且是一位卓越的數(shù)學(xué)教育家。他特別重視數(shù)學(xué)的普及教育，他的許多著作都是為普及數(shù)學(xué)教育而編寫的教科書。在《算法通變本末》中，楊輝為初學(xué)者制訂的"習(xí)算綱目"，是中國數(shù)學(xué)教育史上的一件重要文獻(xiàn)。楊輝主張?jiān)跀?shù)學(xué)教育中貫徹"須責(zé)實(shí)有"的思想，就是緊密聯(lián)系實(shí)際，發(fā)展數(shù)學(xué)研究與教育，這也是中國古代數(shù)學(xué)優(yōu)良傳統(tǒng)之一。在數(shù)學(xué)方法上，楊輝主張循序漸進(jìn)，精講多練。主張熟讀精思，融會(huì)貫通，在廣博的基礎(chǔ)上深入，要著重于消化。楊輝還特別重視對計(jì)算能力的培養(yǎng)。他十分強(qiáng)調(diào)習(xí)題的演算，每個(gè)學(xué)習(xí)單元都規(guī)定完成一定數(shù)量的練習(xí)，認(rèn)為這樣才可以"庶久而無失念"。楊輝作為一位杰出的數(shù)學(xué)教育家，在中國古代數(shù)學(xué)教育史上占有重要地位。他的先進(jìn)的教育思想和教學(xué)方法，是留給后世的一份珍貴遺產(chǎn)。

朱世杰，字漢卿，號(hào)松庭，寓居燕山(今北京附近），是元代一位成就卓著的數(shù)學(xué)家。他曾以數(shù)學(xué)名家之身份周游各地二十余年，為中國數(shù)學(xué)留下兩部優(yōu)秀的數(shù)學(xué)著作——《算學(xué)啟蒙》(公元1299年）和《四元玉鑒》(公元1303年）。他寫書的目的在于"發(fā)明《九章》之妙以淑后學(xué)"。朱世杰在"垛積術(shù)"以及與垛積相關(guān)的內(nèi)插法方面頗有造詣。他的主要成就是"四元術(shù)"的創(chuàng)立。把天元術(shù)加以推廣，用以表示四元以內(nèi)的方程或方程組，這樣就出現(xiàn)了四元術(shù)。四元術(shù)分別以天、地、人、物表示4個(gè)未知數(shù)，叫做天元、地元、物元、人元。四元術(shù)的精華在于相消，即由該方程組經(jīng)過變形得到一個(gè)一元的高次方程。朱世杰的消去法是中國數(shù)學(xué)史上一項(xiàng)杰出的成就。在西方，由方程f(x，y)＝0，g(x，y)＝0消去一個(gè)未知量的方法是法國數(shù)學(xué)家別朱于1764年給出初步方案，直到1779年出版的《代數(shù)方程的一般理論》才正式發(fā)表。這已在朱世杰之后400年。因此，朱世杰的工作在世界數(shù)學(xué)史上也是一個(gè)重要成果。

宋元四大家為我國古代數(shù)學(xué)史上的巔峰人物，在全世界也是屈指可數(shù)的。但宋元時(shí)期大數(shù)學(xué)家絕非僅此四人。此外如賈憲、劉益、沈括等人都作出了重要貢獻(xiàn)，"四大家"的成就是直接以他們的成就為基礎(chǔ)的。所以，四大家的成就代表的是當(dāng)時(shí)中華民族所達(dá)到的科學(xué)文化水平。

珠算的發(fā)明和使用，也是這一時(shí)期最偉大的數(shù)學(xué)成就之一。宋元時(shí)期，由于商業(yè)的發(fā)達(dá)，四則運(yùn)算成了商品市場中頻繁使用的科學(xué)知識(shí)。傳統(tǒng)的籌算法不但使用不方便，計(jì)算速度也遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足需要。因此，改革運(yùn)算工具就更顯得迫切了。

珠算盤是人們在長期的改革實(shí)踐中，由算籌的小型化和擺弄位置的固定化演變而來，經(jīng)過不斷地改進(jìn)才逐漸臻于完善。它是廣大勞動(dòng)者的智慧結(jié)晶。珠算盤最遲在元末便已普遍使用了。

珠算盤不僅外形小巧靈便，而且直接與算法歌訣相配合，真正做到得心應(yīng)手，形成了簡單快速的珠算術(shù)。雖然現(xiàn)在已進(jìn)入了電子計(jì)算機(jī)的時(shí)代，但是在以加減運(yùn)算為主的財(cái)會(huì)工作中，因?yàn)橹樗闼俣瓤梢院托⌒碗娮佑?jì)算器媲美，所以算盤仍保持著重要的地位。

宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)教育和對外交流仍很發(fā)達(dá)。宋元的官立算學(xué)仍與隋唐相同。頗具特色的是私立算學(xué)不但數(shù)量比以前大增，講授的內(nèi)容較廣泛，效率也比官設(shè)算學(xué)高得多。

唐宋以來，中國和阿拉伯保持著密切聯(lián)系，阿拉伯商人在廣州、泉州、揚(yáng)州經(jīng)商，哈里發(fā)與中國皇帝之間也時(shí)有使臣往來。因此，阿拉伯的歷法、幻方、"格子算"、歐幾里得的《原本》等數(shù)學(xué)知識(shí)傳入中國，中國的十進(jìn)位制、分?jǐn)?shù)記法、"百雞問題"、賈憲三角形及增乘開方法等內(nèi)容也出現(xiàn)在阿拉伯的一些著作中。

有人把宋元時(shí)期數(shù)學(xué)的發(fā)達(dá)的原因歸結(jié)為三個(gè)方面。首先，工商業(yè)和城市的發(fā)展使社會(huì)對數(shù)學(xué)的需要增加。其次，由于宋代地主階級(jí)人數(shù)擴(kuò)大，許多人終生不得仕進(jìn)，所以作為六藝之一的數(shù)學(xué)有較大的吸引力。宋元四大家的著作都是賦閑時(shí)的研究成果。最后，由于數(shù)學(xué)不需要投入大量資金、人力和時(shí)間，而且成敗無傷、不擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)、不觸忌諱，其研究規(guī)模特別適合于小農(nóng)經(jīng)濟(jì)。這是中國數(shù)學(xué)能持續(xù)發(fā)展的主要原因。

宋元數(shù)學(xué)雖然達(dá)到了頂峰，但也存在著嚴(yán)重的危機(jī)。一方面，對數(shù)學(xué)社會(huì)需要的增加，并沒有導(dǎo)致占統(tǒng)治地位的社會(huì)意識(shí)的變化。數(shù)學(xué)仍被認(rèn)為是"九九賤技"。數(shù)學(xué)家們在思想上受著壓抑。雖然他們在社會(huì)下層受到尊重，但是當(dāng)他們面對上流社會(huì)時(shí)，總難免自卑自賤。數(shù)學(xué)四大家在為自己著作寫的序言中都流露了這種感情。另一方面，把數(shù)學(xué)納入陰陽五行論的軌道是宋元時(shí)期數(shù)學(xué)的一大特點(diǎn)。由于受宋元時(shí)期哲學(xué)上的客觀唯心論的影響，數(shù)學(xué)被導(dǎo)向神秘化。因此，從元末以后，中國數(shù)學(xué)除珠算以外，發(fā)展緩慢，明末以后，中國數(shù)學(xué)已經(jīng)落后于世界先進(jìn)水平。