導(dǎo)語(yǔ)

在復(fù)雜科學(xué)中，我們面對(duì)的研究對(duì)象往往并不是某個(gè)孤立的實(shí)體，而是由大量組分構(gòu)成、通過(guò)多層次相互作用不斷演化的系統(tǒng)。無(wú)論是大腦、生態(tài)系統(tǒng)、社會(huì)組織，還是氣候與金融市場(chǎng)，這些系統(tǒng)的共同特征在于：整體行為無(wú)法簡(jiǎn)單還原為個(gè)體行為的線性疊加，而是深刻依賴于關(guān)系的組織方式、作用尺度以及隨時(shí)間展開(kāi)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程。

正因如此，復(fù)雜系統(tǒng)研究往往不僅依賴單一的數(shù)學(xué)工具，而會(huì)使用多種抽象語(yǔ)言從不同層次刻畫系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與行為。拓?fù)鋵W(xué)、線性代數(shù)與統(tǒng)計(jì)物理，正是其中最為基礎(chǔ)、也彼此互補(bǔ)的三種理論框架。它們并非彼此替代的技術(shù)路線，而是從不同分辨率、不同系統(tǒng)層級(jí)出發(fā)，回答關(guān)于復(fù)雜系統(tǒng)的不同核心問(wèn)題。

趙思怡 | 作者

金威、諸葛昌靖 | 審校

系統(tǒng)觀的出發(fā)點(diǎn)：復(fù)雜系統(tǒng)不是“對(duì)象”，而是“關(guān)系與過(guò)程”

系統(tǒng)科學(xué)的一個(gè)基本立場(chǎng)是：復(fù)雜系統(tǒng)的本質(zhì)不僅在于組成元素本身，而在于子系統(tǒng)和元素之間、系統(tǒng)與環(huán)境的關(guān)系、關(guān)系的組織方式，以及這些關(guān)系隨時(shí)間不斷演化的過(guò)程。因此，研究復(fù)雜系統(tǒng)并不是簡(jiǎn)單地描述“對(duì)象長(zhǎng)什么樣”，而是要在不同抽象層次上刻畫結(jié)構(gòu)約束與動(dòng)力學(xué)機(jī)制。

從這一立場(chǎng)出發(fā)，復(fù)雜系統(tǒng)研究通常需要回答三類根本性問(wèn)題。第一，在忽略大部分定量細(xì)節(jié)之后，系統(tǒng)主要能提取出哪些不可消除的整體結(jié)構(gòu)，這是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)方面；第二，在既定結(jié)構(gòu)下，系統(tǒng)狀態(tài)如何演化，其中哪些模式占主導(dǎo)地位，這與系統(tǒng)及其狀態(tài)的表示和運(yùn)算有關(guān)；第三，當(dāng)系統(tǒng)包含大量相互作用單元時(shí)，為何仍會(huì)涌現(xiàn)出穩(wěn)定模式、臨界行為或突變現(xiàn)象，這則涉及涌現(xiàn)，以及系統(tǒng)各層次之間的關(guān)系。

正是在這三類問(wèn)題上，拓?fù)鋵W(xué)、線性代數(shù)與統(tǒng)計(jì)物理分別發(fā)揮了不可替代的作用。

拓?fù)鋵W(xué)：系統(tǒng)最粗粒度的“結(jié)構(gòu)骨架”

在系統(tǒng)科學(xué)與復(fù)雜科學(xué)中，拓?fù)鋵W(xué)主要用于刻畫系統(tǒng)整體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性與全局組織方式，尤其關(guān)注在噪聲、擾動(dòng)、尺度變化或參數(shù)連續(xù)變化下，哪些性質(zhì)能夠保持不變。與依賴精確數(shù)值或度量的分析方法不同，拓?fù)鋵W(xué)更加關(guān)注連接關(guān)系、鄰近性、連通性以及回路、空腔乃至空間所對(duì)應(yīng)的更深刻的代數(shù)對(duì)象等結(jié)構(gòu)性特征。在系統(tǒng)“如何運(yùn)行”之外，這些特征還從更根本的層面限定了系統(tǒng)“可以運(yùn)行成什么樣”。

在具體研究中，網(wǎng)絡(luò)模型常被用作表達(dá)這類結(jié)構(gòu)關(guān)系的工具，但拓?fù)鋵W(xué)的關(guān)注點(diǎn)并不局限于網(wǎng)絡(luò)本身，而在于其背后的結(jié)構(gòu)及其約束。通過(guò)拓?fù)湟暯牵芯空呖梢耘袛嘞到y(tǒng)是否整體連通，是否能夠分解為若干相互弱耦合的子結(jié)構(gòu)，以及信息、物質(zhì)或影響能否在系統(tǒng)中長(zhǎng)期傳播等等。這些全局結(jié)構(gòu)性質(zhì)直接影響系統(tǒng)的健壯性、同步能力以及集體行為的形成方式。

拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析方法（如持久同調(diào)）在神經(jīng)科學(xué)中，被用于從高噪聲的神經(jīng)活動(dòng)數(shù)據(jù)中提取穩(wěn)定的功能結(jié)構(gòu)，從而區(qū)分不同生理、認(rèn)知或行為狀態(tài)下大腦活動(dòng)的拓?fù)涮卣?；在材料科學(xué)和凝聚態(tài)物理中，拓?fù)鋵W(xué)則用于理解拓?fù)湎嘧儭⑼負(fù)洳牧吓c拓?fù)湮飸B(tài)，解釋為何某些宏觀性質(zhì)對(duì)局部缺陷和微擾具有高度穩(wěn)定性，并從更加理論化的高度刻畫各種物質(zhì)狀態(tài)及其相互關(guān)系。

近年來(lái)，人們又用拓?fù)渌枷雭?lái)研究復(fù)雜系統(tǒng)中的高階相互作用與多體結(jié)構(gòu)。傳統(tǒng)模型（如經(jīng)典的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)）通常只描述成對(duì)關(guān)系，而高階拓?fù)淇蚣芡ㄟ^(guò)引入三角形、四面體等單純形結(jié)構(gòu)，刻畫真實(shí)系統(tǒng)中普遍存在的多體協(xié)同行為。在這一視角下，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變量不再僅定義在節(jié)點(diǎn)上，也可以附著于邊、三角形等高階結(jié)構(gòu)之上，形成所謂的“拓?fù)湫盘?hào)”。研究表明，這類高階拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會(huì)顯著重塑系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，催生出拓?fù)渫?、?fù)雜模式形成等新的集體現(xiàn)象，揭示了結(jié)構(gòu)與動(dòng)力學(xué)之間更為緊密的耦合關(guān)系。

圖 1 拓?fù)渖窠?jīng)網(wǎng)路（詳情請(qǐng)見(jiàn)集智俱樂(lè)部公眾號(hào)文章）

更進(jìn)一步的研究表明，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與動(dòng)力學(xué)過(guò)程之間還往往存在雙向作用：一方面，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)限定了系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)的動(dòng)力學(xué)模式與同步形式；另一方面，系統(tǒng)的演化過(guò)程也可能反過(guò)來(lái)改變其拓?fù)浣M織，使結(jié)構(gòu)在時(shí)間中發(fā)生重構(gòu)。這種“拓?fù)洹獎(jiǎng)恿W(xué)共演化”的視角，為理解大腦功能重組、氣候系統(tǒng)振蕩以及自適應(yīng)人工系統(tǒng)等諸多復(fù)雜系統(tǒng)提供了重要線索。

圖 2. 拓?fù)銴uramoto模型與全局同步。（詳情請(qǐng)見(jiàn)集智俱樂(lè)部公眾號(hào)文章）

系統(tǒng)科學(xué)視角下，拓?fù)鋵W(xué)關(guān)注的是在紛繁復(fù)雜的具體數(shù)值細(xì)節(jié)背后，系統(tǒng)“內(nèi)蘊(yùn)空間”中決定作用的關(guān)于連通性與整體組織的定性信息。在復(fù)雜系統(tǒng)中，我們往往無(wú)法精確掌握每一個(gè)相互作用的強(qiáng)度或每一個(gè)單元的具體狀態(tài)，但總會(huì)關(guān)心一些更根本的問(wèn)題：系統(tǒng)是否連通？是否存在彼此隔離的子系統(tǒng)？信息或影響是否能夠跨尺度傳播？系統(tǒng)能否被分解為若干相對(duì)獨(dú)立的功能模塊？拓?fù)鋵W(xué)正是以高度抽象而自然的方式回應(yīng)這些問(wèn)題。

從系統(tǒng)觀來(lái)看，拓?fù)鋵W(xué)關(guān)注的是當(dāng)我們忽略具體數(shù)值與微觀機(jī)制之后，一個(gè)系統(tǒng)仍然保留下來(lái)的結(jié)構(gòu)約束。它并不直接給出系統(tǒng)的演化方式，而是為后續(xù)分析劃定了一個(gè)可能性空間——只有在這個(gè)空間之內(nèi)，動(dòng)力學(xué)模式才有意義，統(tǒng)計(jì)行為也才有討論的基礎(chǔ)。

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線性代數(shù)：系統(tǒng)狀態(tài)的表示與可操作性

在線性代數(shù)的視角下，復(fù)雜系統(tǒng)被理解為狀態(tài)空間中的線性結(jié)構(gòu)及其演化規(guī)律。盡管大量真實(shí)系統(tǒng)在微觀層面本質(zhì)上是高度非線性的，但線性代數(shù)仍然構(gòu)成了人類目前最為成熟、最易理解、也最具操作性的分析語(yǔ)言之一。通過(guò)恰當(dāng)?shù)谋硎?、投影與變換，復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)常常可以在中尺度上被有效嵌入到線性框架之中，從而轉(zhuǎn)化為可分析、可分解、可近似的線性過(guò)程。這種“以線性把握非線性”的策略在復(fù)雜系統(tǒng)研究中反復(fù)出現(xiàn)，并在理論建模、數(shù)據(jù)分析與數(shù)值計(jì)算之間起到了關(guān)鍵的樞紐作用，使我們即便無(wú)法完全掌控系統(tǒng)的全部細(xì)節(jié)，仍能抓住其主導(dǎo)結(jié)構(gòu)與動(dòng)力學(xué)特征。

這種“以線性把握非線性”的策略在復(fù)雜系統(tǒng)研究中反復(fù)出現(xiàn)。以Koopman 算子理論為代表，線性代數(shù)被系統(tǒng)性地用于“線性化”非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。Koopman 算子本質(zhì)上是作用在觀測(cè)函數(shù)空間上的無(wú)限維線性算子，其譜結(jié)構(gòu)編碼了系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)信息。通過(guò)對(duì)該算子進(jìn)行譜分解，研究者能夠識(shí)別系統(tǒng)中的慢模態(tài)、亞穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)以及主導(dǎo)時(shí)間尺度，從而在不依賴精確動(dòng)力學(xué)方程的前提下，直接從數(shù)據(jù)中提取系統(tǒng)的內(nèi)在組織方式。這一方法已廣泛應(yīng)用于分子動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、氣候系統(tǒng)以及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域，并在非線性強(qiáng)、維度高、模型不完全已知的情形下展現(xiàn)出獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。

圖3：轉(zhuǎn)移算子在不同領(lǐng)域的應(yīng)用（詳情請(qǐng)見(jiàn)集智俱樂(lè)部公眾號(hào)文章）

隨著數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法的發(fā)展，線性代數(shù)的這一思想進(jìn)一步擴(kuò)展為神經(jīng)算子框架。與傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不同，神經(jīng)算子直接學(xué)習(xí)函數(shù)空間之間的映射，本質(zhì)上是在無(wú)限維空間中逼近系統(tǒng)的演化算子。以傅里葉神經(jīng)算子為例，其通過(guò)譜展開(kāi)與積分算子，將偏微分方程的全局結(jié)構(gòu)編碼進(jìn)模型之中，從而在保持物理一致性的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)高效的數(shù)值近似。這使得線性代數(shù)不僅是分析工具，也逐漸成為連接物理結(jié)構(gòu)與機(jī)器學(xué)習(xí)的重要橋梁。

圖4：神經(jīng)算子的輸入和輸出（詳情請(qǐng)見(jiàn)集智俱樂(lè)部公眾號(hào)文章）

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究中，線性代數(shù)同樣發(fā)揮著核心作用。圖拉普拉斯算子、譜聚類方法以及振子網(wǎng)絡(luò)的線性穩(wěn)定性分析，使研究者能夠理解網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如何約束集體動(dòng)力學(xué)行為，例如同步、魯棒性與相變等現(xiàn)象。通過(guò)譜結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)整體的穩(wěn)定性以及對(duì)局部失效的敏感性得以被定量刻畫，從而為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、電力系統(tǒng)乃至生物節(jié)律系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

從系統(tǒng)觀來(lái)看，線性代數(shù)關(guān)注的核心問(wèn)題在于：當(dāng)復(fù)雜系統(tǒng)處于平衡態(tài)或參考態(tài)附近時(shí)，如何將決定其主要行為的關(guān)鍵信息有效刻畫出來(lái)。借助線性化、譜分解和模態(tài)展開(kāi)等手段，高維動(dòng)力學(xué)得以投影到一個(gè)低維但信息高度集中的子空間中，使主導(dǎo)模式、慢變量和穩(wěn)定方向清晰浮現(xiàn)。與關(guān)注全局結(jié)構(gòu)約束的抽象視角、以及著眼于多體極限與統(tǒng)計(jì)規(guī)律的宏觀視角相比，線性代數(shù)恰好工作在二者之間，為復(fù)雜系統(tǒng)提供了一種既可計(jì)算、又可理解、同時(shí)保留結(jié)構(gòu)線索的中尺度描述——而這些線索，往往正是通向更深層結(jié)構(gòu)與更大尺度規(guī)律的入口。

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統(tǒng)計(jì)物理：多體系統(tǒng)中的涌現(xiàn)與普適規(guī)律

在系統(tǒng)科學(xué)與復(fù)雜科學(xué)中，統(tǒng)計(jì)物理提供了一種研究大量相互作用單元如何涌現(xiàn)出穩(wěn)定宏觀結(jié)構(gòu)與功能的核心理論框架。其基本思想并非追蹤單個(gè)自由度的精確演化，而是通過(guò)概率分布、能量景觀與尺度變換，揭示系統(tǒng)整體行為的統(tǒng)計(jì)規(guī)律與普適性。這一視角已從傳統(tǒng)物理系統(tǒng)擴(kuò)展到生物系統(tǒng)、信息系統(tǒng)與智能計(jì)算等多個(gè)領(lǐng)域。

在生命科學(xué)中，統(tǒng)計(jì)物理與人工智能的結(jié)合正在重塑結(jié)構(gòu)生物信息學(xué)的研究范式。以 AlphaFold 為代表的深度學(xué)習(xí)模型推動(dòng)蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)進(jìn)入原子精度時(shí)代，并催生了覆蓋數(shù)億蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)的大規(guī)模數(shù)據(jù)庫(kù)。在此基礎(chǔ)上，統(tǒng)計(jì)物理方法得以從單個(gè)分子的動(dòng)力學(xué)模擬，擴(kuò)展到對(duì)海量結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的整體統(tǒng)計(jì)分析，從而揭示蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)、動(dòng)力學(xué)、功能與進(jìn)化之間的普適聯(lián)系。大量研究發(fā)現(xiàn)，天然態(tài)蛋白質(zhì)普遍呈現(xiàn)出長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)和接近臨界態(tài)的特征，其結(jié)構(gòu)在穩(wěn)定性與構(gòu)象柔性之間維持著精細(xì)平衡。這種“臨界附近”的物理性質(zhì)，被認(rèn)為是蛋白質(zhì)高效執(zhí)行復(fù)雜生物功能的重要基礎(chǔ)。由此，統(tǒng)計(jì)物理為理解生命系統(tǒng)的魯棒性、可塑性與可進(jìn)化性提供了一套統(tǒng)一而深刻的理論語(yǔ)言，也為人工蛋白質(zhì)設(shè)計(jì)和合成生物學(xué)提供了原則性指導(dǎo)。

圖5：基于AlphaFold數(shù)據(jù)庫(kù)研究不同復(fù)雜度物種體內(nèi)蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)與動(dòng)力學(xué)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律（詳情請(qǐng)見(jiàn)集智俱樂(lè)部公眾號(hào)文章）

在計(jì)算與工程系統(tǒng)中，統(tǒng)計(jì)物理同樣成為處理復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題的重要思想源泉。許多組合優(yōu)化問(wèn)題可以被自然地映射為具有復(fù)雜能量景觀的多體系統(tǒng)，其求解過(guò)程等價(jià)于在高維狀態(tài)空間中尋找低能態(tài)或基態(tài)。近年來(lái)，自由能最小化、平均場(chǎng)理論以及退火機(jī)制被系統(tǒng)性地引入機(jī)器學(xué)習(xí)與計(jì)算框架，發(fā)展出如“自由能機(jī)器”等新型方法。這類方法通過(guò)變分自由能的梯度優(yōu)化，在 GPU 等并行計(jì)算平臺(tái)上高效求解大規(guī)模、含多體耦合的優(yōu)化問(wèn)題，不僅顯著提升了計(jì)算效率，也在算法層面體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)物理思想對(duì)現(xiàn)代計(jì)算范式的深刻塑造。

圖6：FEM解決組合優(yōu)化問(wèn)題（COPs）的原理與框架（詳情請(qǐng)見(jiàn)集智俱樂(lè)部公眾號(hào)文章）

從系統(tǒng)視角來(lái)看，統(tǒng)計(jì)物理的核心貢獻(xiàn)在于揭示：復(fù)雜系統(tǒng)的關(guān)鍵行為往往并不依賴于微觀細(xì)節(jié)本身，而是由能量—熵平衡、相互作用結(jié)構(gòu)以及尺度組織方式共同決定。無(wú)論是在蛋白質(zhì)這樣的生物分子系統(tǒng)中，還是在網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化與人工智能等信息系統(tǒng)里，統(tǒng)計(jì)物理都為我們提供了一種理解“秩序如何從噪聲中產(chǎn)生”“功能如何從多體耦合中涌現(xiàn)”的通用框架，使不同領(lǐng)域的復(fù)雜系統(tǒng)得以在同一理論視野下被比較、解釋與統(tǒng)一。

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系統(tǒng)觀下的統(tǒng)一理解：多重視角描述同一復(fù)雜現(xiàn)實(shí)

從系統(tǒng)科學(xué)的整體視角來(lái)看，拓?fù)鋵W(xué)、線性代數(shù)與統(tǒng)計(jì)物理并非彼此孤立的理論工具，而是針對(duì)同一復(fù)雜系統(tǒng)在不同抽象層級(jí)上的互補(bǔ)描述方式。它們共同構(gòu)成了一條由結(jié)構(gòu)約束出發(fā)，經(jīng)由動(dòng)力學(xué)過(guò)程，最終通向宏觀涌現(xiàn)的分析路徑。這種跨層次、跨尺度的整合分析，正是復(fù)雜科學(xué)區(qū)別于傳統(tǒng)還原論方法的核心特征之一。

拓?fù)鋵W(xué)限定了系統(tǒng)可能行為的結(jié)構(gòu)邊界；線性代數(shù)在這些約束之內(nèi)提取出可操作的主導(dǎo)模式；統(tǒng)計(jì)物理則解釋了這些模式為何能夠在大量相互作用中穩(wěn)定出現(xiàn)并長(zhǎng)期存在。正是在這種多層次、跨尺度的系統(tǒng)觀整合之下，復(fù)雜系統(tǒng)才不再只是“復(fù)雜”，而逐漸變得可理解、可預(yù)測(cè)、也可被設(shè)計(jì)。