這項(xiàng)由俄羅斯科學(xué)院系統(tǒng)編程研究所TAI研究中心的安德魯·I·佩爾米諾夫博士完成的研究發(fā)表于2025年12月29日，論文編號(hào)為arXiv:2512.21980v1，研究成果刊登在計(jì)算機(jī)科學(xué)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)領(lǐng)域期刊上。

在我們?nèi)粘Ｊ褂玫碾娔X、手機(jī)乃至各種智能設(shè)備中，都藏著一個(gè)看似簡(jiǎn)單卻極其重要的數(shù)學(xué)運(yùn)算——矩陣相乘。你可能不知道，當(dāng)你看視頻、玩游戲或使用任何圖形界面時(shí)，設(shè)備內(nèi)部都在瘋狂地進(jìn)行著矩陣運(yùn)算。而每一次矩陣相乘，都需要消耗大量的計(jì)算資源。這就好比一個(gè)廚師每做一道菜都要重復(fù)許多基礎(chǔ)動(dòng)作——切菜、調(diào)味、翻炒。如果能讓這些基礎(chǔ)動(dòng)作更高效，整個(gè)烹飪過(guò)程就能更快更省力。

俄羅斯科學(xué)家佩爾米諾夫博士最近就在這個(gè)領(lǐng)域取得了突破性進(jìn)展。他開發(fā)出了一種新的算法，能夠用史無(wú)前例的少量運(yùn)算完成3×3矩陣的相乘運(yùn)算。這個(gè)成果看似只是數(shù)學(xué)上的小改進(jìn)，但實(shí)際上就像是發(fā)現(xiàn)了一條更短的回家路線，能讓所有經(jīng)過(guò)的人都受益。

要理解這項(xiàng)研究的價(jià)值，我們需要先了解什么是矩陣運(yùn)算，以及為什么它如此重要。矩陣可以想象成一個(gè)裝滿數(shù)字的方格表，就像一個(gè)3×3的九宮格，每個(gè)格子里都有一個(gè)數(shù)字。當(dāng)兩個(gè)這樣的九宮格需要"相乘"時(shí)，并不是簡(jiǎn)單地把對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字相乘那么簡(jiǎn)單，而是需要進(jìn)行一系列復(fù)雜的計(jì)算。

在傳統(tǒng)的計(jì)算方法中，完成一次3×3矩陣相乘需要進(jìn)行27次乘法運(yùn)算和18次加法運(yùn)算。這就像是按照最原始的食譜做菜，每個(gè)步驟都嚴(yán)格按部就班。但聰明的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，通過(guò)巧妙的安排和組合，可以用更少的運(yùn)算達(dá)到同樣的結(jié)果。這就像是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)豐富的廚師，能夠同時(shí)處理多個(gè)步驟，讓整個(gè)過(guò)程更高效。

1969年，德國(guó)數(shù)學(xué)家施特拉森首次證明了可以用少于27次乘法運(yùn)算來(lái)完成矩陣相乘，這一發(fā)現(xiàn)震驚了整個(gè)數(shù)學(xué)界。從那時(shí)起，無(wú)數(shù)研究者投入到尋找更高效算法的競(jìng)賽中。他們的目標(biāo)不僅是減少乘法運(yùn)算的次數(shù)，還要減少加法運(yùn)算的數(shù)量。因?yàn)樵趯?shí)際的計(jì)算機(jī)運(yùn)算中，每一次操作都會(huì)消耗時(shí)間和能源。

佩爾米諾夫博士的研究專注于一種特殊的計(jì)算方案，這種方案只需要23次乘法運(yùn)算（這是目前已知的理論最小值），而他的突破在于將所需的加法運(yùn)算次數(shù)從之前最好的60次減少到了58次。別小看這2次運(yùn)算的減少，在需要進(jìn)行大量矩陣運(yùn)算的應(yīng)用場(chǎng)景中，這種改進(jìn)能夠帶來(lái)可觀的效率提升。

一、算法設(shè)計(jì)的核心思想

佩爾米諾夫博士采用的方法可以比作一個(gè)精明的建筑承包商重新設(shè)計(jì)施工流程。傳統(tǒng)的矩陣運(yùn)算就像是按照標(biāo)準(zhǔn)圖紙建房子，每個(gè)步驟都清晰明確，但未必是最省材料的方案。而新算法的設(shè)計(jì)思路是重新審視整個(gè)"施工過(guò)程"，找出可以共享的"材料"和"工序"。

在數(shù)學(xué)上，這種方法叫做"公共子表達(dá)式消除"。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是在復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程中找出那些重復(fù)出現(xiàn)的計(jì)算片段，把它們提取出來(lái)單獨(dú)計(jì)算一次，然后在需要的地方重復(fù)使用結(jié)果。這就像是在烹飪時(shí)提前準(zhǔn)備好常用的調(diào)料包，需要時(shí)直接使用，而不是每次都重新調(diào)配。

研究團(tuán)隊(duì)使用的搜索算法名為"三進(jìn)制翻轉(zhuǎn)圖搜索"，聽起來(lái)很復(fù)雜，但本質(zhì)上是一種智能的試錯(cuò)方法。這個(gè)過(guò)程就像是一個(gè)超級(jí)棋手在下棋，不斷嘗試不同的走法，通過(guò)大量的組合和測(cè)試，尋找最優(yōu)解。算法會(huì)在所有可能的計(jì)算方案中穿梭，每當(dāng)找到一種更好的組合方式，就記錄下來(lái)并繼續(xù)優(yōu)化。

更巧妙的是，這種算法限制所有的系數(shù)都只能是-1、0、1這三個(gè)值。這個(gè)限制看似增加了難度，實(shí)際上卻帶來(lái)了巨大的實(shí)用價(jià)值。因?yàn)閷?duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)，乘以-1或1比乘以任意數(shù)字要簡(jiǎn)單得多，這就相當(dāng)于只允許使用"加"、"減"和"不變"三種最基本的操作。這樣得出的算法不僅效率高，而且在各種不同的計(jì)算環(huán)境中都能保持穩(wěn)定的性能。

二、技術(shù)實(shí)現(xiàn)的精妙之處

在實(shí)際的算法設(shè)計(jì)過(guò)程中，研究團(tuán)隊(duì)面臨著一個(gè)巨大的搜索空間?？梢韵胂筮@就像是在一個(gè)有無(wú)數(shù)條路徑的迷宮中尋找最短路線。傳統(tǒng)的窮舉法完全不可行，因?yàn)榭赡艿慕M合數(shù)量是天文數(shù)字。

佩爾米諾夫博士設(shè)計(jì)的搜索算法分為三個(gè)階段，就像是一個(gè)三步走的探索策略。第一階段是"翻轉(zhuǎn)到目標(biāo)等級(jí)"，算法會(huì)使用隨機(jī)翻轉(zhuǎn)來(lái)改變計(jì)算方案，直到達(dá)到需要的23次乘法運(yùn)算。這個(gè)過(guò)程中，如果算法遇到死胡同，無(wú)法繼續(xù)優(yōu)化，它會(huì)使用一個(gè)叫做"加法算子"的技巧，暫時(shí)增加運(yùn)算次數(shù)來(lái)擺脫困境，然后繼續(xù)尋找更好的方案。

第二階段是"貪心交集減少"，這是整個(gè)算法的精華部分。在這個(gè)階段，算法會(huì)仔細(xì)檢查所有的計(jì)算表達(dá)式，尋找那些可以合并的部分。就像一個(gè)細(xì)心的管家整理家務(wù)，把所有相似的任務(wù)歸類處理，避免重復(fù)勞動(dòng)。算法會(huì)評(píng)估每個(gè)可能的合并方案，選擇能夠最大程度減少總運(yùn)算次數(shù)的組合。

第三階段是"隨機(jī)變化"，這看似是在增加隨機(jī)性，實(shí)際上是為了避免算法陷入局部最優(yōu)解。就像爬山時(shí)偶爾需要向下走一段路才能發(fā)現(xiàn)更高的山峰一樣，算法會(huì)故意引入一些看似不太好的變化，為后續(xù)的優(yōu)化創(chuàng)造新的可能性。

整個(gè)搜索過(guò)程在一臺(tái)普通筆記本電腦上運(yùn)行了大約30分鐘就找到了這個(gè)58次加法的方案。這個(gè)時(shí)間成本相比于算法帶來(lái)的長(zhǎng)期收益來(lái)說(shuō)是微不足道的，證明了這種方法的實(shí)用性。

三、算法的具體表現(xiàn)

最終得出的58次加法算法是一個(gè)精心編排的計(jì)算序列。整個(gè)過(guò)程使用了20個(gè)中間變量，這些變量就像是烹飪中的半成品，提前準(zhǔn)備好后可以在最后的組合階段快速使用。

具體來(lái)說(shuō)，算法首先為輸入的第一個(gè)矩陣準(zhǔn)備4個(gè)中間變量，為第二個(gè)矩陣準(zhǔn)備8個(gè)中間變量。這些中間變量都是通過(guò)簡(jiǎn)單的加減法運(yùn)算得到的。然后，算法進(jìn)行23次乘法運(yùn)算，每次運(yùn)算都是將精心選擇的中間變量相乘。最后，通過(guò)8個(gè)額外的中間變量來(lái)組合這些乘法結(jié)果，得到最終的矩陣乘法結(jié)果。

令人印象深刻的是，在58次加法運(yùn)算中，有34次是加法，24次是減法。這種平衡分配不是偶然的，而是算法優(yōu)化的結(jié)果。每個(gè)中間變量的定義都經(jīng)過(guò)精心設(shè)計(jì)，確保沒(méi)有任何多余的計(jì)算步驟。

更重要的是，這個(gè)算法具有很強(qiáng)的可移植性。由于所有系數(shù)都限制在{-1, 0, 1}這個(gè)范圍內(nèi)，算法可以在任何數(shù)學(xué)系統(tǒng)中使用，無(wú)論是整數(shù)運(yùn)算、實(shí)數(shù)運(yùn)算還是更復(fù)雜的代數(shù)系統(tǒng)。這就像是設(shè)計(jì)了一把萬(wàn)能鑰匙，可以打開各種不同的鎖。

四、實(shí)際應(yīng)用價(jià)值

雖然從60次減少到58次看起來(lái)改進(jìn)幅度不大，但在實(shí)際應(yīng)用中，這種改進(jìn)的價(jià)值不可小覷。現(xiàn)代計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、人工智能、科學(xué)計(jì)算等領(lǐng)域都需要進(jìn)行大量的矩陣運(yùn)算。在這些應(yīng)用場(chǎng)景中，即使是微小的效率提升也會(huì)帶來(lái)顯著的整體性能改善。

以計(jì)算機(jī)游戲?yàn)槔螒蛞嫘枰獙?shí)時(shí)計(jì)算大量的三維變換，每秒鐘可能要進(jìn)行數(shù)百萬(wàn)次矩陣運(yùn)算。如果每次運(yùn)算都能節(jié)省2次加法操作，累積起來(lái)的效果就相當(dāng)可觀。這不僅能讓游戲運(yùn)行更流暢，還能減少設(shè)備的功耗，延長(zhǎng)電池續(xù)航時(shí)間。

在人工智能訓(xùn)練中，矩陣運(yùn)算更是無(wú)處不在。深度學(xué)習(xí)模型的訓(xùn)練過(guò)程本質(zhì)上就是大規(guī)模的矩陣計(jì)算。每一點(diǎn)效率的提升都能縮短訓(xùn)練時(shí)間，降低計(jì)算成本。對(duì)于需要在移動(dòng)設(shè)備上運(yùn)行的AI應(yīng)用來(lái)說(shuō)，這種算法優(yōu)化甚至可能決定應(yīng)用是否能夠?qū)嶋H部署。

科學(xué)計(jì)算領(lǐng)域同樣能從這種優(yōu)化中獲益。無(wú)論是天氣預(yù)報(bào)、基因分析還是物理仿真，都需要處理大量的數(shù)值計(jì)算。在這些應(yīng)用中，計(jì)算效率的提升直接轉(zhuǎn)化為研究效率的提升，讓科學(xué)家能夠處理更大規(guī)模的問(wèn)題或獲得更精確的結(jié)果。

五、技術(shù)驗(yàn)證與可靠性

為了確保算法的正確性，研究團(tuán)隊(duì)進(jìn)行了詳細(xì)的驗(yàn)證工作。他們使用了兩種驗(yàn)證方法：符號(hào)驗(yàn)證和數(shù)值驗(yàn)證。

符號(hào)驗(yàn)證是通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)來(lái)證明算法的正確性。研究團(tuán)隊(duì)將所有中間變量替換回原始的矩陣元素，重新構(gòu)建出完整的系數(shù)張量，并驗(yàn)證這些張量滿足被稱為"布倫特方程"的數(shù)學(xué)條件。這種驗(yàn)證方法從理論上保證了算法在任何情況下都能給出正確結(jié)果。

數(shù)值驗(yàn)證則是通過(guò)大量的實(shí)際計(jì)算測(cè)試來(lái)檢驗(yàn)算法。研究團(tuán)隊(duì)編寫了Python程序，對(duì)10000對(duì)隨機(jī)生成的3×3矩陣進(jìn)行運(yùn)算，將新算法的結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)矩陣乘法的結(jié)果進(jìn)行比較。所有測(cè)試都顯示結(jié)果完全一致，證明了算法的可靠性。

這種雙重驗(yàn)證策略確保了算法既有理論保證又有實(shí)踐支撐。對(duì)于需要高精度計(jì)算的應(yīng)用來(lái)說(shuō)，這種可靠性至關(guān)重要。畢竟，一個(gè)運(yùn)算更快但結(jié)果不準(zhǔn)確的算法是沒(méi)有任何價(jià)值的。

六、研究方法的創(chuàng)新意義

佩爾米諾夫博士的研究不僅在結(jié)果上取得了突破，在方法上也有重要?jiǎng)?chuàng)新。傳統(tǒng)的算法搜索通常需要大量的計(jì)算資源和很長(zhǎng)的時(shí)間，而這項(xiàng)研究證明了合理設(shè)計(jì)的啟發(fā)式搜索算法可以在普通計(jì)算機(jī)上快速找到高質(zhì)量的解決方案。

這種方法的成功為其他類似問(wèn)題的研究提供了新的思路。在數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)中，有很多問(wèn)題都涉及在巨大的搜索空間中尋找最優(yōu)解。傳統(tǒng)的暴力搜索方法往往不可行，而智能搜索算法的設(shè)計(jì)就成了關(guān)鍵。

更重要的是，這項(xiàng)研究展示了理論研究與實(shí)際應(yīng)用結(jié)合的重要性。算法不僅要在數(shù)學(xué)上優(yōu)雅，還要在工程實(shí)踐中可行。通過(guò)限制系數(shù)范圍和優(yōu)化搜索策略，研究者成功地在理論突破和實(shí)用性之間找到了平衡點(diǎn)。

研究團(tuán)隊(duì)還開源了驗(yàn)證代碼，這種開放的研究態(tài)度有助于其他研究者驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)方法或?qū)⑵鋺?yīng)用到新的問(wèn)題中。這體現(xiàn)了現(xiàn)代科學(xué)研究協(xié)作共享的精神。

說(shuō)到底，佩爾米諾夫博士的這項(xiàng)研究雖然看似只是在數(shù)學(xué)公式上做了一點(diǎn)改進(jìn)，但實(shí)際上觸及了現(xiàn)代計(jì)算的核心問(wèn)題——如何讓計(jì)算更高效。在一個(gè)越來(lái)越依賴計(jì)算的時(shí)代，每一點(diǎn)效率的提升都具有廣泛的影響。這項(xiàng)研究從一個(gè)小的技術(shù)突破出發(fā)，為整個(gè)計(jì)算領(lǐng)域提供了新的可能性。

對(duì)于普通人來(lái)說(shuō)，這意味著未來(lái)的手機(jī)可能會(huì)更省電，游戲可能會(huì)更流暢，各種智能應(yīng)用可能會(huì)響應(yīng)更快。雖然我們可能永遠(yuǎn)不會(huì)直接接觸到這些算法，但我們會(huì)在日常使用各種電子設(shè)備時(shí)享受到這些技術(shù)進(jìn)步帶來(lái)的便利。

這就是基礎(chǔ)研究的魅力所在——看似抽象的數(shù)學(xué)突破，最終會(huì)以我們意想不到的方式改善我們的生活。佩爾米諾夫博士的58次加法算法可能只是這個(gè)改善過(guò)程中的一小步，但正是無(wú)數(shù)這樣的小步積累起來(lái)，推動(dòng)著整個(gè)技術(shù)世界向前發(fā)展。

對(duì)于那些對(duì)技術(shù)細(xì)節(jié)感興趣的讀者，可以通過(guò)arXiv預(yù)印本服務(wù)器查詢論文編號(hào)arXiv:2512.21980v1來(lái)獲取完整的研究論文，深入了解算法的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)和實(shí)現(xiàn)方法。

Q&A

Q1：為什么3×3矩陣乘法這么重要？

A：3×3矩陣乘法是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、人工智能和科學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)運(yùn)算。在游戲、AI訓(xùn)練、圖像處理等應(yīng)用中，設(shè)備每秒要進(jìn)行數(shù)百萬(wàn)次這樣的運(yùn)算，任何效率提升都會(huì)帶來(lái)顯著的性能改善和功耗降低。

Q2：從60次減少到58次加法真的有那么大意義嗎？

A：雖然單次減少2次運(yùn)算看起來(lái)很小，但在需要大量重復(fù)計(jì)算的場(chǎng)景中，這種改進(jìn)會(huì)累積產(chǎn)生巨大影響。就像每次開車節(jié)省1分鐘，一年下來(lái)就能節(jié)省很多時(shí)間一樣。

Q3：普通人能使用這個(gè)58次加法算法嗎？

A：這個(gè)算法主要用于底層數(shù)學(xué)庫(kù)的優(yōu)化，普通用戶不會(huì)直接使用，但會(huì)在使用各種軟件和應(yīng)用時(shí)間接受益，比如游戲更流暢、手機(jī)更省電、AI應(yīng)用響應(yīng)更快等。