在理查德·費(fèi)曼一場(chǎng)鮮為人知的演講中，他帶領(lǐng)學(xué)生用中學(xué)數(shù)學(xué)證明行星的軌道是橢圓。其中我們可以提取出這樣一個(gè)有趣的幾何問(wèn)題：想象一個(gè)圓，從其內(nèi)部任意一點(diǎn)向圓周發(fā)出無(wú)數(shù)條射線。這些射線與圓相交，形成一系列線段。

接著，將每條線段繞其自身的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度——這實(shí)質(zhì)上就是作出該線段的中垂線。那么，這一族無(wú)限多條中垂線，它們所共同描繪出的輪廓（數(shù)學(xué)上稱為“包絡(luò)線”）會(huì)是什么形狀？

令人驚訝的是，這個(gè)輪廓恰好是一個(gè)橢圓。這個(gè)從簡(jiǎn)單圓和旋轉(zhuǎn)操作中浮現(xiàn)出的橢圓，仿佛一個(gè)隱藏的寶藏，揭示了圓與橢圓之間深刻而優(yōu)美的內(nèi)在聯(lián)系。

從圓到橢圓：形狀的變形記

一個(gè)自然的追問(wèn)隨之而來(lái)：如果我們一開(kāi)始的“舞臺(tái)”不是圓，而是一個(gè)橢圓呢？從橢圓內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)，重復(fù)上述過(guò)程，其中垂線的包絡(luò)線又會(huì)形成何種曲線？

這引向了更為復(fù)雜的圖景。當(dāng)發(fā)射點(diǎn)位于橢圓較“尖”的一端附近時(shí)，包絡(luò)線會(huì)收縮，呈現(xiàn)出類似水滴的輪廓，線條圓潤(rùn)而凝聚。若將發(fā)射點(diǎn)置于橢圓的中心附近，包絡(luò)線則可能向兩側(cè)舒展，形成一道宛如微笑的寬闊弧線，仿佛一個(gè)“笑口常開(kāi)”的形狀。

這些圖案的千變?nèi)f化，取決于原始橢圓的形狀和發(fā)射點(diǎn)的精確位置。若再推廣至任意一條閉合曲線，其可能性與復(fù)雜性將超乎想象，這無(wú)疑是一片值得深入探索的幾何沃土。

多邊形的簡(jiǎn)化世界：拋物線浮出水面

為了在復(fù)雜中尋找清晰，我們不妨退一步，考察更簡(jiǎn)單的多邊形情形。以三角形為例：從一個(gè)點(diǎn)向三角形的三條邊發(fā)射射線并作其中垂線，其整體包絡(luò)線會(huì)是什么？我們或可推測(cè)，它可能由三段不同的曲線平滑連接而成。

聚焦于其中一條邊，問(wèn)題便簡(jiǎn)化了：固定直線外一點(diǎn)，連接該點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)，再作出這些連線的中垂線族。那么，這一族直線的包絡(luò)線是何形狀？

根據(jù)一些基于幾何軟件和算法的初步研判（常被通俗地稱作“人工智能研判”），這個(gè)包絡(luò)線很可能是一條經(jīng)典的圓錐曲線——拋物線。這個(gè)猜想頗具直覺(jué)之美：直線外一點(diǎn)，與直線上動(dòng)點(diǎn)連線中垂線的掃掠輪廓，恰是拋物線這種兼具對(duì)稱與開(kāi)放特性的曲線。到底是不是呢？需要讀者親自動(dòng)手去證明，你得到的將比結(jié)論更多。