近日，國際知名數(shù)學(xué)家黎景輝教授出版了《Topos 理論》一書，該書是高等教育出版社“現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書”之一。Topos 理論具有宏大的理論框架，由極具開創(chuàng)性和深刻性的法國數(shù)學(xué)家 Grothendieck 及其學(xué)生 Verdier首創(chuàng)，曾長期僅被少數(shù)代數(shù)幾何學(xué)家和幾何邏輯學(xué)家使用，但進(jìn)入 21 世紀(jì)后，其應(yīng)用范圍迅速擴(kuò)展，涵蓋信息系統(tǒng)控制、網(wǎng)絡(luò)管理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、計(jì)算復(fù)雜性、量子理論與量子計(jì)算等領(lǐng)域。本書作為專門研究Topos理論的介紹性材料，可以讓讀者了解理論來源和后續(xù)發(fā)展的同時(shí)，又能快速掌握并應(yīng)用。本書可供數(shù)學(xué)及相關(guān)專業(yè)的師生使用，也可供信息科學(xué)、量子計(jì)算、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、現(xiàn)代通信等領(lǐng)域的科研人員參考。

下文為黎景輝教授為本書所寫的序言，標(biāo)題為編者所加。

撰文 | 黎景輝

在 20 世紀(jì) 60 年代，法國數(shù)學(xué)家對代數(shù)學(xué)進(jìn)行了全面而深刻的革新，為其構(gòu)建了全新的語言、觀點(diǎn)、問題與方法。這種大規(guī)模的變革在整個(gè)數(shù)學(xué)史中是極為罕見的，這一工程的主要領(lǐng)導(dǎo)者之一便是偉大的數(shù)學(xué)家 Alexander Grothendieck (1928—2014)。本書的主題 Topos 理論便是這個(gè)時(shí)期的產(chǎn)物。簡而言之，Topos 理論 (Topos Theory) 是研究平面上連續(xù)函數(shù)的線性代數(shù)結(jié)構(gòu)的理論。然而，當(dāng)我們將“平面”替換為帶有 Grothendieck 拓?fù)涞奈恍螘r(shí)，這一理論便開啟了一個(gè)龐大的數(shù)學(xué)宇宙。正因其宏大的理論框架，Topos 理論恰好適用于處理現(xiàn)代信息世界中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)。該理論由 Grothendieck 及其學(xué)生 Verdier (1935—1989) 首創(chuàng)，最早見于 1963 年他們在巴黎郊外 (Bures-sur-Yvette) 舉辦的討論班。長期以來，Topos 理論僅被少數(shù)代數(shù)幾何學(xué)家和幾何邏輯學(xué)家使用，但進(jìn)入 21 世紀(jì)后，其應(yīng)用范圍迅速擴(kuò)展，涵蓋信息系統(tǒng)控制、網(wǎng)絡(luò)管理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、計(jì)算復(fù)雜性、量子理論與量子計(jì)算等領(lǐng)域。特別是近年來，華為巴黎研究中心在 6G 技術(shù)與人工智能研究中運(yùn)用 Topos 理論，以及菲爾茲獎得主 Lafforgue 加入華為后的相關(guān)工作，使人們更加認(rèn)識到這一理論的重要價(jià)值。 我們相信，其他電子工業(yè)發(fā)達(dá)的國家也在進(jìn)行類似研究。然而，目前我國的高校和企業(yè)尚未系統(tǒng)講授或應(yīng)用 Topos 理論，亟需突破這一困境。本書的目的，正是幫助讀者理解并掌握 Topos 理論，推動其在國內(nèi)的發(fā)展與應(yīng)用。

注：目前國內(nèi)已有 Topos 理論的相關(guān)課程

有人認(rèn)為無需中文書籍，直接閱讀外文原著即可。我們固然支持有時(shí)間和能力的人研讀原始文獻(xiàn)，但對大多數(shù)讀者而言，他們更希望獲得一份介紹性材料 —— 既能說明理論來源和后續(xù)發(fā)展，又能快速掌握并應(yīng)用。本書正是為此而作。例如，Grothendieck 在 [SGA] 4-1, Exp. II 第 4 頁就定義了層，而我們則用 20 頁篇幅來闡釋這一概念。目前，除了少數(shù)從邏輯學(xué)角度討論 Topos 的教材外，尚未見專門研究 Topos 理論的中外文著作。就此而言，本書應(yīng)是該領(lǐng)域的首部著作。

以下介紹本書的內(nèi)容。試想若將人的骨架抽離，剩下的皮肉臟腑將無法自立。范疇就是 Topos 理論的骨架。為便于更多讀者理解，我們從范疇的基本定義入手，循序漸進(jìn)地展開論述。在正式構(gòu)建 Topos 之前，每章均以讀者熟悉的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)作為切入點(diǎn)。

第一章以集合拓?fù)錇橐?，逐步引入范疇?Grothendieck 拓?fù)洹Ｎ覀儗㈥U明如何從覆蓋過渡到逗號范疇的子范疇，并將賦予拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的范疇稱為“位形”。這體現(xiàn)了 Grothendieck 的核心

第二章從預(yù)層的性質(zhì)入手。有了拓?fù)?，我們便可以在第二章闡明什么是層。我們還是從拓?fù)淇臻g上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)開始，得到一般拓?fù)淇臻g的層的定義。和第一章一樣，第二章分為兩部分：先討論預(yù)位形的層，再處理位形的層。

疇) 時(shí)，盡管不清楚這個(gè)層范疇里的層是在什么位形和什么拓?fù)渖?，但我們?nèi)钥蛇\(yùn)用合適的有關(guān)層范疇的一切工具 (如同調(diào)代數(shù)、同倫代數(shù))來對其進(jìn)行分析，這也是華為巴黎研究中心用來研究神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)重要方法。

在前四章中，我們主要說明概念、定義和從定義中得到的一些基本結(jié)果。第五章系統(tǒng)整理本書 (特別是第六章) 所使用的范疇性質(zhì)，以方便讀者查閱。部分定理的證明詳見第六章。

第八章以概述 Grothendieck、Verdier 和 Deligne 三代人關(guān)于導(dǎo)出函子的構(gòu)造工作為開篇，并重點(diǎn)介紹了 Deligne 對 Verdier 的補(bǔ)充工作。之后，我們定義 Topos 的模導(dǎo)出函子的構(gòu)造，并引入處理非交換環(huán)張量積的 Berthelot 規(guī)則和未發(fā)表的 Berthelot 對 Topos 極限的構(gòu)

數(shù)學(xué)是一門內(nèi)容豐富且不斷創(chuàng)新的學(xué)科。若不是電子科技工業(yè)對 Topos 理論應(yīng)用的研究，也許就不會有這本書。是否要掌握 Topos 理論取決于個(gè)人興趣和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，畢竟它并非每個(gè)人都必須學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容。學(xué)習(xí) Topos 理論需要投入時(shí)間加倍努力，反復(fù)思考以求認(rèn)識和適應(yīng)這個(gè)陌生的領(lǐng)域。讀者最初接觸它時(shí)往往難以理解，但習(xí)慣后它便會成為有用的工具。和所有學(xué)問一樣，未懂之前都覺得困難，明白之后便覺得顯而易見了。

本書比較適合已經(jīng)學(xué)習(xí)過大學(xué)本科數(shù)學(xué)分析、一般拓?fù)鋵W(xué)和線性代數(shù)的讀者。對于書中的術(shù)語，我們提供了對應(yīng)的英文；偶爾，我們也提供了對應(yīng)的法文。

由于作者水平有限，書中難免存在錯(cuò)誤，敬請讀者指正。

黎景輝，2025年4月

參考文獻(xiàn)

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[2] [BeB 22] J-C. Belfiore, D. Bennequin, Topos and stacks of deep neural networks, Huawei Advanced Wireless Technology Lab, Paris, 2022.

[3] [LaiDEA 24] 黎景輝, 微分方程和代數(shù), 北京: 高等教育出版社, 2024.

作者簡介

黎景輝，澳大利亞悉尼大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，國際知名的數(shù)學(xué)家。1974 年在美國耶魯大學(xué)獲博士學(xué)位，曾在世界上若干重要的研究機(jī)構(gòu)和高等學(xué)校任職，主要的研究方向是代數(shù)學(xué)，在現(xiàn)代數(shù)論的主要方向 (模形式與自守表示、算術(shù)代數(shù)幾何) 上都有很深的造詣。

《Topos 理論》（高等教育出版社，2025年11月）

本書的目的是幫助讀者了解并掌握 Topos 理論的相關(guān)內(nèi)容，作者從范疇論的基礎(chǔ)開始，逐步引入 Grothendieck 拓?fù)洹㈩A(yù)層與層的概念，并最終定義拓?fù)浼捌湫再|(zhì)。

全書共分為八章，前四章主要介紹基本概念和定義，第五章總結(jié)了范疇論的相關(guān)性質(zhì)，第六章提供了部分定理的證明，第七章和第八章則深入探討了 Topos 的同調(diào)代數(shù)理論，特別是導(dǎo)出函子的構(gòu)造及其在非交換環(huán)和微分方程中的應(yīng)用，最后的附錄總結(jié)了 Topos 理論的歷史背景及其在現(xiàn)代數(shù)學(xué)和科學(xué)研究中的重要性。

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