導(dǎo)語

為了幫助大家更好地學(xué)習(xí)這門基礎(chǔ)學(xué)科，我們特別整理了線性代數(shù)課程主講諸葛昌靖老師與拓?fù)鋵W(xué)課程主講金威老師的閱讀書單。兩套體系各有側(cè)重：前者從系統(tǒng)科學(xué)與應(yīng)用直覺切入，而后者則從數(shù)學(xué)思想與結(jié)構(gòu)的本質(zhì)展開。它們共同構(gòu)成了一份完整的學(xué)習(xí)地圖。

諸葛昌靖老師推薦

《線性代數(shù)的幾何意義》——任廣千、謝聰、胡翠芳

一本非常適合“快速重溫”或建立直觀結(jié)構(gòu)感的書。用向量空間的幾何圖像解釋線性變換、特征值、正交分解等主題，語言清爽、例子直觀。這本書自學(xué)、重溫或者作為教學(xué)的參考都很合適。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/26651221/

《線性代數(shù)導(dǎo)引》——馮琦

從數(shù)理邏輯家的視角寫作的線性代數(shù)教材。在具體的數(shù)學(xué)概念前，解釋清楚了數(shù)學(xué)的核心規(guī)范和思維方式。說明了作為“嚴(yán)謹(jǐn)性”的代表，數(shù)學(xué)是確保自身正確性以及數(shù)學(xué)語言背后的底層邏輯。特別適合去理解“代數(shù)”學(xué)科理論的建構(gòu)方式。

書籍鏈接：https://item.jd.com/12446312.html

《代數(shù)學(xué)引論》——許以超

經(jīng)典的教科書，有很大的篇幅是線性代數(shù)的內(nèi)容，同時(shí)包括解析幾何的內(nèi)容。有很多有意思的例題。我自己本科時(shí)期非常受益的一本書。近年來出版了根據(jù)此書修改而成的《線性代數(shù)與矩陣論》。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/5326379/

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/3160836/

《高等代數(shù)學(xué)》——張賢科、許甫華

同樣經(jīng)典的教科書，特別是這本書的習(xí)題以及參考文獻(xiàn)。此外，這本書還有配套的習(xí)題集。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/1231135/

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《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》——張英伯

這本書在很多細(xì)節(jié)處理上比較易讀，在數(shù)學(xué)的意義上盡量從具體之處幫助理解。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/20268043/

《數(shù)值線性代數(shù)》——徐樹方、高立、張平文

需要注意，本次課程重點(diǎn)是闡述線性代數(shù)中的概念及其在自然科學(xué)和工程技術(shù)中的應(yīng)用。線性代數(shù)自身還有一個(gè)重要領(lǐng)域，就是如果把理論和概念具體計(jì)算出來，這就是數(shù)值線性代數(shù)以及矩陣計(jì)算，對這方面感興趣的朋友可以參考徐樹方、高立、張平文編著《數(shù)值線性代數(shù)》。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/21267860/

《線性模型引論（第二版）》——吳密霞、王松桂

此外，線性代數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)和最優(yōu)化、理論計(jì)算機(jī)科學(xué)中也有具有重要的應(yīng)用。這些領(lǐng)域內(nèi)蘊(yùn)的發(fā)展需要，也產(chǎn)生了利用線性代數(shù)的語言刻畫的數(shù)學(xué)結(jié)果。例如，在統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域吳密霞、王松桂編著《線性模型引論（第二版）》（書籍鏈接： https://book.douban.com/subject/37458175/ ）、Charu C. Aggarwal著《線性代數(shù)與優(yōu)化》（書籍鏈接： https://book.douban.com/subject/37443576/，原版鏈接： https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-030-40344-7 ）就包含很多由數(shù)理統(tǒng)計(jì)和運(yùn)籌學(xué)激發(fā)的對于矩陣等問題的研究。

從矩陣計(jì)算算法和統(tǒng)計(jì)優(yōu)化應(yīng)用等多個(gè)角度去理解線性代數(shù)中的概念，能幫助我們注意到一些純理論概念學(xué)習(xí)中可能會(huì)忽略的要點(diǎn)。應(yīng)用和理論的發(fā)展是互利共生的。

金威老師推薦

線性代數(shù)（數(shù)學(xué)院系一般稱為“高等代數(shù)”）理論主要研究有限維線性空間，其觀點(diǎn)可以延伸到無限維。顧名思義，它將空間/形象/幾何思維（“線性”）和時(shí)間/邏輯-計(jì)算/代數(shù)思維（“代數(shù)”）結(jié)合到一起，所以對學(xué)習(xí)者而言二者的結(jié)合和轉(zhuǎn)換尤為重要。線性空間理論的代數(shù)觀點(diǎn)又可分為計(jì)算觀點(diǎn)（求解線性方程組、矩陣變換打洞等）和抽象結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)（線性空間和線性變換等），而幾何角度則主要是抽象概念所對應(yīng)的幾何觀點(diǎn)和直覺，這三種視角的交織就構(gòu)成了線性代數(shù)理論的主干。所以對應(yīng)的講法也有幾種，多數(shù)教材均選擇從求解線性方程組開始，逐漸導(dǎo)向抽象的線性空間理論，這種講法比較直觀。而少數(shù)教材則是先定義抽象的線性空間和線性變換，再將解線性方程組和矩陣、行列式等內(nèi)容作為其應(yīng)用，這種講法相對較抽象，更適合相應(yīng)思維類型的讀者。此外，此門課程的內(nèi)容還包括基本的多項(xiàng)式理論。

《高等代數(shù)》——丘維聲

首先推薦北京大學(xué)丘維聲教授所寫的《高等代數(shù)》（兩卷本，多次再版） ，此書從高中時(shí)期即熟知的求解線性方程組這個(gè)實(shí)際問題出發(fā)，逐漸展開全部線性代數(shù)理論。此書深入淺出，講述了不少動(dòng)機(jī)，示例和習(xí)題較多。其簡寫版是丘教授的一卷本《簡明線性代數(shù)》，一般供非數(shù)學(xué)專業(yè)的讀者使用。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/34778837/

《代數(shù)學(xué)》——101計(jì)劃

此外國內(nèi)還有不少類似的教材，比如最近出版的101計(jì)劃中的《代數(shù)學(xué)》（五卷本，第一卷）

書籍鏈接：https://math101.pku.edu.cn/hxjc/qb/a486ddd669bd4014806c0aed33dfb53e.htm

《代數(shù)學(xué)引論》（前兩卷）——柯斯特利金

蘇聯(lián)方面，柯斯特利金的《代數(shù)學(xué)引論》（前兩卷）很不錯(cuò)，其第一卷從實(shí)際問題引入，比較具體，而第二卷主要從抽象線性空間觀點(diǎn)研究，讀者可以根據(jù)實(shí)際需要選讀。此書對我國幾十年來的線性代數(shù)教學(xué)體系產(chǎn)生過很大影響。作者是蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家，還著有《線性代數(shù)與幾何》等，但該書似無中譯版。(書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/2036531/)

《線性代數(shù)可以這樣學(xué)》——Sheldon Axler

美國也有不少好書，例如Sheldon Axler的《線性代數(shù)可以這樣學(xué)》和 P.D.Lax的《線性代數(shù)及其應(yīng)用》等。后者的作者是阿貝爾獎(jiǎng)、沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主，又是美國科朗所教授，因此其觀點(diǎn)貫穿理論與應(yīng)用，此書發(fā)揮了線性代數(shù)中的諸多專題，不過內(nèi)容更深一些，適合作為進(jìn)階讀物。

書籍鏈接：

https://book.douban.com/subject/3715623/

書籍鏈接：

https://book.douban.com/subject/3309541/

《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》——沙法列維奇

在代數(shù)學(xué)（抽象代數(shù)）方面，線性代數(shù)更深刻的理論基礎(chǔ)，可以參考沙法列維奇的《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》。此書從問題和動(dòng)機(jī)角度介紹眾多的代數(shù)結(jié)構(gòu)。作者在數(shù)論、代數(shù)幾何等領(lǐng)域頗有成就，與柯爾莫哥洛夫和蓋爾范德并列為蘇聯(lián)數(shù)學(xué)三巨頭。

書籍鏈接：https://mall.hep.com.cn/goods-8805.html

《代數(shù)學(xué)引論》——李文威

李文威教授十分熱心于中文數(shù)學(xué)寫作，且觀點(diǎn)較高，故需要讀者具有“較高的數(shù)學(xué)上的成熟性”。

學(xué)術(shù)主頁：https://wwli.asia/index.php/zh/

《線性代數(shù)講義》——李思

清華李思教授在他的主頁https://sili-math.github.io/上發(fā)布了線性代數(shù)講義，其內(nèi)容十分豐富，除線性代數(shù)基本理論外，還涉及線性代數(shù)在線性微分方程、矩陣群、線性規(guī)劃和博弈論、量子論中的應(yīng)用等相關(guān)專題。該講義用于清華大學(xué)的課程教學(xué)，不斷更新，值得一讀。

網(wǎng)頁鏈接： https://sili-math.github.io/

《高等數(shù)學(xué)引論》四卷本——華羅庚

在應(yīng)用方面，還可參考數(shù)值線性代數(shù)（也稱為“數(shù)值代數(shù)”）和矩陣論方面的書籍，主要涉及一些數(shù)值算法和矩陣分解等，它們在系統(tǒng)科學(xué)、復(fù)雜性科學(xué)，和量子信息與量子計(jì)算、人工智能等領(lǐng)域非常重要。同時(shí)也可參考華羅庚教授的著作《高等數(shù)學(xué)引論》四卷本（該書由中國科技大學(xué)數(shù)學(xué)系在上世紀(jì)50年代的“一條龍”數(shù)學(xué)教學(xué)材料整理而成），線性代數(shù)理論在其中的第四卷。華老的視野貫穿基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域，并且強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的內(nèi)在統(tǒng)一性。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/3729143/

線性代數(shù)作為高等數(shù)學(xué)三大基礎(chǔ)課（微積分、線性代數(shù)、解析幾何）中代數(shù)學(xué)方向的入門課，可謂無處不在。例如，它可以直接應(yīng)用到幾何學(xué)中的的解析幾何（比如用于二次曲面的分類）、微分幾何、代數(shù)幾何；分析學(xué)中的的實(shí)分析、復(fù)分析、常微分方程、泛函分析；代數(shù)學(xué)中的抽象代數(shù)和伽羅瓦理論、同調(diào)代數(shù)、代數(shù)群、代數(shù)表示論，以及代數(shù)拓?fù)?、概率論和隨機(jī)過程等學(xué)科——此列表幾乎涉及所有高等數(shù)學(xué)分支，想深入的讀者可以根據(jù)自身需要，自行選擇相關(guān)參考資料。并且，學(xué)習(xí)好線性結(jié)構(gòu)，對理解更復(fù)雜的非線性結(jié)構(gòu)（比如常微分方程定性理論、動(dòng)力系統(tǒng)、混沌理論、非線性動(dòng)力學(xué)、范疇論和張量范疇等）也十分必要。

不論如何，我個(gè)人對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的建議是從問題出發(fā)、主動(dòng)學(xué)習(xí)。選擇參考書在精不在多，且每門課程可反復(fù)多次地滲透學(xué)習(xí)——數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課尤其如此。

結(jié)語｜線性代數(shù)，是科研思維的第一性原理

線性代數(shù)不僅教授“矩陣運(yùn)算”，還教會(huì)我們抽象世界的結(jié)構(gòu)。它涉及：

• 如何把數(shù)據(jù)壓縮成向量

• 如何把系統(tǒng)的變化抽象為變換

• 如何在高維空間里尋找不變量

• 如何從譜結(jié)構(gòu)中識(shí)別穩(wěn)定性、協(xié)同作用與模式

無論是控制系統(tǒng)、分析網(wǎng)絡(luò)、做機(jī)器學(xué)習(xí)模型、推導(dǎo)量子態(tài)演化、構(gòu)建統(tǒng)計(jì)模型……你總是在與線性結(jié)構(gòu)打交道。希望這份書單能成為你學(xué)習(xí)路線圖中的一部分，讓你在向量空間、變換、特征結(jié)構(gòu)與譜分解之中，看見現(xiàn)代科學(xué)世界的隱藏骨架

線性，是結(jié)構(gòu)的起點(diǎn)；
代數(shù)，是思維的語言。

線性代數(shù)：一名合格科研人的筑基課

線性代數(shù)研究向量空間及其上的線性映射，是現(xiàn)代科學(xué)最通用、最具結(jié)構(gòu)性的數(shù)學(xué)語言之一。它的核心對象——向量、矩陣、線性方程組、特征值與特征向量、內(nèi)積空間——不僅是抽象的代數(shù)元素，更是描述狀態(tài)、關(guān)系、變換、對稱性與降維結(jié)構(gòu)的基本工具。

在科研世界中，無論你研究的是人工智能、生物信息、網(wǎng)絡(luò)科學(xué)，還是物理與工程，幾乎所有復(fù)雜系統(tǒng)的建模與推理都指向同一種底層語言——線性代數(shù)。它不僅是計(jì)算公式的集合，更是一名科研人理解“結(jié)構(gòu)”、刻畫“變換”、判斷“穩(wěn)定性”、提取“信息”的基本思維框架。本課程以系統(tǒng)科學(xué)的視角重新解構(gòu)線性代數(shù)，帶你越過技巧、直達(dá)本質(zhì)，在跨學(xué)科的真實(shí)問題中建立起科研必備的數(shù)學(xué)基石。

集智學(xué)園聯(lián)合清華大學(xué)數(shù)學(xué)博士諸葛昌靖老師開設(shè)「線性代數(shù)：一名合格科研人的筑基課」，課程將于12月20日開啟，現(xiàn)在加入可享早鳥價(jià)格。

拓?fù)鋵W(xué)課程：從空間直覺到系統(tǒng)科學(xué)

你是否曾思考過：為什么咖啡杯在數(shù)學(xué)上可以變成甜甜圈？為什么混沌系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)周期軌、可約化結(jié)構(gòu)和“奇怪吸引子”模式？為什么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、量子物理甚至心理結(jié)構(gòu)，都可以從“拓?fù)洹苯嵌壤斫猓?/p>

拓?fù)鋵W(xué)不僅是數(shù)學(xué)的抽象分支，更提供了系統(tǒng)的思維方式，讓我們理解連續(xù)性、結(jié)構(gòu)不變性乃至復(fù)雜系統(tǒng)的整體規(guī)律。從歐拉七橋問題到DNA的纏結(jié)，從量子場論到思維科學(xué)與腦科學(xué)，拓?fù)鋵W(xué)思想正在各學(xué)科中普遍而深刻地重塑著我們的認(rèn)知方式。

集智學(xué)園聯(lián)合北京大學(xué)博士金威老師開設(shè)，課程將于11月23日開啟，現(xiàn)在加入可享早鳥價(jià)格。