自然對數(shù)e是一個很迷人的數(shù)字，就在上個世紀九十年代，又有人偶然發(fā)現(xiàn)了關于自然對數(shù)e的兩個計算公式。這些發(fā)現(xiàn)進一步印證了e在自然過程和數(shù)論研究中的核心地位。以下將探討e這個數(shù)所具有的獨特魅力。

增長的核心

數(shù)字e，也稱為歐拉數(shù)或自然對數(shù)的底數(shù)，每當我們檢查與測量對象的數(shù)量或大小固有相關的連續(xù)增長率（或衰減率）時，就會出現(xiàn)這個數(shù)字。例如，它用于計算：

• 復利
• 人口增長
• 放射性衰變
• 細菌生長
• 大氣中的二氧化碳濃度

鸚鵡螺殼的橫截面（如上圖所示）也體現(xiàn)了這種現(xiàn)象，其形狀為對數(shù)螺旋線。在這種情況下，每個連續(xù)腔室的大小與前一個腔室的大小成正比。

探索e的起源

在17世紀初,歐洲的銀行家們發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象:當利息以更高頻率進行復利計算時,最終的收益會更大。讓我們來看看具體是怎么回事:

假設我們有:

P = 本金（借入金額）

r = 年利率

A = 總欠款金額

先來看最簡單的單利計算方式:

A = P（1+ r）

舉個例子:如果您借了1000元,年利率是20%,按單利計算一年后需要還:

1000元 × (1 + 20%) = 1000元 + 200元 = 1200元

現(xiàn)在,如果我們把這20%的利率分成兩次計算(每半年計算一次,每次10%):

半年后: 1000元 × (1 + 10%) = 1100元

一年后: 1100元 × (1 + 10%) = 1210元

可以看到,一年后需要還的金額變成了1210元,比單利多了10元。用數(shù)學公式表示就是:

1000元 × (1 + 10%)2 = 1210元

如果我們每季度計算一次(一年計算4次,每次5%),年末金額會是:

1000元 × (1 + 5%)? = 1215.51元

由此我們可以總結出通用公式:

如果每年復利t次,則:

A = P × (1 + r/t)^t

用我們上面的例子(20%年利率)代入公式:

1000元 × (1 + 20%/4)? = 1215.51元

這就引出了一個有趣的問題:如果年利率是100%,隨著計算次數(shù)的增加,最終金額會達到多少呢？也就是說,當r = 1時,隨著t的增加,這個數(shù)值會如何變化？

通過觀察我們發(fā)現(xiàn),當復利計算的次數(shù)(t)不斷增加時,最終金額會逐漸趨近于一個固定值。具體來說,對于一筆1000元、年利率100%的貸款,一年后的金額會接近:

1000元 × 2.71828 = 2718.28元

有趣的是,無論我們把復利周期縮短到每32秒計算一次(相當于每年計算一百萬次),還是每3.2秒計算一次(相當于每年計算一千萬次),最終得到的結果都會接近這個數(shù)值。

這個現(xiàn)象其實早在1683年就被瑞士數(shù)學家雅各布·伯努利發(fā)現(xiàn)了。這個神奇的數(shù)字2.71828就是我們現(xiàn)在熟知的自然常數(shù)e。

值得一提的是,要計算e的值,除了使用上述復利極限的方法外,還可以用無窮級數(shù)來逼近。這種方法的收斂速度更快,更實用。這個優(yōu)雅的無窮級數(shù)公式是由著名數(shù)學家萊昂哈德·歐拉(Leonard Euler)在1748年推導出來的。

讓你與眾不同的事情

常數(shù)e具有獨特的屬性：

1、數(shù)函數(shù)e^x是唯一一個等于其自身導數(shù)的函數(shù)。這意味著該函數(shù)的任何切線的斜率都等于該函數(shù)在該點的值：

函數(shù) e^x（藍色）以及切線。

2、它是唯一一個函數(shù)下方的面積（從 x=- ∞到 n）恰好等于e^n 的函數(shù)：

函數(shù) e^x 顯示函數(shù)在 x=1 以下的區(qū)域。

也就是說，

3、它也是唯一的數(shù)字n，對于它，雙曲線 y=1/x 下方的面積（從 x=1 到 x= n）恰好等于 1：

也就是說，

此外，就像它更廣為人知的“表親”π一樣，

1、首先,e是一個無理數(shù)。這意味著它不能寫成分數(shù)的形式(兩個整數(shù)相除)。它的小數(shù)部分會無限延續(xù)下去,而且永遠不會出現(xiàn)循環(huán)的規(guī)律。

2、更令人驚嘆的是,e還是一個超越數(shù)。也就是說,它不是任何整系數(shù)多項式方程的解。

正是這些獨特的性質,讓e成為了數(shù)學界的一顆璀璨明星。它不僅優(yōu)雅,而且在自然界和科學領域中都有著廣泛的應用。如果您感興趣,我們可以繼續(xù)深入探討這個迷人的數(shù)學常數(shù)。