導(dǎo)語

描述集合論長(zhǎng)期處于數(shù)學(xué)邊緣，被視為研究奇異無窮集合的孤僻領(lǐng)域。然而數(shù)學(xué)家安東·伯恩施坦的突破性成果意外搭建起集合論與現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)之間的橋梁，將無窮集合的可測(cè)性問題與分布式算法的效率聯(lián)系起來。這一跨界發(fā)現(xiàn)正重塑兩門學(xué)科的研究版圖，開啟理解“無窮”本質(zhì)的新路徑。

關(guān)鍵詞：描述集合論、無窮集合、可測(cè)性、分布式算法、圖著色、無窮圖、可定義性與計(jì)算

Joseph Howlett丨作者

朱培元丨翻譯

趙思怡丨審校

文章題目：A New Bridge Links the Strange Math of Infinity to Computer Science 文章鏈接：https://www.quantamagazine.org/a-new-bridge-links-the-strange-math-of-infinity-to-computer-science-20251121/ 發(fā)表時(shí)間：2025年11月21日 文章來源：Quanta magazine

集合論的奇異世界與新興橋梁

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的建立在集合論的基礎(chǔ)之上——這門學(xué)科研究如何對(duì)抽象的物體集合進(jìn)行系統(tǒng)化組織。但通常情況下，研究型數(shù)學(xué)家解決具體問題時(shí)并不需要思考集合論本身。他們可以將集合的性質(zhì)視為理所當(dāng)然，繼續(xù)推進(jìn)自己的工作。

描述集合論學(xué)者則是個(gè)例外。這個(gè)由數(shù)學(xué)家組成的小型群體從未停止研究集合的根本性質(zhì)——尤其是其他數(shù)學(xué)家避之不及的奇異無窮集合。

如今，這片研究領(lǐng)域不再孤獨(dú)。2023年，數(shù)學(xué)家安東·伯恩施坦（Anton Bernshteyn）發(fā)表了一項(xiàng)深刻而令人驚異的發(fā)現(xiàn)，在描述集合論的遙遠(yuǎn)數(shù)學(xué)前沿與現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)之間建立了橋梁。

他證明了關(guān)于某類無窮集合的所有問題，都可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)通信問題的表達(dá)形式。連接這兩個(gè)學(xué)科的橋梁令雙方研究者都感到震驚：集合論使用邏輯語言，計(jì)算機(jī)科學(xué)使用算法語言；集合論處理無窮概念，計(jì)算機(jī)科學(xué)處理有限對(duì)象。這兩類問題本不應(yīng)存在關(guān)聯(lián)，更不用說等價(jià)性。

“這確實(shí)非常難以置信，”布拉格查理大學(xué)（Charles University）的計(jì)算機(jī)科學(xué)家瓦茨拉夫·羅佐尼（Václav Rozhoň）表示，“就像本不該存在的聯(lián)系?！?/p>

自伯恩施坦的成果發(fā)表后，同行們開始探索如何在這座橋梁上往返穿梭，以證明兩岸的新定理，并試圖將橋梁延伸至新的問題類別。一些描述集合論學(xué)者甚至開始運(yùn)用計(jì)算機(jī)科學(xué)的洞見來重組整個(gè)領(lǐng)域的研究版圖，重新思考對(duì)無窮本質(zhì)的理解。

圖1：Anton Bernshteyn一直在揭示和探索集合論與更多應(yīng)用領(lǐng)域之間的重要聯(lián)系，如計(jì)算機(jī)科學(xué)和動(dòng)力系統(tǒng)。

“長(zhǎng)期以來我們一直在研究非常相似的問題，卻從未直接交流過，”卡內(nèi)基梅隆大學(xué)（Carnegie Mellon University）的描述集合論學(xué)者克林頓·康利（Clinton Conley）指出，“這座橋梁為各種全新合作開啟了大門。”

從誤解到頓悟：一位數(shù)學(xué)家的跨界旅程

伯恩施坦本科時(shí)期首次接觸描述集合論時(shí)，這門學(xué)科被描述為曾經(jīng)重要但已衰落的領(lǐng)域。直到一年多后，他才發(fā)現(xiàn)那位教授的說法有誤。

2014年，作為伊利諾伊大學(xué)（University of Illinois）的研一學(xué)生，伯恩施坦選修了后來成為他導(dǎo)師之一的阿努什·采魯尼安（Anush Tserunyan）的邏輯學(xué)課程。她糾正了這個(gè)誤解：“我進(jìn)入這個(gè)領(lǐng)域完全歸功于她。她真正展現(xiàn)了邏輯與集合論如同連接數(shù)學(xué)各個(gè)分支的萬能膠。”

圖2：Anush Tserunyan將描述集理論視為將數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域聯(lián)系在一起的紐帶。

描述集合論可追溯至喬治·康托爾（Georg Cantor），他于1874年證明了存在不同等級(jí)的無窮大。例如，整數(shù)集｛0,1,2,3…｝與分?jǐn)?shù)集規(guī)模相同，但小于所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合。

當(dāng)時(shí)，數(shù)學(xué)家們對(duì)這種無窮大的層級(jí)結(jié)構(gòu)感到極度不適?！昂茈y理解透徹，”現(xiàn)任職于加州大學(xué)洛杉磯分校（University of California, Los Angeles）的伯恩施坦說道。

作為應(yīng)對(duì)這種不適感的努力之一，數(shù)學(xué)家們發(fā)展了另一種衡量規(guī)模的概念——不是通過元素?cái)?shù)量，而是通過集合可能占據(jù)的長(zhǎng)度、面積或體積來度量。這種度量方式被稱為集合的“測(cè)度”（與康托爾的“基數(shù)”概念相對(duì)）。最簡(jiǎn)單的測(cè)度類型——勒貝格測(cè)度（Lebesgue measure）——可以量化集合的長(zhǎng)度。雖然0到1之間的實(shí)數(shù)集與0到10之間的實(shí)數(shù)集都具有無窮基數(shù)且基數(shù)相同，但前者的勒貝格測(cè)度為1，后者為10。

圖3：Georg Cantor發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)上的無限可以有許多不同的形式和大小。

為了研究更復(fù)雜的集合，數(shù)學(xué)家們使用其他類型的測(cè)度。集合結(jié)構(gòu)越怪異，可用的度量方式就越少。描述集合論學(xué)者研究的是：根據(jù)不同的“測(cè)度”定義，哪些集合可以被度量。他們根據(jù)這些問題的答案將集合排列成層級(jí)結(jié)構(gòu)：頂端是容易構(gòu)造且可用任意測(cè)度概念研究的集合；底端是“不可測(cè)”集合，它們過于復(fù)雜而無法被任何方式度量?！叭藗兂Ｓ谩B(tài)的’來形容它們，”伯恩施坦解釋道，“不可測(cè)集合的性質(zhì)非常糟糕，既違反直覺又行為難測(cè)。”

這種層級(jí)結(jié)構(gòu)不僅幫助集合論學(xué)者繪制領(lǐng)域圖譜，還為他們提供了解決其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域典型問題的重要工具。在動(dòng)力系統(tǒng)、群論和概率論等領(lǐng)域，數(shù)學(xué)家需要了解所用集合的規(guī)模信息。集合在層級(jí)結(jié)構(gòu)中的位置決定了他們能使用哪些工具解決問題。

因此，描述集合論學(xué)者如同圖書管理員，負(fù)責(zé)管理存有各類無窮集合（及其不同度量方式）的巨大書架。他們的工作是根據(jù)問題所需集合的復(fù)雜程度，將其歸置于合適的層級(jí)，供其他數(shù)學(xué)家參考。

無窮圖的著色謎題：從選擇公理到可測(cè)集合

伯恩施坦屬于專門研究由邊連接節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的無限圖（即圖論中的圖）的“圖書管理員”群體。他主要研究由無限多個(gè)獨(dú)立部分組成、每部分包含無限多個(gè)節(jié)點(diǎn)的圖。大多數(shù)圖論學(xué)者不研究這類圖，而是專注于有限圖。但這種無限圖能夠表征動(dòng)力系統(tǒng)和其他重要集合類型，因此成為描述集合論的重要研究方向。

以伯恩施坦研究的典型無限圖為例：從一個(gè)包含無限多個(gè)點(diǎn)的圓開始，選取一個(gè)點(diǎn)作為首節(jié)點(diǎn)，沿圓周移動(dòng)固定距離得到第二節(jié)點(diǎn)（例如移動(dòng)圓周長(zhǎng)的五分之一），用邊連接兩點(diǎn)。繼續(xù)移動(dòng)相同距離得到第三節(jié)點(diǎn)，以此類推。

若每次移動(dòng)五分之一圓周，五步后將回到起點(diǎn)。通常，若移動(dòng)距離可用分?jǐn)?shù)表示，節(jié)點(diǎn)將形成閉合環(huán)路；若移動(dòng)距離無法用分?jǐn)?shù)表示，此過程將永無止境，形成由無限多個(gè)連接節(jié)點(diǎn)組成的序列。

但這僅是圖的第一部分：盡管包含無限多個(gè)節(jié)點(diǎn)，卻未包含圓上所有點(diǎn)。要生成圖的其他部分，需從圓上其他點(diǎn)出發(fā)，每次移動(dòng)與第一部分相同的距離，最終構(gòu)建出第二個(gè)無限連接節(jié)點(diǎn)序列，且與第一部分完全斷開。

對(duì)圓上所有可能的新起點(diǎn)重復(fù)此過程，將得到由無限多個(gè)獨(dú)立部分構(gòu)成的圖，每部分都包含無限多個(gè)節(jié)點(diǎn)。

數(shù)學(xué)家隨后提出著色問題：能否用兩種顏色為所有節(jié)點(diǎn)著色，且相鄰節(jié)點(diǎn)顏色不同？表面看解決方案很直接：觀察圖的第一部分，選取一個(gè)節(jié)點(diǎn)涂藍(lán)，其余節(jié)點(diǎn)按黃藍(lán)交替模式著色；對(duì)圖中每個(gè)部分重復(fù)此操作——選取一個(gè)節(jié)點(diǎn)涂藍(lán)，然后交替顏色。最終僅用兩種顏色即可完成任務(wù)。

但完成這種著色需要依賴一個(gè)隱藏假設(shè)，即集合論中的選擇公理（axiom of choice）。這是構(gòu)建所有數(shù)學(xué)陳述的九大基礎(chǔ)之一。該公理指出：若從一組集合出發(fā)，可以從每個(gè)集合中選取一個(gè)元素組成新集合——即使面對(duì)無限多個(gè)集合。此公理雖能證明許多重要命題，但會(huì)導(dǎo)致奇異悖論，因此描述集合論學(xué)者通常避免使用。

你的圖包含無限多個(gè)部分，對(duì)應(yīng)無限多個(gè)集合。你從每個(gè)集合中選取了一個(gè)元素——即每個(gè)部分中首先決定涂藍(lán)的點(diǎn)。所有這些藍(lán)點(diǎn)構(gòu)成了新集合。你使用了選擇公理。

這導(dǎo)致在用藍(lán)黃交替模式為剩余節(jié)點(diǎn)著色時(shí)出現(xiàn)問題：你單獨(dú)為每個(gè)節(jié)點(diǎn)（長(zhǎng)度為零）著色，卻未考慮來自圖不同部分的節(jié)點(diǎn)如何關(guān)聯(lián)。這意味著你無法用長(zhǎng)度來描述圖中所有藍(lán)點(diǎn)集或所有黃點(diǎn)集。換言之，這些集合是不可測(cè)的，數(shù)學(xué)家無法對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行有效分析。

這對(duì)描述集合論學(xué)者而言難以接受。因此他們尋求在不使用選擇公理的前提下實(shí)現(xiàn)連續(xù)著色，從而獲得可測(cè)集合。

為此，回顧構(gòu)建圖第一部分的方式：在圓上選取一個(gè)節(jié)點(diǎn)，連接至一定距離外的第二節(jié)點(diǎn)。現(xiàn)將第一節(jié)點(diǎn)涂藍(lán)，第二節(jié)點(diǎn)涂黃，兩者之間的整個(gè)弧段涂藍(lán)；接著將第二與第三節(jié)點(diǎn)間的弧段涂黃；第三段弧涂藍(lán)，依此類推。

很快將接近圓周終點(diǎn)——此時(shí)除一小段剩余弧段外，圖中所有節(jié)點(diǎn)已分配顏色。假設(shè)最后涂色的弧段為黃色，該如何處理這最后的小段？不能使用藍(lán)色，因?yàn)檫@些節(jié)點(diǎn)會(huì)連接至初始藍(lán)色弧段中的節(jié)點(diǎn)；也不能使用黃色，因?yàn)樗鼈儠?huì)連接回前一段黃色弧段中的節(jié)點(diǎn)。

必須引入第三種顏色（例如綠色）才能完成著色。然而，這樣得到的藍(lán)、黃、綠色節(jié)點(diǎn)集都是圓周的可測(cè)子集（即弧段），而非使用選擇公理時(shí)得到的離散點(diǎn)集。你可以計(jì)算這些集合的長(zhǎng)度，它們都是可測(cè)的。

因此，描述集合論學(xué)者將雙色問題歸入層級(jí)結(jié)構(gòu)的底層（對(duì)應(yīng)不可測(cè)集合），而三色問題則置于允許應(yīng)用多種測(cè)度概念的高層書架。

算法與無窮的相遇：一座改變學(xué)科圖景的橋梁

伯恩施坦在研究生期間持續(xù)研究此類著色問題，逐個(gè)歸類。獲得學(xué)位后不久，他偶然發(fā)現(xiàn)了一種系統(tǒng)性解決方案的可能路徑——這些問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)比人們認(rèn)知的更為深刻。

伯恩施坦偶爾會(huì)參加計(jì)算機(jī)科學(xué)的講座，那里研究的圖是有限的，代表計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)。2019年的一場(chǎng)講座改變了他的學(xué)術(shù)軌跡。該講座關(guān)于“分布式算法”（distributed algorithms）——指導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)中多臺(tái)計(jì)算機(jī)在沒有中央?yún)f(xié)調(diào)器的情況下同步執(zhí)行任務(wù)的指令集。

以建筑內(nèi)的Wi-Fi路由器為例：相鄰路由器若使用相同通信頻段會(huì)產(chǎn)生干擾，因此每個(gè)路由器需選擇與直接鄰居不同的頻道。計(jì)算機(jī)科學(xué)家將其抽象為圖著色問題：用節(jié)點(diǎn)表示路由器，邊連接相鄰節(jié)點(diǎn)，使用兩種顏色（代表兩個(gè)不同頻段）為每個(gè)節(jié)點(diǎn)著色，且相鄰節(jié)點(diǎn)顏色不同。

但存在約束條件：節(jié)點(diǎn)只能通過所謂局部算法（local algorithms）與直接鄰居通信。首先，每個(gè)節(jié)點(diǎn)運(yùn)行相同算法為自己著色，再與鄰居通信了解周邊節(jié)點(diǎn)著色情況，隨后決定是否保持或更改顏色，重復(fù)此過程直至整個(gè)網(wǎng)絡(luò)完成合法著色。

計(jì)算機(jī)科學(xué)家關(guān)注算法所需的步驟數(shù)：例如任何使用兩種顏色的局部算法都極低效，但若允許使用三種顏色，則能找到高效局部算法。

聽講座時(shí)，伯恩施坦意識(shí)到演講者討論的不同問題閾值中，有一個(gè)與描述集合論中的某個(gè)閾值極其相似——即對(duì)特定無限圖進(jìn)行可測(cè)著色所需的顏色數(shù)。對(duì)伯恩施坦而言，這不僅是巧合。不僅是計(jì)算機(jī)科學(xué)家也像圖書管理員般根據(jù)算法效率歸類問題，也不僅是這些問題同樣可用圖著色形式表達(dá)?；蛟S兩個(gè)“書架”的共通之處遠(yuǎn)不止于此。或許這兩個(gè)領(lǐng)域的聯(lián)系遠(yuǎn)比想象中更深。或許所有“書籍”及其“書架”本質(zhì)相同，只是書寫語言各異——亟需一位翻譯者。

伯恩施坦開始具體構(gòu)建這種聯(lián)系。他試圖證明：每個(gè)高效局部算法都能轉(zhuǎn)化為對(duì)滿足特定條件的無限圖進(jìn)行勒貝格可測(cè)著色的方法。這意味著計(jì)算機(jī)科學(xué)的重要問題類別與集合論高層級(jí)書架具有等價(jià)性。

他從計(jì)算機(jī)科學(xué)講座中的網(wǎng)絡(luò)問題類別入手，關(guān)注其核心原則——無論圖包含千個(gè)節(jié)點(diǎn)還是十億節(jié)點(diǎn)，任何節(jié)點(diǎn)的算法都只使用其局部鄰域信息。

要正常運(yùn)行，算法只需為給定鄰域內(nèi)的每個(gè)節(jié)點(diǎn)標(biāo)記唯一編號(hào)，以便記錄鄰近節(jié)點(diǎn)信息并發(fā)出指令。這在有限圖中很容易實(shí)現(xiàn)：只需為圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)分配不同編號(hào)。

圖4：計(jì)算機(jī)科學(xué)家Václav Rozhoň一直在利用集合論和網(wǎng)絡(luò)科學(xué)之間新發(fā)現(xiàn)的聯(lián)系來解決他感興趣的問題。

若能將相同算法應(yīng)用于無限圖，則意味著可以用可測(cè)方式為圖著色，從而解決集合論側(cè)的圖著色問題。但難題在于：這些無限圖是“不可數(shù)”的，無法為所有節(jié)點(diǎn)分配唯一標(biāo)記。伯恩施坦的挑戰(zhàn)在于找到更巧妙的標(biāo)記方法。他知道必須重復(fù)使用標(biāo)記，但只要鄰近節(jié)點(diǎn)標(biāo)記不同即可。是否存在避免在同一鄰域重復(fù)使用標(biāo)記的方法？

伯恩施坦證明了無論使用多少種標(biāo)記，無論局部鄰域包含多少節(jié)點(diǎn)，總存在這樣的標(biāo)記方案。這意味著總可以安全地將計(jì)算機(jī)科學(xué)側(cè)的算法拓展至集合論側(cè)?！拔覀兛蚣苤械娜魏嗡惴ǘ紝?duì)應(yīng)描述集合論框架下任意圖的可測(cè)著色方法，”羅佐尼總結(jié)道。

這項(xiàng)證明令數(shù)學(xué)家們震驚，它揭示了計(jì)算與可定義性、算法與可測(cè)集合之間的深刻聯(lián)系。數(shù)學(xué)家們開始探索如何利用這一發(fā)現(xiàn)。例如羅佐尼與同事在今年發(fā)表的論文中，通過研究計(jì)算機(jī)科學(xué)語境下的對(duì)應(yīng)問題，成功為特殊圖（樹，trees）著色。該成果同時(shí)揭示了研究對(duì)應(yīng)動(dòng)力系統(tǒng)可能使用的工具?！皣L試在連基本定義都不理解的領(lǐng)域證明結(jié)論，是非常有趣的體驗(yàn)，”羅佐尼表示。

數(shù)學(xué)家們也在進(jìn)行反向翻譯工作：他們運(yùn)用集合論證明了某類問題計(jì)算難度的新估計(jì)。

伯恩施坦搭建的橋梁不僅為解決具體問題提供了新工具，還讓集合論學(xué)者獲得了更清晰的領(lǐng)域視野。許多過去無法分類的問題現(xiàn)在有了轉(zhuǎn)機(jī)，因?yàn)榧险搶W(xué)者可以參照計(jì)算機(jī)科學(xué)更系統(tǒng)化的“書架”進(jìn)行歸類。

伯恩施坦希望這一不斷發(fā)展的研究領(lǐng)域能改變數(shù)學(xué)家對(duì)集合論研究的看法——不再視其為與現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)世界脫節(jié)的邊緣領(lǐng)域?！拔艺Ω淖冞@種現(xiàn)狀，”他表示，“希望人們能逐漸習(xí)慣思考無窮。”

人工智能與數(shù)學(xué)讀書會(huì)

數(shù)十年來，人工智能的理論發(fā)展和技術(shù)實(shí)踐一直與科學(xué)探索相伴而生，尤其在以大模型為代表的人工智能技術(shù)應(yīng)用集中爆發(fā)的當(dāng)下，人工智能正在加速物理、化學(xué)、生物等基礎(chǔ)科學(xué)的革新，而這些學(xué)科也在反過來啟發(fā)人工智能技術(shù)創(chuàng)新。在此過程中，數(shù)學(xué)作為兼具理論屬性與工具屬性的重要基礎(chǔ)學(xué)科，與人工智能關(guān)系甚密，相輔相成。一方面，人工智能在解決數(shù)學(xué)領(lǐng)域的諸多工程問題、理論問題乃至圣杯難題上屢創(chuàng)記錄。另一方面，數(shù)學(xué)持續(xù)為人工智能構(gòu)筑理論基石并拓展其未來空間。這兩個(gè)關(guān)鍵領(lǐng)域的交叉融合，正在揭開下個(gè)時(shí)代的科學(xué)之幕。

為了探索數(shù)學(xué)與人工智能深度融合的可能性，集智俱樂部聯(lián)合同濟(jì)大學(xué)特聘研究員陳小楊、清華大學(xué)交叉信息學(xué)院助理教授袁洋、南洋理工大學(xué)副教授夏克林三位老師，共同發(fā)起“人工智能與數(shù)學(xué)”讀書會(huì)，希望從 AI　for　Math，Math　for　AI 兩個(gè)方面深入探討人工智能與數(shù)學(xué)的密切聯(lián)系。讀書會(huì)已完結(jié)，現(xiàn)在報(bào)名可加入社群并解鎖回放視頻權(quán)限。

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拓?fù)鋵W(xué)課程：從空間直覺到系統(tǒng)科學(xué)

你是否曾思考過：為什么咖啡杯在數(shù)學(xué)上可以變成甜甜圈？為什么混沌系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)周期軌、可約化結(jié)構(gòu)和“奇怪吸引子”模式？為什么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、量子物理甚至心理結(jié)構(gòu)，都可以從“拓?fù)洹苯嵌壤斫猓?/p>

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