《用初等方法研究數(shù)論文選集》連載 025

025. 2N+A空間與勒讓德猜想

我之前講述素數(shù)定義的時候存在一些問題，這些問題可能比較嚴(yán)重，以至于如果被那些在數(shù)學(xué)界有著極高地位和深厚學(xué)識的權(quán)威人士聽到，他們極有可能會對我所講的內(nèi)容嗤之以鼻。他們的反應(yīng)或許會很強烈，甚至?xí)涯X袋搖得像“不郎鼓”一樣，以此來表達(dá)對我的說法的強烈不認(rèn)同。這便引發(fā)了一個值得我們深入思考的問題：我們在探討素數(shù)相關(guān)概念的時候，到底應(yīng)該以那些權(quán)威人士所給出的“定義”作為評判標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù)呢，還是更應(yīng)該尊重客觀存在的事實，以事實為依據(jù)來進(jìn)行判斷呢？

要知道，權(quán)威人士對于素數(shù)是這樣定義的：所謂的素數(shù)，就是指那些僅僅能夠被1和它自身這兩個數(shù)整除的數(shù)。按照這個被權(quán)威所認(rèn)可的定義來看，在數(shù)字的世界里，1這個數(shù)字并不屬于素數(shù)的范疇，因為它在這個定義體系中被視為一個特殊的單位；而2這個數(shù)字呢，它則是一個素數(shù)，并且它還具有另外一個獨特的身份，那就是它是所有素數(shù)當(dāng)中數(shù)值最小的一個，同時它也是最小的偶數(shù)。

我們看下表，

這是Ltg-空間理論的2N+A空間，這個空間用兩個等差數(shù)列2N+1和2N+2就可以表示全部正整數(shù)了。

代數(shù)式Zj(N) = 2N+1 就是正整數(shù)中的全部奇數(shù)，包括1 其中還有3、5、7……，但是并不包括2 .

代數(shù)式Zo(N) = 2N+2就是正整數(shù)中的全部偶數(shù)，包括2.

在這個特定的空間范圍內(nèi)，為了更加方便地研究相關(guān)問題，我們有必要對"素數(shù)"這一概念進(jìn)行重新定義。所謂素數(shù)，就是指在代數(shù)式Zj(N) = 2N+1中，那些無法被"合數(shù)項公式"所覆蓋到的位置，也就是項數(shù)Ns所對應(yīng)的奇數(shù)。具體來說，這里的素數(shù)與傳統(tǒng)意義上的素數(shù)有所不同，它是在這個獨特的數(shù)學(xué)框架下的一種新的定義方式。在這個框架中，我們需要通過代數(shù)式Zj(N) = 2N+1來審視每一個位置，然后判斷其是否能夠被"合數(shù)項公式"所覆蓋。如果某個位置不能被"合數(shù)項公式"覆蓋，那么這個位置所對應(yīng)的奇數(shù)就被定義為素數(shù)。這種定義方式為我們研究問題提供了便利，使得我們能夠從一個新的角度去探索素數(shù)的性質(zhì)和特點。

在這個特定的空間當(dāng)中，存在著這樣一個合數(shù)項的公式，其表達(dá)形式為

Nh = a(2b + 1) + b，并且這里有一個重要的前提條件，那就是a和b這兩個變量的取值都必須大于或者等于1。

在這個公式所定義的體系里，數(shù)字1被賦予了一種特殊的含義，它被視為一個“單位”。當(dāng)我們在對相關(guān)問題進(jìn)行深入研究的時候，就可以借助這個“單位”來進(jìn)行各種分析、推導(dǎo)等操作。而在這里需要特別指出的是，數(shù)字2在這種情況下并不被認(rèn)定為素數(shù)。通過這樣的設(shè)定方式，在實際的研究工作開展過程中，就能夠有效地避免可能出現(xiàn)的各種矛盾情況，從而確保研究能夠在一個自洽且合理的框架內(nèi)順利進(jìn)行。

為何我們中的一些人覺得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)頗為困難？在此，我愿分享一些個人見解，謹(jǐn)供各位參考。

在我們上學(xué)的那個時候，常常會有一種感覺，那就是有些數(shù)學(xué)老師或者物理老師講課講得特別好，為什么會有這樣的感覺呢？其實歸根結(jié)底是因為我們能夠聽得懂他們所講的內(nèi)容。然而，與之相對的，也總會遇到另外一些老師，他們在講課的時候，我們就完全聽不懂他們在說什么，這到底是怎么回事呢？當(dāng)然，我們不能把所有的責(zé)任都推到老師身上，說老師講得不好，畢竟自身的原因也是不容忽視的，也許是我們自己比較笨，缺乏學(xué)習(xí)這些學(xué)科的天賦，這也是有可能的。

不管是數(shù)學(xué)還是物理，它們都不是憑空產(chǎn)生的，而是有著“大量的實例”作為基礎(chǔ)的。我們知道，那些復(fù)雜的公式并不是從天上掉下來的，而是從眾多的實例當(dāng)中經(jīng)過不斷地總結(jié)、歸納，“抽象出來”的。但是，有一些老師在教學(xué)過程中，采用的是一種“照本宣科”的方式，他們只是單純地把書本上的內(nèi)容搬到黑板上，用各種各樣的符號和公式寫滿了整個黑板。對于學(xué)生們來說，看到這些密密麻麻的符號和公式，根本就不知道這些東西是怎么得來的，越聽越是一頭霧水，到最后甚至對數(shù)學(xué)和物理產(chǎn)生了厭倦的情緒。

就拿我自身的情況來說吧，從接觸數(shù)字1、2、3開始數(shù)數(shù)，這一數(shù)就是二十多個年頭了。在這漫長的歲月里，我對數(shù)字以及與之相對應(yīng)的規(guī)律雖然不敢說已經(jīng)達(dá)到了爐火純青、了如指掌的地步，但最起碼相較于其他人，我所知曉和理解的內(nèi)容要豐富得多。每當(dāng)我面對那些復(fù)雜且深奧的數(shù)論公式以及數(shù)論猜想的時候，我至少能夠清晰地明白它們所表達(dá)的含義，清楚它們想要達(dá)成的目標(biāo)是什么。然而，試想一下，如果一個人對最基本的數(shù)字1、2、3都沒有達(dá)到熟悉的程度，那么當(dāng)他看到這些抽象晦澀的數(shù)論公式、數(shù)論猜想時，必然會陷入一頭霧水、不知所云的境地，完全無法理解其中的奧秘所在。

當(dāng)我試圖閱讀“橢圓曲線”這一部分內(nèi)容的時候，我發(fā)現(xiàn)我完全無法理解其中的內(nèi)容。究其原因，主要是因為我并不清楚這些公式究竟是如何被推導(dǎo)出來的。所以，如果想要把數(shù)學(xué)和物理這兩門學(xué)科真正學(xué)好，那么擁有一本優(yōu)質(zhì)的“教材”就顯得尤為重要了。我們需要通過這樣的教材來深入了解每一個概念以及定義的起源與發(fā)展過程，而不是一上來就直接面對一堆“抽象的數(shù)學(xué)符號”進(jìn)行推導(dǎo)。因為如果采用后一種方式的話，那對于任何學(xué)習(xí)者而言都是極為困難的，根本不可能順利地學(xué)會相關(guān)知識，更談不上達(dá)到精通的程度了。

一本優(yōu)秀的《量子力學(xué)》教材也是如此，它必須遵循科學(xué)認(rèn)知的基本規(guī)律。首先要有實驗基礎(chǔ)，通過精心設(shè)計的實驗來觀察和記錄自然現(xiàn)象，這是學(xué)習(xí)和理解量子力學(xué)的起點。在對實驗現(xiàn)象有了直觀的認(rèn)識之后，才能進(jìn)一步建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)和分析。倘若缺乏實驗環(huán)節(jié)，也沒有對自然界中各種現(xiàn)象的細(xì)致總結(jié)和歸納，一上來就直接堆砌復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式進(jìn)行推導(dǎo)，那么絕大多數(shù)人將會一頭霧水，根本無法理解其中的含義，更不用說掌握這門學(xué)科的知識了。除非你已經(jīng)對這個特定領(lǐng)域有了相當(dāng)深入的了解和研究，否則這種脫離實際、純理論式的教學(xué)方式是很難讓人真正學(xué)會量子力學(xué)的。

在某一學(xué)科的教學(xué)過程中，老師對于學(xué)生是否熟悉該學(xué)科的知識體系起著至關(guān)重要的作用。這里所說的學(xué)生對學(xué)科的熟悉程度，并不是指表面的了解，而是深入的、全面的認(rèn)知。作者作為知識的傳授者可能對此有清晰的認(rèn)識，但是對于讀者而言，他們可能并不懂得這其中的重要性。因此，在學(xué)習(xí)像數(shù)學(xué)和物理這樣邏輯性強、抽象度高的學(xué)科時，一個優(yōu)秀的老師以及一本高質(zhì)量的教材就顯得尤為重要了。

在學(xué)習(xí)過程中，最基礎(chǔ)的知識內(nèi)容是構(gòu)建整個學(xué)科知識體系的基石。這些基礎(chǔ)知識不僅需要被理解，而且必須達(dá)到熟悉的程度。只有當(dāng)學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識了如指掌之后，才能夠在腦海中形成穩(wěn)固的知識框架，進(jìn)而才有可能進(jìn)行更高層次的“抽象”推導(dǎo)與深入研究。如果基礎(chǔ)知識不牢固，就如同在沙地上建高樓，無論后續(xù)如何努力，都難以達(dá)到理想的高度。所以，扎實地掌握基礎(chǔ)知識，是學(xué)好數(shù)學(xué)和物理等學(xué)科不可或缺的關(guān)鍵步驟。

下面我們談一談“勒讓德猜想”。

這個猜想是在自然數(shù)中，任意兩個相鄰?fù)耆椒綌?shù)之間，都存在至少一個素數(shù)。即，對任意正整數(shù)n，存在素數(shù)p，滿足n^2 < p < (n+1)^2。

過去我曾多次利用6N+A空間進(jìn)行證明，盡管我也承認(rèn)這些證明并非完全嚴(yán)謹(jǐn)。接下來，我們將借助2N+A空間再次進(jìn)行驗證。

在正整數(shù)中，素數(shù)對是指素數(shù)之間的最小間隙為2。只要我們證明了素數(shù)對的兩個數(shù)的平方之間存在素數(shù)，那么項數(shù)N就可以縮小一位。

首先，我們來看一個實際例子。選�。�5,7）這一對孿生素數(shù)，它們的間隔為2，之間只有偶數(shù)6。7的平方是49，5的平方是25，因此：

7^2 -5^2 = 49 - 25 = 24

它們相差的位置是 24/2 = 12，其間有11個空格。也就是說，從項數(shù)N=13到23。

設(shè) N' = 12)， N'' = 24 ，這個區(qū)間就是 N'' - N' = 12 ，表示為 [12,24]。

我們知道“合數(shù)項公式”是：

Nh= a(2b+1) + b a, b≥ 1

分別取這個區(qū)間12至13內(nèi)的項數(shù)，我們會發(fā)現(xiàn)存在合數(shù)項的空缺。14、15、18、20、21、23這些不被“合數(shù)項覆蓋的項”都是“素數(shù)項”。

我們向后退一位到6，它的平方數(shù)是36，與25相差11項，即相差5項。13、14、15、16、17中，14、15項是素數(shù)項。

我們?yōu)楹芜x擇素數(shù)對進(jìn)行研究？原因在于素數(shù)對之間的間隔最為緊密。

接下來，我們通過公式進(jìn)行推導(dǎo)。

我們在2N+A空間中的2N+1數(shù)列上隨機選取一對素數(shù)，

設(shè)前一個素數(shù)為S，其項數(shù)為N'，則有S = 2N' +1。

與其相鄰的偶數(shù)O為S+1，其項數(shù)為N″，且O的表達(dá)式為2N′+2。

我們看到項數(shù)都是N′為了簡便我們都寫成項數(shù)N。

O2- S2 = (4N + 3) / 2，這表示兩個相鄰平方數(shù)之間的距離。

我們可以進(jìn)行驗證。對于項位數(shù)N=2的情況，計算如下：(4×2+3)/2=5.5。由于我們?nèi)〉腘均為整數(shù)，因此(4N+3)/2可以簡化為2N+1。

O^2-S^2 = 2N+1

我們假設(shè)兩個相鄰的正整數(shù)的平方之間沒有素數(shù)，那么可以表示為：

Nh =a(2b + 1) + b = 2N + 1

分析公式 a(2b + 1) + b = 2N + 1，左側(cè)是間斷的 Nh 的值，而右側(cè)是連續(xù)的值，因此該公式不成立！

由此可得，O^2 - S^2 = Nh + Ns = 2N + 1

勒讓德猜想證畢！

總結(jié)：

通過上述一系列的探討與推導(dǎo)，我們借助2N+A空間這一獨特的數(shù)學(xué)框架，對勒讓德猜想進(jìn)行了深入且細(xì)致的驗證。在這個過程中，我們重新審視了素數(shù)的定義，在新的定義體系下，利用合數(shù)項公式以及相關(guān)代數(shù)式，對素數(shù)對以及相鄰?fù)耆椒綌?shù)之間的素數(shù)存在性問題展開了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砼c計算。最終，我們成功地證明了勒讓德猜想，即在自然數(shù)中，任意兩個相鄰?fù)耆椒綌?shù)之間，都存在至少一個素數(shù)。

這一證明過程不僅為我們進(jìn)一步理解素數(shù)的分布規(guī)律提供了新的視角和方法，也展示了在不同數(shù)學(xué)空間和定義體系下研究數(shù)學(xué)問題的可行性與有效性。同時，這也提醒我們，在學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的過程中，不能僅僅局限于傳統(tǒng)的定義和思維模式，要敢于突破常規(guī)，嘗試從不同的角度去思考問題，或許就能發(fā)現(xiàn)新的解決途徑。

此外，這一成果也凸顯了基礎(chǔ)知識在學(xué)習(xí)和研究中的重要性。無論是對于素數(shù)基本概念的理解，還是對各種數(shù)學(xué)公式和代數(shù)式的運用，都離不開扎實的基礎(chǔ)知識。只有將基礎(chǔ)知識掌握得足夠牢固，我們才能在面對復(fù)雜問題時游刃有余，進(jìn)行深入的推導(dǎo)和研究。

在未來的數(shù)學(xué)研究中，我們可以進(jìn)一步拓展2N+A空間的應(yīng)用范圍，探索更多與素數(shù)相關(guān)的性質(zhì)和猜想。同時，也可以嘗試將這種研究方法和思路應(yīng)用到其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)的發(fā)展貢獻(xiàn)更多的智慧和力量。相信隨著研究的不斷深入，我們能夠?qū)?shù)學(xué)世界有更深刻、更全面的認(rèn)識。

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2025年12月1日星期一