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芝加哥大學(xué)的弗蘭克·卡萊加里 (Frank Calegari)、加州理工學(xué)院的韋塞林·迪米特洛夫 (Vesselin Dimitrov) 和加州大學(xué)伯克利分校的唐云清 ( Yunqing Tang ) 因其在《美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)雜志》

Journal of the American Mathematical Society

The unbounded denominators conjecture

作者：AMS（美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)）2025-11-3

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-12-1

獲獎(jiǎng)引文

2026 年弗蘭克·納爾遜·科爾（Frank Nelson Cole）數(shù)論獎(jiǎng)授予弗蘭克·卡萊加里、韋塞林·迪米特洛夫和唐云清，以表彰他們的論文“無(wú)界分母猜想”， 《美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)雜志》 38 (2025)，第3期，627–702頁(yè)。 https://www.ams.org/journals/jams/2025-38-03/S0894-0347-2025-01053-8/

這篇論文以其獨(dú)創(chuàng)性而引人注目，它結(jié)合了數(shù)論、復(fù)分析、微分方程和群論的技巧，解決了 1968 年關(guān)于 SL?(?)的有限指標(biāo)子群Γ的整權(quán)模形式的猜想。如果Γ是同余子群（即Γ包含同態(tài) SL? (?) → SL? (?/N ?)的核，其中 N≥1），且是Γ的模形式，那么根據(jù) Hecke 算子理論，的傅里葉系數(shù)的分母是有界的，這在 20 世紀(jì)初就已經(jīng)為人所知。然而， 非同余子群沒(méi)有類(lèi)似的 Hecke 算子理論，因此它們的模形式的算術(shù)性質(zhì)更加神秘。無(wú)界分母猜想預(yù)言，對(duì)于非同余群 Γ，如果 是 Γ 的模形式，且不是任何同余子群的模形式，則 的傅里葉系數(shù)的分母是無(wú)界的。該猜想自 1968 年就已存在，但此前僅證明了其一些非常特殊的情況，例如共形場(chǎng)論中感興趣的情況。

Calegari、Dimitrov和唐云清的突破性論文以更廣義的形式徹底解決了該猜想，并開(kāi)發(fā)了一套既受經(jīng)典啟發(fā)又極具創(chuàng)新性的工具。作者利用模形式滿足的微分方程以及復(fù)分析，推導(dǎo)出和樂(lè)界限（holonomy bound，即完整性界限），從而控制具有有界分母傅里葉系數(shù)的模形式空間的維數(shù)；然后，他們運(yùn)用群論證明，一個(gè)反例即可引出許多反例，足以打破這些維數(shù)界限。作者的方法有望推動(dòng)算術(shù)幾何的發(fā)展，包括對(duì)L-函數(shù)的周期和特殊值的研究。

三人將在2026年ICM國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)做數(shù)論聯(lián)合報(bào)告：

參閱：

弗蘭克·卡萊加里的回應(yīng)

我非常榮幸能夠獲得這個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)。我的職業(yè)生涯離不開(kāi)眾多導(dǎo)師和杰出的合作者（其中也包括本次獎(jiǎng)項(xiàng)的共同獲得者），多年來(lái)我有幸與他們共事，在此我衷心感謝他們所有人。最后，我還要感謝我的妻子詹妮弗和女兒莉莉，感謝她們的愛(ài)與支持。

維塞林·迪米特洛夫的回應(yīng)

我非常榮幸地看到我們的論文——《無(wú)界分母猜想》——榮獲科爾獎(jiǎng)。首先，我要感謝所有參與此次聯(lián)合獲獎(jiǎng)的合作者，感謝他們無(wú)數(shù)次的討論，以及促成這篇論文的整個(gè)項(xiàng)目；同時(shí)，我也要感謝普林斯頓高等研究院，2018年我在那里擔(dān)任博士后研究員，正是他們的支持才使得這次合作成為可能。

唐云清的回應(yīng)

我非常榮幸和感激能與弗蘭克·卡萊加里和韋塞林·迪米特洛夫共同獲得此獎(jiǎng)項(xiàng)。與才華橫溢的弗蘭克和韋塞林共事，對(duì)我來(lái)說(shuō)是一次非常寶貴的經(jīng)歷。我也非常幸運(yùn)地?fù)碛袔孜唤艹龅膶?dǎo)師和其他優(yōu)秀的合作者。我由衷地感謝他們，感謝他們?cè)跀?shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)和給予我的友誼。安德烈、博斯特、查爾斯等人關(guān)于算術(shù)代數(shù)化定理的研究工作一直激勵(lì)著我們。我由衷地感謝他們，讓我學(xué)到了如此優(yōu)美的數(shù)學(xué)知識(shí)。

關(guān)于弗蘭克·卡萊加里

Frank Calegari 弗蘭克·卡萊加里

圖源：Jayne Ion，iONcreative

弗蘭克·卡萊加里出生于澳大利亞墨爾本，在墨爾本大學(xué)獲得理學(xué)學(xué)士學(xué)位（榮譽(yù)學(xué)位），并在加州大學(xué)伯克利分校師從肯·里貝特（Ken Ribet）獲得博士學(xué)位。在哈佛大學(xué)完成博士后研究后，他曾任西北大學(xué)教授，之后前往芝加哥大學(xué)任教，目前仍在芝加哥大學(xué)任教。

他曾是美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)五年研究員和斯隆研究員。他于 2013 年當(dāng)選為美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)士，并于 2025 年當(dāng)選為美國(guó)藝術(shù)與科學(xué)院院士。2022 年，他在（線上）國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM）上發(fā)表了特別全體會(huì)議演講，并與韋塞林·迪米特洛夫和唐云清共同受邀在費(fèi)城2026年ICM國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的數(shù)論分會(huì)場(chǎng)上發(fā)言。

關(guān)于韋塞林·迪米特洛夫

Vesselin Dimitrov 韋塞林·迪米特洛夫

圖源：Vesselin Dimitrov

韋塞林·迪米特洛夫出生于保加利亞索非亞，在哈佛學(xué)院獲得文學(xué)學(xué)士學(xué)位，并在耶魯大學(xué)師從亞歷山大·岡察洛夫（Alexander Goncharov）獲得博士學(xué)位。他先后在普林斯頓高等研究院（兩次）、劍橋大學(xué)和多倫多大學(xué)擔(dān)任博士后研究員，之后加入佐治亞理工學(xué)院，最終成為加州理工學(xué)院的教員。他將與弗蘭克·卡萊加里和唐云清共同在2026年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM 2026）的數(shù)論分會(huì)場(chǎng)發(fā)表報(bào)告。

值得一提的事，前不久迪米特洛夫也與王虹，共同獲得2025年Salem塞勒姆獎(jiǎng)，參閱小樂(lè)數(shù)學(xué)科普：

關(guān)于唐云清

唐云清 Yunqing Tang

圖源：Neil Freese/加州大學(xué)伯克利分校

唐云清是加州大學(xué)伯克利分校的副教授，于 2022 年加入加州大學(xué)伯克利分校。她于 2011 年獲得北京大學(xué)學(xué)士學(xué)位，并于 2016 年在馬克·基辛（Mark Kisin）的指導(dǎo)下獲得哈佛大學(xué)博士學(xué)位。她曾在高等研究院（IAS）和普林斯頓大學(xué)擔(dān)任臨時(shí)職位，并在法國(guó)國(guó)家科學(xué)研究中心/巴黎-薩克雷大學(xué)和加州理工學(xué)院工作。唐云清曾榮獲 SASTRA 拉馬努金獎(jiǎng)、斯隆研究獎(jiǎng)學(xué)金和 AWM 微軟研究院獎(jiǎng)。她與弗蘭克·卡萊加里（Frank Calegari）和韋塞林·迪米特洛夫（Vesselin Dimitrov）共同受邀在 2026 年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM）數(shù)論分會(huì)場(chǎng)作報(bào)告。

關(guān)于科爾數(shù)論獎(jiǎng)

該獎(jiǎng)項(xiàng) （以及弗蘭克·納爾遜·科爾代數(shù)獎(jiǎng)）是為了紀(jì)念弗蘭克·納爾遜·科爾教授從美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)退休而設(shè)立的；他曾擔(dān)任美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)秘書(shū) 25 年，并擔(dān)任《數(shù)學(xué)公報(bào)》主編 21 年。最初的基金由科爾教授捐贈(zèng)，資金來(lái)自他退休時(shí)收到的獎(jiǎng)金，之后又得到了學(xué)會(huì)成員的捐款。后來(lái)，他的兒子查爾斯·A·科爾將基金規(guī)模擴(kuò)大了一倍，并得到了其他家庭成員的支持。喬治·盧斯蒂格和一位匿名捐贈(zèng)者也曾為該基金提供過(guò)補(bǔ)充資金。目前的獎(jiǎng)金為 5000 美元，每三年頒發(fā)一次。

參考資料

https://www.ams.org/news?news_id=7548

https://www.ams.org/prizes-awards/pabrowse.cgi?parent_id=15

https://www.ams.org/prizes-awards/paview.cgi?parent_id=15

https://www.ams.org/journals/jams/2025-38-03/S0894-0347-2025-01053-8/

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