從鐵磁體失磁到氣液相變，物理學(xué)揭示了自然界中“秩序突變”的普適規(guī)律；而在數(shù)學(xué)中，分岔與突變理論則以動(dòng)力系統(tǒng)的語言描述穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的更替。本文梳理了相變、分岔與臨界現(xiàn)象的統(tǒng)一框架，展示了它們?nèi)绾卧陔S機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)中匯合為理解復(fù)雜系統(tǒng)“臨界點(diǎn)”的通用理論，為研究生態(tài)、氣候及社會(huì)系統(tǒng)的突變提供了系統(tǒng)科學(xué)基礎(chǔ)。

撰文 | 邱仲普

審核 | 樊京芳

在物理學(xué)中，從十九世紀(jì)末居里發(fā)現(xiàn)鐵磁體在特定溫度下會(huì)突然失去磁性起，人們開始意識到自然界存在“秩序的突變”。隨后外斯的平均場理論給出第一個(gè)成功的宏觀描述，卻忽略了臨界點(diǎn)附近劇烈的漲落。楞次與伊辛通過自旋模型將磁性理解為有序與無序的競爭，但真正揭開相變本質(zhì)的，是昂薩格在1944年對二維伊辛模型的嚴(yán)格求解，第一次以數(shù)學(xué)精度展示了連續(xù)相變的臨界行為。楊振寧在1951年完成了自發(fā)磁化的解析推導(dǎo)，使理論閉環(huán)，又與李政道提出“李–楊相變定理”，將配分函數(shù)零點(diǎn)引入復(fù)平面，把相變轉(zhuǎn)化為可解析的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。隨著理論的發(fā)展，相變研究從經(jīng)驗(yàn)和近似走向嚴(yán)格與普適，催生了標(biāo)度律、普適類與重整化群理論，成為理解復(fù)雜系統(tǒng)與臨界現(xiàn)象的核心框架。

當(dāng)物理學(xué)家們在物質(zhì)狀態(tài)的迷宮中探索時(shí)，數(shù)學(xué)家們也在繪制一幅平行的地圖：他們處理的不是水或磁鐵，而是方程與幾何形態(tài)，卻關(guān)心同樣的問題——當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)受到外部緩慢驅(qū)動(dòng)時(shí)，它的穩(wěn)定性如何變化，哪些平衡點(diǎn)會(huì)消失，哪些新的穩(wěn)定態(tài)會(huì)出現(xiàn)。他們以動(dòng)力系統(tǒng)為語言，其研究核心是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。

數(shù)學(xué)的敘事：分岔、突變與結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性

想象一個(gè)在碗底靜止的小球。無論你如何輕微地推它，它最終都會(huì)回到碗底。這個(gè)系統(tǒng)是“結(jié)構(gòu)穩(wěn)定”的?，F(xiàn)在，想象你慢慢地、持續(xù)地改變碗的形狀，讓它從U形變?yōu)镸形。在某個(gè)瞬間，碗底中央的穩(wěn)定點(diǎn)會(huì)消失，分裂成一個(gè)不穩(wěn)定的高點(diǎn)和兩個(gè)新的穩(wěn)定點(diǎn)。小球會(huì)突然滾向其中一個(gè)新的低谷。

這個(gè)從U到M的轉(zhuǎn)變，便是數(shù)學(xué)家所說的分岔：當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)連續(xù)變化時(shí)，其定性行為（如平衡點(diǎn)的數(shù)量和穩(wěn)定性）發(fā)生突變的現(xiàn)象。這聽起來與統(tǒng)計(jì)物理中的相變何其相似！而數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)之處在于，它為這些“突變”提供了詳盡的分類。

最基礎(chǔ)的分岔是鞍-結(jié)點(diǎn)分岔，在一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)中（如圖1A），我們會(huì)看到隨著參數(shù) r 的增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)和不穩(wěn)定平衡點(diǎn)會(huì)相遇并消失，過程如圖1B、C所示。

圖1：鞍-結(jié)點(diǎn)分岔示意圖，（A）動(dòng)力系統(tǒng)的典型微分方程形式，（B）r 變化時(shí)分岔的向量場，黑色實(shí)心點(diǎn)代表穩(wěn)定平衡點(diǎn)，空心點(diǎn)代表不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，（C）分岔圖

更復(fù)雜的是跨臨界分岔，它不產(chǎn)生或消滅平衡點(diǎn)，而是讓兩個(gè)已有的平衡點(diǎn)在相遇時(shí)交換穩(wěn)定性。最富戲劇性的是叉形分岔，它常見于具有對稱性的系統(tǒng)。它又分為兩種截然不同的類型，超臨界叉形分岔：當(dāng)參數(shù)越過臨界點(diǎn)，中央的穩(wěn)定態(tài)失穩(wěn)，系統(tǒng)發(fā)生對稱性破缺，會(huì)平滑地、選擇性地進(jìn)入兩側(cè)兩個(gè)新的穩(wěn)定態(tài)之一。在臨界點(diǎn)附近，系統(tǒng)恢復(fù)力會(huì)變得極弱，出現(xiàn)臨界慢化現(xiàn)象。亞臨界叉形分岔：這則是一個(gè)陷阱。在中央穩(wěn)定態(tài)失穩(wěn)前，兩側(cè)早已潛伏著不穩(wěn)定的分支。一旦越過臨界點(diǎn)，系統(tǒng)不會(huì)進(jìn)入新的穩(wěn)定態(tài)，而是會(huì)“爆炸”式地逃離，發(fā)生有限時(shí)間逃逸，其后果往往是災(zāi)難性的。如圖2所示。

圖2：從左到右，依次為跨臨界分岔圖，超臨界叉形分岔圖，亞臨界叉形分岔圖。

然而，現(xiàn)實(shí)世界比這些單參數(shù)模型更復(fù)雜。如果系統(tǒng)由兩個(gè)參數(shù)控制（即系統(tǒng)的余維數(shù)為2），我們會(huì)觀察到更奇異的行為，比如尖點(diǎn)分岔，如圖3所示，這個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的狀態(tài)在某一區(qū)域折成上下兩層，從側(cè)面看（投影）就出現(xiàn)分叉曲線。當(dāng)外部條件（如圖中的h）慢慢變化、狀態(tài)點(diǎn)沿上層走到折邊盡頭時(shí)，它會(huì)突然跳到下層，此時(shí)就會(huì)出現(xiàn)滯后分叉；但如果是固定h，而調(diào)節(jié)r的話，則會(huì)出現(xiàn)我們剛才提到的超臨界叉型分叉。尖點(diǎn)分叉很好地將兩種不同的分叉統(tǒng)一在一個(gè)圖像當(dāng)中，可以用來建模更復(fù)雜的突變行為。

圖3：尖點(diǎn)分岔示意圖

而聯(lián)系物理系統(tǒng)，尖點(diǎn)分岔能很好地幫助我們理解物理學(xué)中鐵磁系統(tǒng)與氣液系統(tǒng)的性質(zhì)：將如圖3所示的尖點(diǎn)分岔的三維折疊向三個(gè)平面投影，獲得的結(jié)構(gòu)和氣液系統(tǒng)與伊辛鐵磁體系統(tǒng)的相圖驚人地如出一轍（如圖4所示）。而楊振寧先生與李政道先生關(guān)于磁性格氣的工作，恰好在鐵磁系統(tǒng)和氣液系統(tǒng)之間架起了一座數(shù)學(xué)的橋梁，嚴(yán)格證明了二者的等價(jià)性。這讓我們意識到我們在鐵磁系統(tǒng)和氣液系統(tǒng)中觀察到的相變行為，其背后的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來自于突變理論。

圖4：左邊為氣液相圖，右邊為伊辛鐵磁體相圖，最上面兩個(gè)圖分別為水的三維相圖和 Ising模型的三維相圖，下面六個(gè)圖為三維相圖在不同面上的投影

法國數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎(jiǎng)得主勒內(nèi)·托姆在20世紀(jì)60-70年代創(chuàng)立“突變論”（新三論之一），是分岔理論的自然發(fā)展。他將目光投向了所有這類光滑、連續(xù)的參數(shù)變化導(dǎo)致的分岔，并證明，當(dāng)控制參數(shù)（余維數(shù)）不多于四個(gè)時(shí)，所有可能的“突變”類型只有七種基本類型，即七種初等突變，如圖5所示。我們最初討論的鞍-結(jié)點(diǎn)分岔，是余維數(shù)為1的突變；而尖點(diǎn)分岔，是余維數(shù)為2的突變。此外，還有燕尾、蝴蝶、橢圓臍點(diǎn)等充滿詩意的名字，它們共同構(gòu)成了數(shù)學(xué)家為自然界一切“突然的斷裂”所繪制的終極地圖。

圖5：七種基本突變的分類，展示其對應(yīng)的維數(shù)、余維數(shù)和勢函數(shù)

從數(shù)學(xué)上看，分岔理論為相變臨界現(xiàn)象提供了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐負(fù)鋵W(xué)和動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)。它告訴我們，系統(tǒng)在臨界點(diǎn)附近的行為遵循著由系統(tǒng)內(nèi)在結(jié)構(gòu)決定的特定分岔模式，其類型由系統(tǒng)狀態(tài)變量的維數(shù)和控制參數(shù)的維數(shù)共同主導(dǎo)。物理學(xué)的相變和數(shù)學(xué)的分岔，如同兩條從不同源頭出發(fā)的河流，此刻正奔向同一個(gè)交匯的海洋。

統(tǒng)一的語言：從相變、分岔到臨界點(diǎn)

那么，物理學(xué)的相變（和臨界）與數(shù)學(xué)的分岔（和突變）的統(tǒng)一描述是怎樣的？分岔是確定性動(dòng)力系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題，而統(tǒng)計(jì)物理中的熱力學(xué)相變，可以看作是一類隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題。

經(jīng)典的平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理處理的，正是包含億萬個(gè)粒子的系統(tǒng)。這種巨大的自由度，使得我們無法精確追蹤每個(gè)粒子，只能用概率和統(tǒng)計(jì)來描述。這本質(zhì)上就是一種隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)——在平衡態(tài)的框架下，我們發(fā)展出了氣體動(dòng)力學(xué)、近獨(dú)立子系統(tǒng)計(jì)等理論，特別是針對可以寫出哈密頓量的系統(tǒng)，19世紀(jì)末20世紀(jì)初，科學(xué)家建立系綜理論，在這一框架下，我們可以直接考察平衡態(tài)系統(tǒng)的相空間中的狀態(tài)分布。但如果我們考察這樣的系統(tǒng)對應(yīng)的非平衡動(dòng)力學(xué)，比如寫出對應(yīng)哈密頓量的過阻尼朗之萬方程，我們便馬上會(huì)意識到這就是一個(gè)含有噪聲的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)。因此，正如平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理只是在處理一類隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，相變與分岔在精神內(nèi)核上也是統(tǒng)一的，都是關(guān)注于動(dòng)力系統(tǒng)相空間的不變集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化。

這個(gè)統(tǒng)一的視角，為我們理解復(fù)雜系統(tǒng)中的臨界點(diǎn)（tipping point，見注1）提供了強(qiáng)大的理論武器。然而，真實(shí)的復(fù)雜系統(tǒng)中，如社會(huì)、生態(tài)和氣候系統(tǒng)等，存在著多種多樣的臨界點(diǎn)，其噪聲形式、分岔類型遠(yuǎn)比上一節(jié)確定系統(tǒng)的分類更為豐富和微妙。那么我們能否給出一個(gè)更廣泛的框架，用于統(tǒng)一描述這些臨界點(diǎn)呢？

注1：臨界在不同語境下，具有不同的含義。在熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理的語境下，Critical transition，翻譯為臨界相變。在一般的復(fù)雜系統(tǒng)中，Tipping point，翻譯為臨界點(diǎn)，它的含義更廣，可以考察非平衡系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題。

近年來，科學(xué)家們正努力建立一個(gè)更普適的理論框架，將
Bifurcation-induced-tipping（分岔誘導(dǎo)突變）、Noise-induced-tipping（噪聲誘導(dǎo)突變）和Rate-induced-tipping（速率誘導(dǎo)突變）等不同類型的突變統(tǒng)一在同一個(gè)語言體系下。這個(gè)框架的核心思想，是關(guān)注系統(tǒng)內(nèi)部存在的多個(gè)參數(shù)的對應(yīng)時(shí)間尺度的相對性，這也是托姆的突變論的自然推廣。我們考慮這樣的一個(gè)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)，如圖6所示：

圖6：隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)。來源： 馬智欽，預(yù)測非線性隨機(jī)系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)變: 模型和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法研究

化；而噪聲變化又如此之快，其影響在統(tǒng)計(jì)意義上被平均掉了。此時(shí)，我們的動(dòng)力系統(tǒng)就優(yōu)雅地退回到經(jīng)典的分岔和突變理論，可以按照維度n和余維度m進(jìn)行像勒內(nèi)·托姆那樣的分類。這正是B型臨界（B-tipping）。

因此，通過分析這三個(gè)時(shí)間尺度的相對關(guān)系，我們可以找到更多更符合實(shí)際的臨界類型：

續(xù)的隨機(jī)噪聲將使系統(tǒng)逐漸偏離平衡區(qū)。此時(shí)，中等強(qiáng)度的隨機(jī)噪聲 ξ 就可能成為“臨門一腳”，觸發(fā)tipping的發(fā)生。甚至，系統(tǒng)會(huì)在新舊狀態(tài)附近“閃爍”（flickering），頻繁地在兩個(gè)狀態(tài)之間跳躍。例如在洱海等生態(tài)系統(tǒng)中觀察到，它在“草型清水穩(wěn)態(tài)”和“藻型濁水穩(wěn)態(tài)”兩種狀態(tài)間轉(zhuǎn)換。

數(shù) p 的變化速度太快，系統(tǒng)內(nèi)部的動(dòng)態(tài)過程 x 根本來不及跟上參數(shù)的變化系統(tǒng)，因而未能追蹤連續(xù)變化的吸引子。即使最終的參數(shù)值 p 本身位于一個(gè)穩(wěn)定的區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)也可能因?yàn)椤白凡簧稀倍罎?。例如典型的堆肥炸彈模型，在西伯利亞泥?永凍土區(qū)，若大氣升溫的速率過快，土壤呼吸迅速增強(qiáng)并放熱，進(jìn)一步升高土溫，形成“升溫→呼吸增強(qiáng)→再升溫”的正反饋；系統(tǒng)“追不上”移動(dòng)的穩(wěn)定態(tài)，突然躍遷至高溫高排放態(tài)，出現(xiàn)土壤溫度失控上沖與大規(guī)模碳釋放的“堆肥炸彈”不穩(wěn)定性。

物理學(xué)把“相變”從經(jīng)驗(yàn)觀察推進(jìn)為可計(jì)算的問題，分岔與突變理論用動(dòng)力系統(tǒng)的語言描述穩(wěn)定狀態(tài)如何更替。兩條路線共同指向“結(jié)構(gòu)與穩(wěn)定性的變化”，構(gòu)成了一個(gè)既能證明、也能分類的框架。通過這樣的統(tǒng)一定義和分類，我們就更加深刻地理解了不同類型臨界之間的關(guān)系，這為我們關(guān)注具體某個(gè)系統(tǒng)中的臨界現(xiàn)象打下了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

本文經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載自微信公眾號“集智俱樂部”。

作者：邱仲普 北京師范大學(xué)系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院在讀博士

審核：樊京芳 北京師范大學(xué)系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院教授、院長

出品：中國科協(xié)科普部

監(jiān)制：中國科學(xué)技術(shù)出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司

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