微分這一“鏡頭”，就相當于顯微鏡，能讓我們觀察到非常細小的部分。積分則是將這些細小的部分連接、組合起來，讓我們將研究對象再次視為曲線來理解。

先分割再連接組合，從某種意義上來說，微積分是非常簡單的思考方法，而這種簡單的思考方法卻發(fā)揮出了驚人的威力。

在數(shù)學中，能發(fā)揮如此威力的構(gòu)想并不多見。

來源 | 《數(shù)學與生活5：數(shù)學的歷史、現(xiàn)代與方法》

作者 | [日]遠山啟

譯者 | 武曉宇

01

微分與積分的力量

其實，只要稍微學過一點微積分的人，就能知道其重要性。假如沒有微積分，現(xiàn)代數(shù)學可能只能發(fā)展到現(xiàn)在程度的三分之一左右。

同樣，如果沒有微積分，現(xiàn)代天文學、物理學也都會失去其體系中的重要支柱，像如今這種程度的發(fā)展也無從談起?？梢哉f，如果不使用微積分，那么自然方面的研究幾乎無從下手。

然而，微積分這么重要的東西，其思考方法卻簡單至極，只不過是對笛卡兒四條原則中的第二原則和第三原則的一種完美應用而已。

簡單來說，微積分相當于幫助我們觀察種種現(xiàn)象的“精巧鏡頭”。如前文所述，對于彎曲的東西，用微分這一“鏡頭”就能將其近似為直線，從而使得研究難度大幅度降低。微分這一“鏡頭”，就相當于顯微鏡，能讓我們觀察到非常細小的部分。積分則是將這些細小的部分連接、組合起來，讓我們將研究對象再次視為曲線來理解。先分割再連接組合，微積分就是這么簡單的構(gòu)想。如果沒有微積分，我們就無法研究太陽系的各個行星是如何圍繞太陽運動的，也就無法發(fā)現(xiàn)太陽系天體的運動法則。

為了解決太陽系天體運動這個在當時來說至關重大的問題，牛頓構(gòu)想出了微積分這一方法。前文中曾提過，牛頓將伽利略、開普勒的研究連接了起來，創(chuàng)建了牛頓力學。行星具體是怎樣運動的，其實在牛頓出生之前，開普勒就已經(jīng)研究清楚了，并創(chuàng)立了今天所說的開普勒定律。

02

開普勒定律

開普勒自己雖然沒有進行天文觀測，但他的老師天文學家第谷·布拉赫（1546—1601）是當時非常有名的天體觀測研究者。也就是說，開普勒推導出行星運動的三條基本定律，靠的僅僅是第谷積累的龐大的天文觀測數(shù)據(jù)。當時還沒有望遠鏡，天文觀測要靠肉眼來觀察星空，而開普勒的眼睛不太好，無法觀察星星?？傊_普勒是從前人的觀測數(shù)據(jù)中推導出了行星運動的三條基本定律。

雖然有許多行星，但開普勒首先研究的是火星的運動規(guī)律?；鹦蔷o鄰地球，位于地球的外側(cè)。開普勒第一定律指出了火星的運動規(guī)律，即火星以橢圓軌道圍繞太陽運動。橢圓有兩個焦點，太陽就位于橢圓軌道的其中一個焦點上。

“所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓的，太陽處在橢圓的一個焦點上?！?/p>

這便是開普勒第一定律。

開普勒第一定律雖然搞清楚了行星運動的軌道，但無法確定行星在軌道上的各個點處以何種速度運動。于是，為了解決這個問題，開普勒第二定律就誕生了。

如圖1-2所示，假設我們將太陽和火星用線連接起來，那么此時火星的運動就如同汽車前擋風玻璃上的雨刮器那樣。這個火星與太陽之間形成的“雨刮器”，其掃過的面積在相等的時間內(nèi)總是相等的。因此，它也被稱為“面積定律”。

如圖1-2中的情況所示，由于火星與太陽的連線掃過的面積總是恒定的，因此可以得知火星在遠離太陽時，其速度會變慢；靠近太陽時，其速度會變快。

開普勒第二定律雖然寫在紙上只有寥寥數(shù)語，但其發(fā)現(xiàn)過程非常艱辛。

行星的運行軌道是橢圓的，這其實也是一個突破性的發(fā)現(xiàn)。在開普勒之前，大家都以為行星的運動軌道是圓的。但通過對觀測數(shù)據(jù)的長期研究，開普勒逐漸注意到行星的軌道似乎像被輕微地擠壓過的圓一樣。圓被輕微擠壓就是橢圓，于是開普勒提出了相應的假設，并通過觀測數(shù)據(jù)證實了這個假設。

提出假設是科學研究中經(jīng)常使用的一種方法，大部分假設可能都不成立，但也有偶爾成立的時候。我們從結(jié)果上來看，似乎是研究者直接把成立的假設發(fā)表了出來，但在科學研究中，幾十個、幾百個假設中可能才有一個是成立的。

開普勒就經(jīng)歷了這種艱辛的探索過程，他在龐大的觀測數(shù)據(jù)中苦心孤詣，花費了非常長的時間才發(fā)現(xiàn)了開普勒第二定律。

開普勒第三定律的發(fā)現(xiàn)也經(jīng)歷了相當長的時間，與發(fā)現(xiàn)第二定律之間相距約有10年。第三定律描述的是行星軌道的大小與其公轉(zhuǎn)時間之間的關系，具體內(nèi)容是“行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方和它們的橢圓軌道的半長軸的立方成正比”。這個定律，對于圍繞地球運動的人造衛(wèi)星也是成立的。

有了開普勒第一定律和第二定律，至少就可以確定某個行星的運動情況。如果我們將其翻譯為瞬間運動的定律，也就是對其進行微分的話，情況會如何呢？如果不持續(xù)觀察行星完整公轉(zhuǎn)一周，就無法用開普勒定律確定其運動情況。也就是說，如果沒有對火星運動的長時間持續(xù)觀測，那么就無法把握火星的運動情況。

那么，有沒有方法能在非常短的時間內(nèi)確定其瞬間運動的情況呢？這時就需要使用微分，使用微分就可以把握行星的瞬間運動情況。用微分表達的行星瞬間運動情況，也與牛頓的萬有引力定律相合，即太陽和火星互相被引力吸引，這種引力的大小與二者距離的平方成反比。

牛頓的萬有引力定律與開普勒定律在本質(zhì)上是相同的，只不過表達的方式不同。開普勒定律需要觀察行星公轉(zhuǎn)的整體時間才能確定行星的運動情況，牛頓的萬有引力定律則是把握天體瞬間運動的定律，二者在這一點上是大不相同的。

03

微分、積分與牛頓力學

牛頓的萬有引力定律也可以看作微分定律，即在無窮小的時間中、在無窮小的空間范圍內(nèi)進行觀察的定律。牛頓的萬有引力定律是關于力的定律，即力與加速度成正比。這里的加速度，就需要在無窮小的時間中、在無窮小的距離之間進行觀察，才能計算出來。

所以從這個意義上說，牛頓的萬有引力定律可以說是微分定律，而開普勒的定律則可以說是積分定律。牛頓用微分定律重寫了開普勒的積分定律。如果將牛頓的微分定律還原為積分定律，則與開普勒定律完全一致。

也就是說，將開普勒的積分定律用笛卡兒的第二原則進行細分，就得到了牛頓的萬有引力定律，而將其再次連接、組合起來的話，又會得出原來的開普勒定律。

積分定律與微分定律在本質(zhì)上是相同的，二者可以相互轉(zhuǎn)化，僅僅是表達方式不同而已。不過，從難易程度上來說，微分定律要更加容易操作，也更簡單。如果僅僅是考察火星的運動情況，那么使用開普勒第一定律和第二定律所構(gòu)建的體系還是可以應對的。但是，如果要考察其他行星（比如土星或木星）的運動情況，并將其納入第一定律和第二定律的體系中，那么無論如何都需要開普勒第三定律。將越多大小不同的行星納入開普勒的體系中，對第三定律的需求就會越高。

像開普勒這樣悲慘境遇的人，在科學家中也是少有的。當時的德國正處于相當于日本戰(zhàn)國時代一樣的亂世，如果大家讀過《獵巫》一書就會多少了解一些背景。當時，開普勒的母親經(jīng)受了“女巫審判”，遭受了殘忍的刑罰。開普勒為了救他的母親，也吃盡了苦頭。可以說，開普勒的一生幾乎都是在苦難與貧困中度過，但他在這樣的人生中依然為世人留下了開普勒定律。開普勒定律雖然寫在紙上不滿一頁，但它是科學史上第一級別的重要發(fā)現(xiàn)。

如前文所述，牛頓用近乎完美的定律描述了太陽系中太陽與行星之間的運動規(guī)律。牛頓的萬有引力定律問世后，科學不僅僅能用來說明過去到現(xiàn)在的現(xiàn)象，甚至變得可以預測未來了。例如，科學可以預測下一次日食將于何年何月何日何時何分開始，其過程將歷時幾分鐘幾秒。像科學所具有的這種預測能力，是可以進行實證的，而這正是科學的獨特魅力，也是牛頓力學所帶來的強大威力。因此，牛頓力學的誕生，讓科學發(fā)生了重大變化。牛頓時代的人，恐怕對這種天翻地覆般的轉(zhuǎn)變大為吃驚。

科學能這樣精準地預測未來，這讓當時的人們覺得科學已經(jīng)變得無所不能。雖然有些夸張，但這種思潮還是自然而然地洶涌而至。其實，從某種意義上來說，太陽系的運動規(guī)律是極其簡單、單純的，所以其未來的情況才能被預測到。

但是，一般的現(xiàn)象并不像太陽系天體的運動那樣單純，所以無法精準預測。例如，紙片會以何種方式掉落，這個過程其實非常復雜。不過，牛頓力學中所使用的數(shù)學工具可以解決這類問題。這種數(shù)學工具便是微積分，特別是其中的微分方程。使用微分方程，我們可以對復雜現(xiàn)象進行分析和預測。有人認為，世間萬物似乎都可以用微分方程來進行分析和預測。雖然有些夸張，但“數(shù)學是萬能的”這一觀點自然而然地出現(xiàn)了。由此也能看出，牛頓力學給當時人們的認知帶來了怎樣的巨大沖擊。

天體的運動非常單純，所以才能進行精準預測。越是對于類似天體運動這種單純的情況，微積分越能發(fā)揮出強大的威力。

以笛卡兒為起點的近代數(shù)學，其中心便是由牛頓、萊布尼茨創(chuàng)立發(fā)展而出的微積分。如前文所述，微積分相當于精巧的相機鏡頭，能幫助我們觀察各種現(xiàn)象。與玻璃制成的相機鏡頭不同，微積分的這種“鏡頭”能讓我們細致地觀察世界，并且對世界中的現(xiàn)象進行預測。

與古代、中世紀的數(shù)學相比，近代數(shù)學的威力可謂大幅增強。

《數(shù)學與生活5：數(shù)學的歷史、現(xiàn)代與方法》

作者：[日]遠山啟

譯者：武曉宇

走向現(xiàn)代數(shù)學的通道：

一本書講明現(xiàn)代數(shù)學的本質(zhì)和意義，讀懂百年數(shù)學。高中生應該人手一冊。

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本書是關于“數(shù)學是什么”的通俗科普讀物。作者著眼于數(shù)學思考方法的發(fā)展，將數(shù)學劃分為古代數(shù)學、中世紀數(shù)學、近代數(shù)學、現(xiàn)代數(shù)學，以生動的講述方法清晰呈現(xiàn)了數(shù)學的發(fā)展脈絡，并結(jié)合日常經(jīng)驗講述了諸多數(shù)學概念與思想的來源與發(fā)展。此外，本書還通俗地講述了現(xiàn)代數(shù)學中的重要概念與方法，引導讀者對數(shù)學產(chǎn)生更深刻的理解。

《數(shù)學與生活》系列

作者：[日]遠山啟

譯者：武曉宇等

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