《用初等方法研究數(shù)論文選集》連載 016

016. 5N+A空間

我們之前提到，正整數(shù)可以通過(guò)等差數(shù)列構(gòu)成無(wú)窮多個(gè)“正整數(shù)空間”。我們可以將這些空間進(jìn)行分類：

設(shè)Zk為全體正整數(shù)空間，則有公式：

Zn=wN+A

其中：w表示維度，w=1,2,3…

N為各正整數(shù)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)，N=0,1,2,3…

A為特定空間內(nèi)等差數(shù)列的順序號(hào)，A=1,2,3…

用代數(shù)式可以這樣表示：

N+1

2N+1,2N+2

3N+1,3N+2,3N+3

4N+1,4N+2,4N+3,4N+4

5N+1，5N+2,5N+3,5N+4,5N+5

許許多多……

在上述每一組橫向等差數(shù)列（空間）中，每一個(gè)數(shù)列均能代表所有整數(shù)。一旦選定某個(gè)特定空間，每個(gè)正整數(shù)都將擁有其獨(dú)特的位置坐標(biāo)，且其他空間內(nèi)的等差數(shù)列不會(huì)進(jìn)入該空間，從而實(shí)現(xiàn)了等差數(shù)列的函數(shù)化表達(dá)及空間的獨(dú)立隔離。

如下圖表示，

基礎(chǔ)空間 如，N+A ,A=1 空間。

如下圖，

這個(gè)空間里有六組公式，

1） 合數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列組

1k+0

2k+1

3k+2

5k+4

7k+6……

Sk+n……

這些合數(shù)項(xiàng)數(shù)列公式可以寫(xiě)成，N(S) =Sk+n 的形式。

2) 合數(shù)項(xiàng)公式， Nh = a(b+1)+b ,

其中 a≥1，b≥1 他們都是項(xiàng)數(shù)。

這是一個(gè)二元一次的曲面方程，他的解是Sn+K的直線族。

3) 素?cái)?shù)項(xiàng)公式， Ns = N-Nh 這是一個(gè)素?cái)?shù)數(shù)量的表達(dá)式。

4) 素?cái)?shù)的生成公式， S =N+1 且 N ∈ P

5) 合數(shù)素?cái)?shù)判定式， C = ( N-b)/(b+1)

其中，C必須是整數(shù)，所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)N就是一個(gè)合數(shù)，否則就是一個(gè)素?cái)?shù)。

6) 素?cái)?shù)在正整數(shù)中的密度，P=Ns/N

注意：其它空間都具備這些性質(zhì)，都有這些公式，僅僅是表達(dá)復(fù)雜了一些。關(guān)于空間概念的內(nèi)容我的文章里多次介紹過(guò)了，這里不再累輸了。

等差數(shù)列我們可以有三種分類：

等差數(shù)列這種形式的WN+A公式也是等差數(shù)列，

比如2N+2,3N+2,6N+5等等。

2N+2 N=1，2，3 …… 有數(shù)列 4,6,8……

3N+2 N=1，2，3 …… 有數(shù)列 5,8,11……

6N+5 N=1，2，3 …… 有數(shù)列 11,17,23……

1）偶數(shù)數(shù)列2N+2 這種出現(xiàn)都是偶數(shù)的數(shù)列；

2）奇偶混合數(shù)列3N+2 這種出現(xiàn)即有偶數(shù)也有奇數(shù)的數(shù)列；

3）奇數(shù)數(shù)列6N+5 這種出現(xiàn)都是奇數(shù)的數(shù)列。

下面我們介紹這篇文章的主角 5N+A (A=1,2,3,4,5) 空間，這是一個(gè)“素?cái)?shù)空間”。

見(jiàn)下圖，

5N+A空間屬于“素?cái)?shù)空間”，代數(shù)式表示為SN+A，即空間維數(shù)W均為素?cái)?shù)3、5、7、11……的空間。這類空間具有以下特點(diǎn)：

1. 空間內(nèi)所有等差數(shù)列均為奇偶混合數(shù)列；

2. 除了最后一個(gè)數(shù)列SN+S是素?cái)?shù)S與合數(shù)的混合數(shù)列外，其余數(shù)列均包含素?cái)?shù)；

3. 該空間內(nèi)含素?cái)?shù)的數(shù)列數(shù)量，恰好等于2S偶數(shù)空間內(nèi)含素?cái)?shù)數(shù)列的數(shù)量。

例如，3N+A空間有兩個(gè)含素?cái)?shù)的數(shù)列，2S=6，對(duì)應(yīng)的6N+A空間內(nèi)則有6N±1兩個(gè)含素?cái)?shù)的數(shù)列。又如，5N+A空間有兩個(gè)含素?cái)?shù)的數(shù)列，2S=10，相應(yīng)的10N+A空間內(nèi)則有四個(gè)含素?cái)?shù)的數(shù)列。

通過(guò)深入探索“正整數(shù)空間”這一概念，我們能夠觀察到一些具有啟發(fā)性的規(guī)律。具體而言，當(dāng)我們面對(duì)形式為 A±1 的等差數(shù)列或函數(shù)表達(dá)時(shí)，如果 A 是一個(gè)偶數(shù)，并且這一表達(dá)方式不與“合數(shù)項(xiàng)公式”產(chǎn)生重疊，那么在確定相關(guān)空間后，可以確定 A±1 這一形式必然包含無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)。

例如，梅森數(shù)和費(fèi)馬數(shù)作為典型的案例，由于它們的構(gòu)造中包含了2的因子，這確保了 A 本身是一個(gè)偶數(shù)。因此，A±1 在這種情況下必定會(huì)展現(xiàn)出無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)的存在，這一結(jié)論具有重要的理論意義。

另一方面，如果 A 不僅是一個(gè)偶數(shù)，同時(shí)也是一個(gè)合數(shù)，例如考慮形式為 a2+1 的情況，那么情況會(huì)變得稍微復(fù)雜。當(dāng) a2 為偶數(shù)時(shí)，a2+1 這一形式同樣會(huì)包含無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)；然而，當(dāng) a2 為奇數(shù)時(shí)，a2+1 則不會(huì)包含任何素?cái)?shù)，這突顯了初始條件對(duì)結(jié)果的關(guān)鍵影響。

我們還發(fā)現(xiàn)一個(gè)非常有趣的規(guī)律，在3N+A空間里面出現(xiàn)的素?cái)?shù)對(duì)，它們之間的差值恰好等于6，這樣的差值正好可以讓這些素?cái)?shù)對(duì)進(jìn)入到6N+A的空間中；

同樣地，在5N+A空間里面的素?cái)?shù)對(duì)，它們的差值剛好是10，這個(gè)差值恰好可以使它們順利進(jìn)入10N+A的空間。

這些不同的正整數(shù)空間既表現(xiàn)出彼此相互屏蔽、各自獨(dú)立的特點(diǎn)，又存在著微妙而深刻的相互聯(lián)系，這種雙重性質(zhì)特別值得我們?cè)谘芯恐薪o予關(guān)注和重視。

綜上所述，這些發(fā)現(xiàn)充分展示了研究“Ltg-空間”對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論以及數(shù)論領(lǐng)域的深遠(yuǎn)意義，它不僅幫助我們更深入地理解素?cái)?shù)的分布規(guī)律，還為未來(lái)的數(shù)學(xué)探索提供了有力的工具和方向。

2025年11月12日星期三