新定義“不動點函數(shù)”

2025年江西省中考數(shù)學第22題

在2022版新課標中，對函數(shù)概念的學業(yè)要求如下：

初中階段函數(shù)的教學，要通過對現(xiàn)實問題中變量的分析，建立兩個變量之間變化的依賴關系，讓學生理解用函數(shù)表達變化關系的實際意義，因此， 設置適當情景，讓學生從中發(fā)現(xiàn)變量及變量間的關系，從而建立函數(shù)模型，是考查函數(shù)概念的常見命題思路。

題目

問題背景：對于一個函數(shù)，如果存在自變量x0=m時，其對應的函數(shù)值y0=m，那么我們稱該函數(shù)為“不動點函數(shù)”，點(m,m)為該函數(shù)圖象上的一個不動點.例如：在函數(shù)y=x2中，當x=1時，y=1，則我們稱函數(shù)y=x2為“不動點函數(shù)”，點(1,1)為該函數(shù)圖象上的一個不動點.某數(shù)學興趣小組圍繞該定義，對一次函數(shù)和二次函數(shù)進行了相關探究.

探究1

(1)對一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)進行探究后，得出下列結論：

①y=x+2是“不動點函數(shù)”，且只有一個不動點；

②y=-3x+2是“不動點函數(shù)”，且不動點是(1/2,0)；

③y=x是“不動點函數(shù)”，且有無數(shù)個不動點.

以上結論中，你認為正確的是__________(填寫正確的序號).

(2)若一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)是“不動點函數(shù)”，請直接寫出k，b的應滿足的條件.

探究2

(3)對二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)進行探究后，該小組設計了以下問題，請你解答，若拋物線y=x2-2bx+c的頂點為該函數(shù)圖象上的一個不動點，求b，c滿足的關系式.

探究3

(4)某種商品每件的進價為6元，在某段時間內，若以每件x元出售，可賣出(12-x)件，獲得利潤y元，請寫出y關于x的函數(shù)關系式，判斷該函數(shù)是否是“不動點函數(shù)”，并說明理由；若函數(shù)是“不動點函數(shù)”，請聯(lián)系以上情境說明該函數(shù)不動點表達的實際意義.

解析：

01

(1)首先對“不動點函數(shù)”概念進行解讀，根據描述，存在x=m時，y=m時，點(m,m)為該函數(shù)圖象上的一個不動點，我們知道所有橫縱坐標相等的點，均在直線y=x上，因此可以從代數(shù)、幾何兩個角度來理解：

代數(shù)角度：將函數(shù)表達式與y=x聯(lián)立成二元一次方程組，只要這個方程組有解，包括有一個角或無數(shù)個解；

幾何角度：函數(shù)圖象與一次函數(shù)y=x有公共點，包括一個公共點或無數(shù)個公共點(重合)；

現(xiàn)在我們可以對這三個結論進行判斷了，①顯然錯誤；②中y=-3x+2與y=x聯(lián)立之后有一個解，但這個解是(1/2,1/2)，而不是(1/2,0)，也錯了；③與y=x重合，有無數(shù)個公共點，符合定義；

從圖象上看，如下圖：

故選③；

02

(2)聯(lián)立方程組x=kx+b，化簡得(1-k)x=b，當k≠1時，存在一個解，當k=1，b=0時，存在無數(shù)個解，因此k、b滿足的條件為k≠1，b為任意實數(shù)，或者k=1，b=0；

03

(3)將這個二次函數(shù)解析式化為頂點式，以方便看出頂點坐標y=(x-b)2-b2+c，頂點坐標為(b,c-b2)，由于頂點是一個不動點，根據“不動點函數(shù)”的定義，其橫縱坐標相等，得b=c-b2；

04

(4)列出利潤與單價的函數(shù)關系式y(tǒng)=(x-6)(12-x)=-x2+18x-72，將它與y=x聯(lián)立，得x=-x2+18x-72，解得x1=8，x2=9；

因此存在兩個公共點(8,8)，(9,9)滿足“不動點”概念，回到實際情景中，x=8時，y=8，即單價定為8元，總利潤為8元；x=9，y=9，即單價定為9元，總利潤為9元.

當單價為8元或9元的時候，總利潤與單價相同.

解題思考

函數(shù)是一種具有普遍意義的數(shù)學模型，是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關系和變化規(guī)律的重要模型，對函數(shù)的概念及其表達方式(解析式、表格、圖象)、圖象特征、思想方法的運用，以及對抽象能力、推理能力、模型觀念、應用意識等核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)及其內涵的理解水平和程度，均是函數(shù)命題時必須考慮的基本問題.

函數(shù)概念的形成，必然依托于現(xiàn)實世界中的問題情境，反映實際問題情境中數(shù)量之間的對應關系，當這樣的對應關系具有規(guī)律可循，可以用圖象或者字母、符號語言表達時，便成為了一種函數(shù)關系.初中階段主要是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù).

本題通過構建“不動點函數(shù)”概念，安排三次探究，分別針對概念文字的數(shù)學解讀、與所學一次函數(shù)和二次函數(shù)的對照、簡單的實際應用.

將新定義的函數(shù)概念與已有的一次函數(shù)、二次函數(shù)結合起來，也是考查學生是否通過函數(shù)學習，掌握理解新的函數(shù)概念的能力，即學習函數(shù)方法的遷移；在理解“不動點函數(shù)”的過程中，可以從數(shù)和形兩方面，盡管題目并未給出坐標系，但函數(shù)的表達本身就有圖象方式，“不動點”既可以是方程組的解，也可以是公共點；公共點可以是一個，也可以是無數(shù)個，這也是定義描述中“存在”二字的含義.

對今后函數(shù)教學的指導意義在于，必須在數(shù)學化的過程中感受變量之間的對應關系，從現(xiàn)實世界中的情境抽象出函數(shù)概念，在新授課上幫助學生完成這個環(huán)節(jié)，即用數(shù)學眼光觀察現(xiàn)實世界；

函數(shù)模型的建立，是讓學生用數(shù)學語言描述現(xiàn)實世界，在課堂上需要幫助學生用數(shù)學符號完成邏輯論證，并形成推理能力，領悟核心素養(yǎng)的內涵.

在《從優(yōu)秀試題研究中領悟初中數(shù)學教學》下冊第369頁，由張欽博士撰寫的初中函數(shù)教學思考之一、之二，深刻闡述了在初中階段如何有效進行函數(shù)教學，函數(shù)如何命題等主張，如下圖：

通過對近年來全國各地中考數(shù)學函數(shù)壓軸題的研究，進一步反思我們的初中數(shù)學課堂教學，提升教師專業(yè)素養(yǎng)，從而讓盡可能多的學生在課堂上受益，本套叢書值得研究.