蘭州大學(xué)剛出了篇數(shù)學(xué)四大刊！

作者是蘭州大學(xué)耿俊教授和西湖大學(xué)申仲偉教授，論文已經(jīng)被Inventiones mathematicae（《數(shù)學(xué)新進(jìn)展》）接收。

《數(shù)學(xué)年刊》、《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》、《數(shù)學(xué)新進(jìn)展》和《美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)雜志》并稱為數(shù)學(xué)四大刊，是國(guó)際數(shù)學(xué)界公認(rèn)的數(shù)學(xué)頂級(jí)期刊，每年中國(guó)研究機(jī)構(gòu)中選論文經(jīng)常不超過(guò)10篇。

這項(xiàng)研究，圍繞的是流體力學(xué)的重要基礎(chǔ)之一：斯托克斯方程。

具體來(lái)說(shuō)，是研究斯托克斯算子在非光滑區(qū)域里的無(wú)窮范數(shù)預(yù)解估計(jì)。

——?jiǎng)e慌，咱淺淺地做個(gè)簡(jiǎn)化翻譯，大概意思就是，兩位數(shù)學(xué)家想搞清楚，在邊界不那么規(guī)則的空間里，比如自然河道而非光滑的管道中，流體運(yùn)動(dòng)相關(guān)的數(shù)學(xué)方程解的范圍和規(guī)律。

可以理解為，是為斯托克斯方程在相當(dāng)廣的范圍內(nèi)找到了更通用的數(shù)學(xué)規(guī)律。

這也是蘭州大學(xué)首篇數(shù)學(xué)四大。

揭示斯托克斯方程在非光滑域內(nèi)更普適規(guī)律

兩位數(shù)學(xué)家瞄準(zhǔn)的是流體力學(xué)理論里的一個(gè)關(guān)鍵缺口：

描述粘稠流體運(yùn)動(dòng)的斯托克斯方程，在非光滑邊界空間里，流體的速度和壓力還沒(méi)有找到可靠的最大值約束規(guī)律。

斯托克斯方程定常形式

在知道作用在粘稠流體上的外力有多大之后，要想算出流體的速度和內(nèi)部壓力，最關(guān)鍵的是搞清楚：能不能只通過(guò)外力的最大強(qiáng)度，就確定出流體速度的最大值、進(jìn)而通過(guò)間接方式約束壓力波動(dòng)。

這個(gè)判斷方法就是無(wú)窮范數(shù)預(yù)解估計(jì)。

此前，依據(jù)如下公式，僅能在邊界光滑的區(qū)域，比如完美的球面實(shí)現(xiàn)這一估計(jì)。

而現(xiàn)實(shí)中的工業(yè)管道接口并不完全光滑，比如常見(jiàn)的，有連續(xù)切線的C1邊界，允許棱角的Lipschitz邊界等，會(huì)導(dǎo)致速度梯度和壓力在邊界附近失控，導(dǎo)致傳統(tǒng)方法失效。

這篇論文有兩大核心突破：

一是給出了關(guān)鍵結(jié)論，在3維及以上空間的C1邊界、2維空間的Lipschitz邊界下，通過(guò)外力最大值，就能預(yù)估速度最大值。明確了非光滑邊界的適用性。

二是用大尺度平均的創(chuàng)新思路破解了壓力失控的難題。

具體來(lái)說(shuō)，在有界區(qū)域中，3維及以上空間的C1邊界、2維空間的Lipschitz邊界下，能得出如下核心結(jié)論：最大速度常數(shù)·最大外力。

如果邊界光滑，如C1??，還能進(jìn)一步通過(guò)如下公式控制速度梯度的最大值。

而對(duì)于外部的無(wú)界區(qū)域，只要足夠大，也能實(shí)現(xiàn)類似的速度控制，且2維Lipschitz邊界下還得到了更完整的預(yù)解估計(jì)。

在壓力失控的問(wèn)題上，作者并沒(méi)有直接解決“點(diǎn)上壓力難以控制”這個(gè)傳統(tǒng)難題，而是巧妙地采用了“大尺度平均”的新思路：

不糾結(jié)邊界附近極小尺度的壓力波動(dòng)，只在的合適大尺度的上分析，通過(guò)新的最大函數(shù)工具，將壓力的平均波動(dòng)和速度的平均大小綁定。

再結(jié)合已有的分析框架，最終實(shí)現(xiàn)估計(jì)。

并用如下公式清晰地呈現(xiàn)了這一約束邏輯。

該研究的價(jià)值極具份量。

在理論上，填補(bǔ)了斯托克斯方程在非光滑區(qū)域無(wú)窮范數(shù)空間預(yù)解估計(jì)的研究空白，首次明確了C1、Lipschitz邊界的適用性，建立了相應(yīng)的解析半群理論，完善了流體力學(xué)的數(shù)學(xué)分析體系。

在實(shí)際應(yīng)用層面，為工程領(lǐng)域提供了更貼近現(xiàn)實(shí)的計(jì)算工具。

現(xiàn)實(shí)流體場(chǎng)景多為非光滑邊界，在此之前，工程師依賴近似簡(jiǎn)化計(jì)算的誤差較大，而本篇論文中的公式可以直接用于預(yù)估非光滑邊界下的速度上限和壓力變化范圍，提高了數(shù)值的準(zhǔn)確性。

東西部數(shù)學(xué)家聯(lián)手

論文的兩位作者，分別來(lái)自西部和東部重點(diǎn)研究機(jī)構(gòu)蘭州大學(xué)和西湖大學(xué)。

耿俊，出生于1982年，云南宣威人，現(xiàn)任蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師。

他的主要研究方向是調(diào)和分析、偏微分方程，以及非光滑區(qū)域上的邊值問(wèn)題和均勻化理論等。

蘭州大學(xué)的同學(xué)們可能還上過(guò)他開(kāi)設(shè)的偏微分方程相關(guān)課程。

耿俊于2011年在美國(guó)肯塔基大學(xué)取得博士學(xué)位，導(dǎo)師正是論文的另一位作者申仲偉教授。

此前，師生二人已經(jīng)合作過(guò)多篇頗具影響力的文章。

申仲偉，美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)首屆會(huì)士，1964年出生，湖南衡陽(yáng)人。

少時(shí)，申仲偉就有“天才少年”之名——14歲就考進(jìn)了北大數(shù)學(xué)系。

1985年，他碩士畢業(yè)于中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所。1989年獲芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)博士學(xué)位。在加入肯塔基大學(xué)之前，申仲偉還曾在普林斯頓大學(xué)和普渡大學(xué)任教。

1995年，申仲偉入職肯塔基大學(xué)數(shù)學(xué)系，2003年晉升為正教授，并于2007-2011年擔(dān)任數(shù)學(xué)系系主任。2016年，他還獲得了肯塔基大學(xué)文理學(xué)院杰出教授稱號(hào)。

而就在今年7月，申仲偉選擇回國(guó)全職任教，加盟西湖大學(xué)理學(xué)院、理論科學(xué)研究院，擔(dān)任數(shù)學(xué)講席教授。

他的學(xué)生中，耿俊之外，諸葛金平也已回國(guó)任教，現(xiàn)任中國(guó)科學(xué)院晨興數(shù)學(xué)中心副研究員。

論文地址：
https://arxiv.org/abs/2408.03844

來(lái)源：量子位。