數(shù)學(xué)是怎樣進(jìn)步的？

數(shù)學(xué)論文最重要的三要素是什么？

為什么很多人在數(shù)學(xué)方面的新工作都年輕時(shí)完成的？

《用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言看宇宙》傳達(dá)了數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)問(wèn)與社會(huì)、產(chǎn)業(yè)之間的內(nèi)在聯(lián)系和展現(xiàn)出的新趨勢(shì)，是一本兼具前沿?cái)?shù)學(xué)理論和通俗數(shù)學(xué)知識(shí)的科普佳作，里面有很多新穎觀點(diǎn)：

“一項(xiàng)極為新穎的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)，有時(shí)候并不是出現(xiàn)在學(xué)科的前沿領(lǐng)域，而是更有可能出現(xiàn)在非常基礎(chǔ)的地方。”

“數(shù)學(xué)是一門(mén)非常耗費(fèi)體力的學(xué)問(wèn)。”

《用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言看宇宙：望月新一的IUT理論》

作者 | [日]加藤文元

譯者 | 周健

01

數(shù)學(xué)就像是一場(chǎng)

多種打法的格斗大賽

數(shù)學(xué)這個(gè)學(xué)科對(duì)于新的發(fā)現(xiàn)一直都是很開(kāi)放的。在“科學(xué)的常規(guī)發(fā)展”期，新的發(fā)現(xiàn)是在既有結(jié)果的基礎(chǔ)上一點(diǎn)一滴地增添新的見(jiàn)解和知識(shí)，而在“范式轉(zhuǎn)型”期，那就需要徹底打破之前所獲得的知識(shí)見(jiàn)解和方法論，從全新的角度出發(fā)來(lái)重新建構(gòu)新的知識(shí)，數(shù)學(xué)就是這么一種情況。

如果你一直用學(xué)校里教的那些看起來(lái)像是“結(jié)束了”的數(shù)學(xué)來(lái)看待數(shù)學(xué)的話，那就很難相信數(shù)學(xué)里也會(huì)不斷產(chǎn)生新的東西，以及數(shù)學(xué)也是不斷進(jìn)步的學(xué)科。

但在歷史長(zhǎng)河中，數(shù)學(xué)里確實(shí)發(fā)生了各種各樣的進(jìn)步，某些時(shí)候甚至還創(chuàng)造出了一個(gè)全新的思維框架。

從總體上說(shuō)，數(shù)學(xué)這個(gè)學(xué)科就是在漫長(zhǎng)的歷史中不斷被創(chuàng)造、被“破壞”、被超越的許多研究分支和思維框架的集合體。

其中包含著數(shù)量眾多且內(nèi)容迥異的理論，甚至是看起來(lái)完全不同的理論，這些理論的總合就是我們今天稱(chēng)為“數(shù)學(xué)”的那個(gè)學(xué)科。

我們完全不能說(shuō)它是一個(gè)具有單一的研究領(lǐng)域的學(xué)科，因?yàn)樗难芯款I(lǐng)域多得驚人，而且這些領(lǐng)域相互交織，構(gòu)成了一個(gè)巨大的網(wǎng)絡(luò)，故我們可以說(shuō)數(shù)學(xué)是一個(gè)極其復(fù)雜且多樣化的體系。

不妨回憶一下自己在初中或高中時(shí)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)，那里不僅有圖形、數(shù)、函數(shù)、向量，甚至還有數(shù)列和概率，這么多不同種類(lèi)的對(duì)象和概念擠在一起。形象地說(shuō)，數(shù)學(xué)就像是把這些不同種類(lèi)的對(duì)象和概念雜亂地聚在一處來(lái)進(jìn)行“多種打法的格斗大賽”。

要同時(shí)處理這么多看起來(lái)完全不同的概念，這樣的學(xué)科恐怕除了數(shù)學(xué)就沒(méi)有別的了吧？

正是這種令人驚訝的“內(nèi)在多樣性”，才使數(shù)學(xué)即使已經(jīng)非常豐富和成熟了，仍然能夠不斷進(jìn)步和煥發(fā)新生命力。而數(shù)學(xué)本身，也正因?yàn)樵谄鋬?nèi)部已經(jīng)具備了這種概念上的“多種打法”的兼收并蓄，才使數(shù)學(xué)工作者能夠有各種不同的構(gòu)思或創(chuàng)意，可以根據(jù)各自的個(gè)性工作。

而且，這件事還與數(shù)學(xué)中圍繞著“進(jìn)步”的另一個(gè)重要的事實(shí)有著密切的關(guān)系。這個(gè)事實(shí)就是，一項(xiàng)極為新穎的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)，有時(shí)候并不是出現(xiàn)在學(xué)科的前沿領(lǐng)域，而是更有可能出現(xiàn)在非?；A(chǔ)的地方。其他學(xué)術(shù)領(lǐng)域應(yīng)該也在發(fā)生著同樣的事情，不過(guò)在數(shù)學(xué)里，這個(gè)現(xiàn)象尤其明顯，即那些具有極其重大影響力的出現(xiàn)或者發(fā)明，一般不是出現(xiàn)在該學(xué)科的前沿領(lǐng)域，而是出現(xiàn)在更為基礎(chǔ)性的地方。

舉例來(lái)說(shuō)，和整數(shù)相關(guān)的各種問(wèn)題，自古以來(lái)就是數(shù)學(xué)上的大問(wèn)題。

因?yàn)椴还茉趺凑f(shuō)，整數(shù)這種對(duì)象是連初中生都十分熟悉的，因而與整數(shù)有關(guān)的問(wèn)題很多都是非?；A(chǔ)的問(wèn)題。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，為了解決與整數(shù)有關(guān)的各種問(wèn)題，已經(jīng)開(kāi)發(fā)了各種各樣的概念架構(gòu)和技術(shù)工具，但即便如此，仍然有數(shù)量眾多的問(wèn)題尚未得到解決。

其中，大部分都是非?；镜膯?wèn)題，比如與素?cái)?shù)有關(guān)的問(wèn)題，而且這些問(wèn)題本身就是中學(xué)生也能夠理解的。像哥德巴赫猜想“任何一個(gè)大于等于4的偶數(shù)都能寫(xiě)成兩個(gè)素?cái)?shù)之和”，就是這一類(lèi)型的問(wèn)題。

到目前為止，盡管現(xiàn)代數(shù)學(xué)的最前沿研究已經(jīng)達(dá)到了很高的高度，面對(duì)這樣一個(gè)聽(tīng)起來(lái)如此“平易近人”的問(wèn)題，數(shù)學(xué)研究者們?nèi)匀荒貌怀鍪裁从行У慕鉀Q方法。為了能對(duì)這樣的基本問(wèn)題發(fā)起真正的挑戰(zhàn)，可能必須要找到一些全新的想法，而且應(yīng)該是與這個(gè)問(wèn)題處于同一個(gè)基礎(chǔ)性層面上的發(fā)明創(chuàng)造。

現(xiàn)在，望月教授的IUT理論就是要在這樣一個(gè)非?；A(chǔ)性的層面上發(fā)起一場(chǎng)具有巨大影響力的革新，這恐怕在整個(gè)數(shù)學(xué)的歷史上都很難找到能與之匹敵的事件。那么，這個(gè)理論究竟是怎樣在“基礎(chǔ)性”的層面上顛覆了今天的數(shù)學(xué)呢？關(guān)于這一點(diǎn)，我們將在后面的章節(jié)里一點(diǎn)一點(diǎn)地介紹和說(shuō)明。

但是，在此之前，對(duì)于該理論的“新穎”之處究竟是關(guān)于數(shù)學(xué)中的什么東西這個(gè)問(wèn)題，我們倒是可以在這里透露一點(diǎn)內(nèi)幕消息，那就是對(duì)“加法和乘法的關(guān)系”提出了全新的理解。加法和乘法之間會(huì)有什么樣的關(guān)系呢，這不是連小學(xué)生都知道的嗎？我們?cè)谛W(xué)的時(shí)候最早學(xué)的是加法，然后在這個(gè)基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了乘法。從某種意義上來(lái)說(shuō)，它們之間的關(guān)系是明顯的。這里面還能藏著什么深?yuàn)W的問(wèn)題嗎？對(duì)于我們普通人來(lái)說(shuō)，這恐怕是無(wú)論如何也想象不到的吧。但是，在那里確實(shí)藏著很大的問(wèn)題。而且，正因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題的背景是非?；A(chǔ)的，所以它才是極其深?yuàn)W難解的問(wèn)題。

在本書(shū)后面的章節(jié)中，對(duì)于IUT理論可能會(huì)引發(fā)的理論變革的相關(guān)內(nèi)容，我們會(huì)盡可能使用簡(jiǎn)單、易懂的方式來(lái)介紹。由此，我們已經(jīng)可以窺見(jiàn)這種“破壞力”的一部分，那就是在小學(xué)算術(shù)的層面上對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行根本性的重新審視。而且，盡管它是革命性的，但也是基于一些非常自然的想法的。這就是為什么即使我們略去各種技術(shù)性細(xì)節(jié)，也能充分地傳達(dá)出想法的基本意思。

02

所謂的數(shù)學(xué)進(jìn)步

到底是怎么一回事？

不管怎么說(shuō)，數(shù)學(xué)就是一個(gè)非常自由的學(xué)科，而且總是對(duì)“進(jìn)步”保持著開(kāi)放的態(tài)度，這可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出大多數(shù)人的想象。數(shù)學(xué)工作者發(fā)揮自己的個(gè)性，并在自己觀點(diǎn)的主導(dǎo)下，夜以繼日地為這個(gè)進(jìn)步做著貢獻(xiàn)。然后，當(dāng)他們得到了一個(gè)新定理的證明，或者建構(gòu)了一個(gè)新的理論體系時(shí)，通常會(huì)把這些數(shù)學(xué)上的新工作整理成論文的形式，或者寫(xiě)成書(shū)的形式。

論文的篇幅可以很短，只有幾頁(yè)，也可以很長(zhǎng)，超過(guò)100頁(yè)的都有，但基本上就是十幾頁(yè)到幾十頁(yè)這樣的篇幅。如果你希望把自己所完成的工作傳達(dá)給世界各地的數(shù)學(xué)工作者的話，那么一般來(lái)說(shuō)，論文就要用英語(yǔ)、法語(yǔ)或者德語(yǔ)來(lái)書(shū)寫(xiě)。

其中，德語(yǔ)的使用頻率（流通普及率）如今似乎沒(méi)有那么高。能使用德語(yǔ)進(jìn)行閱讀和書(shū)寫(xiě)的數(shù)學(xué)工作者的比例好像也不是太高。我曾經(jīng)與其他研究者合作發(fā)表過(guò)一篇德語(yǔ)論文，出版在Crelle雜志（后面會(huì)講到）上，但得到的評(píng)價(jià)不是很好。到現(xiàn)在還時(shí)常被人問(wèn)到“沒(méi)有翻譯成英語(yǔ)嗎？”這樣的問(wèn)題。另外，我也用法語(yǔ)發(fā)表過(guò)一篇簡(jiǎn)短的合作論文，這篇文章就沒(méi)有出現(xiàn)語(yǔ)言方面的問(wèn)題。

實(shí)際上，在數(shù)學(xué)的世界里，法語(yǔ)文獻(xiàn)相當(dāng)多，如果論文是用法語(yǔ)寫(xiě)的，那么沒(méi)有任何人會(huì)有抱怨。但是如果使用的是德語(yǔ)或者俄語(yǔ)的話，很久以前的文章姑且不論，現(xiàn)在的文章就會(huì)招來(lái)很多人的抱怨。所以，論文還是應(yīng)該用英語(yǔ)或法語(yǔ)來(lái)撰寫(xiě)。

數(shù)學(xué)理論通常是以論文的形式向外界公布的。這就要求把此前只存在于一個(gè)或者少數(shù)幾個(gè)數(shù)學(xué)工作者頭腦之中的想法轉(zhuǎn)化成文章和數(shù)學(xué)公式，而且要能夠讓大家都能看懂。因此，論文寫(xiě)作的基本要求就是，對(duì)于專(zhuān)業(yè)相同的數(shù)學(xué)工作者來(lái)說(shuō)，只要讀過(guò)這樣的論文，就應(yīng)該能夠獲得或了解與對(duì)應(yīng)問(wèn)題有關(guān)的理論及必要的知識(shí)。這永遠(yuǎn)是最基本的要求。所以在這里也一樣，如第1章所述，寫(xiě)作論文也需要掌握一些專(zhuān)門(mén)的溝通交流技巧。也就是說(shuō)，和口頭宣講時(shí)一樣，在論文中，有必要運(yùn)用行業(yè)術(shù)語(yǔ)和專(zhuān)業(yè)性的表達(dá)方式。不過(guò)從根本上來(lái)說(shuō)，和口頭宣講相比，論文里的內(nèi)容必須更加詳盡，因而所采用的書(shū)寫(xiě)格式和遣詞造句也就有很大的不同。

對(duì)于一篇數(shù)學(xué)論文來(lái)說(shuō)，最重要的事情就是它要具備以下3個(gè)要素，一是“新”的東西，二是“正確”的東西，三是“意味深長(zhǎng)”的東西。這三者之中，不管哪一個(gè)有所欠缺，這篇數(shù)學(xué)論文的價(jià)值都會(huì)急劇降低。

在這里，用來(lái)判斷“新”的依據(jù)是什么？“正確”的標(biāo)準(zhǔn)又是什么？這都是非常專(zhuān)業(yè)的問(wèn)題。初出茅廬的年輕研究者，都要經(jīng)過(guò)一番訓(xùn)練才能做出恰當(dāng)且專(zhuān)業(yè)的判斷。至于說(shuō)數(shù)學(xué)中的“新”是什么意思，在某種程度上我們已經(jīng)做出說(shuō)明了。比如在“科學(xué)的常規(guī)發(fā)展”時(shí)期，就是要對(duì)所選的問(wèn)題或者對(duì)該時(shí)代占主導(dǎo)地位的問(wèn)題給出部分的或者完整的解決方案，也可以是提出理解問(wèn)題的新視角，而在前面所說(shuō)的那種“范式轉(zhuǎn)型”的時(shí)期，還包括那種能夠在該領(lǐng)域掀起革命的大論文。

03

數(shù)學(xué)是一個(gè)需要體力的學(xué)科

那么“正確”又是什么意思呢？簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，所謂“正確”只有一個(gè)意思，那就是要給出滴水不漏的證明。正如前面說(shuō)過(guò)的那樣，對(duì)于數(shù)學(xué)工作者來(lái)說(shuō)，“正確”就是指“已經(jīng)給出了證明”。而且在那個(gè)證明中，任何細(xì)節(jié)都不能出現(xiàn)邏輯上的跳躍。在數(shù)學(xué)工作者的眼里，只要證明還沒(méi)有達(dá)到滴水不漏的程度，就是無(wú)法令人滿(mǎn)意的。所以說(shuō)，作為決定一篇論文好壞的“標(biāo)準(zhǔn)”，上面所說(shuō)的這種“正確”是非常重要的事情。

而且，在數(shù)學(xué)里，“正確”這個(gè)詞的意思在某些時(shí)候是極其嚴(yán)格的。數(shù)學(xué)中的那些定理，至少對(duì)于那些熱愛(ài)數(shù)學(xué)并且能理解數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，是非常自然的，有時(shí)候還是十分優(yōu)美的。因此，這些定理的論證與證明在一定程度上也都是自然的，甚至是優(yōu)美的。話雖這么說(shuō)，但如果認(rèn)為這種自然性一定會(huì)自動(dòng)地關(guān)聯(lián)正確性，那就大錯(cuò)特錯(cuò)了。我們可以把那些正在論證困難理論的數(shù)學(xué)工作者與F1賽車(chē)手做個(gè)對(duì)比。賽車(chē)手們開(kāi)著車(chē)在賽道上以320公里的時(shí)速飛馳，還要時(shí)刻與對(duì)手爭(zhēng)奪那幾厘米的差距。

數(shù)學(xué)工作者也是這樣，在運(yùn)用一個(gè)宏大而抽象的概念的時(shí)候，對(duì)每一個(gè)細(xì)小的步驟都必須進(jìn)行精密的論證，而且還要能夠長(zhǎng)時(shí)間地維持這種高度緊張的論證過(guò)程。在數(shù)學(xué)工作者為了確保“正確性”而從事的工作中，就是有這種極其嚴(yán)苛的一面。所以說(shuō)，數(shù)學(xué)的論證總是與“錯(cuò)誤”比鄰而居。盡管我自己平時(shí)已經(jīng)十分小心謹(jǐn)慎了，但還是常常會(huì)出現(xiàn)很多“錯(cuò)誤”。

我們經(jīng)常能聽(tīng)到這樣一種說(shuō)法，那就是很多人在數(shù)學(xué)方面的新工作都是在年輕的時(shí)候完成的。給出的理由是，人在年輕的時(shí)候想法更加靈活，而且有著不拘泥于常規(guī)的自由想法等。

然而，除此之外，“體力”也是一個(gè)非常重要的因素。要長(zhǎng)時(shí)間保持高度緊張的思考，這種對(duì)于集中力的高要求，如果沒(méi)有體力是肯定做不到的。因此，數(shù)學(xué)是一門(mén)非常耗費(fèi)體力的學(xué)問(wèn)。

01

《用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言看宇宙：望月新一的IUT理論》

作者：[日]加藤文元

譯者：周健

1.日本天才數(shù)學(xué)家望月新一，為解決數(shù)學(xué)界頂級(jí)難題“abc猜想”而自建的IUT理論（即宇宙際Teichmüller理論）的解讀讀物，展現(xiàn)理論思考脈絡(luò)及其對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系的重大意義，同時(shí)也展示了數(shù)學(xué)家的思考方法。

2.深度展現(xiàn)數(shù)學(xué)家在做什么？數(shù)學(xué)家是如何思考的？數(shù)學(xué)的底層邏輯與深度思考方法等問(wèn)題等，以及數(shù)學(xué)家如何挑戰(zhàn)人類(lèi)遺留下的最后一個(gè)超級(jí)難題--ABC預(yù)測(cè)！

3.望月新一親自作序推薦，日本數(shù)學(xué)家加藤文元的嘔心瀝血之作，解鎖被遺留下來(lái)的數(shù)論難題。