新定義“中外比點”

2025年廣東省中考數(shù)學(xué)第23題

其實就是黃金分割，只不過換了個馬甲而已。

人教版初中數(shù)學(xué)九年級上冊第18頁，專門有篇閱讀與思考材料，講述了黃金分割數(shù)，如下圖：

說起線段的分割，我們在小學(xué)階段就體驗了平均分概念，從數(shù)的平均分，到形的平均分，七年級數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)過線段中點，以此為基礎(chǔ)，進一步了解三等分、N等分，在學(xué)習(xí)數(shù)軸的時候，上面的單位長度也是一種等分。

而像黃金分割這樣的“不等分”，學(xué)生接觸并不多，但在實際生活中又極其重要，因此教材中安排了這段材料，在前面學(xué)習(xí)過無理數(shù)、二次根式、一元二次方程之后，再來理解黃金分割，就具備了起碼的知識儲備。

這段閱讀與思考材料，在教學(xué)中，需要幫助學(xué)生理解黃金比是如何得到的，形的問題如何轉(zhuǎn)換成數(shù)的問題，讓學(xué)生學(xué)會用代數(shù)推理去研究圖形問題。

題目

定義：把某線段一分為二的點，當(dāng)整體線段比大線段等于大線段比小線段時，則稱此線段被分為中外比，這個點稱為中外比點.

(1)如圖1，點P是線段MN的中外比點，MP>PN，MN=2，求PN的長；

(2)如圖2，用無刻度的直尺和圓規(guī)求作一點C把線段AB分為中外比.(保留作圖痕跡，不寫作法)

(3)如圖3，動點B在第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)y=k/x(k>0,x>0)的圖象分別與矩形OABC的邊AB，BC相交于點D，E，與對角線OB相交于點F.當(dāng)△ODE是等腰直角三角形時，探究點D，E，F(xiàn)是否分別為AB，BC，OB的中外比點，并證明.

解析：

01

(1)不妨設(shè)PN=x，則PM=2-x，按中外比點的定義，PM是大線段，PN是小線段，整體線段是MN，于是可得2:(2-x)=(2-x):x，化為乘積式后為(20-x)2=2x，解得x=3-√5，即PN=3-√5；

02

(2)作圖依據(jù)是人教版初中數(shù)學(xué)八年級下冊第27頁，利用勾股定理作長度為無理數(shù)的線段，如下圖：

由于中外比點將長度為2的線段所分兩部分中，較長部分為√5-1，較短部分為3-√5，因此我們需要構(gòu)造一條長度為√5的線段，不妨將線段AB長度視為2個長度單位，將其作為直角邊，畫一個直角三角形，使另一條直角邊長度為AB的一半，即1個長度單位，則它的斜邊長為√5，步驟如下：

第一步，延長AB，以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交射線AB于兩點C和D：

第二步，分別以C、D點為圓心，大于CD一半的長為半徑作弧，在射線AB上方，兩弧交于點E，作直線BE，則BE⊥AB：

第三步，分別以A、B為圓心，大于AC一半的長為半徑作弧，分別在射線AB上、下方交于點F、G點，連接FG，交AB于點H，此時點H為線段AB中點：

第四步，以B為圓心，BH為半徑作弧，交直線BE于點K，連接AK，我們便得到了Rt△ABK，它的兩直角邊分別是1和2，斜邊AK=√5：

第五步，以K為圓心，BK為半徑作弧，交AK于點M：

第六步，以A為圓心，AM為半徑作弧，交射線AB于點N：

則點N即為所求，然后按題目要求，將字母N改為C，其余字母可去掉；

利用上圖我們可得Rt△ABK，其中AB=2，BK=1，則AK=√5，而BK=MK=1，則AM=√5-1=AN，所以BN=2-(√5-1)=3-√5；

當(dāng)然，用這種方法作圖，點N不是唯一的，還有偏A點一側(cè)也可以作出中外比點(黃金分割點)，圖略；

03

(3)我們先設(shè)點B坐標(biāo)為(m,n)，則E(k/n,n)，D(m,k/m)，對于△ODE是等腰三角形這個條件，需要判斷哪個角是直角，顯然∠DOE不可能是直角，因此只剩下兩種情況，∠OED=90°或∠ODE=90°；

第一種情況，∠OED=90°，如下圖：

很容易得到△OCE≌△EBD，因此CE=BD=k/n，OC=EB=n，又BD=n-k/m，EB=m-k/n，于是得到兩個等式

k/n=n-k/m①

n=m-k/n②

由①得k=mn2/(m+n)，由②得k=mn-n2，聯(lián)立這兩個式子得

n2=m2-mn；

然后我們來驗證點E是否線段BC的中外比點；

計算EB2=n2，再計算CE·BC=k/n·m，將k=mn-n2代入得

CE·BC=m2-mn，由于前面已經(jīng)有n2=m2-mn，所以得到等式EB2=CE·BC，化為比例式后為BC:EB=EB:CE，符合中外比點的定義，因此點E是線段BC的中外比點；

再來驗證點D是否線段AB的中外比點；

計算BD2=(n-k/m)2，把k=mn-n2代入，化簡得BD2=n2·n2/m2；

再計算AD·AB=n·k/m，把k=mn-n2代入，化簡得n2(1-n/m)；

再將前面所得n2=m2-mn兩邊同除以m2，得n2/m2=1-n/m，于是得到BD2=AD·AB，化為比例式為AB:BD=BD:AD，符合中外比點的定義，因此點D是線段AB的中外比點；

最后來驗證點F是否線段OB的中外比點；

由點B坐標(biāo)可知OB的解析式為y=n/m·x，與反比例函數(shù)y=k/x聯(lián)立，可求出點F坐標(biāo)為(√mk/n，√nk/m)，由于求“斜”向長度需要勾股定理，不妨化斜為直，推導(dǎo)如下：

過點F作FM⊥x軸，若點M是線段OA的中外比點，則點F也一定是線段OB的中外比點；

所以點M是線段OA的中外比點，即點F是線段OB的中外比點；

第二種情況，∠ODE=90°，如下圖：

同樣可得△OAD≌△DBE，因此BE=AD=k/m，BD=OA=m，又AD=n-k/m，BE=m-k/n，得到兩個等式

k/m=m-k/n①

m=n-k/m②

由②得k=mn-m2，聯(lián)立這兩個式子得m2=n2-mn，

接下來的驗證方法和第一種情況完全類似，不再贅述；

綜上，當(dāng)△ODE是等腰直角三角形時，點D、E、F分別為AB、BC、OB的中外比點.

解題思考

本題源自教材，不禁想到另一個問題，我們的老師，有多少是正經(jīng)上過這節(jié)課？或者是一帶而過？甚至壓根沒講？畢竟全國各地中考出現(xiàn)黃金分割這個知識點，多數(shù)屬于送分題；還有尺規(guī)作圖操作，考場上有一些省市不允許帶圓規(guī)，那自然也沒了操作題，也有省市采用了替代方案，用網(wǎng)格作圖或無刻度直尺作圖。

2022版新課標(biāo)中，對于尺規(guī)作圖是有要求的，“能用尺規(guī)作圖，作……”的要求有六處，有一處帶*號，學(xué)生對用圓規(guī)作弧、截取操作需要熟練掌握，同時每一步尺規(guī)作圖背后，一定會有相應(yīng)的作圖依據(jù)，學(xué)生在進行操作的同時，腦子里也在推理，這個過程完美實現(xiàn)了用數(shù)學(xué)眼光觀察、用數(shù)學(xué)思維思考、用數(shù)學(xué)語言表達，恰好是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn)，2025年開始各省市中考題，也逐漸讓尺規(guī)作圖回歸，個人認(rèn)為符合新課標(biāo)要求。

課堂上我們需要讓學(xué)生明白的第一個事實，就是為什么會存在這樣的“不等分”，和前面學(xué)的平均分(等分)相比，意義又在哪里？僅僅通過課前展示幾張畫、幾段視頻，學(xué)生就能體會到“不等分”的數(shù)學(xué)美么？無論是公開課也好，我自已上課也罷，當(dāng)我們在講臺上問學(xué)生“舞臺上站哪里最美觀？”類的問題時，有多少學(xué)生是發(fā)自內(nèi)心這樣認(rèn)為？我們前面一直學(xué)習(xí)的是對稱美，突破一下子不對稱了，美從何來？

因此，僅僅是讓學(xué)生觀察并判斷美不美？這種數(shù)學(xué)眼光要求太高了，我們可以從特殊的矩形激發(fā)學(xué)生的興趣，用一個黃金矩形，它的寬：長=√5-1/2，在它的長邊上截取寬的長度，剪下這個正方形，剩下的矩形，再計算它的寬：長，發(fā)現(xiàn)仍然是√5-1/2，繼續(xù)從中剪掉一個正方形，剩下的矩形長寬比不變，成功引起了學(xué)生的興趣，其它的比值的矩形例如1:2有這樣的效果嗎？

當(dāng)學(xué)生觀察這樣的矩形時，腦子里有推理、有計算，才能稱為數(shù)學(xué)眼光。