新定義“雙等四邊形”

2025年深圳中考數(shù)學(xué)第20題

數(shù)學(xué)中的概念來(lái)源于生活，我們從小學(xué)開(kāi)始就學(xué)習(xí)了諸如長(zhǎng)方形、三角形、圓形等幾何概念，描述一個(gè)幾何圖形，需要準(zhǔn)確的語(yǔ)言，形象的字詞，這也是我們數(shù)學(xué)概念簡(jiǎn)潔清晰的基礎(chǔ)。

在小學(xué)我們學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形時(shí)，對(duì)于這個(gè)學(xué)段的孩子們，采取的方式是操作活動(dòng)，如下圖：

北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)第55頁(yè)，通過(guò)折一折，量一量直觀感知，并沒(méi)有給出嚴(yán)格定義。到了人教版八年級(jí)下冊(cè)第52頁(yè)，才給出較為正式的定義，如下圖：

即我們的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過(guò)程，是經(jīng)歷了小學(xué)階段的直觀，到初中階段的規(guī)范，用幾何語(yǔ)言描述幾何圖形，因此，讀懂新定義對(duì)于幾何元素間的圖形邏輯是解題關(guān)鍵。

題目

綜合與探索

【探索發(fā)現(xiàn)】

如圖1，小軍用兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形拼接成一個(gè)四邊形。

【抽象定義】

以等腰三角形的一腰為邊向外作等腰三角形，使該邊所對(duì)的角等于原等腰三角形的頂角，此時(shí)該四邊形稱(chēng)為“雙等四邊形”，原等腰三角形稱(chēng)為四邊形的“伴隨三角形”。如圖2，在△ABC中，AB=AC，AC=AD，∠D=∠BAC，此時(shí)四邊形ABCD是“雙等四邊形”，△ABC是“伴隨三角形”。

【問(wèn)題解決】

如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AC，AD=CD，∠D=∠BAC,求①AD與BC的位置關(guān)系為_(kāi)____________；②AC2_______AD·BC（填">"，"<"或"="）。

【方法應(yīng)用】

①如圖4，在△ABC中，AC=BC，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ADE，點(diǎn)D恰好落在BC邊上，求證：四邊形ABDE是雙等四邊形。

②如圖5，在等腰△ABC中，AC=BC，cosB=3/5，AB=5，在平面內(nèi)找一點(diǎn)D，使四邊形ABCD是以△ABC為伴隨三角形的雙等四邊形，若存在，請(qǐng)求出CD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：

01

(1)我們先來(lái)理解“雙等四邊形”概念，在向外作新的等腰三角形時(shí)，原三角形的腰，有兩種情況，“腰是腰”或“腰是底”，而原三角形的頂角，也有兩種情況，“頂(角)是頂(角)”或“頂(角)是底(角)”，如下圖：

因此，根據(jù)圖形中等腰三角形不同形狀，得到的雙等四邊形也不相同，再來(lái)看兩個(gè)小題：

①圖3中這兩個(gè)等腰三角形頂角相等，則由三角形內(nèi)角和可知，它們的底角也相等，故∠DAC=∠ACB，它們是一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，所以AD∥BC；

②圖3中的△ABC∽△DAC，于是AC:DC=BC:AC，即AC2=DC·BC，而AD=DC，所以AC2=AD·BC；

02

(2)①由旋轉(zhuǎn)可知AB=AD，即△ABD為等腰三角形，而△ADE也是等腰三角形，且它是由等腰△ABC旋轉(zhuǎn)而來(lái)，它的底角為∠B，與△ABD底角相同，則它們的頂角也相同，符合雙等四邊形定義；

②我們既然知道了∠B的余弦值，且AB=5，可解這個(gè)三角形，求出所有邊，如下圖：

作CG⊥AB，由三線(xiàn)合一，得BG=5/2，由cosB=3/5，可求BC=25/6=AC；

第一種情況，以腰AC為底，向外作等腰△ACD，且頂角∠ADC=∠ACB，如下圖：

它屬于“腰是底”且"頂是頂"類(lèi)型，取AC中點(diǎn)E，連接DE，由于這兩個(gè)等腰三角形頂角相同，則它們的底角也相同，由三線(xiàn)合一可知DE⊥AC，于是在Rt△CDE中，cos∠DCE=cosB=3/5，而CE=1/2AC=25/12，所以求出CD=125/36；

第二種情況：以腰AC為腰，向外作等腰△ACD，AC=AD且底角∠ADC=∠ACB，如下圖：

它屬于“腰是腰”且“頂是底”類(lèi)型，取CD中點(diǎn)E，連接AE，于是 AE⊥CD，再過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC，先在Rt△ABF中，求出AF=4，BF=3，由于AC=BC=25/6，則CF=7/6，而又由題意得∠ADC=∠ACD=∠ACB，說(shuō)明AC是∠BCD的角平分線(xiàn)，根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊距離相等，可得AF=AE，因此可證明CF=CE=7/6，最后求得CD=2CE=7/3；

第三種情況：以AC為腰，向外作等腰△ACD，AC=CD且底角∠ADC=∠ACB，如下圖：

它屬于“腰是腰”且“頂是底”類(lèi)型，其實(shí)它和第二種情況很像，可以看作是將第二種情況中的△ACD關(guān)于AC的垂直平分線(xiàn)進(jìn)行一次軸對(duì)稱(chēng)變換得到，我們借助前面探究出的結(jié)果，可得CD=AC=25/6.

綜上，CD的長(zhǎng)可能是125/36，7/3，25/6.

解題思考

本題對(duì)于學(xué)生而言，難點(diǎn)是構(gòu)圖，雙等四邊形是由兩個(gè)等腰三角形構(gòu)成，以原等腰三角形一腰為邊向外作新等腰三角形，這條邊既可作為新等腰三角形的腰，也可作為它的底，而且該邊所對(duì)的角要等于原等腰三角形的頂角，這個(gè)既可以是新等腰三角形的底角，也可以是它的頂角，因此總共有四種可能，但這條邊一旦成為新等腰三角形的底，則它所對(duì)的角只能是新等腰三角形的頂角，不可能是底角，因此只剩下三種，如下圖：

只有明確圖形的結(jié)構(gòu)，作出圖形，才有可能正確解答。

分類(lèi)思想是數(shù)學(xué)中的重要思想方法，其原則是不重復(fù)、不遺漏，分類(lèi)依據(jù)來(lái)源于對(duì)分類(lèi)對(duì)象的理解，例如三角形分類(lèi)，按邊分和按角分均可，對(duì)于等腰三角形來(lái)講，它最大的不確定性來(lái)自于腰和底不等，因此哪條邊為腰哪條邊為底，需要分類(lèi)，即使確定了腰和底，頂角和底角也并未隨之確定，還需要細(xì)分，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生可通過(guò)嘗試作圖，驗(yàn)證分類(lèi)結(jié)果是否符合題目條件，這也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的探究、猜想、驗(yàn)證過(guò)程，這都需要我們?cè)谄綍r(shí)的課堂教學(xué)中帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷，落實(shí)了課堂上的活動(dòng)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生真正通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，核心素養(yǎng)才能得到進(jìn)一步提升。