女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

為了在雙曲面上創(chuàng)造藝術，人們經常使用復雜的對稱變換，產生具有相應復雜對稱性的重復圖案。我們探討了一種特定圖案的這種變換，但這些變換是許多雙曲面圖案的特征，包括M.C. 埃舍爾的圖案。我們還探索了色彩對稱在創(chuàng)作這些圖案中的應用，這又增加了變換的復雜程度。

1 引言

重復雙曲面圖案可以表現(xiàn)出復雜對稱性的兩個方面。第一個方面涉及雙曲面的等距組合。第二種是顏色對稱，它在等距的基礎上又增加了一層復雜性。重復雙曲面圖案的對稱性是雙曲面的等值線，它使圖案保持不變，即把圖案映射到它本身。我們要考慮的重復圖案是由基本子圖案或圖案的副本組成的。因此，圖案的對稱性會將圖案的任何副本映射到圖案的另一個副本。圖1展示了一個以蝴蝶為主題的例子。荷蘭藝術家埃舍爾（M.C. Escher）在他的重復圖案中大多使用動物作為主題。

圖1：蝴蝶的雙曲線圖案。

如果圖案是彩色的，每個圖案通常有一種相關的顏色。一般來說，圖案的對稱性會混合圖案的顏色，但我們將只考慮以常規(guī)方式混合的圖案。

這些概念不僅適用于雙曲面圖案，也適用于以下三種“經典幾何圖形”中的任何一種圖案： 歐幾里得幾何、球面幾何和雙曲幾何。埃舍爾在每種幾何圖形中都創(chuàng)造了重復的圖案，其中大部分是歐幾里得平面上的圖案。

在下一節(jié)中，我們將擴展這些觀點，尤其關注對稱運算。下一節(jié)我們將研究這些對稱運算的不變式。在第三部分，我們將討論復雜的對稱運算是如何由較簡單的對稱運算組合而成的。最后，我們對結果進行總結。

2 1. 雙曲面重復圖案的對稱性

我們首先考慮的是雙曲面上的無色重復圖案，它由理論上無限多的圖案副本組成。如上所述，該圖案的對稱性是雙曲等值線，它使圖案保持不變，將圖案的每個副本映射到另一個這樣的副本。重復圖案的對稱性集合形成一個群，即圖案的對稱群。

如果圖案是彩色的，那么圖案的對稱性通常指的是一種保持未著色圖案不變的等距法。在彩色重復圖案中，每個圖案都有一種顏色。因此一般來說，圖案的對稱性會重新分配每個圖案副本的顏色。為了簡單起見，我們只考慮具有有限n種顏色的圖案，這也是埃舍爾圖案的特點。不過，為了創(chuàng)造出美觀的圖案，我們應該以一致的方式來完成這一工作。因此，我們首先要求對稱性能將一種顏色的所有圖案映射為一種顏色，并且沒有兩種顏色的圖案映射為相同的顏色。因此，每個對稱性都會引起一種顏色的排列組合。因此，圖案的對稱群與n種顏色的對稱群Sn的子群之間存在同構關系。在這種情況下，我們說圖案具有顏色對稱性。如果該子群具有傳遞性，因此所有顏色都可以互換，我們就說該圖案具有完美的顏色對稱性。我們所考慮的重復圖案都具有這種色彩對稱性，埃舍爾的所有彩色重復圖案也是如此。

因此，我們甚至可以從討論（彩色）重復圖案的術語中看出，該主題與一般對稱性密切相關。

3 2. 重復雙曲圖形對稱性的不變量

雙曲面的任意等分線不會使重復的雙曲面圖案保持不變，但任何能使（未著色的）圖案保持不變的等分線都稱為圖案的對稱線，這在上一節(jié)中已經提到過。彩色圖案的某些對稱性會改變顏色，某些對稱性會固定一種顏色。例如，旋轉2π/7可以固定圖1中的白色蝴蝶，但會改變其他顏色。固定一種顏色i的對稱集是一個子群，我們稱之為圖案對稱群的Gi。如果有n種顏色，那么所有Gi從1到n的交集將固定所有顏色。它是圖案對稱群的法向子群，其元素會使整個彩色圖案保持不變。

4 3. 由簡單對稱建立的復雜對稱

在“經典”幾何中，雙曲面不同于球面和歐幾里得平面，因為它不能平滑地嵌入我們生活的普通三維空間。數學家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）早在100多年前就證明了這一點[希爾伯特，1901 年]。因此，我們必須依靠雙曲面的模型：歐幾里得構造，其各部分可被賦予與雙曲幾何學一致的雙曲含義。龐加萊圓盤模型就是這樣一個模型[格林伯格，2007]。該模型中的雙曲點只是邊界圓內的歐幾里得點。雙曲線由與邊界圓正交的圓弧表示，包括作為特例的直徑。圖2顯示了一個帶有一些雙曲線的圓盤。對于重復雙曲線圖案的創(chuàng)作，藝術家們更喜歡這種模型，因為 (1) 它是保角的，因此角度的度量與歐幾里得度量相同，從而使圖案在接近邊界圓時保持近似形狀；(2) 它包含在歐幾里得平面的一個有界區(qū)域內，因此觀眾可以看到整個圖案。需要注意的是，雙曲線圖案必須重復出現(xiàn)，即理論上有無限多個圖案，這樣我們才能看到它真正的雙曲線性質。否則，我們就只能看到有限的物體集合，而我們自然會認為這些物體是歐幾里得的，例如圖2。

圖2：龐加萊模型中的一些雙曲線。

反射是每個(二維)經典幾何中的基本等距，因為任何等距都可以表示為至多三個反射的合成。在歐幾里得平面中，有四種等距：反射、平移、旋轉和滑移反射。兩條直線上的連續(xù)反射分別產生平移或旋轉，這取決于這兩條直線是平行的還是相交的。如果一條直線上的反射波隨后是沿這條直線的平移波，就得到一個滑移反射波，它由三個反射波組成。在球面上有三種等距線：大圓反射、旋轉和旋轉反射。穿過兩個大圓(必須相交)的連續(xù)反射產生繞其相交軸的旋轉。旋轉反射類似于歐幾里得滑移反射，可以由三次連續(xù)的大圓反射產生。雙曲平面的等距線與歐幾里得平面的等距線相同，只是增加了一點。附加等距線是由兩條雙曲線上的連續(xù)反射產生的，這兩條雙曲線在邊界圓上的一點處相切。這種等距線沿著通過該點的水平圓(由與邊界圓相切的圓表示)來“平移”點，因此被稱為水平圓。埃舍爾和我都沒有在我們重復的雙曲線圖案中使用這樣的等距，但其他藝術家使用過。因此，在雙曲平面上有四種復等距:平移、反射、滑移反射和旋轉。在每一個經典的幾何圖形中，兩條相交直線上的連續(xù)反射產生了繞交點的旋轉，旋轉角度是直線相交角度的兩倍。因此，圍繞圖2右側的兩條線的交點的這種旋轉產生了圍繞該點的90度旋轉，因為兩條線以45度相交。

在龐加萊圓盤模型中，跨直線的反射是由代表該直線的圓弧中的反轉給出的（在這種情況下，也可以說是跨直徑的普通歐幾里得反射）。圖 1 的模式中不存在反射、滑移反射或角對稱。

圖1中未著色圖案的所有對稱都是旋轉或平移，因此可以被視為復雜對稱，因為它們都可以通過兩次連續(xù)反射產生。事實上，在創(chuàng)建圖1的計算機程序中，這些復對稱就是這樣構建的。

為了給圖1等圖案添加顏色對稱性，我們必須說明在應用（無彩色）圖案的對稱性時，顏色是如何變化的。在完全顏色對稱的情況下，這僅僅是顏色的排列組合。為了做到這一點，我們通過將排列編碼為變換的一部分，為表示對稱性的變換增加了另一層復雜性。同樣，這也正是創(chuàng)建圖1的計算機程序所要做的。

埃舍爾的所有重復歐幾里得圖案、雙曲線圖案以及大部分球形圖案都可以在Doris Schattschneider的著作《M.C. Escher：Visions of Symmetry》 [Schattschneider, 2004]一書中。他的許多歐幾里得圖案和四個雙曲線圖案中有兩個具有完美的色彩對稱性。其他雙曲線圖案，有些具有色彩對稱性，也可參見 [Dunham, 1999]。

5 結果

我們已經展示了基本雙曲等距如何組成雙曲圖形的復雜對稱。此外，我們還展示了如何通過在對稱變換中加入顏色對稱來增加對稱的復雜性。

參考文獻

Dunham, D. (1999), Artistic Patterns in Hyperbolic Geometry, Proceedings of Bridges 1999, pp. 239–250, 1999. Online at: http://archive.bridgesmathart.org/1999/index.html.

Greenberg, M. (2007) Non-Euclidean Geometry, 4th ed., New York, W.H. Freeman, Inc., 2007. ISBN

Hilbert, D. (1901), über Fl?chen von konstanter gausscher Krümmung, of the American Mathematical Society, pp. 87–99, 1901. https://doi.org/10.2307/1986308, https://doi.org/10.2307/2970640

Schattschneider, D, (2004), M.C. Escher: Visions of Symmetry, 2nd ed., New York, Harry N. Abrams, Inc., 2004, 384 pp. ISBN 0-8109-4308-5

Douglas Dunham, Complex Symmetries in Repeating Hyperbolic Patterns

最后照例放些跟張大少有關的圖書鏈接。

青山不改，綠水長流，在下告退。

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