女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

為了在雙曲面上創(chuàng)造藝術(shù)，人們經(jīng)常使用復(fù)雜的對稱變換，產(chǎn)生具有相應(yīng)復(fù)雜對稱性的重復(fù)圖案。我們探討了一種特定圖案的這種變換，但這些變換是許多雙曲面圖案的特征，包括M.C. 埃舍爾的圖案。我們還探索了色彩對稱在創(chuàng)作這些圖案中的應(yīng)用，這又增加了變換的復(fù)雜程度。

1 引言

重復(fù)雙曲面圖案可以表現(xiàn)出復(fù)雜對稱性的兩個(gè)方面。第一個(gè)方面涉及雙曲面的等距組合。第二種是顏色對稱，它在等距的基礎(chǔ)上又增加了一層復(fù)雜性。重復(fù)雙曲面圖案的對稱性是雙曲面的等值線，它使圖案保持不變，即把圖案映射到它本身。我們要考慮的重復(fù)圖案是由基本子圖案或圖案的副本組成的。因此，圖案的對稱性會(huì)將圖案的任何副本映射到圖案的另一個(gè)副本。圖1展示了一個(gè)以蝴蝶為主題的例子。荷蘭藝術(shù)家埃舍爾（M.C. Escher）在他的重復(fù)圖案中大多使用動(dòng)物作為主題。

圖1：蝴蝶的雙曲線圖案。

如果圖案是彩色的，每個(gè)圖案通常有一種相關(guān)的顏色。一般來說，圖案的對稱性會(huì)混合圖案的顏色，但我們將只考慮以常規(guī)方式混合的圖案。

這些概念不僅適用于雙曲面圖案，也適用于以下三種“經(jīng)典幾何圖形”中的任何一種圖案： 歐幾里得幾何、球面幾何和雙曲幾何。埃舍爾在每種幾何圖形中都創(chuàng)造了重復(fù)的圖案，其中大部分是歐幾里得平面上的圖案。

在下一節(jié)中，我們將擴(kuò)展這些觀點(diǎn)，尤其關(guān)注對稱運(yùn)算。下一節(jié)我們將研究這些對稱運(yùn)算的不變式。在第三部分，我們將討論復(fù)雜的對稱運(yùn)算是如何由較簡單的對稱運(yùn)算組合而成的。最后，我們對結(jié)果進(jìn)行總結(jié)。

2 1. 雙曲面重復(fù)圖案的對稱性

我們首先考慮的是雙曲面上的無色重復(fù)圖案，它由理論上無限多的圖案副本組成。如上所述，該圖案的對稱性是雙曲等值線，它使圖案保持不變，將圖案的每個(gè)副本映射到另一個(gè)這樣的副本。重復(fù)圖案的對稱性集合形成一個(gè)群，即圖案的對稱群。

如果圖案是彩色的，那么圖案的對稱性通常指的是一種保持未著色圖案不變的等距法。在彩色重復(fù)圖案中，每個(gè)圖案都有一種顏色。因此一般來說，圖案的對稱性會(huì)重新分配每個(gè)圖案副本的顏色。為了簡單起見，我們只考慮具有有限n種顏色的圖案，這也是埃舍爾圖案的特點(diǎn)。不過，為了創(chuàng)造出美觀的圖案，我們應(yīng)該以一致的方式來完成這一工作。因此，我們首先要求對稱性能將一種顏色的所有圖案映射為一種顏色，并且沒有兩種顏色的圖案映射為相同的顏色。因此，每個(gè)對稱性都會(huì)引起一種顏色的排列組合。因此，圖案的對稱群與n種顏色的對稱群Sn的子群之間存在同構(gòu)關(guān)系。在這種情況下，我們說圖案具有顏色對稱性。如果該子群具有傳遞性，因此所有顏色都可以互換，我們就說該圖案具有完美的顏色對稱性。我們所考慮的重復(fù)圖案都具有這種色彩對稱性，埃舍爾的所有彩色重復(fù)圖案也是如此。

因此，我們甚至可以從討論（彩色）重復(fù)圖案的術(shù)語中看出，該主題與一般對稱性密切相關(guān)。

3 2. 重復(fù)雙曲圖形對稱性的不變量

雙曲面的任意等分線不會(huì)使重復(fù)的雙曲面圖案保持不變，但任何能使（未著色的）圖案保持不變的等分線都稱為圖案的對稱線，這在上一節(jié)中已經(jīng)提到過。彩色圖案的某些對稱性會(huì)改變顏色，某些對稱性會(huì)固定一種顏色。例如，旋轉(zhuǎn)2π/7可以固定圖1中的白色蝴蝶，但會(huì)改變其他顏色。固定一種顏色i的對稱集是一個(gè)子群，我們稱之為圖案對稱群的Gi。如果有n種顏色，那么所有Gi從1到n的交集將固定所有顏色。它是圖案對稱群的法向子群，其元素會(huì)使整個(gè)彩色圖案保持不變。

4 3. 由簡單對稱建立的復(fù)雜對稱

在“經(jīng)典”幾何中，雙曲面不同于球面和歐幾里得平面，因?yàn)樗荒芷交厍度胛覀兩畹钠胀ㄈS空間。數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）早在100多年前就證明了這一點(diǎn)[希爾伯特，1901 年]。因此，我們必須依靠雙曲面的模型：歐幾里得構(gòu)造，其各部分可被賦予與雙曲幾何學(xué)一致的雙曲含義。龐加萊圓盤模型就是這樣一個(gè)模型[格林伯格，2007]。該模型中的雙曲點(diǎn)只是邊界圓內(nèi)的歐幾里得點(diǎn)。雙曲線由與邊界圓正交的圓弧表示，包括作為特例的直徑。圖2顯示了一個(gè)帶有一些雙曲線的圓盤。對于重復(fù)雙曲線圖案的創(chuàng)作，藝術(shù)家們更喜歡這種模型，因?yàn)?(1) 它是保角的，因此角度的度量與歐幾里得度量相同，從而使圖案在接近邊界圓時(shí)保持近似形狀；(2) 它包含在歐幾里得平面的一個(gè)有界區(qū)域內(nèi)，因此觀眾可以看到整個(gè)圖案。需要注意的是，雙曲線圖案必須重復(fù)出現(xiàn)，即理論上有無限多個(gè)圖案，這樣我們才能看到它真正的雙曲線性質(zhì)。否則，我們就只能看到有限的物體集合，而我們自然會(huì)認(rèn)為這些物體是歐幾里得的，例如圖2。

圖2：龐加萊模型中的一些雙曲線。

反射是每個(gè)(二維)經(jīng)典幾何中的基本等距，因?yàn)槿魏蔚染喽伎梢员硎緸橹炼嗳齻€(gè)反射的合成。在歐幾里得平面中，有四種等距：反射、平移、旋轉(zhuǎn)和滑移反射。兩條直線上的連續(xù)反射分別產(chǎn)生平移或旋轉(zhuǎn)，這取決于這兩條直線是平行的還是相交的。如果一條直線上的反射波隨后是沿這條直線的平移波，就得到一個(gè)滑移反射波，它由三個(gè)反射波組成。在球面上有三種等距線：大圓反射、旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)反射。穿過兩個(gè)大圓(必須相交)的連續(xù)反射產(chǎn)生繞其相交軸的旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)反射類似于歐幾里得滑移反射，可以由三次連續(xù)的大圓反射產(chǎn)生。雙曲平面的等距線與歐幾里得平面的等距線相同，只是增加了一點(diǎn)。附加等距線是由兩條雙曲線上的連續(xù)反射產(chǎn)生的，這兩條雙曲線在邊界圓上的一點(diǎn)處相切。這種等距線沿著通過該點(diǎn)的水平圓(由與邊界圓相切的圓表示)來“平移”點(diǎn)，因此被稱為水平圓。埃舍爾和我都沒有在我們重復(fù)的雙曲線圖案中使用這樣的等距，但其他藝術(shù)家使用過。因此，在雙曲平面上有四種復(fù)等距:平移、反射、滑移反射和旋轉(zhuǎn)。在每一個(gè)經(jīng)典的幾何圖形中，兩條相交直線上的連續(xù)反射產(chǎn)生了繞交點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度是直線相交角度的兩倍。因此，圍繞圖2右側(cè)的兩條線的交點(diǎn)的這種旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生了圍繞該點(diǎn)的90度旋轉(zhuǎn)，因?yàn)閮蓷l線以45度相交。

在龐加萊圓盤模型中，跨直線的反射是由代表該直線的圓弧中的反轉(zhuǎn)給出的（在這種情況下，也可以說是跨直徑的普通歐幾里得反射）。圖 1 的模式中不存在反射、滑移反射或角對稱。

圖1中未著色圖案的所有對稱都是旋轉(zhuǎn)或平移，因此可以被視為復(fù)雜對稱，因?yàn)樗鼈兌伎梢酝ㄟ^兩次連續(xù)反射產(chǎn)生。事實(shí)上，在創(chuàng)建圖1的計(jì)算機(jī)程序中，這些復(fù)對稱就是這樣構(gòu)建的。

為了給圖1等圖案添加顏色對稱性，我們必須說明在應(yīng)用（無彩色）圖案的對稱性時(shí)，顏色是如何變化的。在完全顏色對稱的情況下，這僅僅是顏色的排列組合。為了做到這一點(diǎn)，我們通過將排列編碼為變換的一部分，為表示對稱性的變換增加了另一層復(fù)雜性。同樣，這也正是創(chuàng)建圖1的計(jì)算機(jī)程序所要做的。

埃舍爾的所有重復(fù)歐幾里得圖案、雙曲線圖案以及大部分球形圖案都可以在Doris Schattschneider的著作《M.C. Escher：Visions of Symmetry》 [Schattschneider, 2004]一書中。他的許多歐幾里得圖案和四個(gè)雙曲線圖案中有兩個(gè)具有完美的色彩對稱性。其他雙曲線圖案，有些具有色彩對稱性，也可參見 [Dunham, 1999]。

5 結(jié)果

我們已經(jīng)展示了基本雙曲等距如何組成雙曲圖形的復(fù)雜對稱。此外，我們還展示了如何通過在對稱變換中加入顏色對稱來增加對稱的復(fù)雜性。

參考文獻(xiàn)

Dunham, D. (1999), Artistic Patterns in Hyperbolic Geometry, Proceedings of Bridges 1999, pp. 239–250, 1999. Online at: http://archive.bridgesmathart.org/1999/index.html.

Greenberg, M. (2007) Non-Euclidean Geometry, 4th ed., New York, W.H. Freeman, Inc., 2007. ISBN

Hilbert, D. (1901), über Fl?chen von konstanter gausscher Krümmung, of the American Mathematical Society, pp. 87–99, 1901. https://doi.org/10.2307/1986308, https://doi.org/10.2307/2970640

Schattschneider, D, (2004), M.C. Escher: Visions of Symmetry, 2nd ed., New York, Harry N. Abrams, Inc., 2004, 384 pp. ISBN 0-8109-4308-5

Douglas Dunham, Complex Symmetries in Repeating Hyperbolic Patterns

最后照例放些跟張大少有關(guān)的圖書鏈接。

青山不改，綠水長流，在下告退。

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