一

新年好！

請你來做一個簡單的數(shù)學題：?

下面這個無窮數(shù)列的結果是多少？

1-1+1-1+1-1 + ……=？

如果我們從不同位置分組，會得到不同的結果：

• (1-1)+(1-1)+(1-1)+... = 0+0+0+... = 0

• 1+(-1+1)+(-1+1)+... = 1+0+0+... = 1

那么，到底是0還是1呢？?????

這就是著名的格蘭迪數(shù)列，18世紀的數(shù)學家們曾經(jīng)被其困擾。

萊布尼茨的解法很巧妙：???

設這個無窮數(shù)列的和為S，那么：

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + ...) = 1 - S

這樣我們得到一個方程： S = 1 - S

解這個方程： 2S = 1

得出：S = 1/2

萊布尼茨所用的方法，就是遞歸思維。

盡管從現(xiàn)代數(shù)學的嚴格性來看是有問題的，但這個推理過程十分巧妙。

二

遞歸，是一種通過自我重復來解決問題的方法。

用更專業(yè)的語言來說，就是：

在解決一個問題時，把這個問題轉(zhuǎn)化為一個或多個更小的同類問題，并不斷往下分解，直到達到一個能夠直接解決的“最小規(guī)?！被蛘摺昂唵吻闆r”，這時就“停止”并向上返回結果。

看起來或許有些抽象，那讓我們從幾個常見例子談起：

1. 遞歸故事與死循環(huán) 最經(jīng)典、也是最容易陷入“循環(huán)”困境的例子，大概是這樣的故事：

“從前有座山，山上有座廟，廟里有個和尚在講故事：從前有座山，山上有座廟，廟里有個和尚在講故事：從前有座山……”

這個故事因為沒有明確的終止條件，會無限往下展開，形成“死循環(huán)”。

在編程里，如果我們忘記設置結束條件，就會出現(xiàn)類似的問題——程序永遠執(zhí)行下去，最終甚至會崩潰。

2. 俄羅斯套娃：完善的終止條件

“俄羅斯套娃”是更好的遞歸示例：最外層的娃娃打開后，里面是一個小一號的娃娃；再打開它，里面還套著一個更小的……

這個過程持續(xù)下去，直到最里面那只實心、沒有再分的小娃娃。它就是遞歸的“底層情況”或“終止條件”。

這一“最內(nèi)層的娃娃”告訴我們遞歸必須要有一個明確的終止點，否則就會像和尚講故事那樣，層層嵌套卻永不結束。

3. 數(shù)學中的典范：階乘

在數(shù)學里，階乘可謂最直觀的遞歸：

• 5 的階乘 = 5 × 4 × 3 × 2 × 1

• 也可以看作 5 × (4 的階乘)

• 4 的階乘又是 4 × (3 的階乘)

• … 直到 1 的階乘 = 1 為止。

這其中，“1 的階乘 = 1”就是我們的最小情況或終止條件，保證了這個遞歸過程能夠最終收斂并返回結果。

在總結前面例子的基礎上，我們可以看到，一個完整而安全的遞歸需要具備以下兩大要素：

a、把問題轉(zhuǎn)化為更小的同類問題

例如，5 的階乘拆分為 5 × 4 的階乘，4 的階乘又繼續(xù)往下分解；

俄羅斯套娃也是一次打開就獲得更小的娃娃。

b、有明確的終止條件

1 的階乘定義為 1；

俄羅斯套娃打開到最里面的那層；

若缺少終止，整個過程可能進入“死循環(huán)”。

就像走樓梯，你知道下一步該往哪里踩（遞歸過程），也知道走到頂端的哪一級階梯就可以停（終止條件）。缺少任何一個要素，遞歸就會失控。

回到格蘭迪數(shù)列的例子，萊布尼茨用 S = 1 - S 這個簡短的遞歸式來“定義”了一個無窮序列的和。

雖然從現(xiàn)代數(shù)學的嚴格性看，它并不完美，但這種以自我調(diào)用的方式對付無窮級數(shù)的思路，依然體現(xiàn)了遞歸的優(yōu)雅與力量。

事實上，很多數(shù)學方法（如遞推關系、歸納法等）都含有類似的思維：

不斷把問題往回帶，再由結果指向問題本身，形成自我循環(huán)。

三

遞歸在自然界，遞歸的身影無處不在：

植物分枝、河流支流、云層形態(tài)等，都可用重復相似的規(guī)則來模擬，形成層層嵌套又自相似的分形結構。

生物胚胎學中，細胞一次次自我復制與分化，最終構建出不同器官與組織，背后也暗含著遞歸式的生長邏輯。

數(shù)學里，除了階乘與歸納法，形如斐波那契數(shù)列、漢諾塔問題、分形幾何等都借助遞歸思維來求解或表達復雜模型。

計算機科學更是將遞歸運用得淋漓盡致：

從經(jīng)典的快速排序、合并排序，到編譯器設計中對語法結構的自我解析，再到人工智能中的循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡（RNN）、LSTM等框架，都是“函數(shù)調(diào)用自身”在算法與程序架構上的有力體現(xiàn)。

現(xiàn)代經(jīng)濟學、金融學也不乏遞歸的影子：

投資者常提及的“復利效應”，正是讓每一階段的收益再次投入，從而層層疊加，呈現(xiàn)指數(shù)式增長；

而市場中的“我猜你猜我猜”心理博弈，則構成多重回環(huán)的動態(tài)過程。

在心理學與社會學領域，個體與環(huán)境彼此塑造的循環(huán)亦可視為遞歸：

一方面，我們的行動塑造身處的環(huán)境，另一方面，環(huán)境又影響并修正我們的后續(xù)行為。

哲學中，涉及自指（Self-reference）與無限回溯的邏輯悖論，更像是沒有終止條件的函數(shù)——一旦形成自我引用，便可能導致思維的循環(huán)或矛盾。

在藝術創(chuàng)作中，遞歸產(chǎn)生了獨特的美感，例如埃舍爾的版畫《畫手》、中國的"煙壺畫中畫"，都巧妙運用了遞歸來創(chuàng)造出引人深思的視覺效果。

而人類語言本身就具有遞歸性質(zhì)，我們可以無限嵌套地表達"我知道你明白他懂得..."這樣的復雜概念。

這種語言特征被認為是人類認知能力的重要標志，也凸顯了遞歸思維在人類智能中的核心地位。

正因如此，遞歸不僅是一種在數(shù)學、編程中備受青睞的技巧，也是一條貫穿自然與社會、個人與群體的“隱形線索”：

只要存在不斷重復的規(guī)則或自我調(diào)用的結構，遞歸就能為我們提供新的視角來理解事物的發(fā)展與演化。

它揭示的，是如何由簡單的局部規(guī)則，反復迭代出無限深遠的可能性，從而讓我們洞察到世界的層層疊疊與生生不息。

四

在社會互動與競爭中，遞歸思維展現(xiàn)出獨特的威力。

最典型的例子，就是凱恩斯提出的"選美競賽"問題：

投資者不是在選擇自己認為最美的選手，而是要預測"大多數(shù)人認為大多數(shù)人認為最美"的選手。這就形成了一個典型的遞歸思維鏈--

我認為 → 別人認為 → 別人認為別人認為 → ...

這種思維模式在現(xiàn)代金融市場中無處不在。

股票投資者不僅要判斷一家公司的真實價值，更要預測其他投資者對這家公司的判斷，甚至要預測"其他投資者如何預測其他投資者的判斷"。

這種層層遞進的思考過程，本質(zhì)上就是一個遞歸結構。

在競技性博弈中，遞歸思維的應用更為直接。以德州撲克為例，一個高水平玩家需要：

• 判斷對手的牌力范圍

• 預測對手對自己牌力的判斷

• 推測對手會如何應對自己可能的行動

• 思考對手會如何預測自己對他行動的反應

這種"我思考你思考我思考你"的過程，形成了一個深度遞歸的推理鏈。

高手對決時，這種遞歸層次可能達到四層甚至更多。

在國際象棋等策略游戲中，遞歸思維體現(xiàn)為對局勢的深度計算：

• 如果我走這步，對手可能會怎么應對？

• 對手這樣應對后，我該如何反制？

• 在我反制后，對手又將如何調(diào)整？

每深入一層，可能性就會成倍增加，這就是為什么計算機在下棋時需要"剪枝"——即在遞歸到一定深度時及時停止，避免計算量爆炸性增長。

博弈論中的"納什均衡"概念，本質(zhì)上也是一個遞歸結構：

每個參與者的策略都是對其他參與者策略的最優(yōu)反應，而其他參與者的策略又是對這個參與者策略的最優(yōu)反應。

這種相互依存的關系，構成了一個完美的遞歸定義。

在這些博弈場景中，遞歸思維幫助我們：

• 構建對對手策略的多層次理解

• 預測市場的整體走向

• 制定最優(yōu)的應對策略

然而，正如格蘭迪數(shù)列一樣，在實際博弈中，過度的遞歸思維可能導致"分析癱瘓"。

事實上，在這個世俗世界上，很少有人需要用到下棋的那種太深的遞歸。而德州撲克高手往往更能贏得紅塵名利中的爭奪，??

因此，找到適當?shù)倪f歸深度，在理性分析和直覺判斷之間取得平衡，才是真正的智慧所在。

順著這個話題，可以有兩個有趣的分支，一個關于投資，一個關于維克瑞拍賣（以及如何避免“精神遞歸”）。也許我會單獨再寫。???????

五

在社遞歸思維給我們的最大啟示，或許在于它揭示了復雜世界的生成邏輯：

看似繁復的事物，往往源于簡單規(guī)則的重復迭代。

正因如此，我們在面臨各種挑戰(zhàn)時，也能用“自我調(diào)用”的方式進行拆解與前進，從而在日常生活、事業(yè)或個人成長中獲得持久動力。

以下幾點或許能為你提供些許思考：

1. 復雜源于簡單的累積

就如同分形圖案由簡單規(guī)則生成壯麗圖景，人生中的重大成就也常來自基本功的反復錘煉。

• 持續(xù)迭代：每天進步一點兒，一年后收獲可能是不少倍的提升，這正是“小量改變 × 不斷重復”所帶來的巨大差異。

• 復利效應：在投資與學習中，小額度的持續(xù)投入會隨著時間的推移而成倍放大，恰似遞歸程序一次次“返回”成功的產(chǎn)出。

• 實踐-總結-改進：讓每次練習或嘗試都成為下一次行動的起點，讓經(jīng)驗和反思反哺新目標，形成正向的迭代循環(huán)。

如同程序必須設置結束條件以防止死循環(huán)，人生中也需要給各種“遞歸”行為明確的邊界。

• 思考有度：過度分析易陷入“決策癱瘓”。懂得適時收束，才能保持行動效率。

• 平衡完美和交付：不必追求面面俱到，知道何時“夠好即可”，是避免陷入無休止打磨的關鍵。

• 知道何時停止深入：當某條路徑無法再帶來收益或動力，就要考慮轉(zhuǎn)向或暫停，防止在錯誤循環(huán)里耗損精力。

個人成長可視作一個典型的“輸出—輸入”遞歸過程：

1. 我們的行動塑造環(huán)境；

2. 環(huán)境的反饋又影響我們下一步的決定；

3. 若是良性循環(huán)，正向反饋會促進自我提升；若是負向循環(huán)，則需及早打破它。

學會觀察并利用這種互相塑造的機制，才能在反復迭代中持續(xù)進步，也能更敏銳地覺察到問題所處的“死循環(huán)”節(jié)點。

4. 把握“遞歸深度”

在社會互動與競爭中，過度遞歸可能讓人陷入盲目猜測，“我以為你以為我以為…”無限延伸，最終導致效率低下或自我懷疑。

• 理性+直覺：理性分析固然重要，但適度留白給直覺與經(jīng)驗，能避免深陷不必要的迷宮。

• 適時截斷：無論是博弈、談判還是職場溝通，知道在何處停止推演，在哪一點達成策略決策，是一門高超的技巧。

遞歸最迷人的地方在于自我指涉，它提示我們要定期反思過去，讓經(jīng)歷與失敗成為新一輪行動的養(yǎng)分。

• 反思與總結：像“函數(shù)返回”一樣，階段性復盤能讓你在“下一層循環(huán)”開始前就吸取經(jīng)驗。

• 自我覺察：每一次“我為什么這樣想？”或“我為什么這樣做？”都是一次“自指”，不斷幫助我們校準前行的方向。

在這個日益復雜的時代，遞歸思維讓我們用“簡單原則”應對“復雜現(xiàn)實”。它提示我們：

在“循環(huán)往復”中尋找增益，在“層層遞進”里掌握平衡，不斷通過反饋、反思與改進讓自己螺旋式地向上。

正如分形的美在于用有限的公式生成無窮復雜，我們的成長亦可在小小的日常行動中迭代深化，以簡馭繁、以不變應萬變。

這，或許就是遞歸帶給我們的最大智慧。

六

在朋友圈看到有人說，今年春節(jié)有點兒奇怪，群里發(fā)紅包的少了，各種不那么熱鬧。

但春節(jié)就是春節(jié)，春節(jié)為每個人提供了一個逃避時間壓迫的特權。--這對于勤勞的國人而言無比稀缺。?????

在這短暫的時間里，我們不免適當逃避，也都在有意識無意識地進行年度“遞歸”。?????

遞歸的"自我引用"可以是正向的，把過去的經(jīng)歷當作新的參數(shù)，以好奇心打開新一年的迭代；

也可能是負向的，在自我否定中越陷越深，讓每一次回顧都成為新的打擊，最終形成沒有終止條件的精神內(nèi)耗。

這種差別，恰如我們在遞歸中常說的：

一個設置了明確終止條件并向上返回結果；

另一個則像和尚講故事般永無止境地消耗下去。

這幾天我看了李一兵寫的《蘇東坡新傳》，寫得真好。很慚愧，此前我?guī)缀跛悴簧稀爸馈碧K東坡。

即使是在文化至上的宋朝，大學士蘇東坡的大半生都是在不如意和流亡中度過的。

但蘇東坡幾乎從來不用“自我批判”來實現(xiàn)某種內(nèi)心的躲避，哪怕他的確做了很多傻事，有些是因為追求正義，有些是因為書生意氣，有些純粹就是傻。

他幾乎從未自我摧毀，哪怕這種看起來似乎荒唐的手段對個體真的有效。

他最多只是自我調(diào)侃，然后把自己還原為一個點，一種存在，進而從更大的空間和時間尺度有所傷，有所感，有所悟，每每悲痛至極，都能躍升至另一層次，看見更廣闊的時空。

蘇東坡僅僅用一支筆，就觸及到了宇宙萬物間的奇妙之極--那種奇妙需要許多年后靠黎曼幾何與愛因斯坦的狂想才能再次被描述。

盡管事實上，蘇東坡在世俗意義上，甚至在肉體上，被對手徹底擊垮了--毫無留情，毫無尊嚴，毫無希望。??????????

可蘇東坡在精神世界上絕無妥協(xié)。他甚至無暇向上天哀怨，向朋友乞憐，向敵手怒吼。

他的并不強健的肉體只是強大的精神世界與人世間的某個接口。人世間或喜或悲的處境，都是一個遞歸的起點，讓他能夠從這個"點"出發(fā)，通過思想的力量，在更高維度上重新審視自我，感知宇宙。

每一次的困境都成為一次向上的遞歸調(diào)用，讓他得以躍升到更高的精神境界。

最后

蘇東坡給出了一個答案：

若想在一生之中真正體驗“遞歸式”的生長與升華，最持久且不受外物擠壓的舞臺，莫過于我們內(nèi)心的精神世界。

物質(zhì)層面上，所謂“復利”常常夾雜變數(shù)與波折，再勤奮的人也未必能如愿獲得穩(wěn)定且豐厚的回報；名利場上更是風云難測，即便一度顯赫，也可能因局勢演變而黯然失色。

然而，精神的“遞歸”卻獨具一片自由天地。????????????????

我們每一次的思考、閱讀、歷險、欣賞或掙扎，都會在內(nèi)心深處沉淀為新的感悟，并在下一次的磨礪與覺醒中被再次調(diào)用，融匯成更廣闊的視野與更強韌的心靈。--"回首向來蕭瑟處，歸去，也無風雨也無晴。"

就像蘇東坡在“起起伏伏”的人生里，一次次把傷痛化作詩文，每一重自省與自嘲，又讓他在更深處開辟全新的靈魂空間。--"竹杖芒鞋輕勝馬，誰怕？一蓑煙雨任平生。"

無論環(huán)境如何險惡，他的精神故土牢不可破，哪怕被放逐海外，依然能夠“遞歸”故土。--“此心安處是吾鄉(xiāng)。”

每一場預料之外的變故或惡人的攻擊，其精神的羽翼都能展翅更高維度，讓我們得以呼吸到更寬闊、更悠遠的氣息。--“九死南荒吾不悔，茲游奇絕冠平生。”

因此，當我們漸漸理解“遞歸思維”在解決實際問題或面對生命挑戰(zhàn)時的精妙，也會發(fā)現(xiàn)：它不僅是一種方法，更是一種人生的算法。

外界的成功或挫敗，只是不斷嵌套進這場“靈魂演算”的具體參數(shù)；

真正重要的，是我們肯不肯一次次把過去投入當下，又在當下超越過去，不斷讓自己得以升級、進化、升華。

就像蘇東坡那般，以自嘲為刀，向痛苦與荒唐開出一道豁口，允許靈魂再度飛升。

或許，這就是精神世界里“遞歸”的力量。

“蓋將自其變者而觀之，而天地曾不能一瞬；自其不變者而觀之，則物與我皆無盡也?！?/strong>

無論人生沉浮何如，只要那份自我追尋與重塑的心火不滅，我們終能在下一個回合，擁有更寬闊的天地。

而在這樣不斷重復又不斷超越的循環(huán)中，我們不僅看見更清晰的自己，也在更廣大更靜穆的宇宙中，尋得一隅篤定與安然。

正因如此，即使眼前起伏不斷、身心疲憊，也依然可以懷抱希望——因為每一次失敗與脆弱，都將成為下一次成長與飛翔的起點。

所以，春節(jié)時分，在時間暫停壓迫你我的現(xiàn)在，也許可以暫時忘掉過去一年的成敗得失，也不必在意未來一年的懸而未決。????????

日月星辰，山河大地，依然壯闊如初。??

東坡先生說了：

“惟江上之清風，與山間之明月，耳得之而為聲，目遇之而成色，取之無禁，用之不竭。是造物者之無盡藏也，而吾與子之所共適?！?/strong>

何必為蠅營狗茍之事，耽擱了如此美好的明月清風？

“人生到處知何似，應似飛鴻踏雪泥?！?/strong>?

春節(jié)時分，你我都被賦予了時間或精神意義上的新起點。?

此時此刻，或許蘇東坡會依照“遞歸”原則，為春節(jié)時分的我們留下這樣的勸慰：?

休對故人思故國，且將新火試新茶，詩酒趁年華。

祝你和家人幸福平安，愿你在新年有新意！