?天不生數(shù)學(xué)，萬(wàn)古如長(zhǎng)夜

2002年6月，41歲的埃隆·馬斯克成立SpaceX，宣布要研究可回收重載火箭。此舉受到了主流航天專家的一致嘲笑與批駁，其中就包括了馬斯克的偶像、人類首次登月的宇航員阿姆斯特朗。

這一度讓馬斯克在接受采訪時(shí)淚目漣漣。他說(shuō)當(dāng)時(shí)很希望阿姆斯特朗來(lái)參觀一下，看看SpaceX員工的努力。

遺憾的是，馬斯克與SpaceX員工努力了11年，也沒(méi)把可回收火箭實(shí)現(xiàn)，因?yàn)榭苫厥栈鸺趧?dòng)力下降階段中的“懸停著陸”難題一直沒(méi)有解決。

直到2013年，幾位數(shù)學(xué)家發(fā)表了《無(wú)損凸化非凸控制邊界和軟著陸最優(yōu)控制問(wèn)題的指向約束》，以無(wú)損凸優(yōu)化技術(shù)(lossless convexification)把非凸問(wèn)題成功轉(zhuǎn)換成了凸優(yōu)化問(wèn)題，為可回收火箭著陸過(guò)程中最優(yōu)控制和指向約束的精確管理開辟了工程可行性。

短短兩年以后，SpaceX的獵鷹火箭回收成功，開創(chuàng)了航天領(lǐng)域的2.0時(shí)代。

但馬斯克的某個(gè)心愿卻一直未遂：

2012年8月，尼爾·阿姆斯特朗因病去世，他永遠(yuǎn)也不可能參觀SpaceX的工廠，與造火箭的年輕人“一笑泯恩仇”了。

但沒(méi)有人責(zé)怪?jǐn)?shù)學(xué)家“我來(lái)晚了”，因?yàn)楹笳哒驹谌祟愔腔鄣捻敹耍疫€伴隨著“強(qiáng)大”與“神秘”的加成，簡(jiǎn)直與奇幻小說(shuō)中的魔法師媲美。

?數(shù)學(xué)系的鄙視鏈

知乎上有一個(gè)很冷門的問(wèn)題：

如果整數(shù)X的13次方等于21982145917308330487013369，X=？

此題的正常解法是這樣的：

1，該數(shù)字尾數(shù)為9，則x個(gè)位數(shù)是9

2，由于100的13次方是一個(gè)27位的數(shù)字，而該數(shù)字有26位，說(shuō)明x是一個(gè)兩位數(shù)，且接近100

3，方程兩邊同時(shí)除以10^26，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（X/100）^13=0.2198

4，令Y=X/100，該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為Y^13≈2/9，兩邊取對(duì)數(shù)得13lnY=ln2-ln3。求解得到lnY≈0.11

5，這就等價(jià)于一個(gè)小數(shù)點(diǎn)后的兩位數(shù)，且百分位數(shù)字是9，現(xiàn)在需要確定十分位。設(shè)Y=z/10，則lnY=lnZ-ln2-ln5，聯(lián)立上式lnY=0.11，得到lnZ≈2.19，這個(gè)數(shù)值介于ln8和ln9之間（注：ln8≈2.1，而ln9≈2.2），故8

6，根據(jù)已知條件，顯然有Z=0.89，因此原問(wèn)題中X=89。

可見，只要具備合適的數(shù)學(xué)思維，原問(wèn)題的計(jì)算難度瞬間就降低到了：

口算級(jí)別。

但它有一個(gè)前提，你必須掌握插值法的基本原理，且熟悉對(duì)數(shù)的基本概念與運(yùn)算。

設(shè)想一下，如果某位小學(xué)生一時(shí)疏忽，在筆記中把lnX寫成10X，無(wú)論我們認(rèn)為TA板書不規(guī)范，還是缺乏對(duì)自然對(duì)數(shù)的基本概念，終歸會(huì)懷疑TA口算解出本題的能力。

當(dāng)然，這不是本文的重點(diǎn)。我之所以列舉這個(gè)例子，是因?yàn)樗匆鹆宋覍?duì)數(shù)學(xué)的痛苦回憶。

我就讀研究僧的第一年，曾和班長(zhǎng)蹬著自行車去阜成門。當(dāng)時(shí)月壇區(qū)域還沒(méi)有金融街的開發(fā)，是一個(gè)極其平價(jià)的官園小商品批發(fā)市場(chǎng)。

我們?nèi)ス賵@市場(chǎng)的目的，是批發(fā)二十幾個(gè)帶有高級(jí)數(shù)學(xué)運(yùn)算和程序編寫功能的計(jì)算器，用于《數(shù)值分析》課程的日常作業(yè)與期末考試。

——它是一門模擬計(jì)算機(jī)算法、求解復(fù)雜計(jì)算問(wèn)題近似解的課程，常用的就是函數(shù)求值、回歸分析、微分方程。無(wú)論哪個(gè)章節(jié)，插值法都是最基本的解題手段。

可以說(shuō)，這是一門方法比較基礎(chǔ)但技巧性很強(qiáng)的課程。

期末考試時(shí)，像我等資質(zhì)愚鈍之徒抓耳撓腮，因?yàn)檎也坏胶线m的差值點(diǎn)而機(jī)械地迭代計(jì)算，計(jì)算器都快按出煙來(lái)；而我們的班長(zhǎng)則閑庭信步地提前交卷，連計(jì)算器都沒(méi)怎么用。

這一點(diǎn)我們是服氣的。畢竟班長(zhǎng)大人有著一絲傳奇色彩。

眾所周知，中國(guó)的大學(xué)排名歷來(lái)很神奇，競(jìng)爭(zhēng)TOP1的大學(xué)有兩所，競(jìng)爭(zhēng)TOP3的有七八所。我們班長(zhǎng)本科就畢業(yè)于某所TOP3的數(shù)學(xué)系，然后在考研時(shí)以數(shù)學(xué)滿分考入我校，不服不行。

當(dāng)我們每次宿舍臥談會(huì)談到數(shù)學(xué)、不自覺地流露出對(duì)班長(zhǎng)的景仰時(shí)，班長(zhǎng)大人就激動(dòng)起來(lái)，連說(shuō)不敢當(dāng)，讓我們莫要亂說(shuō)。

我們只當(dāng)這是他的矜持與謙遜。

直到有一次喝高了，大家又說(shuō)起了該死的數(shù)學(xué)，班長(zhǎng)突然就崩潰了，他大著舌頭說(shuō)了很多。

他說(shuō)他從小就熱愛數(shù)學(xué)，但進(jìn)入大學(xué)后才發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)真的是一個(gè)最吃天賦的專業(yè)，人和人的差距比人和狗的差距還大。

他說(shuō)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的四年本科，其實(shí)就是一個(gè)自我認(rèn)知、自我分流的過(guò)程——每個(gè)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，逐漸排除自己學(xué)不會(huì)的領(lǐng)域，直到找準(zhǔn)自己足夠勝任的專業(yè)。

所以數(shù)學(xué)系存在一條嚴(yán)格的鄙視鏈：

站在生態(tài)位上層的是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，包括代數(shù)、分析與幾何學(xué)。通常而言：

1，如果數(shù)學(xué)系學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己學(xué)不好抽象代數(shù)，他會(huì)自動(dòng)退出代數(shù)領(lǐng)域； 2，如果發(fā)現(xiàn)自己不能自如地理解泛函分析、微分方程，基本就告別分析方向了； 3，至于對(duì)代數(shù)和分析都有極高要求的幾何學(xué)，更是站在鄙視鏈的頂端，普通人亂入該領(lǐng)域，連別人給出的證明過(guò)程都看不懂，真的就生不如死。

告別了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)系學(xué)生，就只能去應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域折騰。例如機(jī)靈點(diǎn)的學(xué)個(gè)統(tǒng)計(jì)，還可以與其他行業(yè)的大牛合作，甚至指導(dǎo)專家們的工作；次一點(diǎn)的去計(jì)算數(shù)學(xué)折騰，去大廠當(dāng)算法專家；最沒(méi)天賦的就去軟件工程/計(jì)算機(jī)技術(shù)，當(dāng)個(gè)碼農(nóng)混口飯吃。

而我們的班長(zhǎng)大人從小就以華羅庚、陳景潤(rùn)為榜樣，結(jié)果在TOP3奮斗了四年后，黯然神傷地離開了心心念的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)領(lǐng)域…

感到內(nèi)心受傷的他跨專業(yè)考入我校，結(jié)果卻發(fā)現(xiàn)課程表里居然有《數(shù)值分析》這樣的渣渣課程——這是計(jì)算數(shù)學(xué)的專業(yè)課程呀，搞了半天又雙叒叕進(jìn)入了鄙視鏈的底部？

那一天，放飛自我的班長(zhǎng)直接把我們干沉默了。因?yàn)檫@意味著一件特別商自尊的事：

大家從小學(xué)混到研究僧，年年學(xué)數(shù)學(xué)，自以為基礎(chǔ)還比較扎實(shí)。突然間我們中的佼佼者大喝一聲，“在座各位包括我在內(nèi)，都是學(xué)渣”，大伙兒的道心，當(dāng)場(chǎng)就碎了一地。

（這種道心破碎的糟糕感覺，古今無(wú)不同）

而中學(xué)階段表現(xiàn)平平、中專月考差強(qiáng)人意、余元公式都能寫錯(cuò)的某位姜同學(xué)，突然就開了天眼大殺四方…在邏輯上有沒(méi)有問(wèn)題呢？

當(dāng)然，在數(shù)學(xué)史上，不排除有天賦異稟的野生奇才，卻因?yàn)榧彝ヘ毨Ф蔀閷I(yè)教育的漏網(wǎng)之魚。

例如印度數(shù)學(xué)家拉馬努金就沒(méi)受過(guò)正規(guī)的高等數(shù)學(xué)教育，不得不在一家會(huì)計(jì)師事務(wù)所打工糊口，最后還因?yàn)榉谓Y(jié)核，33歲就去世了。

拉馬努金研究的是數(shù)論，這是一門源于代數(shù)，但又與分析、幾何密切相關(guān)的數(shù)學(xué)分支。他的天才體現(xiàn)于他神奇的直覺。

例如拉馬努金曾寫出一個(gè)快速收斂π值的神秘公式，其模樣如下：

它的收斂性快到了何等逆天的程度呢？簡(jiǎn)而言之就是“k每增加1，π值收斂8位”，例如：

當(dāng)k=0時(shí)，計(jì)算得到π= 3.1415927300133； 當(dāng)k=1時(shí)，計(jì)算得到π= 3.1415926535897936。

就在這一瞬間，割圓法、微積分求解π值的方法突然就不香了，還讓背誦著“祖沖之領(lǐng)先世界一千年”的小學(xué)生無(wú)所適從…

由于拉馬努金沒(méi)有給出公式推導(dǎo)的過(guò)程，這讓數(shù)學(xué)家們犯了難：公式中的各項(xiàng)參數(shù)是如何確定的？

尤其是分母中（1103+26390k）這一項(xiàng)，怎么就湯姆的能想到加一個(gè)常數(shù)呢？！

更離譜的是，如果把常數(shù)1103替換成其他數(shù)字，這個(gè)公式的收斂性就會(huì)大幅度下降，泯然眾人。

大神的世界，宵小們不懂啊。

但即使是野生天才拉馬努金，也在第一次接觸數(shù)學(xué)時(shí)就顯示了非凡的天賦（他10歲才學(xué)到正規(guī)的數(shù)學(xué)，11歲時(shí)就已經(jīng)自學(xué)了大學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，26歲時(shí)被劍橋大學(xué)著名數(shù)學(xué)家哈代收歸門下），而不是基本概念都沒(méi)弄懂、高中難度的考卷都考不好的天才。

畢竟數(shù)學(xué)就是這樣一門不會(huì)欺騙自己的課程，數(shù)學(xué)不會(huì)就是真不會(huì)。

?數(shù)學(xué)家的倔強(qiáng)

一語(yǔ)成讖的是，研究僧畢業(yè)后，我們的班長(zhǎng)在一家國(guó)資軟件開發(fā)公司找了份寫代碼的工作，如愿以償?shù)爻蔀榱艘幻麛?shù)學(xué)系向社會(huì)輸送的“基礎(chǔ)型人才”。

但這又有什么關(guān)系呢。

與按照天賦強(qiáng)行碾壓的數(shù)學(xué)系鄙視鏈相比，社會(huì)這所大學(xué)里存在著一條反向的數(shù)學(xué)鄙視鏈——干應(yīng)用研究的職位更多、薪酬更高，總體待遇遠(yuǎn)好過(guò)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究者。

甚至于，這也是全球數(shù)學(xué)界的尷尬現(xiàn)狀。

2013年4月，華裔數(shù)學(xué)家張益唐在《數(shù)學(xué)年刊》發(fā)表《質(zhì)數(shù)間的有界間隔》，證明了存在無(wú)窮多對(duì)質(zhì)數(shù)間隙都小于7000萬(wàn)，它讓人類距離“孿生素?cái)?shù)猜想”的最終解決，縮小至“一根頭發(fā)絲”一樣的程度，成為近年來(lái)數(shù)論方面的重大突破。

而張益唐本身的曲折經(jīng)歷，給這一成就增添了傳奇色彩。

《紐約客》以它獨(dú)特的筆調(diào)看法了一則專稿，開頭部分大致是這樣的：

當(dāng)《數(shù)學(xué)年刊》以130年來(lái)最快審核記錄接收張益唐的論文后，這位長(zhǎng)期擔(dān)任講師的新罕布什爾大學(xué)員工給他的妻子打了一個(gè)電話，平靜地提醒妻子注意這幾天的報(bào)紙，她將在上面看到他的名字。

在餐館擔(dān)任服務(wù)員的妻子不耐煩地說(shuō)，你是不是又在你的校友家…喝醉了？

張和他的妻子，是在一家快餐店人士的。當(dāng)時(shí)他們都是這家店鋪的小時(shí)工。

事實(shí)上，攻讀數(shù)學(xué)博士的7年，對(duì)于從中國(guó)來(lái)到美國(guó)的張來(lái)說(shuō)并不是一段美好記憶。

在博士畢業(yè)時(shí)，他沒(méi)有得到導(dǎo)師的推薦信，也沒(méi)有找到教職的工作，不得不去超市當(dāng)收銀員、在賽百味（subway）賣漢堡，并由此認(rèn)識(shí)了他的太太。

幸運(yùn)的是，在他的北大同學(xué)的幫助下，張?jiān)谛潞辈际矤柎髮W(xué)找到了一份臨時(shí)教職工作，負(fù)責(zé)給大一本科生教微積分——他用6年時(shí)間才轉(zhuǎn)為講師，并看起來(lái)要在講師位置干到退休。

文章被接受的消息傳開后，新罕布什爾大學(xué)告訴張益唐，他被破格提拔為專職科研的助理教授，他的同事都對(duì)此表示祝賀。只有年邁的女教學(xué)秘書憂心忡忡地詢問(wèn)：

張還會(huì)給數(shù)學(xué)系的飲水機(jī)換水嗎？

這位接近退休的老太太始終沒(méi)有明白，有些事情是注定的，而張益唐就是這樣被注定的人，所以他才會(huì)抓住機(jī)會(huì)，如彗星般地崛起。

但對(duì)于張?zhí)裕稊?shù)學(xué)年刊》的肯定非常有意義。

有時(shí)候，勝利不是一切，它是唯一。

張益唐的故事告訴我們，沒(méi)有過(guò)人的天賦，千萬(wàn)不要碰瓷基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，會(huì)變得不幸。

例如你看文體圈的學(xué)霸設(shè)定與明星們的天才子女，基本都在秀英語(yǔ)、秀藝術(shù)、秀馬術(shù)，秀服裝設(shè)計(jì)，就沒(méi)有一個(gè)敢碰瓷數(shù)學(xué)的。

因?yàn)檫@是一項(xiàng)門檻極高而又費(fèi)力不討好的工作。

從這個(gè)意義上說(shuō)，推動(dòng)“天才數(shù)學(xué)少女”的幕后主角，還真是勇者無(wú)畏、熱愛數(shù)學(xué)啊。

2022年11月，加州大學(xué)圣巴巴拉分校數(shù)學(xué)系終身教授張益唐發(fā)布了攻克 Landau-Siegel 零點(diǎn)猜想的相關(guān)論文，再次引起數(shù)學(xué)界的轟動(dòng)。

有趣的是，張益唐饒有興致地在知乎上回答了關(guān)于零點(diǎn)猜想的問(wèn)題。他回應(yīng)了吃瓜群眾對(duì)他經(jīng)歷的八卦，也跟著感慨了自己早年的艱辛，但又堅(jiān)定地表示：

幾年前，有位導(dǎo)演找到我說(shuō)，想把我的故事拍成電影，就像納什的《美麗心靈》，我不希望拍，不希望再給我干擾… 關(guān)于我的未來(lái)，這些數(shù)學(xué)問(wèn)題我是不會(huì)丟掉的。我覺得我大概這一輩子就是做數(shù)學(xué)的命了，我不做數(shù)學(xué)都不知道干什么。

其實(shí)吧，張老師明顯還是過(guò)謙了。這位1978年考入北大數(shù)學(xué)系的年輕人，曾喜愛蘇小明的流行歌曲、喜歡杜甫的古典詩(shī)詞，還想躍向遠(yuǎn)方，變成天上半明半暗的云。

只是由于各種原因，他的生活被改變了原有的樣子，但又在無(wú)可匹敵的天賦下，強(qiáng)行扭轉(zhuǎn)了自身的命運(yùn)。

在他名聲鵲起之時(shí)，有人問(wèn)起杜甫的哪一首詩(shī)最能概括當(dāng)時(shí)的心情。張益唐毫不猶豫地引用了《詠懷古跡》中的兩句：

庾信平生最蕭瑟，暮年詩(shī)賦動(dòng)江關(guān)。

也許，這就是數(shù)學(xué)家的倔強(qiáng)，也是數(shù)學(xué)的浪漫。

——（全文完）——

寫在后面的話：

對(duì)于寫長(zhǎng)文章的自媒體而言，談及俄烏戰(zhàn)爭(zhēng)、巴以沖突、中醫(yī)效果、天才兒童…等相關(guān)問(wèn)題，非常地?cái)∪似贰Ｒ驗(yàn)殚L(zhǎng)文章自古以來(lái)就和情緒輸出對(duì)立；而又有些問(wèn)題已經(jīng)脫離了事實(shí)之爭(zhēng)，演變?yōu)樾叛鰡?wèn)題。

例如天才中專少女勇闖數(shù)學(xué)競(jìng)賽的新聞成為輿論熱點(diǎn)后，我在很久以后才參與討論，寫了兩篇文章。它們的重點(diǎn)，都不是討論姜同學(xué)本人，而是其他。

例如第一篇文章《》，調(diào)侃人民日?qǐng)?bào)關(guān)于“姜同學(xué)與她（潛在）的5次菲爾茲獎(jiǎng)”，明白人都知道，這是譏諷某些媒體人的“造神運(yùn)動(dòng)”。

而第二篇文章《》，我感嘆競(jìng)賽組織者悄然篡改對(duì)姜萍的宣傳視頻，試圖淡化、修改大眾記憶的行為，認(rèn)為這是一項(xiàng)違背程序正義的事情。它的性質(zhì)，與江西指鼠為鴨事件、甘肅天水煙草證“補(bǔ)證據(jù)”事件是同等危險(xiǎn)的。

嘿，您猜怎么著？

文章發(fā)出來(lái)之后，我收到了兩位數(shù)的后臺(tái)私信。溫柔點(diǎn)的勸我“君子不立危墻之下，等結(jié)果出來(lái)后再評(píng)論為好”，急躁的直接給我扣上“你這是一種誤導(dǎo)，你沒(méi)有證據(jù)證明她不是天才”，然后熟練地拉黑、取關(guān)一條龍。

搞得我心里沉甸甸的，反思自己是不是一個(gè)傷害了新時(shí)代獨(dú)立女性的渣男。

這么說(shuō)吧，這世界上有一種人，他們對(duì)自身匱乏的某種知識(shí)有著樸素的圖騰崇拜，但又對(duì)獲取知識(shí)的艱辛與成本有著莫名的內(nèi)心蔑視；他們舍得為看不懂的知識(shí)而付費(fèi)，卻又認(rèn)為（對(duì)天才而言）知識(shí)的獲得毫不費(fèi)力。

這種內(nèi)心糾結(jié)與撕裂，讓我想起了1993年《科幻世界》刊發(fā)的一篇短篇小說(shuō)，故事梗概是：

某研究所的年輕學(xué)者在一個(gè)史前遺跡中發(fā)現(xiàn)了刻有“科學(xué)”等字眼的文物，機(jī)緣巧合之下，他穿越到這個(gè)原始部落中，并與年輕漂亮的女主愛得死去活來(lái)。

但有一天恰逢日全食，眼見陽(yáng)光越來(lái)越暗，酋長(zhǎng)把女主當(dāng)作祭品，綁著往火刑柱上送。驚怒之下，男主跳起了大神，預(yù)言太陽(yáng)很快就會(huì)復(fù)原。當(dāng)日食結(jié)束后，抱得美人歸的男主激動(dòng)地教育部落人：不許迷信，相信科學(xué)。

于是，男主一肚子的現(xiàn)代科學(xué)，就此成為部落的神秘圖騰。他們把“科學(xué)教派”的詞匯刻在金石之上，流芳千古。

因此，作為一名曾經(jīng)的數(shù)學(xué)學(xué)渣，我覺得有必要科普一下數(shù)學(xué)的八卦故事。

數(shù)學(xué)就是數(shù)學(xué)，不應(yīng)該成為高高在上的圖騰，也不應(yīng)該成為埋在隱秘角落、等待墜崖的傻瓜來(lái)挖掘的武林秘籍。

數(shù)學(xué)，不該是這個(gè)樣子的。

其實(shí)早在1945年，卡爾波普就把證偽主義的理論外延至社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域，他認(rèn)為證偽與祛魅比所謂的民主平等、專業(yè)知識(shí)更加重要。這本哲學(xué)類暢銷書有一個(gè)大名鼎鼎的名字：

《開放社會(huì)及其敵人》。

毫無(wú)疑問(wèn)，誰(shuí)是我們的朋友，誰(shuí)是我們的敵人，這是科學(xué)的首要問(wèn)題。

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26 Jun 2024

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