打發(fā)業(yè)余時(shí)間的方法有很多，追劇的、看小說的、練書法的、學(xué)跳舞的……不過，我從來沒見過業(yè)余時(shí)間學(xué)數(shù)學(xué)的。這是因?yàn)閷W(xué)數(shù)學(xué)的大腦中樞是人的痛苦中樞，大腦在處理數(shù)字和感受針刺是同一片區(qū)域，所以有的人學(xué)數(shù)學(xué)就頭痛，這導(dǎo)致他們對數(shù)學(xué)產(chǎn)生天生逃避反應(yīng)。越逃避，自然就越難學(xué)。不過今天老郭想用一種比較溫柔的方式，以離散量和連續(xù)量為例，療愈這種數(shù)學(xué)頭痛。

一、多少個(gè)和多少

我們可以說書架上有多少本書，但不能說杯子里有多少個(gè)水，對于水只能說多少而不能說多少個(gè)，因此多少個(gè)和多少的意義是不一樣的。

書是分離、獨(dú)立存在的，數(shù)學(xué)上把很多這樣的分離的物體的集合叫做集，我們在數(shù)數(shù)目的時(shí)候，回答的時(shí)候要帶上單位，比如書的單位是本，蘋果則是個(gè)，羊可以用只等等，這類東西就稱作離散量。

與這些帶單位的離散量相比，測量有多少水這樣的量就稱作連續(xù)量。因?yàn)楸永锏乃皇且粋€(gè)個(gè)分離的，而是連續(xù)變化的（不考慮物質(zhì)的可分性）。不論杯子里的水分到多么微量也是水，不改變。把兩杯水倒入同一個(gè)大杯中，是一大杯水，也沒有接縫。像水這樣能夠自由地分開和結(jié)合的東西就被稱為連續(xù)量。

二、離散量和連續(xù)量的轉(zhuǎn)換

在生活中離散量和連續(xù)量也不是絕對的。我的母親跟我說過這樣一件事，當(dāng)年自然災(zāi)害的時(shí)候（1962年），家里有一小碗黃豆，可是全家有8口人，不夠分，姥姥吧黃豆做成了豆?jié){，這樣所有人就都能吃到黃豆了。姥姥把離散量的黃豆，變成了連續(xù)量的豆?jié){，從而解決了分黃豆的難題。

就像姥姥分黃豆這個(gè)例子那樣，數(shù)學(xué)中的離散量和連續(xù)量概念是隨著人類進(jìn)化過程，在生產(chǎn)和生活中自然形成的。像摘果子這種，有自然數(shù)1、2、3……就夠了，但如果是一個(gè)部落有30人，出去打了1頭牛，7只羊這種情況，就需要把離散的量變成連續(xù)的量才好分。

三、連續(xù)量的測量

是不是感覺回到了老郭擅長的物理啊，事實(shí)上，數(shù)學(xué)是一種抽象的思維方法，當(dāng)然也包含著對物理操作的抽象。如前文所說的，那些離散的量，我們對其的操作是數(shù)（讀屬），而對于連續(xù)量，我們就需要進(jìn)行測量。

比如隨便抓兩把黃豆比較那邊的多，就可以找來兩只碗，分別一個(gè)個(gè)放入黃豆，最后那邊有剩余那邊就多。但對于不可以數(shù)的連續(xù)量就不能這樣操作了。比如比較兩個(gè)人的身高，你可以讓他們站在一起，誰的個(gè)頭高一眼就能看出來。但如果是比較兩個(gè)樓盤中的兩棟樓，就不能把它們湊一塊比較。

既然不能直接比較，自然就產(chǎn)生了間接比較的需要，出于間接比較的需要，就產(chǎn)生了單位。比如長度、時(shí)間、質(zhì)量都是如此。隨著不同地區(qū)的人大范圍的比較需要，就產(chǎn)生了對于最基本的度量單位進(jìn)行統(tǒng)一的需要，這種情況在中國秦朝的時(shí)候就出現(xiàn)了，叫做統(tǒng)一度量衡。

以測量距離為例，有一張弓的射程是150步，你自然會想到的是，把射程分割成150份，這里面的“步”就是最基本的測量單位，所以說測量離不開分割，連續(xù)量的測量，就是要把連續(xù)量分割成離散量進(jìn)行數(shù)數(shù)后的比較。

四、連續(xù)量的表示方法

還是以前面那張弓為例，測量實(shí)際射出去的箭的射程會發(fā)現(xiàn)，每次發(fā)射，射程都不是在精確的150步，可能會遠(yuǎn)一點(diǎn)，也有可能會近一點(diǎn)。那么差的那點(diǎn)怎么辦呢？其實(shí)也好辦，就是找來一根繩子長度等于標(biāo)準(zhǔn)步長的繩子。

通過折疊繩子使得折疊后的長度剛好等于差的那點(diǎn)距離就可以了。如果繩子被折成7折，那么這張弓本次發(fā)射的距離可以是150右1/7步或者是149右6/7步。很顯然，用這樣方法得到的是一個(gè)用分?jǐn)?shù)來表達(dá)的連續(xù)量。

然而，用分?jǐn)?shù)來表達(dá)一個(gè)連續(xù)量并不直觀?；貞浺幌鲁踔袛?shù)學(xué)中我們學(xué)到的實(shí)數(shù)軸，就是一根標(biāo)記有零點(diǎn)、正方向、兩端無限延伸的直線。由于直線是連續(xù)的，可以無限細(xì)分下去的，這樣就是不論多少都能分割。

而直線上點(diǎn)的位置，可以用小數(shù)來表示。比如身高是176厘米，可以表示成1.76米。用這樣的表示方法，別說是比較兩個(gè)樓盤中樓宇的高度，就是去比較兩個(gè)星球上山峰的高度也行。同樣的，所有的連續(xù)量都可以用這樣的數(shù)軸來表示，或者用它在數(shù)軸上的坐標(biāo)（數(shù)字）來表示。

結(jié)束語

相信您看到這里應(yīng)該明白了，數(shù)學(xué)中的離散量和連續(xù)量是真實(shí)存在的，它們是具有離散性質(zhì)和連續(xù)性質(zhì)的所有物體的高度抽象。希望看完本篇文章的您，能多少療愈一些數(shù)學(xué)逃避反應(yīng)，也祝您能在數(shù)學(xué)的海洋中——乘風(fēng)破浪。