非歐幾何學(xué)的發(fā)現(xiàn)與幾何學(xué)的發(fā)展

在這一歷史時(shí)期，數(shù)學(xué)中最為引人注目的工作之一應(yīng)當(dāng)說是非歐幾里得幾何學(xué)(簡(jiǎn)稱非歐幾何學(xué)）的創(chuàng)立，歐幾里得(約公元前330年——公元前275年，古希臘人）在他的《幾何原本》中以所謂的公設(shè)和公理的形式給出了幾何學(xué)的一些基本前提，其中平行公理(在《幾何原本》中稱之為第五公設(shè)，在《幾何原本》的另外一些版本中稱之為第十一公理）現(xiàn)在通常是這樣敘述的："通過不在已知直線上的一個(gè)點(diǎn)，不能引多于一條的直線，平行于已知直線"。由于歐幾里得平行公理的陳述不夠自明，又更像一條定理，因而引起人們的極大關(guān)注，所以數(shù)學(xué)家試圖用更為自明的命題代替它，或試圖從歐幾里得的其它公設(shè)與公理中將其推導(dǎo)出來。從希臘時(shí)代起，將歐幾里得平行公理作為定理從其它的公設(shè)與公理推導(dǎo)出來的嘗試，使數(shù)學(xué)家忙碌了兩千多年，提出過了這樣或那樣的證明。但是最終發(fā)覺在每一證明中或早或遲都使用了等價(jià)于歐幾里得平行公理的一條命題。換句話說，所有的這種證明都無法逃脫循環(huán)論證的錯(cuò)誤。

盡管如此，然而在一些研究工作中還是蘊(yùn)涵了積極的思想，在這里首先應(yīng)當(dāng)提到的是薩開里(1667-1733，意大利）的研究工作。薩開里于1733年出版了一部書名為《排除任何謬誤的歐幾里得》的著作。在這部著作中薩開里考慮一個(gè)四邊形ABCD，其中∠A＝∠B，它們都是直角，并且AD＝BC。容易證明：∠C＝∠D。此二角的大小只有三種可能，即為鈍角、直角與銳角，薩開里稱它們分別為鈍角假設(shè)、直角假設(shè)與銳角假設(shè)。由于歐幾里得平行公理等價(jià)于直角假設(shè)，因此薩開里考察了另外兩種可能的選擇。在鈍角假設(shè)的基礎(chǔ)上，應(yīng)用歐幾里得的其它公理，薩開里很容易地推導(dǎo)出矛盾。在銳角假設(shè)下，薩開里證明了一系列有趣的結(jié)果，得到了現(xiàn)今非歐幾里得幾何學(xué)中許多經(jīng)典定理。最后，在討論已知直線與過這直線外一點(diǎn)的直線族的位置關(guān)系時(shí)，薩開里推導(dǎo)出兩條漸近直線在無窮遠(yuǎn)必有一條公垂線。他雖然沒有得到任何矛盾，但卻斷言這一結(jié)論與通常觀念顯然不合情理，于是判定銳角假設(shè)不真實(shí)。所以，薩開里堅(jiān)信歐幾里得平行公理可以證明，并且自認(rèn)為完成了歐幾里得平行公理的證明。在薩開里那里，雖然直觀的合理性和邏輯的必然性被混為一談，但是他所開創(chuàng)的方法畢竟開辟了一條通向非歐幾里得幾何學(xué)的途徑。

后來，蘭伯特(1728-1777，德國）于1766年完成了題為《平行線論》的研究報(bào)告(1786年出版），他沿用薩開里的方法，從考察一個(gè)有三個(gè)角都是直角的四邊形出發(fā)，討論第四個(gè)角是銳角、直角或鈍角的可能性，并且相應(yīng)地作出三種假設(shè)。蘭伯特否定了鈍角假設(shè)，但是在銳角假設(shè)下得不出矛盾時(shí)，他對(duì)歐幾里得平行公理的可證明性提出了懷疑。蘭伯特認(rèn)識(shí)到任何一組幾何假設(shè)，如果不導(dǎo)致矛盾，則一定可以提供一種可能的幾何學(xué)。蘭伯特的思想是先進(jìn)的，這是認(rèn)識(shí)上的一個(gè)突破，沒有這種認(rèn)識(shí)上的突破，非歐幾里得幾何學(xué)就不可能被發(fā)現(xiàn)。直到19世紀(jì)開始時(shí)，雖然歐幾里得平行公理的證明問題還是沒有解決，但是在蘭伯特之后關(guān)于歐幾里得平行公理的不可證明的思想在許多數(shù)學(xué)家的思想中萌發(fā)出來了。誠然，堅(jiān)持蘭伯特的思想，沿用薩開里開創(chuàng)的方法，必將導(dǎo)致非歐幾里得幾何學(xué)的發(fā)現(xiàn)。

非歐幾里得幾何學(xué)的發(fā)現(xiàn)應(yīng)歸功于高斯(1777-1855，德國）、羅巴切夫斯基(1793-1856，俄國）和波爾約(1802-1860，匈牙利）三位數(shù)學(xué)家。

羅巴切夫斯基大約在1815年開始研究歐幾里得平行公理問題。最初，羅巴切夫斯基與許多數(shù)學(xué)家一樣相信歐幾里得平行公理是可以證明的。在1823-1826年期間，羅巴切夫斯基曾試圖用與薩開里相同的方法證明歐幾里得平行公理。后來，羅巴切夫斯基果斷地放棄了這種想法，他清楚地認(rèn)識(shí)到在不同的公理基礎(chǔ)上可以建立不同的幾何體系，附加歐幾里得平行公理是建立歐幾里得幾何學(xué)所必需的，以及由歐幾里得平行公理的否定命題出發(fā)而得到的結(jié)果將代表一種新的幾何學(xué)。1826年2月23日羅巴切夫斯基在喀山大學(xué)的一次學(xué)術(shù)報(bào)告會(huì)上以《幾何學(xué)原理的扼要闡述，暨平行線定理的一個(gè)嚴(yán)格證明》為題宣讀了他的關(guān)于非歐幾何學(xué)的論文，第一次公開了導(dǎo)致幾何學(xué)革命的新思想。但是，這篇論文中所闡述的思想沒有被人們理解。1829年羅巴切夫斯基把這一偉大發(fā)現(xiàn)寫進(jìn)了《論幾何學(xué)基礎(chǔ)》的論文發(fā)表在《喀山通報(bào)》上，這是關(guān)于非歐幾里得幾何學(xué)的最早發(fā)表的文獻(xiàn)。

羅巴切夫斯基將歐幾里得平行公理改為它的否定命題，同時(shí)保留其它公理不變，在這一基礎(chǔ)上建立了一個(gè)新的幾何體系。羅巴切夫斯基稱之為虛幾何學(xué)，后人稱之為羅巴切夫斯基幾何學(xué)，或簡(jiǎn)稱為羅氏幾何學(xué)，也稱之為雙曲幾何學(xué)。當(dāng)然，在這一新的幾何學(xué)中不少結(jié)果將不可避免地與薩開里等人的工作一致。根據(jù)羅巴切夫斯基幾何理論，給出一條直線l與這條直線l外的一點(diǎn)C，則通過C點(diǎn)的所有直線關(guān)于直線l將被分成兩類，一類直線與l相交，另一類直線不與l相交，構(gòu)成兩類直線之間的邊界直線p與q屬于后一類，稱為平行線。換言之，若記C點(diǎn)到直線l的垂直距離CD為a，則存在一個(gè)角π(a)，稱之為線段CD的平行角，使得所有過C點(diǎn)與CD所成的角小于π(a)的直線將與直線l相交，過C點(diǎn)的其它直線將不與直線l相交。在羅巴切夫斯基幾何學(xué)中，除平行線外，過C點(diǎn)而不與直線l相交的直線稱為分散線，或超平行線。但是在歐幾里得意義下這些直線與直線l平行，所以從這意義說，在羅巴切夫斯基幾何學(xué)中過C點(diǎn)有無窮多條直線平行于直線l。

與羅巴切斯基同時(shí)，波爾約也獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了非歐幾里得幾何學(xué)，他把研究結(jié)果寫成題為《絕對(duì)空間的科學(xué)》的論文，附錄于他父親的一部討論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的著作之后，在1832年出版。

高斯約在1816年期間就獲得非歐幾里得幾何學(xué)的基本思想，他已認(rèn)識(shí)到歐幾里得平行公理不能在歐幾里得幾何學(xué)的其它公理、公設(shè)的基礎(chǔ)上證明，并且得到了在邏輯上相容的一種非歐幾里得幾何學(xué)，在其中歐幾里得平行公理不成立。然而高斯始終沒有把這些研究結(jié)果發(fā)表出來，在一封信中他解釋說，是因?yàn)楹ε逻@一思想不能被人們理解。

誠然，作為非歐幾里得幾何學(xué)發(fā)現(xiàn)的直接結(jié)果是歐幾里得平行公理的問題被最終解決，即歐幾里得平行公理被證明是獨(dú)立于歐幾里得幾何學(xué)的其它假設(shè)。兩千多年來，歐幾里得幾何空間一直被認(rèn)為是反映現(xiàn)實(shí)世界的唯一正確的幾何空間，但是非歐幾里得幾何學(xué)的發(fā)現(xiàn)使得這種根深蒂固的觀念動(dòng)搖了，從而為后世創(chuàng)造不同的幾何體系開辟了道路。

非歐幾里得幾何學(xué)的創(chuàng)立在數(shù)學(xué)中導(dǎo)入了富有革命性的思想，但是由于它背叛了傳統(tǒng)觀念，因此在它創(chuàng)立之初并未引起人們的重視。1866年貝爾特拉米(1835-1899，意大利）發(fā)表了《論非歐幾何的解釋》的論文，給出了羅巴切夫斯基幾何學(xué)的第一個(gè)模型——偽球面模型，從而羅氏幾何學(xué)在數(shù)學(xué)上得到了確認(rèn)。

1854年，黎曼(1826-1866，德國）作了題為"關(guān)于幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)"的講演，提出了一種更為廣泛的幾何學(xué)，后來被稱為黎曼幾何學(xué)。黎曼推廣了高斯曲率概念，提出以非歐幾里得的黎曼空間的曲率概念作為歐幾里得空間以及各種非歐幾里得空間之間差異的量度。在一般的黎曼空間中，空間中每一點(diǎn)的曲率是不同的，所以黎曼空間的本質(zhì)是不均勻的。在特殊情況下，黎曼空間可以具有常曲率。常曲率空間有三種類型，①零曲率空間，即歐幾里得空間；②負(fù)曲率空間，即羅巴切夫斯基空間；③正曲率空間，即狹義的黎曼空間，或橢圓幾何空間。于是歐幾里得幾何學(xué)與羅巴切夫斯基幾何學(xué)都成為一般的黎曼幾何學(xué)的特例。黎曼的講演于1868年刊行出版，黎曼的研究工作是幾何學(xué)發(fā)展上的一次突破，從而使人們逐漸認(rèn)清了非歐幾里得幾何學(xué)發(fā)現(xiàn)的革命意義。后來，由于凱萊(1821-1895，英國）與克萊因(1849-1925，德國）等成功地將各種度量幾何學(xué)歸入射影幾何學(xué)，以及代數(shù)學(xué)中新概念的確立，從而導(dǎo)致在19世紀(jì)70年代實(shí)現(xiàn)了幾何學(xué)的一次大綜合，即用群論的觀點(diǎn)來刻劃各種幾何學(xué)的特征。

1872年，克萊因在德國埃爾朗根大學(xué)的教授職位就職時(shí)作了題為《近代幾何學(xué)研究的比較評(píng)述》的講演，克萊因在演講中闡述的基本觀點(diǎn)是，每一種幾何學(xué)都是由變換群所刻劃，并且各種幾何學(xué)所要做的實(shí)際上就是在這個(gè)變換群下討論其不變量。在這次講演中克萊因論述了變換群在幾何學(xué)中的重要作用，從變換群的觀點(diǎn)對(duì)各種幾何學(xué)進(jìn)行了分類，將各種幾何學(xué)看作為某種變換群的不變量理論，以群論為基礎(chǔ)統(tǒng)一幾何學(xué)。根據(jù)克萊因的觀點(diǎn)，各種幾何學(xué)都化為統(tǒng)一的形式�？巳R因在這次演講中所表述的處理、研究幾何學(xué)的觀點(diǎn)和方法，后來以"埃爾朗根綱領(lǐng)"之稱聞名于世，它對(duì)于幾何學(xué)與物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了重大的影響。