“帶狀一致性”（Ribbon concordance）讓數(shù)學(xué)家通過在四維空間中把結(jié)鏈接起來比較結(jié)。

作者：Leila Sloman 2022-5-18 譯者：zzllrr小樂 2022-5-18

如果兩個(gè)結(jié)可以與一種四維圓柱體連接，則它們是一致的。

在 1981 年，卡梅隆·戈登（Cameron Gordon）就引入了一種關(guān)聯(lián)兩個(gè)結(jié)的新方法——以單根線或繩子中出現(xiàn)的結(jié)為模型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在他的論文中，他猜測這種新的關(guān)系可以用來根據(jù)結(jié)的復(fù)雜程度來排列結(jié)組。

今年冬天，加州大學(xué)伯克利分校的數(shù)學(xué)家Ian Agol發(fā)表了一篇六頁論文《結(jié)的帶狀一致性是一種偏序》https://arxiv.org/abs/2201.03626 ，證明了 Gordon 的猜想，為數(shù)學(xué)家提供了一種按復(fù)雜度對(duì)結(jié)排序的新方法?！斑@篇論文真正令人驚訝的是，它非常短，”馬克斯普朗克數(shù)學(xué)研究所的研究員Arunima Ray說?！捌浯?，它使用的一些工具，比如說，對(duì)于這個(gè)特定問題來說是不尋常的?！?/p>

這個(gè)問題的進(jìn)展一直很緩慢，直到 2019 年，普林斯頓大學(xué)的數(shù)學(xué)家Ian Zemke展示了如何將強(qiáng)大的新方法應(yīng)用到 1980 年代還不存在的問題上。一年多前，Agol 得知了這個(gè)猜想，并于去年秋天晚些時(shí)候開始認(rèn)真研究它。

“這很好，其他人也在考慮這個(gè)問題，”德克薩斯大學(xué)奧斯汀分校教授Gordon說?！叭缓?，有點(diǎn)出乎意料的是，Ian Agol帶著他漂亮的簡短、優(yōu)雅的證明出現(xiàn)了?！?/p>

Gordon的猜想是紐結(jié)理論中試圖組織無限糾纏的紐結(jié)宇宙的眾多猜想之一。這個(gè)項(xiàng)目的核心是觀察到你可以通過扭轉(zhuǎn)或滑動(dòng)繩索來徹底改變繩結(jié)的外觀。（為了防止數(shù)學(xué)家簡單地解開繩子并隨心所欲地重新系上，繩子的末端被合并形成一個(gè)封閉的環(huán)，就像橡皮筋一樣。）給定結(jié)的圖紙，紐結(jié)理論學(xué)家試圖找出哪些是真正不同的，哪些是對(duì)同一對(duì)象的不同描述。

“你把[兩個(gè)結(jié)]扔在桌子上，它們可能看起來完全不同，對(duì)吧？” Gordon說?！暗绻憧梢砸苿?dòng)一個(gè)，讓它看起來和另一個(gè)完全一樣，那么你就說這些結(jié)是一樣的?！?/p>

弄清楚哪些結(jié)是等價(jià)的是非常困難的。一個(gè)簡單的環(huán)很容易被扭曲和無法識(shí)別。兩個(gè)復(fù)雜的結(jié)可能表面上看起來是等價(jià)的，即使它們實(shí)際上不是。

在許多情況下，數(shù)學(xué)家求助于一個(gè)不那么嚴(yán)格的概念，稱為一致性（concordance）。一致性涉及將你的三維結(jié)放置在四維空間中。當(dāng)數(shù)學(xué)家增加一個(gè)額外的維度時(shí)，紐結(jié)的新方法突然出現(xiàn)了。

想想你是如何被局限在二維空間的。你只能向前和向后走，或從一邊到另一邊（或某種這些組合）。如果你碰巧被一堵巨大的磚墻包圍，你會(huì)被卡住。但是老鷹沒有這個(gè)問題。它可以飛到三維空間，所以一堵墻無法容納它。

同樣地，第四維度給了一個(gè)結(jié)更多的回旋余地——事實(shí)上，太多了。任何一個(gè)結(jié)，無論多么糾纏，都可以在一個(gè)四維空間中解開。所以數(shù)學(xué)家加了一條規(guī)則：如果兩個(gè)結(jié)可以通過某種假想圓柱體連接起來，則它們是一致的。

假設(shè)你有兩個(gè)未打結(jié)的橡皮筋?，F(xiàn)在假設(shè)你把一張紙卷成一個(gè)圓柱體，并在每一端套上一根橡皮筋。紙筒連接橡皮筋。

但是，如果你將其中一根橡皮筋換成在制造過程中已經(jīng)不可挽回地打結(jié)的有缺陷的橡皮筋，你就會(huì)遇到困難。一個(gè)邊緣與這個(gè)纏結(jié)的橡皮筋相匹配的圓柱體將不可避免地在某個(gè)點(diǎn)穿過它自己。用數(shù)學(xué)語言來說，它不會(huì)“光滑”。但是，如果你將圓柱體移動(dòng)到四個(gè)維度，則可以光滑進(jìn)行。當(dāng)兩個(gè)結(jié)在四維空間中可以通過一個(gè)光滑的圓柱體連接時(shí)，它們是一致的。

四十年前，Gordon提出了一種基于一致性比較兩個(gè)結(jié)的復(fù)雜性的方法。為此，他必須對(duì)圓柱體再施加一項(xiàng)限制。通常情況下，數(shù)學(xué)家允許自己采取一些看似有問題的舉動(dòng)來使事情變得更容易，例如把環(huán)夾斷或附加額外的環(huán)。Gordon 的改進(jìn)，他稱之為帶狀一致性，不允許你添加額外的環(huán)。

這種限制有一個(gè)重要的后果：與常規(guī)一致性不同，帶狀一致性不一定是雙向的。如果你有兩個(gè)結(jié)，你可能有一個(gè)帶狀一致性，可以將第一個(gè)結(jié)轉(zhuǎn)換為第二個(gè)結(jié)，但反之則不行。

Gordon 認(rèn)為這個(gè)屬性可以用來對(duì)結(jié)進(jìn)行排序。如果你需要在第二個(gè)結(jié)上添加環(huán)以便將其轉(zhuǎn)換為第一個(gè)結(jié)，那么它實(shí)際上是一個(gè)不太復(fù)雜的結(jié)。這會(huì)創(chuàng)建任何一組在它們之間具有帶狀一致性的結(jié)的排序。

為了證明帶狀一致性具有我們期望的排序的關(guān)鍵屬性，數(shù)學(xué)家必須證明三件事。前兩個(gè)很明顯，Gordon在他的原始論文中指出了它們。為了完成證明，Agol 需要證明如果兩個(gè)結(jié)都相互帶狀一致，那么它們必須相等。

一天深夜，在Agol開始研究這個(gè)問題后不久，他靈光一現(xiàn)。這個(gè)猜想與他最近在數(shù)學(xué)討論網(wǎng)站 MathOverflow 上發(fā)布的答案之間存在聯(lián)系?！癧有人]問了這個(gè)問題，我碰巧知道回答這個(gè)問題的工具，”Agol說?！叭缓笪乙庾R(shí)到這可能與這個(gè)問題有關(guān)?！?/p>

第二天，Agol感到更加悲觀?！昂芏鄷r(shí)候你認(rèn)為你已經(jīng)解決了一些問題，你會(huì)興奮一天，直到你發(fā)現(xiàn)一些錯(cuò)誤，”他說。這里看起來像是特別危險(xiǎn)，因?yàn)?Agol 對(duì)該領(lǐng)域來說是一個(gè)局外人。他通常研究三維空間中的對(duì)象，而不是四維。但同事們認(rèn)為，Agol的新視角可能對(duì)他有利?！昂芏鄶?shù)學(xué)家都非常孤立，”北卡羅來納州立大學(xué)教授Tye Lidman說。“我認(rèn)為Ian做得非常好的一件事是他四處走動(dòng)，看看幾乎每個(gè)領(lǐng)域都在發(fā)生什么，并且對(duì)每個(gè)領(lǐng)域都了如指掌。”

最后，Agol 沒有使用任何導(dǎo)致該問題迅速流行的現(xiàn)代技術(shù)。相反，他使用已經(jīng)存在了數(shù)十年的想法研究了對(duì)有關(guān)結(jié)的信息進(jìn)行編碼的方程組。

Gordon 對(duì)解決方案的簡單性感到驚訝。

“他使用的技術(shù)，真的可以在我寫論文的時(shí)候得到證明。所以這讓它變得更加有趣，”他說。