來源：老胡說科學(xué)

導(dǎo)語

從希爾伯特第六問題出發(fā)，文章梳理2025年數(shù)學(xué)三大突破：氣體動(dòng)力學(xué)尺度統(tǒng)一、隨機(jī)幾何典型性刻畫與三維Kakeya猜想解決，揭示現(xiàn)代數(shù)學(xué)應(yīng)對(duì)復(fù)雜性的全新范式。

關(guān)鍵詞：希爾伯特第六問題、玻爾茲曼方程、納維-斯托克斯方程、隨機(jī)幾何、雙曲曲面、譜隙、Kakeya猜想、分形維數(shù)、調(diào)和分析、復(fù)雜性

算法與數(shù)學(xué)之美（微信號(hào)：MathAndAlgorithm）丨來源

1900年，希爾伯特在巴黎提出第六問題的時(shí)候，其實(shí)沒有人真正知道他在要什么。后人常把這道題簡(jiǎn)化成“把物理學(xué)公理化?！钡绻阏姘醋置嫒ダ斫?，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這幾乎是一個(gè)不可能完成的任務(wù)。物理不是幾何，物理方程來自實(shí)驗(yàn)、近似、修補(bǔ)和工程經(jīng)驗(yàn)，而不是從定義和公理中推演出來的。希爾伯特當(dāng)然知道這一點(diǎn)，他真正盯上的，是一個(gè)更具體、也更危險(xiǎn)的問題：同一個(gè)物理系統(tǒng)，在不同尺度下寫出來的方程，是否真的在數(shù)學(xué)上彼此一致。

最典型的例子就是氣體。

如果你站在分子尺度上看氣體，每一個(gè)分子都是一個(gè)微小的剛性球，按照牛頓第二定律運(yùn)動(dòng)，發(fā)生彈性碰撞，沒有任何概率、沒有任何統(tǒng)計(jì)，只是一套確定性的微分方程。你給定初始條件，理論上就能算出未來的一切。

如果你稍微拉遠(yuǎn)一點(diǎn)視角，不再追蹤每一個(gè)粒子，而是關(guān)心“某個(gè)區(qū)域里速度大概在這個(gè)范圍內(nèi)的粒子有多少”，那么你會(huì)寫下玻爾茲曼方程。

這是一個(gè)統(tǒng)計(jì)方程，它描述的是概率密度如何隨時(shí)間演化，碰撞不再是“這一對(duì)粒子什么時(shí)候撞上”，而是“在統(tǒng)計(jì)意義下，碰撞如何改變分布”。

再把視角拉到工程尺度，你甚至連概率分布都不要了，直接用密度、速度、溫度這些宏觀量，寫出納維–斯托克斯方程，把氣體當(dāng)成連續(xù)介質(zhì)來處理。

物理學(xué)家對(duì)這三套描述之間的關(guān)系，心里非常清楚。他們知道在適當(dāng)條件下，用哪一套方程都能得到一致的預(yù)測(cè)。但數(shù)學(xué)家不接受“心里清楚”。數(shù)學(xué)要的是：你能不能從第一套方程出發(fā)，通過極限過程，嚴(yán)格推導(dǎo)出第二套？

這件事卡住了一百多年。

困難不在于牛頓定律，也不在于玻爾茲曼方程本身，而在于兩者之間那片幾乎無法描述的中間地帶。

假設(shè)你真的想從牛頓定律出發(fā)，你就必須面對(duì)一個(gè)現(xiàn)實(shí)：氣體里不是十個(gè)粒子，而是趨近于無窮多個(gè)；每一個(gè)粒子都會(huì)發(fā)生碰撞，而且碰撞的時(shí)間、順序、對(duì)象都可能不同。任何一次演化，都對(duì)應(yīng)著一段極其復(fù)雜的“碰撞歷史”。

數(shù)學(xué)家把這些歷史畫成圖，圖的節(jié)點(diǎn)是碰撞時(shí)刻，線段是粒子在兩次碰撞之間的運(yùn)動(dòng)軌跡。問題是，這樣的圖不僅數(shù)量巨大，而且結(jié)構(gòu)極其復(fù)雜。隨著時(shí)間推移，可能出現(xiàn)同一對(duì)粒子多次相遇的情況，這在物理上叫“再碰撞”。一旦允許再碰撞，圖的復(fù)雜度會(huì)呈現(xiàn)災(zāi)難性的增長。

1970年代，蘭福德曾經(jīng)取得過一次重要進(jìn)展。他證明了：如果你只看極短的時(shí)間區(qū)間，把所有可能的碰撞圖加起來，極限確實(shí)會(huì)給出玻爾茲曼方程。但這個(gè)“極短”短到什么程度？短到在物理上幾乎沒有意義。時(shí)間稍微拉長一點(diǎn)，再碰撞開始出現(xiàn)，整個(gè)證明立刻失效。

接下來的五十年里，幾代數(shù)學(xué)家都在試圖跨過這道坎。他們換過方法，換過表述，換過技術(shù)工具，但始終無法控制再碰撞帶來的爆炸。這個(gè)問題在圈內(nèi)逐漸形成了一種共識(shí)：也許在長時(shí)間尺度下，微觀到中觀的極限，本身就是不可證明的。

直到2025年。

這一次的突破，來自于一種非常不“數(shù)學(xué)家本能”的想法。研究者沒有再試圖去精確控制所有可能的碰撞歷史，而是反過來問了一個(gè)問題：在所有這些天文數(shù)量的碰撞圖中，真正“危險(xiǎn)”的那些，占多大比例？

這個(gè)問題一旦被提出來，整個(gè)局面就變了。

他們發(fā)展出一種新的分解方法，可以把一張極其龐大的碰撞圖拆解成許多局部結(jié)構(gòu)清晰的小塊。通過這種拆解，他們發(fā)現(xiàn)，再碰撞雖然在邏輯上可能發(fā)生，但在統(tǒng)計(jì)意義下，其概率衰減得極快。換句話說，那些讓數(shù)學(xué)家頭疼了半個(gè)世紀(jì)的壞情況，在真正的極限過程中，幾乎從不發(fā)生。

這并不是一句物理直覺，而是一個(gè)可以量化、可以估計(jì)、可以放進(jìn)不等式里的事實(shí)。一旦這一點(diǎn)被嚴(yán)格證明，剩下的工作就突然變得可控了。研究者不再需要追蹤所有路徑，只需要證明：忽略這些極少數(shù)的“病態(tài)路徑”，不會(huì)影響整體極限。

于是，一個(gè)在1900年被提出、在1975年被部分觸及、又在半個(gè)世紀(jì)里被反復(fù)宣判“可能做不到”的問題，終于在數(shù)學(xué)上被完整貫通。牛頓的確定性世界，在長時(shí)間、無限粒子、零直徑的極限下，嚴(yán)格收斂到玻爾茲曼的統(tǒng)計(jì)世界。

這不是對(duì)物理學(xué)的“重新解釋”，而是第一次在真正意義上，用數(shù)學(xué)證明了尺度之間的自洽性。

更重要的是，這種證明方式本身，已經(jīng)超出了氣體動(dòng)力學(xué)的語境。它展示了一種全新的范式：當(dāng)系統(tǒng)復(fù)雜到無法逐一控制時(shí)，真正可行的道路不是更精細(xì)的追蹤，而是證明“失控的部分在整體中消失”。

這正是2025年數(shù)學(xué)發(fā)生變化的第一個(gè)信號(hào)。

隨機(jī)幾何終于可控了

如果說希爾伯特第六問題解決的是“從微觀到宏觀，世界為什么會(huì)變得平滑”，那么 2025 年發(fā)生的另一件大事，解決的則是一個(gè)看起來更抽象、但同樣根本的問題：在極其復(fù)雜的幾何世界里，什么才是“典型情況”。

這個(gè)故事的起點(diǎn)，繞不開一個(gè)人：Maryam Mirzakhani。

在她之前，雙曲曲面一直被認(rèn)為是一類“太難整體理解”的對(duì)象。它們處處負(fù)曲率，局部看像馬鞍，整體卻可以扭曲、纏繞到幾乎無法直觀想象。

你沒法把它們完整嵌入三維空間，只能用抽象方式描述。正因?yàn)槿绱?，它們?cè)跀?shù)學(xué)和物理中反復(fù)出現(xiàn)：從動(dòng)力系統(tǒng)到量子混沌，從數(shù)論到統(tǒng)計(jì)物理，雙曲幾何幾乎無處不在。

但問題是：太多了。

雙曲曲面的空間本身是一個(gè)高維、非緊的對(duì)象。你可以問無數(shù)問題，比如“有多少條閉測(cè)地線”“這些測(cè)地線通常長什么樣”“曲面整體是否連通”。可一旦你開始認(rèn)真算，就會(huì)立刻發(fā)現(xiàn)：極少數(shù)非常極端的曲面，會(huì)完全主宰你的計(jì)算結(jié)果。

Mirzakhani在2000年代做的一件事，第一次改變了這一切。她找到了一種方法，能夠精確計(jì)算“長度不超過L的閉測(cè)地線有多少條”，并且給出了隨L增長的漸近公式。這個(gè)結(jié)果的意義并不在于“數(shù)出了多少條線”，而在于：它第一次讓人有可能對(duì)“隨機(jī)雙曲曲面”提出嚴(yán)肅的問題。

比如，你可以開始問：如果我從所有可能的雙曲曲面中“隨機(jī)選一個(gè)”，它通常長什么樣？

其中一個(gè)最核心的量，叫做譜隙。它來自拉普拉斯算子的第一個(gè)非零特征值，取值介于0到1/4之間。直觀地說，這個(gè)數(shù)刻畫了曲面的“整體連通性”。譜隙越大，曲面上不同區(qū)域之間的路徑越多，信息擴(kuò)散得越快；譜隙越小，曲面就越“松散”，容易被細(xì)長的脖子、狹窄的通道分割。

長期以來，數(shù)學(xué)家知道1/4是理論上的最優(yōu)上界，也知道存在一些非常特殊的曲面，其譜隙接近這個(gè)極限。但真正的問題是：典型的曲面如何？

直覺告訴人們，大多數(shù)曲面應(yīng)該“長得不錯(cuò)”，譜隙接近1/4。但要證明這一點(diǎn)，卻極其困難。障礙來自一種被稱為“纏繞測(cè)地線”的結(jié)構(gòu)：某些閉測(cè)地線會(huì)在局部區(qū)域反復(fù)繞圈，數(shù)量極多。這些測(cè)地線雖然在整體中極為罕見，但它們一旦出現(xiàn)，就會(huì)在統(tǒng)計(jì)上產(chǎn)生巨大的權(quán)重，把平均值徹底拉偏。

這正是Mirzakhani未能跨過的最后一道坎。她的公式足夠精美，卻對(duì)這些極端情形缺乏有效的“過濾機(jī)制”。

多年之后，兩位數(shù)學(xué)家，Nalini Anantharaman和Laura Monk，重新回到了這個(gè)問題。他們很快意識(shí)到，單靠雙曲幾何內(nèi)部的技術(shù)，已經(jīng)走到了盡頭。問題不在于公式不夠精確，而在于：你根本不應(yīng)該把所有曲面一視同仁地平均。

真正的轉(zhuǎn)機(jī)，來自一個(gè)看似無關(guān)的領(lǐng)域：隨機(jī)圖論。

2000年代初，數(shù)學(xué)家Joel Friedman曾證明過一件事：幾乎所有的大隨機(jī)正則圖，都是“最優(yōu)展開子”，也就是說，它們的譜隙幾乎達(dá)到理論極限。這個(gè)結(jié)論的證明異常復(fù)雜，但在其核心，隱藏著一個(gè)關(guān)鍵技巧：利用M?bius反演，把“壞的結(jié)構(gòu)”從整體平均中系統(tǒng)性地剝離出去。

Anantharaman和Monk意識(shí)到，她們面對(duì)的困境，本質(zhì)上和Friedman面對(duì)的是同一個(gè)問題。極少數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、局部異常的對(duì)象，正在扭曲整體統(tǒng)計(jì)行為。與其試圖直接控制這些對(duì)象，不如換一種方式，讓它們?cè)谟?jì)算中自然抵消。

她們把這一思想移植到了雙曲幾何中，通過改寫 Mirzakhani 的計(jì)數(shù)公式，引入一種精細(xì)的反演過程。這個(gè)過程的效果非?！皻埧帷保耗切┌罅坷p繞測(cè)地線的曲面，被自動(dòng)壓制了權(quán)重，而結(jié)構(gòu)均勻、連通性良好的曲面，開始主導(dǎo)平均行為。

最終，她們證明了一件長期被認(rèn)為“幾乎不可能精確表述”的事實(shí)：在適當(dāng)?shù)囊饬x下，幾乎所有雙曲曲面的譜隙都趨近于1/4。

這不是在說“存在很多好曲面”，而是在說：如果你閉上眼睛，從這個(gè)幾何宇宙里隨便抓一個(gè)，十有八九，它的連通性已經(jīng)接近理論極限。

這個(gè)結(jié)論的深層意義，并不在于雙曲幾何本身，而在于它為量子混沌、動(dòng)力系統(tǒng)、甚至數(shù)論問題，提供了一種可靠的“背景假設(shè)”。它告訴研究者：在研究復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)，可以放心地把“極端例外”當(dāng)作真正的例外，而不是被迫圍繞它們構(gòu)建理論。

從更宏觀的角度看，這件事和希爾伯特第六問題的解決，形成了一種奇妙的呼應(yīng)。一個(gè)是在粒子層面處理幾乎不發(fā)生的再碰撞，一個(gè)是在幾何空間中排除極少數(shù)病態(tài)曲面。它們共同指向同一個(gè)方向：現(xiàn)代數(shù)學(xué)正在學(xué)會(huì)如何與“復(fù)雜性”共存，而不是被它吞沒。

三維空間拒絕被壓縮

如果說前兩件事分別解決了“尺度之間如何銜接”和“復(fù)雜幾何中的典型結(jié)構(gòu)”，那么2025年的第三件事，解決的是一個(gè)更底層、也更危險(xiǎn)的問題：空間本身，到底允許多極端的幾何行為。

這個(gè)問題的起點(diǎn)，來自1917年日本數(shù)學(xué)家Sōichi Kakeya的一個(gè)看似游戲般的提問。他問的是：如果你有一根無限細(xì)的針，把它旋轉(zhuǎn)一整圈，掃過所有方向，那么它所覆蓋的最小區(qū)域能有多??？這個(gè)問題在二維里已經(jīng)足夠反直覺，而它真正引爆數(shù)學(xué)界，是在幾十年后人們意識(shí)到：這個(gè)問題并不關(guān)乎針，而關(guān)乎空間如何被方向填滿。

20世紀(jì)初，Abram Besicovitch給出了一個(gè)震撼性的結(jié)果。他證明，在二維平面中，你可以構(gòu)造一個(gè)面積為零的集合，卻仍然包含“每一個(gè)方向的一根單位線段”。

也就是說，從測(cè)度的角度看，這個(gè)集合幾乎不存在，但從方向的角度看，它卻什么都有。這類集合后來被稱為Kakeya集。

這個(gè)結(jié)果直接擊穿了人們對(duì)“大小”的直覺。面積不再是衡量幾何復(fù)雜度的合適工具，數(shù)學(xué)家不得不引入分形維數(shù)，來描述這些看不見、卻無處不在的結(jié)構(gòu)。到了1970年代，Roy Davies證明了一個(gè)關(guān)鍵事實(shí)：在二維中，任何Kakeya集，哪怕面積為零，其分形維數(shù)也必須是2，也就是“滿維”。

于是一個(gè)大膽的猜想自然浮現(xiàn)出來：在任意維度中，Kakeya集都必須是滿維的。

這就是Kakeya猜想。

問題在于，從二維走向三維，幾何世界發(fā)生了質(zhì)變。二維里的“方向”本質(zhì)上是一維的圓，而三維里的方向空間是一個(gè)球面，結(jié)構(gòu)復(fù)雜得多。針不再只是“轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)”，而是可以以極其豐富的方式彼此錯(cuò)開、交織、靠攏又分離。

在三維里，Kakeya集通常被想象成無數(shù)根極細(xì)的管子，每一根指向不同方向。猜想要求證明的是：無論你如何安排這些管子，只要方向足夠豐富，它們就不可能被壓縮進(jìn)一個(gè)低維結(jié)構(gòu)里。

幾十年來，人們嘗試過各種方法，但始終卡在一個(gè)核心障礙上：管子之間可以高度重疊，而且這種重疊在局部看起來完全合法。你很難排除這樣一種情況：在無數(shù)個(gè)微小區(qū)域里，大量管子恰好擠在一起，整體卻依然覆蓋了所有方向。

一個(gè)重要的轉(zhuǎn)折，來自Charles Fefferman。他在研究Fourier分析時(shí)發(fā)現(xiàn)，Kakeya問題并不是一個(gè)孤立的幾何怪題，而是和調(diào)和分析中一整套關(guān)于Fourier變換的核心猜想緊密相連。這一發(fā)現(xiàn)讓Kakeya猜想從“幾何怪物”，變成了整個(gè)分析理論塔基的一塊基石。如果Kakeya在三維失敗，那么一連串更宏大的猜想都會(huì)隨之崩塌。

盡管如此，真正的進(jìn)展依然極其緩慢。

直到近幾年，一個(gè)新的結(jié)構(gòu)性洞察逐漸浮現(xiàn)。Larry Guth指出，如果三維 Kakeya 猜想存在反例，那么這個(gè)反例不可能是“均勻的”，它必須呈現(xiàn)出一種“顆?；钡男螒B(tài)：空間中會(huì)出現(xiàn)大量微小區(qū)域，在每個(gè)區(qū)域里，許多管子高度集中，而這些區(qū)域彼此之間又有某種組織結(jié)構(gòu)。

這個(gè)觀察并沒有直接解決問題，但它改變了戰(zhàn)場(chǎng)。問題不再是“管子會(huì)不會(huì)重疊”，而是“這些重疊區(qū)域之間，能否再彼此高度重疊”。

2022年，Hong Wang和Joshua Zahl先解決了一個(gè)特殊但重要的情形：所謂“粘性Kakeya集”，也就是指向相近方向的管子，在空間中也彼此靠近。這一結(jié)構(gòu)限制了自由度，使得分析變得可能。這一結(jié)果被普遍視為“終點(diǎn)就在前方”的信號(hào)。

真正的挑戰(zhàn)，是非粘性的情形。在這里，管子可以在方向上完全無序地散布，幾乎沒有任何表面上的規(guī)律。Wang和Zahl沒有試圖消滅這種混亂，而是利用Guth的“顆?！币暯?，對(duì)混亂本身進(jìn)行分層。他們證明：任何一個(gè)點(diǎn)，都不可能同時(shí)屬于太多顆粒；而顆粒之間的相互作用，也受到嚴(yán)格限制。

這一步至關(guān)重要。它意味著，即便局部存在高度重疊，整體上也無法形成持續(xù)的壓縮效應(yīng)。剩下的工作，是把這一結(jié)構(gòu)性限制，通過一種被稱為“尺度歸納”的方法，逐步向更大尺度推進(jìn)。

尺度歸納在這個(gè)問題中曾經(jīng)屢屢失敗，因?yàn)槟呐旅恳徊街粨p失一點(diǎn)點(diǎn)精度，經(jīng)過多次迭代后，結(jié)論也會(huì)徹底失效。Wang和Zahl的關(guān)鍵發(fā)現(xiàn)是：顆粒結(jié)構(gòu)恰好提供了控制損失的機(jī)制。每一次放大尺度，混亂都會(huì)被重新分配，而不會(huì)無限累積。

于是，在2025年，他們完成了最后一步證明：任何三維Kakeya集，其分形維數(shù)必然等于3。空間拒絕被壓縮。方向的豐富性，強(qiáng)制帶來了體積。

這件事的真正價(jià)值，并不在于“針到底能不能省地方”，而在于它為調(diào)和分析、偏微分方程以及信號(hào)處理領(lǐng)域的一整套方法，提供了可靠的幾何地基。許多長期懸而未決的問題，其難點(diǎn)都在于類似的“方向疊加是否會(huì)失控”，而三維Kakeya的解決，第一次給出了一個(gè)明確的答案：在足夠高的復(fù)雜度下，空間本身會(huì)反擊。

把這三件事放在一起看，會(huì)發(fā)現(xiàn)一種非常清晰的時(shí)代特征。無論是氣體中的再碰撞、雙曲曲面中的纏繞測(cè)地線，還是 Kakeya 集中的顆粒重疊，2025年的數(shù)學(xué)，不再試圖逐一消滅異常，而是證明：異常無法統(tǒng)治整體。

算法與數(shù)學(xué)之美簡(jiǎn)介：

用通俗的語言表達(dá)高大上的數(shù)學(xué)知識(shí)或者算法原理！

隨機(jī)動(dòng)力學(xué)讀書會(huì)

集智俱樂部聯(lián)合北京工業(yè)大學(xué)諸葛昌靖老師和北京化工大學(xué)王利老師共同發(fā)起。采用“一主一輔”的閱讀模式，帶領(lǐng)大家系統(tǒng)研讀隨機(jī)過程領(lǐng)域的兩部經(jīng)典著作，主讀文獻(xiàn)《Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences》 ，輔助文獻(xiàn)《Stochastic Processes in Physics and Chemistry》，通過物理直覺啟發(fā)與數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)的交織，助力參與者構(gòu)建完整的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)和知識(shí)體系。

本讀書會(huì)通過師生領(lǐng)讀，系統(tǒng)化地梳理書中的重要概念，讀完這兩本書，我們將掌握隨機(jī)過程的物理意義、基礎(chǔ)理論與實(shí)用方法，在隨機(jī)性的統(tǒng)一視角下，為跨學(xué)科建模應(yīng)用鋪路架橋。

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