新智元報道

編輯：KingHZ 桃子

【新智元導讀】 「哈密頓分解」難題，終于破解！88歲「算法祖師爺」高德納再更論文，Claude 4.6+GPT-5.4聯(lián)合破解了奇偶數(shù)情形。甚至，GPT-5.4直出一篇14頁論文，引爆全網(wǎng)。

88歲的老爺子，終于填平了自己當年挖下的坑！

三周前，「算法祖師爺」、圖靈獎最年輕的得主高德納被Claude震驚：一個懸了多年的算法難題，竟被Claude Opus 4.6解決了。

論文一開篇，他直呼「震驚、震驚」！

論文地址：https://cs.stanford.edu/~knuth/papers/claude-cycles.pdf

但進一步研究發(fā)現(xiàn)，實際上存在760種類似的分解方法，Claude只是找到了其中一個。

它只攻克了m為奇數(shù)的「堡壘」，對于m為偶數(shù)的情況，仍然沒有通用解。

更新后的論文顯示，這一難題取得了巨大的進展！

GPT-5.4 Pro接棒Claude，對所有m≥8的偶數(shù)直出長達14頁的論文，并通過計算驗證了高達m=2000的情形。

不僅如此，GPT與Claude聯(lián)動后，通過多智能體工作流，為奇數(shù)和偶數(shù)m找到了更簡潔的構造方法。

還有人使用Lean語言，將Claude關于奇數(shù)情況的證明形式化。

至此，「哈密頓分解」難題徹底解決。

從Claude 4.6到GPT-5.4，再加上業(yè)界諸多大佬合力，終于把數(shù)十年的坑填上了。

論文的最后，老爺子感慨道——

我們的確生活在一個非常有趣的時代。愿原力與你同在。

88歲算法祖師爺，挖了一個「大坑」

一直以來，在組合數(shù)學里，哈密頓路徑（Hamiltonian Path）是一座易守難攻的要塞。

簡單來說，它要求在復雜的圖形網(wǎng)絡中，尋找一條不重復地經(jīng)過每一個節(jié)點的閉合環(huán)路。

而「哈密頓分解問題」，則是要將一個圖完美地拆解為多個這樣的環(huán)路。這不僅是計算量的博弈，更是對數(shù)學構造能力的極限壓榨。

這個坑，是高德納親手挖下的。

在他撰寫計算機科學巨著《計算機程序設計藝術》（TAOCP）的過程中，哈密頓分解始終是一個讓他掛念的「補丁」。

這個問題已經(jīng)懸置了數(shù)十年，用術語描述如下：

此前，學術界始終無法給出覆蓋奇數(shù)與偶數(shù)情形的完整全解。

隨著節(jié)點增加，搜索空間呈指數(shù)級爆炸，人類的大腦在那種深度的黑暗面前，往往會感到生理性的無力。

過去三十年，無數(shù)天才試圖填坑，但大多折戟于那道「奇偶全解」的最后防線。

直到2026年的這個春天，高德納決定換一種武器。

偶數(shù)m，有解了?

上一次Claude Opus 4.6，在31次探索之后，終于提出了一套簡單的規(guī)則——

s = (i + j + k) mod m

其中依據(jù)s、i、j的情況，再去決定是否增加i、增加j、增加k，具體規(guī)則如下：

如果s=0，根據(jù)j的值決定移動方向。如果0

結果，Claude通過程序驗證了，當m=3,5,7,9,11，路徑全部成立。

可以看到，Claude只解決了m為奇數(shù)的情況，至于m為偶數(shù)的問題，還未得出真正的解。

直到3月3日，F(xiàn)ilip Stappers給老爺子寫信說，「這事兒還有后續(xù)」。

Stappers讓Claude Opus 4.6再次針對m為偶數(shù)，算了大概4個小時，終于有些眉目，但沒有完整的解。

最終，Claude建立了一個類似于奇數(shù)情況的局部纖維構造，然后通過運行搜索來進行修補完善。

在最后的階段中，它把主要時間用在了「加快搜索」的速度上，而不是去尋找一個真正的構造方法。

它跑了許多程序，試圖用模擬「退火」或「回溯」算法來尋找解。

在Stappers建議下，讓Claude使用ORTools CP-SAT（谷歌開源工具包的一部分，帶有AddCircuit約束）求解，奇跡發(fā)生了。

現(xiàn)在的程序，在短短幾秒鐘內(nèi)就能直接跑出結果！

緊接著在3月4日，來自新加坡好友Ho Boon Suan帶來了更震撼的消息。

他利用gpt-5.3-codex生成了一段代碼，成功實現(xiàn)了偶數(shù)m≥8的分解。

為了驗證可靠性，他測試了8到200之間所有的偶數(shù)m，以及400-2000之間的一些隨機偶數(shù)，結果都沒問題。

要知道，當m=2000時，那可是一個擁有80億個頂點的龐大圖結構！

若是純靠人力，來手算證明其正確性簡直是「天方夜譚」。

幾乎同一時間，來自Lean社區(qū)的Kim Morrison動作極其迅速。

他把之前關于Claude構造正確的證明形式化驗證，并于3月4日及時地發(fā)到了網(wǎng)上。

數(shù)學天才，扎堆研究

另一位名為「Exocija」的匿名研究者，找到了一種適用于奇數(shù)m的全新構造。

單從計算的角度來看，這極可能是目前最簡潔的方案，盡管它的證明也許不是最簡單的。

在C語言程序中，只需將特定的幾行替換為極其精簡的邏輯代碼，就能獲得有效的分解。

而且，幾乎每一步，都巧妙地利用了恒等置換「012」。

if (s == 0) d = (j == m - 1? "201" : "021");else if (s == m - 1) d = (j == 0? "102" : "120");else d = "012";

他是如何做到的？答案是：跨模型協(xié)作。

Exocija在GPT-5.4和Claude 4.6 Sonnet這兩個頂尖模型之間不斷來回粘貼文本，利用它們不同的思考維度相互啟發(fā)，最終成功拼湊出了完整的證明。

0修改，GPT-5.4直出14頁論文

關于偶數(shù)m的構造問題，真正的高潮還在后面。

既然gpt-5.3-codex生成的算法規(guī)律過于復雜，Ho Boon Suan決定給GPT-5.4 Pro下達一個終極指令：

你的任務是嚴格證明之前給出的算法，當m是≥ 8的偶數(shù)時，確實總是能產(chǎn)生三個長度均為m3的循環(huán)。

最好能深入說明一下這個算法為何有效，并探討是否有更簡單的構造方法。

誰曾想，GPT-5.4 Pro直接交出了一份令人驚嘆的答卷——

一篇排版精美、邏輯嚴密、長達14頁的學術論文。

從「摘要」到「結論」，結構完整，起承轉(zhuǎn)合嚴絲合縫。

而且，它還采用了TeX標準，高德納本人就是TeX的發(fā)明者，AI似乎在用這一語言向他致敬。

最重要的是，論文通過了Lean形式化驗證工具的檢驗。

用Ho的原話來說，這完全是GPT-5.4 Pro獨立完成的壯舉，他連一個標點符號都不需要修改！

這意味著，它的邏輯鏈條在數(shù)學意義上是「絕對真理」。

AI「左右互搏」，

Claude+GPT終成完美證明

這個故事的集大成者是Keston Aquino-Michaels。

不僅為奇數(shù)m的情形找到了另一種有效的分解，同時為偶數(shù)m的情形給出了一種優(yōu)雅的分解，其簡潔程度遠超此前方法。

此外，他還發(fā)掘出了一篇高德納之前遺漏的相關參考文獻（即下圖最后參考文獻）。

預印本：https://arxiv.org/abs/2203.11017

最妙的是，他還細致分析了這種聯(lián)合交互模式，對于未來如何應對并解決新問題具有潛在的重要意義。

完整報告：https://github.com/no-way-labs/residue/blob/main/paper/completing_claudes_cycles.pdf

開源項目：https://github.com/no-way-labs/residue

簡單來說，Keston Aquino-Michaels并沒有簡單地向AI提問，而是構建了精妙的「協(xié)作工作流」。

這更像是一場跨越碳基與硅基的協(xié)同演習，是Claude、GPT和人類的密切合作。

其中，兩個Agent獨立運行，使用相同的「Residue」提示詞。

兩個智能體使用的結構化探索提示詞

但各自發(fā)揮特長：

• Agent O：5次探索解決奇數(shù)情況（符號證明）

• Agent C：找到m=4,6,8,10,12的具體解（數(shù)據(jù)）

但兩個Agent沒有直接對話，通過Orchestrator中轉(zhuǎn)——數(shù)據(jù)、工具都經(jīng)由指揮者（人類引導的Opus 4.6）傳遞。

Orchestrator需要判斷「何時傳、傳什么、以什么格式傳」，這不是兩個Agent自己能完成的。

比如，Agent O在偶數(shù)情況卡在m=10，無法推進；Orchestrator將Agent C的解傳遞給Agent O；Agent O收到后，立即識別出模式：m?2層「批量層」+2層「修復層」。

最終，那個困擾了人類幾十年的「奇偶情形全解」，在兩個AI智能體的瘋狂交鋒中，被徹底鑿穿。

人類圈定戰(zhàn)場，機器填補深淵

這次「填坑」，標志著科學研究范式的徹底轉(zhuǎn)折。

科學家的身份變了。比如，高德納不再是那個在紙上計算每一行代碼的工匠，他定義了問題的邊界，設計了驗證的邏輯，然后指揮AI去填補那道試錯的黑洞。

研究的范式變了。人類只需定義邊界，而AI填補深淵。

數(shù)學家最珍貴的能力不再是算力，而是「提出問題的直覺」和「驗證答案的審美」。

AI負責在無限的試錯中尋找路徑，而人類負責在終點確認這是否就是我們要找的真理。

下一個是誰？

當88歲的算法泰斗都開始用AI填坑，我們必須意識到：數(shù)學研究的工作方式正在發(fā)生不可逆的轉(zhuǎn)折。

這不僅僅是高德納的勝利，更是人類智力的一次「外掛式升級」。

在「機器左右互搏」的時代，連最嚴謹?shù)臄?shù)學殿堂都已經(jīng)向AI敞開大門。

如果你還在糾結「AI是否會取代我」，那么你可能已經(jīng)錯過了成為下一個「智力架構師」的機會。

下一個被AI鑿穿的世紀難題，會是黎曼猜想，還是物理學的統(tǒng)一場論？

在這個「極其有趣的時代」，我們唯一的恐懼，應該是對這種進化速度的漠視。

參考資料：

https://x.com/slow_developer/status/2038399555490791765

https://x.com/mubeitech/status/2038388810157826467

https://x.com/BoWang87/status/2037648937453232504