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編者按：
一個真實的金融市場，可能同時受到幾十、上百甚至上千種因素的影響，從資產(chǎn)價格、利率變化、市場波動、投資者行為、時間跨度，到投資組合中成百上千只股票的聯(lián)動、瞬息萬變的市場環(huán)境，這些情況，使得金融學核心問題的解決，往往像是在一場多維空間的迷宮中尋找出口，動輒成千上萬維度的變量交織在一起，構成了金融工程中最為堅硬的堡壘——“維數(shù)災難”。
在金融工程中，被稱為“母方程”的 Hamilton-Jacobi-Bellman equation（HJB方程），正是這一困境的集中體現(xiàn)。它是隨機最優(yōu)控制理論的核心工具，用于刻畫跨期最優(yōu)決策問題，例如動態(tài)資產(chǎn)配置、風險管理等。然而，高維、強非線性以及粘性解等數(shù)學特性，使得HJB方程長期以來難以被有效求解。本文將帶您了解一些令人振奮的新進展。

撰文｜湯濤

責編｜李珊珊?

在過去半個多世紀的科學探索中，人們曾發(fā)展出一系列成熟而可靠的科學計算方法，例如有限差分法、有限元法、譜方法、蒙特卡洛法以及離散傅里葉變換等。在這些方法的基礎上，誕生了眾多功能強大的科學計算軟件：從基于有限元的工程仿真平臺，到基于快速傅里葉變換的信號處理工具，極大推動了科學與工程仿真的發(fā)展與完善。如今，無論是飛機、汽車、火箭、高鐵等先進裝備的研制，還是信號處理、圖像處理、人臉識別與手機設計等關鍵技術的實現(xiàn)，都離不開這些科學計算軟件的助力，它們已成為推動人類科技進步、提升生活質量和探索宇宙奧秘的得力助手。

這些科學與工程的進步都建立在牛頓力學、量子力學，以及芯片設計、材料科學與化學等基礎學科的持續(xù)突破之上。然而，傳統(tǒng)數(shù)值計算方法的發(fā)展也遭遇一個根本性瓶頸——“維數(shù)災難”：由于它們通常依賴網(wǎng)格剖分或傅里葉展開，計算成本隨問題維數(shù)呈指數(shù)級增長，因此大多只適用于低維情形。面對金融學中動輒成百上千維的復雜問題，這些方法就顯得捉襟見肘、舉步維艱了。

01 金融問題的高維特性與難解的HJB方程

金融問題為什么會有這么大的“維數(shù)”？

核心原因在于金融系統(tǒng)本身是多因素驅動的復雜動態(tài)系統(tǒng)：研究者往往需要同時刻畫資產(chǎn)特征、市場環(huán)境、參與者行為、時空維度等多層級變量，單一或僅依賴少數(shù)變量難以解釋或預測金融現(xiàn)象。因此，高維性是對現(xiàn)實金融世界的客觀映射，也由金融研究的目標和應用需求所決定。簡單來說，金融問題的“維數(shù)”可以理解為分析時需要納入的獨立變量數(shù)量。比如在投資組合管理中，需要同時刻畫多支股票各自的特征及其相互相關性，使得需要納入分析的變量數(shù)量顯著增加。正是這些維度的疊加與交織，構成了金融問題天然的高維特征。

此時，便出現(xiàn)了HJB方程（Hamilton-Jacobi-Bellman方程），它得名于哈密頓、雅可比和貝爾曼三位學者，本質上是貝爾曼的動態(tài)規(guī)劃原理在連續(xù)時間、含隨機性的決策場景中的數(shù)學表達，與經(jīng)典力學中的哈密頓–雅可比方程有密切聯(lián)系。HJB方程既是隨機最優(yōu)控制理論的核心方程，也是動態(tài)經(jīng)濟分析中刻畫最優(yōu)決策的基礎數(shù)學工具。因它能統(tǒng)一描述經(jīng)濟學中各類跨期最優(yōu)選擇問題，被稱為金融工程的“母方程”。

最優(yōu)控制理論的一個相關例子是投資組合管理中的動態(tài)資產(chǎn)配置問題。該問題的目標是在給定的時間范圍內(nèi)對收益與風險進行權衡：在既定風險水平下最大化預期收益，或在目標收益水平下最小化風險。這里的風險通常用量化指標（如投資組合方差或風險價值）來衡量。該問題的被控系統(tǒng)即是投資組合本身，它的狀態(tài)由各類資產(chǎn)（如股票、債券、現(xiàn)金）的配置比例及其各自的價值共同決定，這些資產(chǎn)價值會隨著市場動態(tài)的變化而變化。而控制的手段則是通過動態(tài)調(diào)整資產(chǎn)配置比例，從而更好地權衡收益和風險。

最優(yōu)控制理論為動態(tài)資產(chǎn)配置問題提供了強有力的數(shù)學工具。它能夠確定如何以及何時對投資組合進行再平衡，并在決策過程中綜合考慮交易成本、市場影響、流動性約束以及不斷變化的市場環(huán)境等多重因素，從而實現(xiàn)既定的控制目標。在實際應用中，這一過程可歸結為對HJB 方程的求解，進而獲得最優(yōu)的反饋控制策略：根據(jù)當前市場狀況和資產(chǎn)價格的預測隨機演變，制定何時以及如何重新平衡投資組合的規(guī)則。

然而，實際金融問題的高維特征直接導致了HJB方程的高維性，使得傳統(tǒng)數(shù)值方法不可避免地遭遇維數(shù)災難。不僅如此，HJB方程本身屬于強非線性偏微分方程，其解通常不具備經(jīng)典的光滑性，而是以粘性解的形式存在。要對粘性解進行穩(wěn)定且可靠的數(shù)值逼近，算法必須具備良好的數(shù)學性質（如單調(diào)性等）。同時，經(jīng)濟學的現(xiàn)實建模需求：包括非光滑約束、內(nèi)生邊界等，進一步提升了對計算方法的要求。因此，高維HJB方程的求解非常困難，長期以來一直是數(shù)學家、經(jīng)濟學家和金融工作者望而卻步的大難題。

隨著人工智能時代的到來，機器學習和深度學習方法給求解金融學母方程帶來了曙光！最近的進展是通過深度學習，可以在人類長期無法想象的上萬維高維空間中，尋找出最優(yōu)控制策略。

02 深度學習方法應對金融問題的維數(shù)災難

有限元數(shù)學理論的創(chuàng)始人、中國計算數(shù)學的奠基人馮康先生有兩句名言：“一個科學家最大的本領就在于化復雜為簡單，用簡單的方法去解決復雜的問題”，“對同一個物理問題可以有許多不同的數(shù)學形式，它們在理論上等價，但在實踐中未必等效”，后一句話也可以表述為“數(shù)學上等價，但計算上不等效”。這一思想的最新例證，可參見美國數(shù)學家、2014年高斯獎得主Stanley Osher及其合作者的近期工作（arXiv:2602.05124）。他們將一類Hamilton-Jacobi方程等價地改寫為一個確定性的最優(yōu)控制問題，后者可通過優(yōu)化算法直接求解，從而避免對高維偏微分方程進行顯式的數(shù)值離散，巧妙地避免了維數(shù)災難問題。

HJB方程與最優(yōu)控制問題同樣密切相關，但相較于經(jīng)典的Hamilton-Jacobi方程，HJB方程還進一步刻畫了決策過程中的隨機性。正是利用這一隨機性，中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院周濤（2025年中國數(shù)學會陳省身獎獲得者）、美國南衛(wèi)理公會大學蔡偉（2005年馮康科學計算獎得主），以及中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院的博士后方水鑫，借助概率論中的“鞅”理論，將HJB方程等價轉化為隨機問題，然后采用基于“隨機”方法的深度學習方法，“化復雜為簡單，用簡單的方法去解決復雜的問題”，使得成千上萬維數(shù)的HJB方程的數(shù)值解在幾十分鐘之內(nèi)得到（見本文后參考文獻）。

通過隨機模型研究偏微分方程的思路由來已久，尤其在科學計算領域，伴隨深度學習技術的快速發(fā)展，這一思想正煥發(fā)出新的活力。早在20世紀中葉，諾貝爾物理學獎獲得者理查德·費曼（Richard Feynman）與波蘭裔美國數(shù)學家馬克·卡茨（Mark Kac）提出著名的費曼–卡茨公式，將線性拋物型偏微分方程的解表示為相應隨機過程的條件數(shù)學期望。 20世紀90年代，法國數(shù)學家埃蒂安·巴赫杜（étienne Pardoux）與中國數(shù)學家彭實戈奠定了倒向隨機微分方程（BSDE）的理論基礎，建立非線性費曼–卡茨公式，從而揭示了非線性拋物型方程與BSDE之間的深刻聯(lián)系。在此基礎上，中國科學院院士鄂維南及其合作者提出deep BSDE方法，借助深度學習對BSDE進行數(shù)值求解，實現(xiàn)了高維拋物型方程的有效計算?；陔S機思想設計深度學習方法，從而克服維數(shù)災難，這是近年來科學計算領域的一個重要發(fā)展趨勢。

周濤、蔡偉等人將隨機方法與深度學習相結合求解HJB方程的工作，正是沿著這一脈絡的自然延伸。值得一提的是，他們對算法進行了充分優(yōu)化，使其能夠高效利用現(xiàn)代GPU強大的并行計算能力，這也是為什么上萬維數(shù)的方程可以被短時間內(nèi)成功求解。并行計算是一種同時使用多個計算資源協(xié)同解決某個計算問題的計算范式，核心是把復雜任務拆分成多個可同時執(zhí)行的子任務，分配給不同處理器并行處理，最終匯總結果，以此提升計算速度、處理更大規(guī)模數(shù)據(jù)。周濤、蔡偉等人的方法還被應用于金融數(shù)學中著名的布萊克–舒爾斯（Black-Scholes）模型，這些工作為快速求解金融市場中的復雜問題帶來了新的可能性。

參考文獻：

• [1] Wei Cai,Shuixin Fang and Tao Zhou,SOC-MartNet: a martingale neural network for the Hamilton-Jacobi-Bellman equation without explicit inf_u(H) in stochastic optimal controls, SIAM J. Sci. Comput., 47(4), C795-C819, 2025.
• [2] Wei Cai,Shuixin Fang, and Tao Zhou, Deep random difference method for high-dimensional quasi-linear partial differential equations, J. Comput. Phy.,Vol. 555,114767, 2026.