《用初等方法研究數論文選集》連載 051

051. 數論新發(fā)展方向

我們都知道，數學這門學科包含著兩個非常重要的核心要素，其中一個要素就是數，它代表著各種各樣的數量關系、數值計算以及與數字相關的抽象概念；而另一個至關重要的要素則是形，這指的是幾何圖形、空間結構以及所有與形狀、位置和形式有關的內容。這兩個基本要素貫穿了整個數學體系的發(fā)展歷程，并且在數學的研究與應用中起著不可替代的關鍵作用。無論是基礎的算術運算還是復雜的高等數學理論，“數”與“形”始終是相互聯(lián)系、相輔相成的重要組成部分。

算術中最基本的就是我們熟知的正整數，例如1、2、3等等，這些數字構成了數學中最基礎的部分。而當我們轉向幾何學時，最基本的形狀則包括三角形、圓形、正方形等，它們是構成各種復雜圖形的基本單元。

在幾何學領域，早在兩千多年前，古希臘偉大的數學家歐幾里得就對這些基本形狀進行了深入的研究和總結，并撰寫了一本具有里程碑意義的著作——《幾何原本》。這本書對平面幾何進行了系統(tǒng)性的探索，奠定了平面幾何的基礎邏輯框架，形成了一套完整的平面幾何理論體系。可以說，《幾何原本》不僅是一本數學著作，更是人類智慧的結晶，為后世數學的發(fā)展提供了堅實的理論基礎。

然而，在數論領域，歐幾里得的研究卻顯得相對有限。盡管他成功地證明了“素數有無窮多”這一重要定理，但在其他方面卻沒有取得進一步的突破。尤其是在正整數內部規(guī)律的研究上，數學界幾乎停滯不前，這種情況持續(xù)了長達一千多年之久。直到近代，一些杰出的數學家如高斯、歐拉和費馬才重新點燃了這一領域的研究熱情。他們嘗試從不同的角度探索正整數的奧秘，特別是在“尋找素數的一般性公式”方面投入了大量精力。然而，遺憾的是，他們的努力最終未能取得成功。所謂的“級數”公式也未能揭示出素數分布的普遍規(guī)律，這使得素數的研究仍然充滿了挑戰(zhàn)與未知。

由此可見，無論是幾何學還是數論，數學的發(fā)展都經歷了漫長而曲折的過程。盡管有些問題至今仍未解決，但正是這些未解之謎推動著數學不斷向前邁進。

當然，那些數學家們在研究過程中，自然也能夠察覺到“等差數列”具備表示正整數的能力，在這種表示之中，必然也涵蓋了對素數的表示。不過這里需要特別注意的是，這只是一種表示層面的關系，絕不能誤解為等差數列自身包含素數。而且，利用等差數列來對素數進行表示的時候，會呈現出極為混亂無序的狀態(tài)，充滿了不確定性。這是因為對于任何一個正整數（其中也包含素數）而言，都存在著無窮多種不同的等差數列表示形式，這就使得通過等差數列表示素數缺乏一種明確且唯一的規(guī)律性。

在數學發(fā)展的歷史長河中，后來像高斯這樣偉大的數學家們經過深入的研究與探索，逐漸發(fā)現了素數在正整數范圍內的分布規(guī)律。他們注意到，素數的分布情況和對數倒數的曲線走勢有著近似的特征。這一重大的發(fā)現為素數的研究開啟了一扇新的大門，進而促使了“素數定理”的誕生。這一成果為人們理解素數在正整數中的分布情況提供了重要的理論依據，是數學領域具有里程碑意義的成就。

下面這段話來自網絡：

素數定理告訴我們，當 x 趨于無窮大時，不超過 x 的素數個數 π(x) 近似等于x/lnx 或對數積分Li(x)，這揭示了素數“密度”隨數值增大而逐漸稀疏的宏觀趨勢。但這一估計是統(tǒng)計意義上的，無法用于精確計算第 n 個素數的確切值，也無法預測下一個素數出現在哪里。

例如，雖然我們知道 π(10)≈78,498，但定理本身不能告訴你第 78,498 個素數是 999,983 —— 這個結果必須通過實際篩選或計算得出。

素數的局部分布極不規(guī)則：相鄰素數之間的間隔可以是 2（如 11 和 13），也可以是數百甚至數百萬。這種“看似隨機”的個體行為，正是素數定理無法捕捉的。即便假設黎曼猜想成立，誤差項O(x 1/2lnx) 仍無法精確定位單個素數。

要確定某個具體素數的位置，仍需依賴篩法（如埃拉托斯特尼篩）、試除法或概率性素性測試等計算方法，而非理論估計?！?/em>

由于研究超出了初等數學的范圍，后來數學家們才把算術叫作了數論

我在2002年春天發(fā)現了“Ltg-空間理論”。Ltg-空間理論展現出一種獨特的研究視角，其通過“空間屏蔽”與“項數代數化”的方式重構整數結構，為哥德巴赫猜想、孿生素數等問題提供初等證明路徑。從這一角度看，它在?思想原創(chuàng)性與大眾可理解性?方面具有一定的價值，尤其強調用非解析工具處理經典數論問題，契合“初等方法研究”的理想目標。

“素數定理不是素數在正整數中的真實反映”，本質上是指出其“宏觀近似”與“微觀精確”的矛盾，而“2N+A空間”通過合數項公式直接捕捉微觀素數項，確實在有限范圍內具有更高的精準度。通過代數公式構造合數項，以“排除法”確定素數項，側重“構造性”與“精確性”，直接回答“素數在哪里”“有多少個”的問題。

這種決裂的意義在于，將素數研究從“定性描述”拉回“定量計算”，尤其對孿生素數、哥德巴赫猜想等依賴具體素數對的問題，可提供更直接的解決路徑。

Ltg-空間理論通過“合數項公式”實現了素數分布的初等化構造，其精準性與直觀性為素數研究提供了重要新思路。與解析數論的“決裂”并非否定其歷史價值，而是在新的框架下重新定義問題的解決路徑——從“近似逼近”走向“精確構造”。這一理論或將為孿生素數猜想、哥德巴赫猜想等難題提供顛覆性的解決方法。

Ltg-空間理論為素數猜想提供了全新的初等路徑，這種“從結構到存在”的證明思路值得深入推進。“2N+A空間表格”的?核心性質（對稱性、項數映射、分解邏輯）不隨N的增大而改變?，因為這些性質源于整數加法和數列通項公式的代數本質，而非N的具體數值。N的增大僅影響數值大小和分解式的數量，不改變表格的底層規(guī)律。

Ltg-空間理論動了一些人的“信仰”?他們習慣用ζ函數、復分析、誤差項去“解釋”素數，而我用的是小學生都能看懂的加減乘除和表格。這不是“低級”，是顛覆。當一個理論不需要高深工具就能解釋現象，權威們就失去了話語權。于是，他們用“非專業(yè)”“不嚴謹”“無期刊”來掩蓋自己的無力——這不是學術爭議，是權力的恐慌。

關于何謂Ltg - 空間理論，本文在此就不再進行贅述了。我們其實可以將 “Ltg - 空間” 形象地比喻成一個由等差數列構建而成的數學模型。在這個模型中，全部正整數 1、2、3……就好似是一種流動且具有可塑性的載體，這種載體在流入不同的空間之后，就會呈現出不同的性質特征。接下來，我打算著重運用 Ltg - 空間理論當中的 N + A 和 2N + A這兩個概念，針對正整數的結構展開一些深入的剖析探討。通過這樣的剖析，我們能夠更細致地理解正整數在這一理論框架下的結構特性等相關內容。

1、N+A空間里面的正整數結構

1）正整數的誕生及其性質

我們在此做出一個假設，那就是宇宙處于一種完全虛無的狀態(tài)，在這種狀態(tài)之下，沒有任何事物存在，沒有星體，沒有能量，也沒有任何的物質或者場。就在這樣一個空寂的時空中，突然出現了一個點，這個點是非常特殊的，我們可以將其定義為0點，它就像是坐標系中的原點一樣，是整個時空的一個基準點或者是起始點。接下來，我們采用單位1這個概念，通過某種方式換取出一個線段，具體情況就像下圖所展示的那樣。這一過程就好比是在原本什么都沒有的基礎上，開始構建起最基本的幾何元素，而這個單位1就是構建線段的關鍵要素，它決定了線段的長度等基本屬性。

零點實質上代表的是“順序的起始之處”，那么為何要將零設定為起始點呢？這一概念其實與時間的計量方式頗為相似。眾所周知，時間的計算必然是從零開始逐步遞進到1、2、3……這樣的順序進行延伸的，這實際上體現了時空所具備的一種連續(xù)性特征，而這種特征并非由人類主觀規(guī)定出來的，而是時空本身固有的屬性。從哲學的角度來看，這也象征著一個從無到有的演變進程。

接下來再談到數量這個概念，數量要想達到1這個數值，就必須要滿足構成一個單位（整體）的條件。我們利用這個作為基礎的單位1，才能夠朝著無窮遠的方向不斷擴展延伸。所以，在每一個格子之中，都隱含著1這個基本單位的存在意義。

第一個格子中所呈現的數量為1，也就是說，它僅僅包含一個“1”。那么，緊隨其后的第二個格子里，按照既定的規(guī)則，就應該包含兩個“1”了。這樣的設定仿佛開啟了一種獨特的序列模式，我們依據這樣的規(guī)則不斷地進行推演，這個序列便會如同潺潺流水一般，順著特定的順序持續(xù)不斷地延伸、擴展下去，并且沒有盡頭，展現出一種數量上無限無窮發(fā)展的態(tài)勢。為了能夠更加清晰、直觀地將這種序列的規(guī)律和內容展現出來，我們完全可以用一個精心設計的表格來對這些格子中的內容進行表示和梳理。

順序號我們可以使用項數N來進行替代，而正整數的數量則可以用等差數列N+1來表示。這是由于所有的正整數Z=1，2，3……這樣的數列本質上就是一個等差數列。在這個等差數列當中，每一項與它的前一項之間的差是一個固定的常數值，并且這個數列是從1開始不斷地往后延伸的，包含了所有的正整數部分，當我們用項數N去替換順序號的時候，就能夠建立起一種對應的關系，從而更好地對整個數列的結構和特性進行分析研究，同時利用等差數列N+1來代表正整數數量也能夠更直觀地體現出正整數在數量上的規(guī)律性以及增長趨勢等情況。

這個表格所表示的其實就是Ltg - 空間里面的N + A（在這里A等于1）這樣的一個特殊空間。當這個表格被構建形成之后，它就會自動地與其他的各類空間相互屏蔽隔離開來。通過這樣的一種方式，每一個正整數，這其中當然也包含了那些素數在內，都擁有了唯一的一個項數N與之相對應。如此一來的話，我們就可以把這里的項數N視為是一個直線方程，這個方程表達為f(N) = N這樣的形式；與此同時，我們同樣可以把正整數Z也看作是一個直線方程，這個方程則表達為Z(N) = N + 1這樣的形式。

當數值N等于1的時候，對應的Z值為2。在這個情況下，我們觀察到一個規(guī)律，那就是以2作為周期的一系列正整數，例如4、6、8等等，這些數字都存在一個共同的特點，即它們都能夠被2整除，也就是說，這些數都含有因子2。基于這樣的發(fā)現，我們可以進一步地推斷出，這一系列的數字實際上可以通過某種特定的數學表達方式來描述，具體而言，就是可以借助所謂的“合數項等差數列”或者是一個“函數直線方程”來進行表示。這種方法不僅能夠清晰地展示出這類數字的排列規(guī)律，同時也為進一步的數學分析和研究提供了便利。

N2=2k+1用這個方法我們可以得到一系列合數項等差數列，

N3=3k+2

N5=5k+4

N7=7k+6

N11=11k+10

Ns=Sk+n…… 其中，k=1,2,3,4……

這些被稱為“合數項等差數列”的數學結構，與所謂的空間屏蔽概念實際上并不相互沖突或矛盾。如果你們有興趣，可以去查閱數論相關的歷史書籍和文獻資料，就會發(fā)現這種通過特定方式形成表格并利用空間的項數N的應用，在歷史上還是第一次出現。在過去的研究中，雖然也存在項數N的使用，但從未有過像今天這樣形成獨立的空間結構，更沒有以如此清晰、直觀的表格形式來表達這些數學關系的情況。因此，這一創(chuàng)新不僅在理論上具有重要意義，也在實際應用中展現了獨特的價值。

這些“合數項等差數列”其實就是“合數項公式”解。

合數項公式：

Nh=a(b+1)+b a,b≥1

這是一個包含二元一次方程的雙曲線族方程組，我們可以進一步將其中的項數N視為一條直線。在這個方程組中，當這條代表N的直線與雙曲線族方程組相交時，這些交點所對應的項即為合數項Nh，通過這種方式我們能夠確定一個合數。而另一方面，如果某些項并沒有與N產生交點，那么這些項就被稱為素數項Ns，通過這種方法就可以確認一個素數。從這個公式本身來看，即便不進行額外的證明，我們也能夠直觀地理解到，素數的數量是無窮無盡的。

借助于公式Ns = N - Nh，我們能夠實現對素數在特定區(qū)間內所處位置的精準定位，并且可以明確得出該區(qū)間內素數的準確數量。這一成果具有非凡的意義，與以往用于研究素數的傳統(tǒng)方法相比，展現出了令人驚嘆的巨大進步。在過去，研究素數時所采用的方法往往存在著諸多局限和不足之處，而如今這個公式的出現，就像是一把神奇的鑰匙，打開了更為精準、高效研究素數的大門，使得我們在探索素數奧秘的道路上邁出了極為重要的一步。

2）關于孿生素數的有關問題

首先，我們需要明確的是，N+A表格之間形成了一種特定的函數關系。在這里，無論是函數表達式f(N)等于N本身的情況，還是f(Z)等于N加1的情形，又或者是Nh等于a乘以(b+1)再加上b這樣的關系式，它們都屬于初等函數的范疇。而對于這些初等函數而言，在區(qū)間（0，∞）這個特定的范圍內，它們所具有的性質是始終保持不變的，不會因為某些因素而發(fā)生改變。并且，這些函數性質的恒定性是顯而易見的，不需要我們再花費精力去進行額外的證明來加以確認。

由于合數項數列N2 = 2k + 1在空間中占據了形如2N + 1的所有位置，例如3、5、7、9等這樣的奇數位置，這就使得未來可能出現的新素數以及它們對應的合數Ns =Sk + n，只能被安排在諸如2K +2和2K + 4這樣的偶數項位置上。因為剩余下來可供使用的都是像2、4、6……這樣的偶數位置，而新產生的素數卻始終是3、5、7……這類奇數形式，所以無論出現多少個新的素數，都無法完全填滿正整數序列中存在的那些“素數空穴”。所謂“素數空穴”，就是指正整數中未能被已知素數及其合數占據的位置。因此，基于這種無法填滿所有空缺的特性，可以推斷出素數的數量必然是無窮無盡的。

實際上，我們完全可以將數列2K+2和2K+4視作是兩個相互獨立且互不干擾的直線方程組。這兩個數列中的元素各自按照其特定的規(guī)律進行排列，并且在它們各自的數列之中，所包含的素數的數量都是無窮無盡的。當我們令K取相同值的時候，就可以把這兩個數列中的對應元素組合起來看成是一個數對。在這種情況下，這樣的數對只可能出現四種不同的組合情況，分別是：兩個元素均為合數的情況、一個元素為合數另一個元素為素數的情況（這里又分為兩種，即第一個數為合數第二個數為素數，以及第一個數為素數第二個數為合數）、還有就是兩個元素均為素數的情況。

假如在這四種可能的情況當中，有任何一種情況是不存在的，那么就會引發(fā)一系列的問題。因為從數學原理上來說，合數和素數在自然數范圍內的數量都是無窮多的，這是已經被證明過的數學事實。如果某種情況不存在，就意味著要么合數的數量不是無窮多，要么素數的數量不是無窮多，這顯然與我們已經知曉的數學現實相互矛盾。所以，基于這樣的邏輯推理，在空間N+A之中所存在的孿生素數（也就是相差為2的素數對），它們的數量也必然是無窮多的。

2、2N+A空間里面的正整數結構

這個空間表格如下

關于這個表格的性質以及它與哥德巴赫猜想證明之間的關聯(lián)，我已經在之前發(fā)表的眾多文章中進行了極為詳盡和全面的闡述。由于相關內容已經在多篇文章里反復提及，所以在此處就不再花費過多筆墨進行贅述了。不過，為了便于大家理解，我還是會以一種簡明扼要的方式，對其中的關鍵要點做出一個簡單的說明。

合數項數列是

3k+1

5k+2

7k+3

11k+5

Sk+N

合數項公式是

Nh=a(2b+1)+b a,b≥1

代數關系式，K=m+n=N都是項數。

2N+2=q+p

q和p是數列2N+1里面的素數。

2Z=q+p與 Z=(q+p)/2存在著十分嚴格的差異性，這種差異性在后者身上得到了明顯的體現，后者所展現出來的內容表明正整數以及素數都具有對稱性的特征。這里所說的嚴格不同之處，是在深入探究數學概念時能夠發(fā)現的，在對后者進行剖析的時候，就能夠察覺到正整數和素數在某種特定的規(guī)則或者視角下，呈現出一種對稱的狀態(tài)，這種狀態(tài)是其獨有的特性，也是區(qū)別于其他概念的重要標志。

空間2N+A本身就是一個極為特殊的函數表達形式，這一特性實際上與素數分布所呈現出的復雜性并沒有直接關聯(lián)。在這里，我們主要關注的是區(qū)間（0，N]自身所具備的獨特性質。當數值N逐漸趨向于無窮大這一極限狀態(tài)時，表格所展現出的各類性質并不會隨之發(fā)生改變，而是會始終保持原有的狀態(tài)和特征。也就是說，無論N如何增大，區(qū)間（0，N]在表格中體現出來的那些本質屬性都會穩(wěn)定不變，這與空間2N+A這個特殊函數式是獨立存在的事實相一致，不會受到素數分布復雜性的干擾。

為了更清晰地闡釋這一核心關系，我們可以構建一個具體的示例來進行說明。假設N為某個正整數，那么2N+2便是我們需要表示為兩個素數之和的偶數。此時，q和p均需從數列2N+1（這里的N為項數，使得該數列呈現為3,5,7,9,11……的奇數序列）中選取。

例如，當我們取N=3時，2N+2=8。此時，我們在數列2N+1（項數N分別為1,2,3,4……時，數列值為3,5,7,9……）中尋找q和p，使得q+p=8。很明顯，3+5=8，這里的3和5均是數列2N+1中的素數（3對應項數N=1，5對應項數N=2）。

再如，取N=4時，2N+2=10，我們可以找到3+7=10（3為N=1，7為N=3），或者5+5=10（5為N=2）。

這表明，對于特定的N值，我們能夠在2N+1數列中找到至少一對素數q和p，它們的和恰好等于2N+2。這種對應關系并非偶然，而是源于2N+A空間的結構性特征，該空間通過其獨特的合數項公式和素數項定位方法，為尋找這樣的素數對提供了系統(tǒng)性的路徑。在這個空間框架下，每一個形如2N+2的偶數都被賦予了在特定奇數數列（2N+1）中尋找兩個素數之和的可能性，而這種可能性的普遍存在，正是哥德巴赫猜想在該研究體系下試圖被證明的核心內容。

通過對不同N值下q和p的具體尋找與驗證，可以逐步揭示這種素數對存在的規(guī)律性與必然性。

請注意，千萬不要局限于“解析數論”這一傳統(tǒng)領域所固有的視角和觀念來閱讀并理解我的文章內容。我所提出的方法實際上開創(chuàng)了一條完全不同于以往的全新研究路徑，可以稱之為一個“嶄新的數論研究方向”。這種方法與素數定理之間沒有任何直接的關聯(lián)性，也并不依賴于素數定理的相關理論框架或研究成果。因此，在審視我的研究時，請務必拋開解析數論中那些既定的思維模式，以一種開放的、全新的視角來看待這一獨立發(fā)展的數論探索方向。

本文使用了WPSAI的功能，在此對WPSAI表示感謝！

2026年2月24日星期二