艾米·諾特（Emmy Noether）。 圖源：維基百科

撰文 |夏志宏

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我們從小就被灌輸一個(gè)“物理常識(shí)”：能量守恒。

能量不會(huì)憑空產(chǎn)生，也不會(huì)憑空消失，只會(huì)從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式。

聽起來像宇宙的鐵律，甚至像一種“道德”：

你不能作弊，永動(dòng)機(jī)永遠(yuǎn)不可能出現(xiàn)。

但20世紀(jì)初，一位數(shù)學(xué)家做了一件驚人的事：她告訴我們——

守恒定律并不是宇宙的基本規(guī)則，它其實(shí)來自一種更深層的東西：對(duì)稱性。而在愛因斯坦相對(duì)論的時(shí)空觀里，能量是不守恒的！

這位數(shù)學(xué)家叫：艾米·諾特（Emmy Noether）。愛因斯坦稱艾米·諾特為：“自女性開始接受高等教育以來所產(chǎn)生的最重要、最具創(chuàng)造力的數(shù)學(xué)天才?！?/p>

01

守恒定律的“真正來源”：對(duì)稱性

想象你做一個(gè)實(shí)驗(yàn)：小球滾動(dòng)、擺鐘擺動(dòng)、行星繞太陽轉(zhuǎn)。

現(xiàn)在你把整個(gè)實(shí)驗(yàn)搬走一點(diǎn)點(diǎn)，或者隔一段時(shí)間再做一次——如果實(shí)驗(yàn)規(guī)律絲毫不變，這就叫對(duì)稱性。

諾特在1918年證明了一個(gè)改變物理學(xué)的結(jié)論（后來被稱為“諾特定理”）：

每一種連續(xù)對(duì)稱性，都對(duì)應(yīng)一種守恒量。

幾個(gè)最經(jīng)典的對(duì)應(yīng)關(guān)系是：

• 時(shí)間平移對(duì)稱性 → 能量守恒

• 空間平移對(duì)稱性 → 動(dòng)量守恒

• 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性 → 角動(dòng)量守恒

所以守恒律不是天外飛來的規(guī)定，而是宇宙在說：

• “我不在乎你什么時(shí)候做實(shí)驗(yàn)?！?/p>

• “我不在乎你把實(shí)驗(yàn)搬到哪里?！?/p>

• “我不在乎你朝哪個(gè)方向擺放。”

而守恒律，就是這些“不在乎”的數(shù)學(xué)后果。

02

一個(gè)非常日常的例子：地球上為什么“幾乎”動(dòng)量守恒？

我們說：動(dòng)量守恒來自空間平移對(duì)稱性。

但你仔細(xì)想：地球表面是平的嗎？不是。地球表面是彎曲的。

在理想的無限平面上，你把實(shí)驗(yàn)整體往東挪10米、往西挪10米，物理規(guī)律不變——這叫完美的平移對(duì)稱性，因此動(dòng)量嚴(yán)格守恒。

但地球表面是球面，從全局看并沒有那種完美“平移對(duì)稱”。因此嚴(yán)格說：

物體沿地球表面運(yùn)動(dòng)，并不具備完全的平移對(duì)稱性，所以也不具備嚴(yán)格的全局動(dòng)量守恒。

那為什么我們踢球、開車、做碰撞實(shí)驗(yàn)，還是覺得動(dòng)量守恒很好用？

因?yàn)榈厍蚯侍×恕诓賵?chǎng)、公路、實(shí)驗(yàn)室這種尺度上，地面看起來幾乎是平的。

于是對(duì)稱性近似成立，動(dòng)量守恒也就近似成立。

這就是諾特思想最關(guān)鍵的味道：

守恒律是對(duì)稱性的禮物，而禮物的“嚴(yán)格程度”，取決于對(duì)稱性有多完美。

03

諾特是誰？一個(gè)被時(shí)代拖住的天才

諾特出生于1882年的德國。

那時(shí)候女性在大學(xué)里往往連正式學(xué)生都當(dāng)不了，只能旁聽。

她拿到博士學(xué)位后，長期沒有薪水、沒有頭銜，卻仍然在講課、研究。好不容易拿到柏林大學(xué)正式教職，一年后希特勒的納粹政府解聘了猶太血統(tǒng)的她，此后流浪美國。

她真正改變物理學(xué)，是因?yàn)閻垡蛩固沟膹V義相對(duì)論遇到了麻煩。

當(dāng)時(shí)學(xué)界發(fā)現(xiàn)：在愛因斯坦的彎曲時(shí)空里，能量守恒似乎變得很微妙。1915年，愛因斯坦在哥廷根給了關(guān)于引力的著名系列演講，此時(shí)的愛因斯坦離他的廣義相對(duì)論場(chǎng)方程還差一步，愛因斯坦認(rèn)為其關(guān)鍵點(diǎn)在于相對(duì)論中能量守恒律如何表現(xiàn)。

在場(chǎng)的傳奇數(shù)學(xué)家希爾伯特對(duì)此大感困惑，他想到了他的學(xué)生艾米·諾特。希爾伯特和克萊因把諾特請(qǐng)到哥廷根，希望她能從數(shù)學(xué)根部“修理”這個(gè)問題。

結(jié)果她給出了一個(gè)堪稱“底層重寫”的答案：守恒律不是必須的，它依賴于對(duì)稱性。

04

為什么在廣義相對(duì)論里，“能量守恒”會(huì)變得奇怪？

在經(jīng)典物理里，時(shí)間像一條統(tǒng)一流動(dòng)的河：全宇宙共享同一個(gè)背景時(shí)鐘。

因此“能量守恒”是一件非常自然的事。

但廣義相對(duì)論說：時(shí)空不是舞臺(tái)布景，而是劇情的一部分。

物質(zhì)能量讓時(shí)空彎曲，彎曲的時(shí)空又決定物體如何運(yùn)動(dòng)。

如果整個(gè)宇宙的時(shí)空結(jié)構(gòu)在演化，它就未必?fù)碛小皶r(shí)間平移對(duì)稱性”。

而諾特告訴我們：沒有時(shí)間對(duì)稱性，就不保證有全局能量守恒。

這不是“物理失控”，而是你問的那個(gè)“宇宙總能量”，可能并不是一個(gè)永遠(yuǎn)能清楚定義的量。

05

兩個(gè)著名的“能量去哪了？”例子？

① 光子紅移：能量為什么變小了？

在膨脹宇宙中，光在傳播時(shí)波長被拉長，頻率下降，能量變小。

直覺會(huì)問：能量去哪了？普通物理里你會(huì)期待“轉(zhuǎn)賬給了某個(gè)東西”。

但在動(dòng)態(tài)時(shí)空中，“總能量守恒”未必是可以全局記賬的概念。

② 引力波：時(shí)空自己在“帶著能量跑”

2015年，人類第一次直接探測(cè)到引力波：來自兩顆黑洞合并。

合并過程中，一部分質(zhì)量通過 E=mc^2 轉(zhuǎn)化為引力波能量，像波紋一樣輻射出去。

這聽起來像守恒完美成立：黑洞少掉的能量 → 變成引力波帶走。

但微妙之處在于：引力波不是“在時(shí)空里傳播的波”，它本身就是時(shí)空的振動(dòng)。

在廣義相對(duì)論里，“引力場(chǎng)能量”并不像電磁場(chǎng)那樣能在任何情況下都用一種普遍、坐標(biāo)無關(guān)的方式定義。

很多時(shí)候，只有在遠(yuǎn)離源、時(shí)空近似平坦時(shí)，我們才能穩(wěn)穩(wěn)地給引力波算能量賬。

06

結(jié)尾：守恒不是宇宙的規(guī)定，而是宇宙的習(xí)慣

過去我們以為守恒律像宇宙戒律。

諾特告訴我們：它更像宇宙的習(xí)慣——來自對(duì)稱性的習(xí)慣。

更完整的說法是：

當(dāng)宇宙不在乎“時(shí)間是什么時(shí)候”，能量才守恒。

當(dāng)宇宙不在乎“你在哪里”，動(dòng)量才守恒。

在一個(gè)會(huì)彎曲、會(huì)膨脹、會(huì)起伏的時(shí)空里，對(duì)稱性未必完美。

因此守恒律也可能從“嚴(yán)格”變成“近似”，從“全局清楚”變成“局部可靠”。

我們之所以知道這一切，正是因?yàn)槟俏辉?jīng)長期無薪、無頭銜、卻改寫了物理學(xué)底層邏輯的人——艾米·諾特。

物理學(xué)底層邏輯是數(shù)學(xué)，世界本無能量守恒，只有對(duì)稱。

文章轉(zhuǎn)載自“知識(shí)分子”微信公眾號(hào)