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FrontierMath簡介：對AI人工智能在數(shù)學(xué)家尚未解決的研究問題上進(jìn)行基準(zhǔn)測試。

本研究工作由施密特科學(xué)基金會(huì)（Schmidt Sciences）資助。

作者：epoch.ai（跨學(xué)科非營利研究機(jī)構(gòu)，base美國舊金山）2026-1-28

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2026-1-29

AI人工智能的數(shù)學(xué)能力發(fā)展迅速且成果顯著。2024年年中時(shí)，高中數(shù)學(xué)題對人工智能系統(tǒng)來說仍是一項(xiàng)挑戰(zhàn) https://epoch.ai/benchmarks/math-level-5 。到2025年底，人工智能系統(tǒng)已經(jīng)能夠攻克那些專為頂尖人類專家設(shè)計(jì)的超高難度題目 https://epoch.ai/frontiermath/about 。在撰寫本文時(shí)，人工智能系統(tǒng)似乎很快就能解決人類從未破解的數(shù)學(xué)難題。

事實(shí)上，這一趨勢已經(jīng)初現(xiàn)端倪。例如，人工智能系統(tǒng)已經(jīng)解決了數(shù)道此前懸而未決的埃爾德什（Erd?s）問題 https://github.com/teorth/erdosproblems/wiki/AI-contributions-to-Erd%C5%91s-problems 。但這些成果的意義很難界定。這些問題在數(shù)學(xué)領(lǐng)域是否具有重要意義？此前人類為解決這些問題付出了多少努力？這些成果能否體現(xiàn)人工智能能力的新突破？

今天，我們發(fā)布了全新基準(zhǔn)測試的試點(diǎn)版本——前沿?cái)?shù)學(xué)（FrontierMath）開放性問題 https://epoch.ai/frontiermath/open-problems 。我們希望通過這個(gè)基準(zhǔn)測試，為相關(guān)問題的解答提供思路。該基準(zhǔn)測試的題目均為專業(yè)數(shù)學(xué)家努力攻關(guān)卻未能解決的前沿?cái)?shù)學(xué)開放性問題。為了實(shí)現(xiàn)大規(guī)模評估，入選的題目都滿足一個(gè)條件，即相關(guān)的解決方案可以通過編程方式進(jìn)行驗(yàn)證。

據(jù)我們目前所知，在本基準(zhǔn)測試發(fā)布之時(shí)，這些問題還沒有被人類或AI人工智能系統(tǒng)破解。如果有人工智能系統(tǒng)能夠解開其中任意一道題，都將是人類知識(shí)邊界的一次重大突破。此外，我們還能衡量這一突破的重要程度：參與題目的數(shù)學(xué)家已經(jīng)對這些問題的重要性進(jìn)行了評級，其意義從“具有一定趣味性的成果”到“重大突破”不等。

本次試點(diǎn)版本共包含14道題目，具體內(nèi)容如下：

1. 針對每道題的重要性與難度撰寫的說明文檔

2. 可用于測試人工智能系統(tǒng)的精準(zhǔn)提示詞——你也可以親自嘗試！

3. 人工智能系統(tǒng)求解這些問題的初步嘗試結(jié)果

https://epoch.ai/data/open_problems_data.zip

在未來幾個(gè)月里，我們還會(huì)不斷擴(kuò)充題目數(shù)量，同時(shí)也在積極委托數(shù)學(xué)家提供新的題目。如果你有興趣參與題目貢獻(xiàn)，可以查看我們的問題提交表單。 https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSckGHMY4ofgKfvf39Ue8fDZAbXJqN9pTcf5oLP3f3y-chE0Bg/viewform

關(guān)于驗(yàn)證程序，也就是用于評估候選解決方案的程序，我們將通過付費(fèi)模式開放使用權(quán)限。我們采用這種模式，是為了籌集資金以進(jìn)一步擴(kuò)充基準(zhǔn)測試的題目庫。題目設(shè)計(jì)需要投入大量人力，而且每破解一道題，基準(zhǔn)測試中的題目數(shù)量就會(huì)減少一道。因此，我們希望有意使用驗(yàn)證程序的機(jī)構(gòu)能與我們合作，為題目庫的擴(kuò)充提供資金支持。我們承諾將平等開放驗(yàn)證程序的使用權(quán)限，不會(huì)向任何實(shí)體授予獨(dú)家使用權(quán)。如有需求，可發(fā)送郵件咨詢。

一、例題展示

（順序與上表有異，每題均可查看詳情）

1、組合數(shù)學(xué)——具有一定趣味性的成果

設(shè)B?為含n個(gè)頂點(diǎn)的三角書圖（triangular book graph）。對于給定的n，構(gòu)造一個(gè)圖，以此證明拉姆齊數(shù)R(B???, B?) > 4n-2。

找到R(B???, B?)的通用構(gòu)造方法，將對計(jì)算圖論學(xué)者具有重要意義。這一構(gòu)造方法或?qū)⒂兄谧C明其他拉姆齊數(shù)R(B?, B?)的取值范圍，甚至可能適用于推導(dǎo)其他通用拉姆齊數(shù)。

上界R(B???, B?) ≤4n-1 于1978 年建立，最近的研究表明，對于無窮族n以及所有n≤21 ，該上界都是緊的。鑒于這些結(jié)果，對于所有n，上界很可能都是緊的。

本問題的目標(biāo)是證明這一點(diǎn)，即找到一個(gè)算法，給定n，生成一個(gè)見證R(B ? ?? , B ? ) > 4n-2的圖。

威廉·J·韋斯利（William J. Wesley）

加州大學(xué)圣地亞哥分校 塞韋爾客座助理教授

https://epoch.ai/frontiermath/open-problems/ramsey-book-graphs

https://epoch.ai/files/open-problems/ramsey-book-graphs.pdf

2、代數(shù)幾何——堅(jiān)實(shí)成果

在特征為3的代數(shù)閉域上，構(gòu)造一族顯式的正規(guī)射影KLT（Kawamata log terminal，雄二郎對數(shù)終端）德·佩佐（del Pezzo）曲面X，要求這類曲面的皮卡（Picard）數(shù)為1，且具有任意多個(gè)（例如7個(gè)以上）奇點(diǎn)。

在特征為3的情況下完成這一構(gòu)造，將揭示一種新的小特征現(xiàn)象，同時(shí)也將對理解正特征下法諾簇（Fano varieties）和極小模型綱領(lǐng)（MMP）的整體研究進(jìn)程產(chǎn)生重要影響。

Del Pezzo 曲面是代數(shù)簇雙有理分類中的基礎(chǔ)構(gòu)建模塊。對于具有“溫和”（KLT）奇點(diǎn)的 Del Pezzo 曲面，這些奇點(diǎn)的性質(zhì)已經(jīng)相當(dāng)清楚——除了一個(gè)空白。

粗略地說：

• 在特征為零的情況下，可能的奇點(diǎn)受到高度限制，并且已完全分類。

• 在特征 2 中，可以有任意多個(gè)奇點(diǎn)。

• 在特征 >3 中，至多可以有四個(gè)奇點(diǎn)。

• 但就特征 3 而言，所有已知的構(gòu)造至多只有 7 個(gè)奇點(diǎn)，而且尚不清楚這是否是最可能的奇點(diǎn)數(shù)量。

出題人認(rèn)為特征 3 也可能存在任意多個(gè)奇點(diǎn)。本題的目標(biāo)是通過構(gòu)造來證明這一點(diǎn)。出題人給人工智能系統(tǒng)提供了幾種通用形式，并認(rèn)為構(gòu)造很可能符合其中一種形式。

保羅·卡西尼（Paolo Cascini）

倫敦大學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)教授

https://epoch.ai/frontiermath/open-problems/klt-del-pezzo-surface

https://epoch.ai/files/open-problems/klt-del-pezzo-surface.pdf

3、數(shù)論——重大突破級成果

尋找一個(gè)系數(shù)在整數(shù)環(huán)?內(nèi)的23次多項(xiàng)式，使其在有理數(shù)域?上的分裂域的伽羅瓦群為馬蒂厄群（Mathieu group）M??。

反伽羅瓦問題是數(shù)論領(lǐng)域最基礎(chǔ)的開放性問題之一，核心是構(gòu)造具有指定對稱性的多項(xiàng)式。上述問題是該難題中目前尚未解決的最小維度情形，其獨(dú)特之處在于，馬蒂厄（Mathieu）群M??是最后一個(gè)尚未找到對應(yīng)多項(xiàng)式構(gòu)造方法的散在單群（sporadic simple groups）。

換言之，逆（反）伽羅瓦問題詢問每個(gè)有限群是否都是有理數(shù)擴(kuò)張的伽羅瓦群。在任何特定情況下，這都等于找到一個(gè)具有規(guī)定對稱性的多項(xiàng)式。該問題的目標(biāo)是找到一個(gè)伽羅瓦群為馬蒂厄群M??的多項(xiàng)式。這是一個(gè)特別有趣的例子，因?yàn)樗亲詈笠粋�(gè)已知此類多項(xiàng)式的散在單群。雖然不能保證一定存在這樣的多項(xiàng)式，但數(shù)學(xué)家通常期望它存在。

丹尼爾·利特（Daniel Litt）

多倫多大學(xué) 數(shù)學(xué)助理教授

https://epoch.ai/frontiermath/open-problems/inverse-galois

4、拓?fù)鋵W(xué)——突破性成果

設(shè)計(jì)一個(gè)算法，該算法以一個(gè)紐結(jié)作為輸入，能夠判定該紐結(jié)的解結(jié)數(shù)是否等于1。

這一問題是低維拓?fù)鋵W(xué)的核心問題之一，它探討的是將一個(gè)紐結(jié)簡化為平凡紐結(jié)的難易程度。該問題的解決將成為紐結(jié)理論領(lǐng)域的一項(xiàng)重大成果。

紐結(jié)的解結(jié)數(shù)（unknotting number）是一個(gè)經(jīng)典的不變量。它被定義為將紐結(jié)的圖轉(zhuǎn)化為解結(jié)后的圖所需的最小交叉變換次數(shù)。本問題旨在設(shè)計(jì)一種算法，用于判斷一個(gè)圖是否描繪了一個(gè)解結(jié)數(shù)為 1 的紐結(jié)。

這個(gè)問題是低維拓?fù)鋵W(xué)中的一個(gè)基本問題，如果能得到解決，將是一項(xiàng)重大成果。該問題在復(fù)雜度方面處于一個(gè)有趣的節(jié)點(diǎn)：雖然存在多項(xiàng)式時(shí)間算法可以判斷一個(gè)紐結(jié)的解結(jié)數(shù)是否為零，但判斷一個(gè)紐結(jié)的解結(jié)數(shù)這一一般性問題是 NP 難的——甚至目前尚不清楚其是否可判定。問題提出者樂觀地認(rèn)為，解結(jié)數(shù)等于 1 的情況至少是可判定的，而且對于中等規(guī)模的圖來說，計(jì)算量也是可以承受的。

我們并未嘗試進(jìn)行完整的理論驗(yàn)證，而是在一個(gè)隱藏的、已知解結(jié)次數(shù)的紐結(jié)挑戰(zhàn)集上測試所提出的算法。雖然我們希望在這個(gè)挑戰(zhàn)集上的完美表現(xiàn)能夠表明概念上的突破，但人工智能系統(tǒng)也可能拼湊出許多臨時(shí)方法并取得成功。如果出現(xiàn)這種情況，我們可以通過生成更具挑戰(zhàn)性的示例來解決這個(gè)問題。

喬爾·哈斯（Joel Hass）

加州大學(xué)戴維斯分校 數(shù)學(xué)系教授

https://epoch.ai/frontiermath/open-problems/unknotting-number

https://epoch.ai/files/open-problems/unknotting-number.pdf

5、數(shù)論——突破性成果

將 Apéry（阿佩里） 對ζ(3)無理性的證明應(yīng)用于其他常數(shù)。

1979 年，阿佩里證明了 ζ(3) 是無理數(shù)。該證明的核心在于利用一個(gè)特殊的遞推關(guān)系，如下所示。當(dāng)以兩種不同的方式初始化時(shí)，該遞推關(guān)系可以得到一對級數(shù)，這兩個(gè)級數(shù)可以配置為“快速”收斂于 ζ(3) 。這種快速收斂足以證明 ζ(3) 是無理數(shù)。

n3u? = (34n3 - 51n2 + 27n - 5) u??? - (n-1)3u???

本問題的目的是找到類似的遞推關(guān)系和初始值，以便證明其他“著名”常數(shù)的無理性。

https://epoch.ai/frontiermath/open-problems/apery-irrationality

6、組合數(shù)學(xué)——中等有趣的成果

超圖上的拉姆齊式問題：構(gòu)造盡可能大的超圖，使其不具有某種易于檢查但難以發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)。

這個(gè)問題是關(guān)于改進(jìn)序列H(n)的值的下界，該序列出現(xiàn)在研究如下定義的無窮級數(shù)集合的同時(shí)收斂性時(shí)。如果存在某個(gè)D?V和 P?H ，使得|D|=n 且 D中的每個(gè)元素都恰好包含在P的一個(gè)元素中，則稱超圖(V, H) 包含大小為 n的劃分。 H(n)是最大的 k∈? ，使得存在一個(gè)超圖(V, H) ，其中|V| =k 沒有孤立頂點(diǎn)，并且不包含大小大于n 的劃分。人們認(rèn)為，目前已知的H(n)的最佳下界即使在漸近意義上也是次優(yōu)的，并且可以通過尋找新的超圖構(gòu)造來改進(jìn)它們。本問題的目標(biāo)就是找到這樣一種構(gòu)造。

威爾·布萊恩（Will Brian）

北卡羅來納大學(xué)夏洛特分校數(shù)學(xué)助理教授

https://epoch.ai/frontiermath/open-problems/ramsey-hypergraphs

https://epoch.ai/files/open-problems/ramsey-hypergraphs.pdf

7、數(shù)論——堅(jiān)實(shí)成果

算術(shù)掛谷猜想：通過構(gòu)造特定組合對象改進(jìn)已知上界。

集合??中的 Kakeya（掛谷）集是一個(gè)有界集合，它在每個(gè)方向上都包含一條單位線段。這樣的集合可以具有零測度，但 Kakeya 猜想認(rèn)為它們總是具有 (Minkowski閔可夫斯基 和 Hausdorff豪斯多夫) 維數(shù)d。對于 d≥4 ，該猜想仍未解決。

一個(gè)相關(guān)的猜想是算術(shù) Kakeya 猜想，它可以表述為：實(shí)數(shù)α具有性質(zhì)AK(·) 。顯然，性質(zhì)AK(2) 成立。算術(shù) Kakeya 猜想是性質(zhì)AK(1)成立，并且已知性質(zhì)AK(1) 蘊(yùn)含 Kakeya掛谷猜想。目前最先進(jìn)的結(jié)果是性質(zhì) AK(γ )，其中γ ≈1.675是多項(xiàng)式x3-4x+2 的最大根。

由于 Katz 和陶哲軒的工作，我們可以通過構(gòu)造某些有限的組合對象，證明AK(α) 對于特定的α 值成立。這種方法是目前最先進(jìn)的結(jié)果的基礎(chǔ)。本問題的目標(biāo)是在此基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，即找到一個(gè)α，能夠證明對于α < γ，AK(α)成立的組合對象。已知該方法存在局限性：它不適用于 α < 3/2 。因此，本問題無法證明完整的 Kakeya 掛谷猜想。

托馬斯·F·布魯姆（Thomas Bloom）

曼徹斯特大學(xué)皇家學(xué)會(huì)研究員

https://epoch.ai/frontiermath/open-problems/arithmetic-kakeya

https://epoch.ai/files/open-problems/arithmetic-kakeya.pdf

參閱

8、組合數(shù)學(xué)——堅(jiān)實(shí)成果

布爾函數(shù)的次數(shù)與敏感度：改進(jìn)次數(shù) (degree) 優(yōu)于敏感度 (sensitivity) 的上界指數(shù)。

給定一個(gè)布爾函數(shù)f ，已知f 的靈敏度，記為s(f) ，至少是其次數(shù)（記為deg(f））的平方根，并且這個(gè)界限是緊的。

上限不太明確。已知s(f) ≤deg2(f），最近的研究，通過一個(gè)小于1的常數(shù)（≈0.83）將其改進(jìn) 。此外，還有 s(f) = deg^{log(6) / log(3)}(f) 的顯式構(gòu)造。這里的指數(shù)約為1.63 。

本問題的目標(biāo)是找到一種新的構(gòu)造方法，以改進(jìn)這個(gè)界限。

https://epoch.ai/frontiermath/open-problems/degree-sensitivity-boolean

https://epoch.ai/files/open-problems/degree-sensitivity-boolean.pdf

9、代數(shù)幾何——堅(jiān)實(shí)成果

代數(shù)的顯式形變：找出從曲線代數(shù)到單項(xiàng)式代數(shù)的顯式形變。

對阿廷代數(shù)形變（deformation）的研究是點(diǎn)的希爾伯特概型（Hilbert scheme）Hilb?(??) 的幾何的核心。曲線分量CHilb??(??)扮演著特殊的角色：它參數(shù)化了在??內(nèi)部局部同構(gòu)于Spec(k[t]/t?) 的子概型。

已知每個(gè)這樣的理想都是相同維數(shù)的曲線理想的形變，但證明本質(zhì)上是非構(gòu)造性的。這類構(gòu)造在各種應(yīng)用中都很有用。本問題旨在為特定的單項(xiàng)式代數(shù)提供一個(gè)顯式的形變。作者期望，解決此問題將指向構(gòu)造此類形變的一般策略，而這才是本問題的真正目標(biāo)。

格爾蓋利·貝爾齊（Gergely Berczi）

奧胡斯大學(xué)副教授

https://epoch.ai/frontiermath/open-problems/explicit-deformations

https://epoch.ai/files/open-problems/explicit-deformations.pdf

10、組合數(shù)學(xué)——堅(jiān)實(shí)成果

大型斯坦納系：構(gòu)造一個(gè) (n,q,r)-斯坦納系，其中 n>q>r>5, r<10, 且 n<200。

斯坦納系（Steiner system）是高度對稱的組合對象，在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和糾錯(cuò)碼領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。自 19 世紀(jì)中期以來，人們一直在積極研究斯坦納系。

正式定義很簡單：給定一個(gè)大小為 n 的集合S ，一個(gè) (n,q,r)-Steiner 系是 S 的 大小為q的子集的集合，使得S的每個(gè)大小為r的子集都恰好包含在一個(gè)大小為q的子集中。

或許令人驚訝的是，盡管 2014 年證明的定理表明存在許多包含r>5 的斯坦納系實(shí)例，但目前尚未發(fā)現(xiàn)此類實(shí)例。雖然不能保證存在包含 n<200 且5

庫納爾·馬爾瓦哈（Kunal Marwaha）

芝加哥大學(xué)量子計(jì)算專業(yè)的博士研究生

https://epoch.ai/frontiermath/open-problems/large-steiner-systems

https://epoch.ai/files/open-problems/large-steiner-systems.pdf

11、數(shù)論——突破性成果

素?cái)?shù)分解（質(zhì)因數(shù)分解）：改進(jìn) GNFS（通用數(shù)域篩法）指數(shù)中的常數(shù)因子。

目前最著名的經(jīng)典大整數(shù)因式分解算法是通用數(shù)域篩法（GNFS）。它的時(shí)間復(fù)雜度是待分解數(shù)字位數(shù)的指數(shù)級增長。雖然已知存在多項(xiàng)式時(shí)間量子算法可以用于整數(shù)因式分解，但尚不清楚是否存在多項(xiàng)式時(shí)間經(jīng)典算法。然而，GNFS 算法很可能存在顯著的改進(jìn)空間。

本問題的目標(biāo)是找到這樣的改進(jìn)。我們通過在計(jì)算資源有限（例如，在筆記本電腦上運(yùn)行）的情況下，對挑戰(zhàn)整數(shù)進(jìn)行測試，以數(shù)值方式驗(yàn)證解決方案。挑戰(zhàn)的選擇旨在確保成功的唯一途徑是找到至少與 GNFS 運(yùn)行時(shí)指數(shù)常數(shù)因子顯著改進(jìn)相當(dāng)?shù)母倪M(jìn)方案。

這將是計(jì)算數(shù)論領(lǐng)域的一項(xiàng)重大突破。

https://epoch.ai/frontiermath/open-problems/prime-factorization

12、數(shù)論——堅(jiān)實(shí)成果

2-進(jìn)絕對伽羅瓦群：給出 2-進(jìn)數(shù)域的絕對伽羅瓦群作為profinite群（投射有限群）的展示。

域K的絕對伽羅瓦群是所有有限伽羅瓦群Gal(E/K) 的投射極限。它包含了所有有限擴(kuò)張的信息，研究有理域?的伽羅瓦群是代數(shù)數(shù)論中的一個(gè)核心問題。研究這個(gè)群的一種方法是研究 p-adic（p進(jìn)）域 ?? 的類似伽羅瓦群。在這種情況下，對于 p>2 ，存在Gal(???? / ??) 的顯式表示。對p=2 ，我們有??的某些擴(kuò)張的絕對伽羅瓦群的描述，但對于??本身卻沒有。找到這樣的描述將填補(bǔ)我們對伽羅瓦群顯式理解的空白，并且對于給定伽羅瓦群的 p-adic 域的計(jì)數(shù)將具有重要意義。

戴維·羅（David Roe）

MIT 首席研究科學(xué)家

https://epoch.ai/frontiermath/open-problems/q2-absolute-galois

https://epoch.ai/files/open-problems/q2-absolute-galois.pdf

13、組合數(shù)學(xué)——重大進(jìn)展

拉伸的 LR（Littlewood-Richardson） 系數(shù)：找出劃分（即分拆），其拉伸 LR 系數(shù)表示為多項(xiàng)式時(shí)，具有負(fù)系數(shù)。

Littlewood-Richardson (LR，利特爾伍德-理查德森) 系數(shù)是代數(shù)組合學(xué)中的核心量，出現(xiàn)在幾個(gè)相互關(guān)聯(lián)的領(lǐng)域中。它們由劃分λ，μ，ν 索引，記為 c_{λμ}^ν。拉伸 LR 系數(shù)是底層劃分的整數(shù)縮放的 LR 系數(shù)，記為 c_{tλ, tμ}^{tν}。

已知拉伸 LR 系數(shù)是關(guān)于t 的多項(xiàng)式。有人猜想該多項(xiàng)式的系數(shù)為正，但出題人預(yù)期此猜想不成立。本題旨在找到一個(gè)反例。

https://epoch.ai/frontiermath/open-problems/stretched-lr-coefficients

https://epoch.ai/files/open-problems/stretched-lr-coefficients.pdf

14、拓?fù)?幾何——重大進(jìn)展

辛球堆積：找出辛球 (symplectic balls) 到單個(gè)目標(biāo)球的顯式嵌入，占據(jù)目標(biāo)球除 ? 外的所有體積。

在四維空間中，已知當(dāng)k≥10 時(shí)，可以用半徑相同的 k 個(gè)辛球完全填充一個(gè)辛球。這里的“完全填充”指的是，對于任意小的?>0 ，可以找到一個(gè)辛同構(gòu)（symplectomorphism），使得這些球的像占據(jù)目標(biāo)球除?以外的所有體積。然而，這個(gè)證明并不明確。找到這些嵌入的顯式構(gòu)造仍然是一個(gè)重要的開放性問題。

凱勒·西格爾（Kyler Siegel）

南加州大學(xué)數(shù)學(xué)系助理教授

https://epoch.ai/frontiermath/open-problems/symplectic-ball-packing

https://epoch.ai/files/open-problems/symplectic-ball-packing.pdf

二、題目特點(diǎn)：兼具數(shù)學(xué)意義、多樣性與高難度

本基準(zhǔn)測試的題目均由專業(yè)數(shù)學(xué)家提供。他們基于自己的研究方向，篩選出那些自己也渴望得到答案的問題。同時(shí)，這些數(shù)學(xué)家還會(huì)對題解的學(xué)術(shù)價(jià)值進(jìn)行評級，等級從“分支領(lǐng)域內(nèi)具有一定趣味性的成果”到“突破性成果”不等。我們的目標(biāo)是讓不同等級的題目在測試集中保持均衡分布。

我們的核心目標(biāo)是篩選出那些本身對數(shù)學(xué)家具有重要意義的問題。我們不會(huì)為了刻意增加AI人工智能的解題難度而設(shè)計(jì)題目。與那些為測試量身定制的題目不同，這些題目都是數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的核心問題【注1】。我們希望知道人工智能系統(tǒng)是否能夠解決這些問題，如果可以，那自然是一項(xiàng)重大突破。

需要強(qiáng)調(diào)的是，至少對于人類而言，這些題目難度極高。提供題目的數(shù)學(xué)家會(huì)根據(jù)嘗試過解題的人數(shù)對題目進(jìn)行評級，嘗試解題的數(shù)學(xué)家數(shù)量范圍從2-4人到50-100人不等。

此外，數(shù)學(xué)家還會(huì)預(yù)估人類解答這些題目的時(shí)間。具體來說，就是假設(shè)最有能力解決該問題的數(shù)學(xué)家全職投入研究，要達(dá)到50%的解題概率所需的時(shí)間。預(yù)估結(jié)果從1-4周到3-10年不等。 【注2】也就是說，人類解答這些題目的門檻非常高。

這些題目覆蓋了多個(gè)數(shù)學(xué)分支領(lǐng)域。本次試點(diǎn)測試集的題目偏向組合數(shù)學(xué)和數(shù)論，原因是我們在這兩個(gè)領(lǐng)域找到了更多適合自動(dòng)驗(yàn)證的問題。在擴(kuò)充題目庫的過程中，我們將致力于保持題目所屬領(lǐng)域的多樣性。

三、前沿?cái)?shù)學(xué)（FrontierMath）開放性問題測試集構(gòu)成

按解題學(xué)術(shù)價(jià)值等級（解決方案的顯著性、名氣值）、預(yù)估解題時(shí)間、嘗試解題的數(shù)學(xué)家數(shù)量、所屬數(shù)學(xué)領(lǐng)域來看分布：

四、解決方案可實(shí)現(xiàn)自動(dòng)驗(yàn)證

評估AI人工智能針對未解決數(shù)學(xué)問題給出的解決方案，是一項(xiàng)重大的后勤挑戰(zhàn)。數(shù)學(xué)研究成果通常以自然語言論文的形式呈現(xiàn)。即便對于人類來說，評估這類論文也需要投入大量精力，且容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。雖然人工智能系統(tǒng)在評估自然語言數(shù)學(xué)內(nèi)容方面已經(jīng)取得了一定進(jìn)展，但對于高水平的數(shù)學(xué)研究成果，我們還無法完全信賴其評估的準(zhǔn)確性。【注3】

我們的解決思路是，篩選出這類問題：即便目前尚未找到答案，但候選解決方案可以通過在普通計(jì)算機(jī)上運(yùn)行的簡易程序進(jìn)行驗(yàn)證。這類可驗(yàn)證的問題的存在并非顯而易見，但我們確實(shí)找到了不少。

例如，部分題目要求構(gòu)造一個(gè)具有特定性質(zhì)的具體數(shù)學(xué)對象。其中一道題目就要求找到一個(gè)滿足特定條件的多項(xiàng)式�！咀�4】驗(yàn)證一個(gè)給定的多項(xiàng)式是否符合要求的過程很快，但想要找到這樣的多項(xiàng)式，卻超出了包括高度優(yōu)化的大規(guī)模搜索在內(nèi)的所有已知方法的能力范圍。這道題的研究價(jià)值在于，要構(gòu)造出目標(biāo)對象，似乎必須借助創(chuàng)新性的概念方法。

在另一些情況下，題目要求構(gòu)造一個(gè)適用于所有正整數(shù)的通用方法。我們無法對所有正整數(shù)的情況進(jìn)行驗(yàn)證，但可以要求解題者提供一個(gè)算法。該算法以任意整數(shù)為輸入，輸出對應(yīng)情況下的構(gòu)造方案。我們可以在一個(gè)測試整數(shù)集上驗(yàn)證該算法的有效性。這個(gè)測試集包含一些目前尚無構(gòu)造方案的整數(shù)，且數(shù)值足夠大，足以讓暴力搜索方法難以奏效。如果算法在測試集上表現(xiàn)良好，就有充分的理由相信該算法是一個(gè)通用解決方案。

這種方法也存在局限性，它限制了我們選題的范圍。我們的理想狀態(tài)是從所有未解決的數(shù)學(xué)問題中隨機(jī)抽樣，但自動(dòng)驗(yàn)證的要求不可避免地帶來了選題偏差�；鶞�(zhǔn)測試中的題目往往具有較強(qiáng)的具象性，可能不需要涉及“理論構(gòu)建”這類較抽象的數(shù)學(xué)研究工作。即便如此，令我們驚喜的是，數(shù)學(xué)家們能夠輕松提供大量既符合自動(dòng)驗(yàn)證條件，又具有重要數(shù)學(xué)意義的多樣化題目�！咀�5】

五、部分基準(zhǔn)測試題目可能無解

本基準(zhǔn)測試存在一個(gè)固有風(fēng)險(xiǎn)，即部分題目可能并不存在符合題述要求的解。這種情況主要分為兩種：一是目標(biāo)數(shù)學(xué)對象根本不存在；二是目標(biāo)數(shù)學(xué)對象確實(shí)存在，但其規(guī)模超出了驗(yàn)證程序的處理能力，無法被驗(yàn)證程序判定為有效解。

我們認(rèn)為，這類情況并不會(huì)影響對基準(zhǔn)測試整體結(jié)果的解讀。成功解題顯然具有重要意義。而在某一難度等級下未能解開所有題目，同樣具有研究價(jià)值。隨著題目庫規(guī)模擴(kuò)大到超越當(dāng)前試點(diǎn)版本，這一結(jié)果的參考意義將更加顯著。因此，我們鼓勵(lì)這樣解讀測試結(jié)果：“我們已經(jīng)觀察到多個(gè)人工智能解決具有一定趣味性的數(shù)學(xué)開放性問題的案例，但尚未出現(xiàn)能夠?qū)崿F(xiàn)重大突破的案例�！�

盡管存在上述風(fēng)險(xiǎn)，我們?nèi)员M力確保入選的題目大概率存在解。對于部分題目，我們有啟發(fā)性的理由相信符合要求的解是存在的。對于所有題目，我們至少?zèng)]有發(fā)現(xiàn)任何能夠證明其無解的證據(jù)。【注6】

我們設(shè)定的目標(biāo)是，提供題目的數(shù)學(xué)家對題目的可解性評估概率至少達(dá)到80%�！咀�7】但實(shí)際情況是，數(shù)學(xué)家在給出50%-80%的概率評估時(shí)，往往會(huì)強(qiáng)調(diào)其判斷存在高度不確定性。

六、已解決的題目將被移出基準(zhǔn)測試

一旦某道題目被破解，無論是被人類還是AI人工智能，相關(guān)成果都會(huì)被公開發(fā)表�！咀�8】這樣一來，后續(xù)的人工智能系統(tǒng)在面對這道題時(shí)，只需檢索已有文獻(xiàn)就能找到答案。因此，我們會(huì)將已解決的題目移出基準(zhǔn)測試。

這種“先解先得”的模式雖然并不常見，但我們認(rèn)為，這并不會(huì)削弱前沿?cái)?shù)學(xué)開放性問題基準(zhǔn)測試的整體價(jià)值。該基準(zhǔn)測試的目的并非給出一個(gè)評分，用于比較不同模型解決開放性問題的能力。它的核心價(jià)值在于，判斷AI人工智能系統(tǒng)是否具備解決特定難度和重要性級別的數(shù)學(xué)問題的能力。

七、該基準(zhǔn)測試有助于追蹤AI的“研究品位”

該基準(zhǔn)測試最直接的目標(biāo)，是探究人工智能是否能夠解決未解決的數(shù)學(xué)問題。同時(shí)，我們認(rèn)為它還有助于追蹤一些較難量化的能力，例如“研究判斷力”，也就是AI人工智能系統(tǒng)在選擇研究方向、識(shí)別關(guān)鍵規(guī)律等方面的能力。

這類能力對于理論數(shù)學(xué)研究似乎至關(guān)重要。在理論數(shù)學(xué)領(lǐng)域，找到正確的研究思路往往是最困難的環(huán)節(jié)。如果人工智能系統(tǒng)能夠解決那些人類傾注大量心血仍未攻克的數(shù)學(xué)難題，那就意味著它可能正在逐步形成超越人類的通用研究判斷力。

當(dāng)然，這并非必然結(jié)果�；蛟S和國際象棋或圍棋一樣，數(shù)學(xué)的形式化本質(zhì)恰好讓它成為人工智能系統(tǒng)相對容易突破的領(lǐng)域。也有可能人工智能系統(tǒng)會(huì)以一種我們認(rèn)為不夠優(yōu)雅的方式解決這些問題。【注9】即便如此，我們?nèi)院芨吲d能將這一基準(zhǔn)測試納入工具庫，用于追蹤這些難以量化的人工智能能力。

八、期待各方積極嘗試用AI求解這些問題

我們的核心目標(biāo)是摸清AI人工智能數(shù)學(xué)能力的邊界。但目前，我們尚未找到激發(fā)人工智能在基準(zhǔn)測試中展現(xiàn)最佳性能的最優(yōu)方法。

到目前為止，我們僅嘗試了一種簡單方法：在網(wǎng)頁應(yīng)用中直接向GPT-5.2 Pro和Gemini 3 Deep Think模型輸入提示詞�！咀�10】相關(guān)測試結(jié)果可在各題目的詳情頁面查看。在這種測試模式下，這些模型通常能夠解決一些“熱身題”。這些題目是已有答案的開放性問題變體。這表明模型能夠理解題目要求，并且熟悉相關(guān)主題領(lǐng)域。同時(shí)，這也有助于測試驗(yàn)證程序的有效性。

但當(dāng)面對真正的開放性問題時(shí)，這些模型的表現(xiàn)就不盡如人意了。有時(shí)，它們執(zhí)著于使用優(yōu)化算法，而非可能更有效的概念性方法。還有些時(shí)候，它們會(huì)識(shí)別出題目是開放性問題，然后直接放棄求解。

要解決這些問題，顯然需要模型具備更強(qiáng)的“思考”能力。目前的AI人工智能模型已經(jīng)能夠進(jìn)行規(guī)劃、執(zhí)行、修正和迭代等操作。但要攻克這些難題，它們可能需要更多的時(shí)間和計(jì)算資源。如何為模型創(chuàng)造這樣的條件，本身就是一個(gè)開放性的研究問題。【注11】

我們正在開發(fā)一個(gè)框架，以支持人工智能系統(tǒng)對這些問題進(jìn)行更深入的求解嘗試。同時(shí)，我們也期待其他機(jī)構(gòu)和研究者積極參與。如有任何疑問，可發(fā)送郵件至math@epoch.ai聯(lián)系我們。

附錄：關(guān)于未來AI人工智能解題成果的注意事項(xiàng)

該基準(zhǔn)測試本質(zhì)上是對一系列數(shù)學(xué)問題的研究價(jià)值進(jìn)行預(yù)先登記。即便如此，如果這些問題最終以某些特定方式被解決，我們就需要給出一些相應(yīng)的說明。在此，我們也對這些注意事項(xiàng)進(jìn)行預(yù)先登記，以避免后續(xù)出現(xiàn)“隨意調(diào)整評判標(biāo)準(zhǔn)”的爭議�！咀�12】

1. 人機(jī)協(xié)作

人類與AI人工智能系統(tǒng)之間已經(jīng)出現(xiàn)了富有成效的數(shù)學(xué)協(xié)作。一種典型的協(xié)作模式是，人工智能系統(tǒng)負(fù)責(zé)生成示例，人類研究者則基于這些示例歸納出完整的解決方案。事實(shí)上，借助計(jì)算機(jī)搜索有用示例的方法，早在基于大語言模型的人工智能系統(tǒng)出現(xiàn)之前就已經(jīng)存在。對于這類協(xié)作產(chǎn)生的解題成果，我們需要評估人機(jī)雙方的分工情況。人工智能系統(tǒng)在概念性工作中承擔(dān)的職責(zé)越多，就越能體現(xiàn)其能力的進(jìn)步。

2. 已有研究成果的借鑒

AI人工智能系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)廣度可能已經(jīng)超過了頂尖人類數(shù)學(xué)家。有可能某個(gè)已有的研究成果已經(jīng)為解決某道題奠定了大部分基礎(chǔ)，只是嘗試解題的數(shù)學(xué)家此前并未關(guān)注到這一成果。對于那些知名度較高的問題，這種情況發(fā)生的概率較低。但無論如何，如果人工智能的解決方案嚴(yán)重依賴已有研究成果，其體現(xiàn)的能力進(jìn)步幅度就會(huì)大打折扣。當(dāng)然，如果人工智能系統(tǒng)能夠以創(chuàng)新性的方式應(yīng)用已有成果，那就無需附加任何說明——因?yàn)檫@正是數(shù)學(xué)研究的常見模式。

3. 傳統(tǒng)計(jì)算資源的運(yùn)用

如果AI人工智能系統(tǒng)提出一種經(jīng)過優(yōu)化的并行搜索算法，而某家AI人工智能公司投入相當(dāng)于一臺(tái)超級計(jì)算機(jī)運(yùn)行一個(gè)月的計(jì)算資源來執(zhí)行該搜索，那么即便問題被解決，其背后所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)洞察力也可能低于預(yù)期。雖然我們在選題時(shí)，已經(jīng)盡量排除了僅靠暴力搜索就能解決的問題，但我們無法對此做出絕對保證。畢竟，大多數(shù)數(shù)學(xué)問題都未曾得到過如此大規(guī)模的工業(yè)級計(jì)算資源的支持。

4. 驗(yàn)證程序的設(shè)計(jì)缺陷

驗(yàn)證程序可能會(huì)判定某個(gè)AI人工智能解決方案有效，但該方案實(shí)際上并未達(dá)成提供題目的數(shù)學(xué)家期望驗(yàn)證程序識(shí)別的概念性突破。在簡單情況下，這類缺陷只是程序漏洞。而在更復(fù)雜的情況下，可能是因?yàn)轭}解的驗(yàn)證難度超出了數(shù)學(xué)家最初的預(yù)期。對于這類情況，我們會(huì)進(jìn)行公開報(bào)告，并在可能的情況下修復(fù)驗(yàn)證程序。

5. 樣本偏差

我們必須正視自動(dòng)驗(yàn)證要求帶來的樣本偏差問題。拋開上述所有注意事項(xiàng)不談，在該基準(zhǔn)測試中取得進(jìn)展，本質(zhì)上就等同于解決了具有重要意義的數(shù)學(xué)開放性問題。但也有可能，AI人工智能系統(tǒng)在解決這類適合自動(dòng)驗(yàn)證的、具有重要意義的數(shù)學(xué)開放性問題方面，具有獨(dú)特的優(yōu)勢。如果事實(shí)果真如此，那么該基準(zhǔn)測試中取得的進(jìn)展，可能無法很好地推廣到數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域。

1. 也就是說，該基準(zhǔn)測試具有較高的結(jié)構(gòu)效度。

2. 數(shù)學(xué)家們普遍強(qiáng)調(diào)，這些預(yù)估解題時(shí)間很可能并不準(zhǔn)確，甚至可能毫無參考價(jià)值。但我們認(rèn)為，預(yù)估時(shí)間的巨大跨度至少能為我們提供一些信息。

3. 有關(guān)人工智能系統(tǒng)評估自然語言數(shù)學(xué)證明的研究，可參考相關(guān)文獻(xiàn)。

4. 即尋找一個(gè)伽羅瓦群為馬蒂厄群M??的多項(xiàng)式。數(shù)學(xué)家們曾嘗試構(gòu)造這樣的多項(xiàng)式，但均未成功，但他們?nèi)匀幌嘈胚@樣的多項(xiàng)式是存在的。

5. 另一種可行的方法是采用完全形式化的方案，最有可能的是要求人工智能系統(tǒng)在Lean語言中實(shí)現(xiàn)解決方案。我們最終沒有選擇這種方法，原因有三，且都與Lean平臺(tái)仍在發(fā)展階段這一現(xiàn)狀有關(guān)。

首先，許多數(shù)學(xué)分支的理論基礎(chǔ)尚未在Lean中完成形式化。

其次，即便題目的描述可以形式化，解題所需的部分概念也可能無法在Lean中實(shí)現(xiàn)。

第三，與其他編程范式相比，Lean的實(shí)際應(yīng)用檢驗(yàn)還不夠充分。特別是，該語言中可能還存在不少難以察覺的漏洞，而人工智能模型有可能會(huì)利用這些漏洞。目前，我們更傾向于使用簡單的專用驗(yàn)證程序。盡管從長遠(yuǎn)來看，Lean或其他形式化系統(tǒng)可能會(huì)成為更實(shí)用、更具可擴(kuò)展性的解決方案。

6. 我們明確排除了這類問題：要求尋找某個(gè)猜想的反例，而數(shù)學(xué)家們普遍認(rèn)為該猜想是正確的。例如，找到一個(gè)無法表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和的偶數(shù)，就可以推翻哥德巴赫猜想。至少在反例數(shù)值不是特別巨大的情況下，驗(yàn)證這樣的反例是很容易的。但如果數(shù)學(xué)家們對哥德巴赫猜想的判斷是正確的，那么這樣的反例就不存在。人工智能系統(tǒng)找不到這樣的反例，并不能說明任何問題。

7. 這其中也考慮了為實(shí)現(xiàn)自動(dòng)驗(yàn)證而對解題方案規(guī)模施加的限制。例如，不僅要證明某類數(shù)學(xué)對象存在，還要證明存在一個(gè)規(guī)模足夠小、能夠被驗(yàn)證程序處理的此類對象。

8. 事實(shí)上，任何機(jī)構(gòu)購買驗(yàn)證程序的使用權(quán)限時(shí)，都需要遵守一個(gè)條件：如果通過驗(yàn)證程序取得了解題成果，必須通知我們（Epoch）和提供該題目的數(shù)學(xué)家。解題成果的發(fā)表權(quán)歸該機(jī)構(gòu)、數(shù)學(xué)家與我們（Epoch）共同所有。需要說明的是，提供題目的數(shù)學(xué)家在其研究工作中，仍然可以自由地研究自己貢獻(xiàn)的題目，不受任何限制。

9. 當(dāng)然，這并不會(huì)否定這些解決方案的有效性。畢竟，“美即是真，真即是美”，不是嗎？

10. 在網(wǎng)頁應(yīng)用中直接輸入簡單提示詞，往往就能激發(fā)模型的最佳性能。例如Gemini 2.5 Deep Think和GPT-5.2 Pro模型就屬于這種情況。

11. 在AlphaEvolve項(xiàng)目中，研究人員使用了一個(gè)有趣的提示詞，讓模型“相信自己”。說不定這種方法真的有效呢！

12. 借用道格拉斯·亞當(dāng)斯的話來說：我們就愛調(diào)整評判標(biāo)準(zhǔn)，就愛聽它被打破時(shí)發(fā)出的呼嘯聲。

參考資料

https://epoch.ai/frontiermath/open-problems/about

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