《用初等方法研究數(shù)論文選集》連載 044

044. 證明哥德巴赫猜想的關(guān)鍵問(wèn)題

在數(shù)論研究的漫長(zhǎng)發(fā)展歷程中，數(shù)論界長(zhǎng)期被XX數(shù)論理論所主導(dǎo)和掌控。這一理論體系的核心構(gòu)建在“素?cái)?shù)定理”的基礎(chǔ)之上，該定理被視為其整個(gè)理論框架的基石。然而，當(dāng)我們深入探究這個(gè)所謂的“素?cái)?shù)定理”時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題：它并非是素?cái)?shù)本身在正整數(shù)集合里所遵循的真實(shí)公式。實(shí)際上，這個(gè)定理僅僅是一個(gè)近似的替代物，一種對(duì)素?cái)?shù)分布規(guī)律的大致模擬。由于這種近似性的存在，它無(wú)法精確地揭示素?cái)?shù)在正整數(shù)序列中的確切位置，從而在一定程度上影響了我們對(duì)素?cái)?shù)本質(zhì)的全面理解和精準(zhǔn)把握。

這一理論觀點(diǎn)認(rèn)為，素?cái)?shù)在正整數(shù)集合中的分布呈現(xiàn)出離散的特性，并且其出現(xiàn)方式似乎是隨機(jī)的、不具備明顯的規(guī)律性。因此，當(dāng)數(shù)值逐漸增大時(shí)，由于素?cái)?shù)分布的這種無(wú)規(guī)律性，我們很難明確地判定是否任意兩個(gè)素?cái)?shù)相加能夠覆蓋所有的偶數(shù)。這恰恰是與哥德巴赫猜想證明緊密相關(guān)的兩個(gè)核心問(wèn)題，也是阻礙證明進(jìn)程的兩座難以逾越的大山。盡管后來(lái)提出的“Ltg - 空間理論”為解決這兩個(gè)棘手的問(wèn)題提供了可能的途徑，但是目前XX數(shù)論依然處于權(quán)威地位，在數(shù)論研究領(lǐng)域占據(jù)著統(tǒng)治性的主導(dǎo)位置。而那些長(zhǎng)期浸潤(rùn)在XX數(shù)論體系中的學(xué)者們，他們的思維模式已經(jīng)趨于固化，想要打破這種固有的思維定式絕非易事。

他們將數(shù)論這一數(shù)學(xué)分支過(guò)度地渲染上一層神秘且神圣的色彩，使得數(shù)論在人們心中變得高深莫測(cè)、充滿奇幻的魅力。同時(shí)，他們又把證明哥德巴赫猜想這件事情賦予了某種迷信的意味，仿佛這個(gè)猜想成為了一個(gè)不可觸碰、只能仰望的存在。這就如同搭建起了一座高聳入云的神壇，而他們自己卻沒(méi)有能力攀爬上去，去真正揭開(kāi)哥德巴赫猜想的神秘面紗。不僅如此，他們還極其不希望看到其他人去探索數(shù)論原本的面貌以及它初級(jí)的本質(zhì)內(nèi)容，會(huì)竭盡全力地阻止他人踏上解開(kāi)數(shù)論奧秘的道路，仿佛擔(dān)心別人打破他們所營(yíng)造出的那種對(duì)數(shù)論和哥德巴赫猜想盲目崇拜的氛圍。

如果運(yùn)用"Ltg-空間理論"來(lái)對(duì)哥德巴赫猜想進(jìn)行證明的話，那么即便是中小學(xué)生這樣的群體也能夠很好地理解整個(gè)證明過(guò)程，并且可以跟隨這個(gè)思路自行完成證明。然而有些人卻偏偏喜歡把這種原本簡(jiǎn)單易懂的問(wèn)題故意弄得異常復(fù)雜，仿佛是在故弄玄虛、營(yíng)造一種神秘莫測(cè)的氛圍，讓人感覺(jué)高深難測(cè)，實(shí)際上這完全沒(méi)有必要，只是人為地增加了理解的難度和距離感罷了。

下面的這個(gè)圖就是Ltg-空間理論的圖時(shí)表示法，

其他的內(nèi)容在此我不再贅述，如果有興趣的朋友可以去閱讀我相關(guān)的其他文章。我在這里要說(shuō)的是，我的理論和“埃拉托色尼的篩法”存在差異，這種差異主要體現(xiàn)在素?cái)?shù)的表示方面。埃拉托色尼的篩法對(duì)于素?cái)?shù)的表示沒(méi)有一個(gè)確切的公式，而我的理論卻能夠給出一個(gè)間接的公式來(lái)表示素?cái)?shù)。同時(shí)，我的理論與中國(guó)剩余定理也有所不同，中國(guó)剩余定理僅僅是一種特殊的數(shù)字結(jié)構(gòu)而已。這與狄利克雷定理更是完全不同，兩者根本就不在一個(gè)層次上。要知道，狄利克雷定理僅僅是對(duì)數(shù)列的一種“判斷”，它只能告訴我們等差數(shù)列不能表示素?cái)?shù)這一情況，而我的理論則可以精準(zhǔn)地定位素?cái)?shù)所在的位置。

關(guān)于空間自動(dòng)屏蔽這一問(wèn)題，其實(shí)根本就沒(méi)有深入探討的必要，完全不值得浪費(fèi)時(shí)間去一一反駁。我只想簡(jiǎn)單地表達(dá)這樣一個(gè)觀點(diǎn)：如果在過(guò)去的數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中，真的存在所謂的“Ltg-空間的概念”，那么像高斯、歐拉這樣世界頂級(jí)的數(shù)學(xué)大師們，早就已經(jīng)將其運(yùn)用到數(shù)學(xué)研究當(dāng)中了。憑借他們卓越的智慧和深厚的學(xué)術(shù)造詣，肯定會(huì)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域充分利用這一概念去解決各種難題。既然如此，又怎么可能會(huì)輪到現(xiàn)在的某些人，利用這個(gè)所謂的概念來(lái)證明像“孿生素?cái)?shù)猜想”或者“哥德巴赫猜想”這樣困擾數(shù)學(xué)界許久的重大難題呢？所以，我真心奉勸那些提出這種觀點(diǎn)的人，希望你們能夠多一些人性方面的良知，同時(shí)也要有自知之明，認(rèn)識(shí)到自己的局限性，不要試圖用一些毫無(wú)根據(jù)的概念來(lái)嘩眾取寵或者誤導(dǎo)他人。

按照他們所給出的詳細(xì)說(shuō)明，截至目前，證明哥德巴赫猜想這一數(shù)學(xué)難題時(shí)主要面臨著兩大難以逾越的障礙。第一個(gè)障礙是素?cái)?shù)的分布規(guī)律問(wèn)題，素?cái)?shù)作為自然數(shù)中的特殊存在，其分布模式一直是數(shù)學(xué)界研究的核心課題之一，然而至今仍未找到一種能夠完全揭示其分布規(guī)律的通用公式或理論；第二個(gè)障礙則是隨著數(shù)值逐漸增大，素?cái)?shù)兩兩相加的結(jié)果是否能夠覆蓋所有的偶數(shù)集合，這也是一個(gè)極為復(fù)雜且尚未解決的問(wèn)題。為了深入探討并解決這兩大難題，我們決定引入“Ltg-空間理論”中提出的2N+A空間模型，借助這一理論框架，我們將對(duì)上述兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題進(jìn)行更為細(xì)致、全面的分析與闡釋，以期為哥德巴赫猜想的研究提供新的思路和方法。

下面的表格就是2N+A空間

一、素?cái)?shù)的分布規(guī)律

1）這個(gè)空間包含三個(gè)要素：項(xiàng)數(shù)N取值為0、1、2、3……直至無(wú)窮；存在奇數(shù)數(shù)列2N+ 1，該數(shù)列涵蓋正整數(shù)中的所有奇數(shù)1、3、5、7、9……，其中包含所有素?cái)?shù)3、5、7、11、13……，但不包括2。

2）這個(gè)空間中的兩個(gè)等差數(shù)列2N + 1和2N + 2涵蓋了所有正整數(shù)，并且會(huì)自動(dòng)與其他空間相互屏蔽。如此一來(lái)，合數(shù)和素?cái)?shù)都會(huì)有唯一對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)N，這樣素?cái)?shù)便不會(huì)隨機(jī)出現(xiàn)了。

3）我們發(fā)現(xiàn)奇數(shù)數(shù)列 2N + 1 中的合數(shù)都是以這種方式形成的，即由 3×5×7×11… 這些素?cái)?shù)相乘得到，并且這些素?cái)?shù)可以進(jìn)行自乘。

4）我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列 2N + 1 存在一項(xiàng)“合數(shù)項(xiàng)數(shù)列”：

3K + 1

5K + 2

7K + 3

11K + 5……

SK + n

其中 S 為數(shù)列 2N + 1 上的所有素?cái)?shù)，K 是項(xiàng)數(shù) 1、2、3、4……，n 是該素?cái)?shù)所在的相位數(shù)。顯然，無(wú)需證明，這些“合數(shù)項(xiàng)數(shù)列”涵蓋了數(shù)列 2N+ 1 上的所有合數(shù)項(xiàng) Nh。

需注意，這里并非指合數(shù)的數(shù)值，而是合數(shù)所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù) Nh。

5）我們?cè)跀?shù)列 2N + 1 中任意選取兩個(gè)奇數(shù)，它們的項(xiàng)數(shù)分別為 a 和 b，即 (2a + 1) 和 (2b + 1)。顯然，這兩個(gè)奇數(shù)的乘積是一個(gè)合數(shù)，可表示為 2K + 1。

于是有：(2a + 1)(2b + 1) = 2K + 1

由于 a、b 是任意選取的項(xiàng)數(shù)，所以 K = N。

因此有：(2a + 1)(2b + 1) = 2N + 1

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)、整理后，可得 Nh = a(2b + 1) + b，其中a、b ≥ 1。

這個(gè)公式屬于二元一次拋物線方程，而“合數(shù)項(xiàng)數(shù)列”SK+n 均為該方程的解，因此它涵蓋了表格區(qū)間[0，∞]。這顯然無(wú)需再進(jìn)行證明！

6）這個(gè)合數(shù)項(xiàng)公式無(wú)法涵蓋的項(xiàng)，即為素?cái)?shù)項(xiàng)Ns。

從合數(shù)項(xiàng)公式我們可以得出結(jié)論：在數(shù)列2N + 1上，素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)；每個(gè)素?cái)?shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)項(xiàng)數(shù)Ns；素?cái)?shù)的分布滿足等式Ns = N - Nh，這體現(xiàn)的是一種數(shù)量關(guān)系。

素?cái)?shù)的密度P = Ns/N ＞ 1。

以上便是素?cái)?shù)的分布規(guī)律。

二、2N+A空間的關(guān)鍵性質(zhì)

1）我們?nèi)我膺x取一個(gè)項(xiàng)數(shù) K。例如，當(dāng)項(xiàng)數(shù) K = 9 時(shí)，我們可以看到 9 = 0 + 9 = 1 + 8 = 2 + 7 =3 + 6 = 4 + 5，這包含了它前面所有的項(xiàng)數(shù)，也就是區(qū)間 [0, K]。此時(shí)，這個(gè) K 完全可以等同于 N，即區(qū)間 [0, N]。所以，在這個(gè)表格中所特指的 K 完全能夠等于 N，也就是 K = N。

2）N = 9 所對(duì)應(yīng)的奇數(shù)是 19。

我們發(fā)現(xiàn) 19 = 1 + 18 = 2 + 17 = 3 + 16 = …… 呈現(xiàn)為奇數(shù)和偶數(shù)首尾交叉相加的形式。

即 (2a + 1) + (2b + 2) = (2b + 1) + (2a + 1) = 2N + 1。

化簡(jiǎn)整理可得，2N + 1 = 2(a + b) + 3。

實(shí)際上，2(a + b) + 3 與 2N + 1 屬于同一個(gè)數(shù)列，只是初始項(xiàng)數(shù)有所不同。

有 K = N = a + b。

3) N = 9 對(duì)應(yīng)的偶數(shù)是 20。

我們發(fā)現(xiàn) 20 = 1 + 19 = 3 + 17 = 5 + 15 = …… 呈現(xiàn)為奇數(shù)首尾相加的形式。

即 (2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b) + 2 = 2K + 2 = 2N + 2。

由此可得，K = N = a + b。

這些代數(shù)式清晰地表明，在這個(gè)具有2N + A形式的表格之中，項(xiàng)數(shù)N、奇數(shù)J以及偶數(shù)O之間存在著一種自然而然的數(shù)量上的聯(lián)系。這種聯(lián)系并非是我們憑空捏造出來(lái)的，而是正整數(shù)在這個(gè)特定空間內(nèi)所固有的本質(zhì)屬性。這就意味著，這種數(shù)量關(guān)系是客觀存在的，是不以人的意志為轉(zhuǎn)移的，是由正整數(shù)的本質(zhì)特征所決定的。與此同時(shí)，這還表明了隨著項(xiàng)數(shù)N不斷地增大，表格中的等式依舊保持穩(wěn)定，不會(huì)發(fā)生任何的改變。在較小的區(qū)間內(nèi)所呈現(xiàn)出的性質(zhì)特征，是能夠被推廣延伸到更大的區(qū)間范圍之內(nèi)的，并且這一性質(zhì)甚至可以朝著無(wú)窮大的方向去發(fā)展和應(yīng)用，體現(xiàn)出一種具有普遍性和延展性的數(shù)學(xué)規(guī)律。

我們能夠徹底解決“素?cái)?shù)的分布規(guī)律”這一深?yuàn)W的數(shù)學(xué)難題，并且深入理解與掌握2N+A空間表格性質(zhì)不變?cè)淼暮诵臋C(jī)制，那么哥德巴赫猜想的證明過(guò)程將會(huì)變得極為簡(jiǎn)單和直觀。即使是還在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)的中小學(xué)生，也能夠通過(guò)這些理論工具輕松地完成對(duì)哥德巴赫猜想的證明。

這將使得這一曾經(jīng)困擾無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家數(shù)百年的難題，不再是一個(gè)遙不可及的學(xué)術(shù)挑戰(zhàn)，而是變成了一種可以通過(guò)基本邏輯推理和簡(jiǎn)單運(yùn)算就能解決的普通問(wèn)題。這種突破不僅會(huì)極大地降低該猜想證明的難度門檻，還會(huì)讓更多的人有機(jī)會(huì)參與到數(shù)學(xué)研究中來(lái)，從而推動(dòng)整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展與普及。

進(jìn)一步分析可知，當(dāng)N=9時(shí)，對(duì)應(yīng)的偶數(shù)20可以表示為兩個(gè)奇數(shù)之和，而這些奇數(shù)所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)a與b滿足a + b = N = 9。

例如，1（對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù)a=0）與19（對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù)b=9）相加，此時(shí)0 + 9 = 9；3（對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù)a=1）與17（對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù)b=8）相加，1 + 8 = 9；5（對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù)a=2）與15（對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù)b=7）相加，2 + 7 = 9，以此類推。這表明在2N+A空間中，對(duì)于給定的項(xiàng)數(shù)N，其對(duì)應(yīng)的偶數(shù)2N+2（當(dāng)N=9時(shí)，2N+2=20）可以分解為兩個(gè)奇數(shù)之和，且這兩個(gè)奇數(shù)的項(xiàng)數(shù)之和恰好等于N。

我們發(fā)現(xiàn) 20 = 1 + 19 = 3 + 17 = 5 + 15 =7 + 13 = 9 + 11，呈現(xiàn)為奇數(shù)首尾相加的形式。即 (2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b) + 2 = 2K + 2 = 2N + 2。

由此可得，K = N = a + b。在這里，1對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)a=0，19對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)b=9，0+9=9=N；3對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)a=1，17對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)b=8，1+8=9=N；5對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)a=2，15對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)b=7，2+7=9=N；7對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)a=3，13對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)b=6，3+6=9=N；9對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)a=4，11對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)b=5，4+5=9=N。這清晰地展示了，對(duì)于N=9所對(duì)應(yīng)的偶數(shù)20，其所有可能的兩個(gè)奇數(shù)之和的組合中，兩個(gè)奇數(shù)的項(xiàng)數(shù)a與b之和始終等于N。

當(dāng)我們將目光聚焦于這些奇數(shù)組合中涉及的素?cái)?shù)時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)20可以表示為素?cái)?shù)3與素?cái)?shù)17之和（3+17=20），也可以表示為素?cái)?shù)7與素?cái)?shù)13之和（7+13=20）。其中，素?cái)?shù)3對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)a=1，素?cái)?shù)17對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)b=8，1+8=9=N；素?cái)?shù)7對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)a=3，素?cái)?shù)13對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)b=6，3+6=9=N。

這一具體實(shí)例直觀地驗(yàn)證了，在2N+A空間中，當(dāng)N=9時(shí)，對(duì)應(yīng)的偶數(shù)20確實(shí)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和，且這兩個(gè)素?cái)?shù)的項(xiàng)數(shù)之和恰好等于N。這為我們理解哥德巴赫猜想中“每個(gè)不小于6的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和”的命題提供了基于項(xiàng)數(shù)關(guān)系的初步支撐，表明在特定的N值下，素?cái)?shù)項(xiàng)之間的組合能夠滿足偶數(shù)的分解要求。

在N=9對(duì)應(yīng)的偶數(shù)20的所有奇數(shù)相加組合中，素?cái)?shù)項(xiàng)的組合是如何滿足Ns1 + Ns2 = N這一關(guān)系的。素?cái)?shù)3對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)Ns1=1，素?cái)?shù)17對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)Ns2=8，1+8=9=N；素?cái)?shù)7對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)Ns1=3，素?cái)?shù)13對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)Ns2=6，3+6=9=N。這并非偶然，而是2N+A空間中項(xiàng)數(shù)關(guān)系的必然體現(xiàn)。因?yàn)樵谠摽臻g中，任意兩個(gè)奇數(shù)相加的項(xiàng)數(shù)之和都等于N，而素?cái)?shù)作為奇數(shù)的一部分，其對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)自然也遵循這一普遍規(guī)律。當(dāng)兩個(gè)奇數(shù)恰好都是素?cái)?shù)時(shí)，它們的項(xiàng)數(shù)Ns1與Ns2的和就必然等于N。這就意味著，只要在N的項(xiàng)數(shù)范圍內(nèi)，能夠找到滿足Ns1 + Ns2 = N的兩個(gè)素?cái)?shù)項(xiàng)Ns1和Ns2，那么對(duì)應(yīng)的偶數(shù)2N+2就可以表示為這兩個(gè)素?cái)?shù)之和。對(duì)于N=9而言，我們成功找到了這樣的素?cái)?shù)項(xiàng)組合，如（1,8）和（3,6），從而驗(yàn)證了20可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和。這一分析不僅揭示了偶數(shù)與素?cái)?shù)項(xiàng)之間的深層聯(lián)系，也為我們從項(xiàng)數(shù)角度研究哥德巴赫猜想提供了具體而清晰的路徑。

這種項(xiàng)數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，為我們后續(xù)探討素?cái)?shù)在偶數(shù)分解中的作用提供了重要的切入點(diǎn)，因?yàn)樗財(cái)?shù)作為奇數(shù)中的特殊存在，其對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)Ns也必然遵循這一數(shù)量關(guān)系，即若一個(gè)偶數(shù)可表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和，那么這兩個(gè)素?cái)?shù)所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)Ns1與Ns2應(yīng)滿足Ns1 + Ns2 = N。

這樣一個(gè)極為簡(jiǎn)單并且極其容易理解的問(wèn)題，為什么會(huì)在如此漫長(zhǎng)的時(shí)間跨度之中，被人為地壓制、刻意地掩蓋長(zhǎng)達(dá)二十多年之久呢？在這背后到底隱藏著怎樣復(fù)雜多變的因素，又有著怎樣難以言說(shuō)、不便公之于眾的隱情呢？這一情況實(shí)在是讓人覺(jué)得難以置信，也使得人們不禁產(chǎn)生強(qiáng)烈的好奇心，想要深入地探究其中不為人知的真相。畢竟，一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題被遮掩如此之久，必然有著很多不尋常的原因，這些原因可能涉及到各種利益關(guān)系、權(quán)力斗爭(zhēng)或者是其他一些不可告人的秘密，這怎能不讓人想要一探究竟呢？

本文借助WPSAI進(jìn)行潤(rùn)色與擴(kuò)寫，特此表示感謝。

2026年1月26日星期一