在研究特征值問(wèn)題時(shí)，“能否對(duì)角化”至關(guān)重要：對(duì)角化意味著矩陣結(jié)構(gòu)變得清晰明了，計(jì)算與理解都隨之變得簡(jiǎn)單。本文沿著這一主線，從實(shí)對(duì)稱與埃爾米特矩陣出發(fā)，借助舒爾分解，把視野推向更廣闊的“正規(guī)矩陣”。它們不僅都能通過(guò)酉相似被對(duì)角化，而且特征向量可選成標(biāo)準(zhǔn)正交基，從而得到清晰的譜分解與正交投影解釋；也正是在這里，代數(shù)結(jié)構(gòu)與幾何直觀，以及“最佳逼近”的最優(yōu)化意義自然匯合。閱讀本文，你將看到正規(guī)矩陣為何格外“規(guī)整”，又為何在理論與應(yīng)用中如此重要。

撰文 | 朱慧堅(jiān)（廣州南方學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授）、丁玖（廣州南方學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授）

追尋可對(duì)角化矩陣

我們?cè)凇斗禈恪飞峡堑年P(guān)于矩陣?yán)碚摰南盗形恼轮?，上一篇《如何理解矩陣的特征值?wèn)題？》討論了一般方陣的特征值問(wèn)題，并區(qū)分了兩大類矩 陣，即可對(duì)角化類和不可對(duì)角化類?？坍嫷谝活惥仃嚨囊粋€(gè)準(zhǔn)則是所有特征值都是半單的，換句話說(shuō)所有特征值的代數(shù)重?cái)?shù)（特征多項(xiàng)式線性因子的冪指數(shù)）等于幾何重?cái)?shù)（特征子空間的維數(shù)），第二類的矩陣就缺乏這一性質(zhì)，或言之至少一個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)小于代數(shù)重?cái)?shù)。

作為歐幾里得空間邁進(jìn)復(fù)數(shù)域的直接推廣，所有分量為復(fù)數(shù)的維向量全體，按照通常的向量加法和數(shù)乘這兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算，以及向量之間所謂的“埃爾米特內(nèi)積”，組成了酉空間

義所在。正因?yàn)閷?duì)角矩陣是結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單的矩陣（零矩陣和單位矩陣是它們的特例），而不僅與共享所有的特征值，而且也繼承了這些特征值的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)，尋找方陣的可對(duì)角化條件很有實(shí)用價(jià)值。

由于矩陣的相似關(guān)系和三角形的相似關(guān)系一樣都是等價(jià)關(guān)系，即此種二元關(guān)系具有自反性、對(duì)稱性和傳遞性，因此階數(shù)是固定正整數(shù)的所有矩陣，根據(jù)它們之間是否存在相似關(guān)系，被劃分為互不相交的“相似類”：同一類中的全體矩陣之間彼此都相似，而屬于不同類的任意兩個(gè)矩陣之間與相似無(wú)緣。這樣一看，如果一個(gè)相似類中的矩陣是可對(duì)角化的，那么該類中的所有對(duì)角矩陣都可視為這一類矩陣成員的“杰出代表”，它們的對(duì)角元素都是個(gè)相異固定常數(shù)的不同-排列，其中每個(gè)常數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)等于它作為特征值的重?cái)?shù)。所以其中每一個(gè)對(duì)角矩陣都有資格被稱為類中矩陣的“標(biāo)準(zhǔn)型”。

看看人類成員之間的朋友關(guān)系，就不及矩陣的相似關(guān)系那么嚴(yán)謹(jǐn)完備。現(xiàn)實(shí)中的朋友關(guān)系符合“等價(jià)關(guān)系”三要素中的前兩條：自反性——自己當(dāng)然是自己的朋友；對(duì)稱性——張三和李四是朋友也意味著李四和張三是朋友。但是第三條傳遞性就無(wú)法保證了：即便張三和李四是朋友，李四又是王五的朋友，也不能確保張三和王五也是哥們，說(shuō)不定他們反而是“老死不相往來(lái)”的宿敵呢！事實(shí)上，倘若朋友關(guān)系是個(gè)等價(jià)關(guān)系，那么社會(huì)就會(huì)被劃分成無(wú)數(shù)個(gè)封閉的小圈子，這就大大減少了人際關(guān)系的豐富性和復(fù)雜性。從這里也可領(lǐng)會(huì)為何 “數(shù)學(xué)比人生容易多了”這一顛撲不破的真理。

正是由于對(duì)角矩陣提供了可對(duì)角化矩陣的最簡(jiǎn)形式，我們很自然地想知道哪些矩陣可以對(duì)角化。本文旨在開啟一趟探尋之旅，帶你領(lǐng)略可對(duì)角化矩陣的數(shù)學(xué)之美。

埃爾米特矩陣的性質(zhì)

物理巨擘楊振寧先生近期以 103 歲高壽仙逝，留給世人無(wú)盡的緬懷。在他浩如煙海的著述與演講中，始終強(qiáng)調(diào)對(duì)“對(duì)稱之美”的執(zhí)著追求?！皩?duì)稱”也給數(shù)學(xué)家?guī)?lái)了無(wú)盡的愉悅和遐想。以此為引，我們將目光投向?qū)崒?duì)稱矩陣。

實(shí)對(duì)稱矩陣，顧名思義，就是其中元素都是實(shí)數(shù)并且關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱的方陣。更精確地

實(shí)對(duì)稱矩陣的所有特征值均為實(shí)數(shù)，它們對(duì)應(yīng)的特征向量可以取為實(shí)向量；因?yàn)闆Q定相關(guān)特征向量的那些齊次線性方程組的系數(shù)全是實(shí)數(shù)，因而解也是實(shí)數(shù)。所以我們完全可以放下包袱，而不必多此一舉地跳出實(shí)數(shù)框架，去探究復(fù)數(shù)迷宮。誠(chéng)然，如果我們硬要在復(fù)數(shù)域里找出所有的復(fù)特征向量，增加的計(jì)算工作量也是微乎其微的：只需選取同一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的兩個(gè)實(shí)特征向量和，通過(guò) + i的形式，就能直接構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的復(fù)特征向量。

如果細(xì)心回味對(duì)“實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值必為實(shí)數(shù)”的如上證明，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它其實(shí)不僅適用于實(shí)

陣稱為埃爾米特矩陣。埃爾米特在 1855年證明此類矩陣總是具有實(shí)特征值。他不僅在數(shù)論、橢圓函數(shù)、不變量理論、正交多項(xiàng)式等領(lǐng)域耕耘不輟，在培養(yǎng)人才方面也有一套，他在巴黎綜合理工學(xué)院教過(guò)的最有名的學(xué)生是龐加萊（Jules Henri Poincaré，1854-1912），后者成為了那個(gè)時(shí)代公認(rèn)的數(shù)學(xué)領(lǐng)袖。

概括上面的討論，本文如下的第一個(gè)結(jié)論是不言而喻的：

命題 1.埃爾米特矩陣的任何特征值均為實(shí)數(shù)。

我們知道，埃爾米特矩陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的（證明詳見《如何理解矩陣的特征值問(wèn)題？》）。除此之外，它是否還有更加優(yōu)美的性質(zhì)？答案是肯定的，那便是“正交性”。設(shè)和是埃爾米特矩陣的兩個(gè)相異特征值，其各自對(duì)應(yīng)的特征向量為

命題2. 埃爾米特矩陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量彼此正交。

從幾何上來(lái)看，平面上或空間里的兩個(gè)非零向量之間的夾角只要不是0度（即方向相同）或180度（即方向相反），則它們是線性無(wú)關(guān)的。直觀上可以想象，若兩個(gè)向量的方向幾乎相同（即它們之間的夾角幾乎為零）或幾乎相反（即它們之間的夾角幾乎是平角），則它們幾乎是線性相關(guān)的（在實(shí)際應(yīng)用計(jì)算中，由于舍入誤差的影響，甚至可以認(rèn)為它們已經(jīng)是數(shù)值線性相關(guān)了）。在酉空間里，兩個(gè)向量之間“夾角”的余弦等于它們的埃爾米特內(nèi)積之實(shí)部除以它們的埃爾米特范數(shù)之積（這由柯西-施瓦茨不等式保證）。如上的幾何直觀催化出如下的思想：向量之間的夾角可以作為“線性無(wú)關(guān)（或相關(guān)）程度”的一個(gè)量化指標(biāo)，即夾角越靠近零度或180度，則它們之間的“線性無(wú)關(guān)度”就越低。如果它們之間相互正交，即夾角為90度，則可以推測(cè)它們“最線性無(wú)關(guān)”，線性無(wú)關(guān)度大于夾角為30度的兩個(gè)向量。下面我們證明：如果一組非零向量?jī)蓛烧?，則它們一定是線性無(wú)關(guān)的。這個(gè)事實(shí)說(shuō)明正交性強(qiáng)于線性無(wú)關(guān)性。

上三角化定理與埃爾米特矩陣的酉對(duì)角化

現(xiàn)在，我們準(zhǔn)備攻克本文面臨的第一個(gè)堅(jiān)固堡壘：埃爾米特矩陣的每個(gè)特征值是否是半單的？ 想要拿下它，所需的“攻堅(jiān)利器”是“上三角化定理”。這一結(jié)果對(duì)一般的復(fù)矩陣同樣適用，由俄羅斯數(shù)學(xué)家舒爾（Issai Schur，1875- 1941）發(fā)現(xiàn)。舒爾一生幾乎都在德國(guó)學(xué)習(xí)與任教，研究領(lǐng)域包括群表示論（以通常所稱的“舒爾引理”為人熟知）、數(shù)論與組合數(shù)學(xué)。他最廣為人知的結(jié)果是下面的“舒爾矩陣分解定理”；因?yàn)樗诒疚闹袃H被用來(lái)證明其他結(jié)果，我們只好以引理稱之：

米特范數(shù)等于1”。滿足如此要求的復(fù)矩陣稱為酉矩陣，如果同時(shí)也是實(shí)矩陣，則被更直觀地叫做正交矩陣。所謂的上三角矩陣指的是這種方陣，它位于主對(duì)角線下方（即行指標(biāo)大于列指標(biāo)）的元素全為零。由特征方程的定義可見，上三角矩陣（下三角矩陣同理）的所有特征值，若按代數(shù)重?cái)?shù)重復(fù)排列，恰好就是其主對(duì)角線上的所有元素。注意：雖然上（下）三角矩陣的特征值唾手可得，它們卻不一定是半單的，《如何理解矩陣的特征值問(wèn)題？》中列舉的那個(gè)2階上三角矩陣（對(duì)角元素均為0、右上角元素等于1）就是一個(gè)反例。

酉矩陣的定義告訴我們，上面引理中的酉矩陣是可逆矩陣，且逆矩陣就等于它的共軛轉(zhuǎn)

意的是，只有所有特征值均為半單的方陣才能相似于一個(gè)對(duì)角矩陣；但一般而言，大多數(shù)普通方陣通常無(wú)法對(duì)角化，充其量只能相似到上三角矩陣。這里的關(guān)鍵在于，所使用的變換矩陣可不是一般的非奇異矩陣，而是性質(zhì)更為特殊的酉矩陣。

可以用數(shù)學(xué)歸納法證明舒爾的分解定理，第一步先證引理對(duì)1階矩陣為真（這是顯然成立的，因?yàn)榇藭r(shí)已經(jīng)是上三角矩陣了，就取為1階單位矩陣，即數(shù)1）。第二步，首先假設(shè)引理對(duì)所有 ? 1階矩陣為真，然后證明它對(duì)階矩陣也為真。然而，相較于對(duì)一般自然數(shù)的證明，證明 = 3的特例更為直接明了。后者不僅過(guò)程干脆利落，更重要的是能一目了然地揭示證明的思想，有助于直觀把握定理的本質(zhì)。

所以，我們令

從酉矩陣到正規(guī)矩陣

到目前為止，我們已經(jīng)攻下“哪類矩陣可以對(duì)角化”的第一關(guān)。既然埃爾米特矩陣能酉相似于對(duì)角矩陣，我們肯定會(huì)對(duì)在其中扮演了關(guān)鍵角色的酉矩陣產(chǎn)生好奇：酉矩陣本身是否也能“酉相似于”對(duì)角矩陣呢？或許會(huì)有讀者驚 奇，回答是肯定的。

比較這兩個(gè)相等矩陣表達(dá)式右端的對(duì)應(yīng)元素，顯然有 = = = 0，從而是一個(gè)對(duì)角矩陣。對(duì)一般階正規(guī)矩陣的證明如法炮制。

到此為止，我們完成了下列定理 1 的證明。

（i）任何埃爾米特矩陣均酉相似于一個(gè)實(shí)對(duì)角矩陣；若限制在實(shí)數(shù)域內(nèi)，則所有實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似于某個(gè)實(shí)對(duì)角矩陣；

（ii）每個(gè)酉矩陣都酉相似于一個(gè)復(fù)對(duì)角矩陣。

我們提請(qǐng)讀者注意，雖然實(shí)對(duì)稱矩陣可以正交相似于實(shí)對(duì)角矩陣，因而完全可以一勞永逸地在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)討論此類矩陣的特征值問(wèn)題，然而，一般的正交矩陣卻沒有這個(gè)福氣。比如，考慮平面上圍繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角度的旋轉(zhuǎn)矩陣

那么，何時(shí)一個(gè)正交矩陣可以正交相似于一個(gè)實(shí)對(duì)角矩陣？答案是：正交矩陣正交相似于一個(gè)實(shí)對(duì)角矩陣當(dāng)且僅當(dāng)它是對(duì)稱的。如果正交矩陣是對(duì)稱的，則根據(jù)命題 1，它的特征值均為實(shí)數(shù)，定理 1（ii）保證了它酉相似于一個(gè)實(shí)對(duì)角矩陣，但此時(shí)酉矩陣實(shí)際上可取為實(shí)矩陣，這是因?yàn)樗刑卣飨蛄繚M足的齊次線性方程組的系數(shù)都是實(shí)數(shù)。故該對(duì)稱正交矩陣正交相似于一個(gè)實(shí)對(duì)角矩陣。反過(guò)來(lái)，設(shè)正交矩陣正交相似于一個(gè)實(shí)對(duì)角矩陣，這意味

正規(guī)矩陣的譜分解定理

在定理 1 的敘述中，與給定正規(guī)矩陣酉相似的對(duì)角矩陣，它的對(duì)角線元素可以是所有依重?cái)?shù)而重復(fù)的特征值的任意排列?，F(xiàn)在，我們約定一個(gè)新的排列，它看上去最美觀、最整齊，就是將個(gè)數(shù)等于重?cái)?shù)的相同特征值放在一起。在這樣的規(guī)則下，令階正規(guī)矩陣的所

然而，如果我們仔細(xì)反芻關(guān)于正規(guī)矩陣的上述“譜分解公式”（3），就會(huì)發(fā)現(xiàn)，性質(zhì)“可酉對(duì)角化”并非是這個(gè)分解式為真的必要條件。只要矩陣是可對(duì)角化的，這種分解就能冒出，只不過(guò)除非能借助酉矩陣完成將其“對(duì)角化”的使命，分解公式（3）中的投影算子只能是“斜角投影”而非“直角投影”，因而就與“最佳逼近”失之交臂了。作為這篇文章的結(jié)尾，我們列出更一般的譜分解定理，相信讀懂此文后愿意動(dòng)手的讀者能寫下證明的大意：

致謝：感謝周舒義編輯發(fā)現(xiàn)原文數(shù)學(xué)證明中的幾處瑕疵。

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