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本月主題：

1、人類的五個拓撲學(xué)年齡階段

2、超越網(wǎng)絡(luò)：拓撲學(xué)與信息論

作者：Tony Phillips（石溪大學(xué)數(shù)學(xué)教授）2026-1-16

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2026-1-19

1、人類的五個拓撲學(xué)年齡階段

一項針對 4216 名 0 至 90 歲受試者的新研究，運用拓撲學(xué)標準確定了大腦發(fā)育的五個不同時期。這些時期以 9 歲、32 歲、66 歲和 83 歲為轉(zhuǎn)折點。發(fā)表在《自然?通訊》上的《人類生命周期中的拓撲學(xué)轉(zhuǎn)折點》 https://www.nature.com/articles/s41467-025-65974-8 一文已被英國廣播公司（BBC） https://www.bbc.com/news/articles/cgl6klez226o 、美國全國廣播公司新聞網(wǎng)（NBC News） https://www.nbcnews.com/science/science-news/human-brains-5-epochs-development-rcna245663 、《華盛頓郵報》 https://www.washingtonpost.com/wellness/2025/12/09/five-phases-brain-structure-changes/ 以及（最近的）《華爾街日報》 https://www.wsj.com/health/wellness/brain-stages-aging-five-study-nature-a015101e?mod=djem10point 報道。

該研究遵循可追溯至 19 世紀的研究思路，將人類大腦建模為一個節(jié)點網(wǎng)絡(luò)（大腦中解剖學(xué)或功能上不同的區(qū)域）?！蹲匀?通訊》這篇文章的作者 —— 劍橋大學(xué)的亞歷克莎?穆斯利（Alexa Mousley）、理查德?貝思勒姆（Richard Bethlehem）、鄧肯?阿斯特爾（Duncan Astle）以及匹茲堡大學(xué)的葉方誠（音譯名，英文名：Fang-Cheng Yeh）—— 通過磁共振擴散張量成像掃描 https://www.sciencedirect.com/topics/medicine-and-dentistry/diffusion-mri 獲取的活動數(shù)據(jù)來推斷哪些節(jié)點之間存在連接。利用人類連接組計劃（Human Connectome Project） https://humanconnectome.org/study/hcp-young-adult/project-protocol/network-modeling 和其他先前研究的數(shù)據(jù)，他們記錄了 13 種不同的測量指標，旨在捕捉每位受試者大腦的拓撲結(jié)構(gòu)。以下是部分示例：

• 全局效率（Global Efficiency）

全局效率衡量的是網(wǎng)絡(luò)中兩個節(jié)點之間的連通難易程度。計算方式十分簡單：對于每個節(jié)點，我們計算其效率值（E）—— 與該節(jié)點僅隔 1 條鏈路的其他每個節(jié)點計 1 分，隔 2 條鏈路的每個節(jié)點計 1/2 分，以此類推。因此，一個節(jié)點的近鄰越多，其總效率值就越高；在一個包含 n 個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)中，某個節(jié)點的最大可能效率值為 n-1。全局效率則是網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點效率值的平均值。

在 4 節(jié)點網(wǎng)絡(luò) a 中，每個節(jié)點的效率值 E=3，全局效率達到最大可能值 3。

在網(wǎng)絡(luò) b 中，藍色節(jié)點的效率值 E=2.5，其他節(jié)點的效率值 E=1.666...，全局效率的平均值為 25/13。

圖源：Tony Phillips

• 聚類系數(shù)（Clustering Coefficient）

聚類系數(shù)衡量的是共享一個節(jié)點的兩條鏈路形成三角形的可能性。如果一個節(jié)點有 d 條入射邊，我們將其三角形似然數(shù)（TLN，triangle likelihood number）定義為該節(jié)點所在的三角形數(shù)量，除以其可能形成的三角形數(shù)量（即 d (d-1)/2，也就是入射邊的成對數(shù)量）。網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)是所有節(jié)點三角形似然數(shù)的平均值。

例如，某個藍色節(jié)點有 4 條入射邊和 2 個入射三角形，其三角形似然數(shù)（TLN）為 1/3；類似地，兩個紅色節(jié)點的三角形似然數(shù)（TLN）=0，其他節(jié)點的三角形似然數(shù)（TLN）=1/3，因此該網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)為 5/21。

圖源：Tony Phillips

作者使用數(shù)學(xué)處理工具UMAP（Uniform Manifold Approximation and Projection，均勻流形近似和投影 https://umap-learn.readthedocs.io/en/latest/ ）將數(shù)據(jù)整合為一條曲線，并利用主成分分析（PCA，Principal Component Analysis，詳情如下）找到數(shù)據(jù)的三維投影，該投影保留了 76.6% 的方差。

主成分分析載荷（PCA Loadings）

各類拓撲測量指標對三個主成分（PC1、PC2 和 PC3）的貢獻情況如下：全局效率幾乎完全對 PC1 有貢獻，而聚類系數(shù)則對 PC2 有貢獻。

圖源：《自然?通訊》第16期，文章編號 10055

將該投影應(yīng)用于 UMAP 曲線，可直觀呈現(xiàn)人類生命周期中大腦拓撲結(jié)構(gòu)的演變過程。結(jié)果顯示，這條曲線存在四個 “轉(zhuǎn)折點”，大腦拓撲結(jié)構(gòu)的演變方向在此處發(fā)生改變。

人類生命周期中大腦拓撲結(jié)構(gòu)演變的非單調(diào)性

UMAP 曲線在主成分空間中的投影，追蹤了從 0 歲到 90 歲的大腦拓撲結(jié)構(gòu)演變，其中包含四個重要轉(zhuǎn)折點，分別位于 9 歲、32 歲、66 歲和 83 歲。

圖源：《自然?通訊》第 16 期，文章編號 10055

作者將這些轉(zhuǎn)折點解讀為定義了五個 “生命周期時期”，分別是嬰兒期至兒童期、青春期、成年期、早期衰老期和晚期衰老期。他們解釋稱，這些基于拓撲學(xué)得出的時期與解剖學(xué)和行為發(fā)展階段密切相關(guān)。例如，在嬰兒期至兒童期，大腦網(wǎng)絡(luò)的全局效率會下降，這與解剖學(xué)上 “突觸的競爭性消除” 相吻合。另一個例子是，在成年期，大腦處于 “網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定期”，這在行為上對應(yīng)著 “智力和人格的穩(wěn)定期”。

該研究將青春期定義為 9 歲至 32 歲，這一劃分較為特殊，媒體報道也著重強調(diào)了這一點（這與古羅馬時期 “青少年” 的概念一致）。文章對此問題的探討較為謹慎，并指出所有受試者均來自英國和美國。而媒體未報道的一點是性別差異：在補充信息 https://static-content.springer.com/esm/art%3A10.1038%2Fs41467-025-65974-8/MediaObjects/41467_2025_65974_MOESM1_ESM.pdf 圖 5（“按性別劃分的轉(zhuǎn)折點”）中，作者顯示男性青春期的轉(zhuǎn)折點為 11 歲和 37 歲，女性則為 9 歲和 33 歲。

2、超越網(wǎng)絡(luò)：拓撲學(xué)與信息論

與許多拓撲學(xué)在生命科學(xué)中的應(yīng)用一樣，前文提及的研究將生命系統(tǒng)抽象為網(wǎng)絡(luò)，并利用圖論進行分析。佛蒙特大學(xué)的托馬斯?F?瓦利（Thomas F. Varley）、艾麗斯?帕塔尼亞（Alice Patania）、喬希?邦加德（Josh Bongard）以及倫敦帝國理工學(xué)院的佩德羅?梅迪亞諾（Pedro Mediano）認為，這種方法并非始終適用。在 11 月 13 日發(fā)表于《公共科學(xué)圖書館?計算生物學(xué)》（PLOS Computational Biology）的《協(xié)同作用的拓撲學(xué)》一文中 https://journals.plos.org/ploscompbiol/article?id=10.1371/journal.pcbi.1013649 ，他們指出，網(wǎng)絡(luò)的基本構(gòu)成單元 —— 兩個節(jié)點之間的鏈路 —— 可能無法充分表征現(xiàn)實世界的系統(tǒng)。即使是簡單的異或（XOR）邏輯門（當輸入中 1 的個數(shù)為奇數(shù)時輸出 1，否則輸出 0），本質(zhì)上也是非二元的。

異或邏輯門（XOR，Exclusive-OR Gate）

異或邏輯門是一種非二元關(guān)系的示例。在這種情況下，輸出結(jié)果依賴于所有三個輸入，且任意兩個輸入之間均無相關(guān)性。

圖源：Tony Phillips

異或邏輯門是作者所稱的 “高階關(guān)系” 的一個例子。他們討論了兩種替代網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，認為這些結(jié)構(gòu)能更好地刻畫高階關(guān)系，即拓撲數(shù)據(jù)分析（Topological Data Analysis）和多元信息論（Multivariate Information Theory）。

拓撲數(shù)據(jù)分析（相關(guān)系統(tǒng)介紹見此鏈接 https://geometrica.saclay.inria.fr/team/Fred.Chazal/papers/cm-itda-17/SurveySFdSOct2017.pdf ）將數(shù)據(jù)集視為某個（通常是高維的）歐幾里得空間中的點云，因此可以明確界定哪些點彼此接近、哪些點相距較遠，進而利用拓撲學(xué)概念分析該點云的結(jié)構(gòu)。常用的拓撲學(xué)工具是持久同調(diào)（Persistent Homology），本專欄近期已對其進行過描述，參閱 。

本網(wǎng)站之前也在通信數(shù)學(xué)的背景下討論過一維信息論 https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-info1 。大致來說，問題如下：如果你對某個現(xiàn)象已經(jīng)了解 n 個信息 T?，…，T?，當再被告知第（n+1）個信息 T???時，你獲得了多少新知識？如果 T???與某個 T?完全相同，或者是某些 T?組合的邏輯推論，那么你并未獲得任何新知識 —— 這個新信息完全是冗余的。但如果 T???介于已知信息和完全未知信息之間，信息論則提供了一種衡量其包含 “多少” 新信息的方法。

信息的數(shù)學(xué)定義比該術(shù)語的通常理解更為狹隘。首先設(shè)定一個概率分布 p，它生成值 a?，…，a?，每個值對應(yīng)的概率為 p?（因此∑?p?=1）。如果存在某個 p?=1（則其他所有 p?=0），那么 p 完全集中在 a?上。此時，在測量之前我們就已知結(jié)果，無法獲得任何信息。另一方面，當所有 p?相等（即均等于 1/n）時，我們對測量結(jié)果的不確定性最大。為了在這兩種極端情況之間進行插值，克勞德?香農(nóng)（Claude Shannon）于 1948 年將信息定義為：

H(p) = -∑???? p? log?(p?)

其中，按照慣例，0log?(0)=0。信息的單位為比特（bits）。當所有 p?相等時：

H (p) = -（(1/n) log?(1/n) + … + (1/n) log?(1/n)）= log?(n) 比特

假設(shè)在相同的 n 個可能值上有兩個概率分布，p 的概率為 p?，…，p?，q 的概率為 q?，…，q?。則：

H(q∣p) = -∑???? q? log?(q?/p?)

這一量化指標表示，在已知 p 的情況下，從 q 中能獲得多少額外信息，被稱為相對信息（Relative Information）。

需要注意的是，如果兩個分布相同（即 q?=p?），則相對信息為 0，此時冗余度最大，q 無法提供任何額外信息。對于包含兩個以上分布 p?，p?，p?，… 的系統(tǒng)，作者使用相關(guān)指標 O (p?，…，p?) 來量化系統(tǒng)中的冗余度：O 值越大且為正，表明系統(tǒng)冗余度越高；O 值越大且為負，表明系統(tǒng)的信息含量越豐富。這種豐富性正是文章標題中所提及的 “協(xié)同作用”（Synergy）。

作者指出，信息與拓撲復(fù)雜性之間可能存在一種有趣的關(guān)聯(lián)，并通過三維（X?，X?，X?）空間中的點云來代表幾何圖形，以此進行說明。這使得他們能夠?qū)缀螆D像重新定義為從三個不同概率分布中采樣得到的數(shù)據(jù)集：點的 X?坐標來自分布 p?，X?坐標來自分布 p?，X?坐標來自分布 p?。之后，他們可以應(yīng)用信息論并分析 O (p?，p?，p?)。

作者通過示例展示了拓撲學(xué)與信息論之間的相關(guān)性。首先，從一個球體表面隨機采樣 10000 個點，其 O 值顯示出顯著的協(xié)同作用；而從實心球中采樣點時，O 值幾乎為 0。作者認為，球體的拓撲結(jié)構(gòu)是產(chǎn)生高階信息的原因。

相同半徑的球面（左）和實心球（右）的分析結(jié)果

作者將球面的高協(xié)同作用歸因于其非平凡拓撲結(jié)構(gòu)（即 “空穴”）。此處及下文的 “nat” 表示 O 值是使用更便捷的自然對數(shù)計算得出的。

圖源：改編自《協(xié)同作用的拓撲學(xué)》圖 4，來自開放獲取期刊《公共科學(xué)圖書館?計算生物學(xué)》。

作者還在二維環(huán)面表面及其所包圍的三維實心環(huán)面上重復(fù)了該實驗。環(huán)面表面顯示出顯著的協(xié)同作用，而實心環(huán)面的協(xié)同作用 “與實心球無顯著差異”。這一觀察結(jié)果令人失望，因為它表明該信息論測量方法未能刻畫實心環(huán)面的非平凡拓撲結(jié)構(gòu)（實心環(huán)面同倫等價于一個圓，而實心球同倫等價于一個點）。

相同尺寸的環(huán)面表面（左）和實心環(huán)面（右）的分析結(jié)果

與之前一致，帶有空穴的表面具有更高的協(xié)同作用。但這種信息論應(yīng)用似乎無法刻畫實心環(huán)面的一維拓撲結(jié)構(gòu)。

圖源：改編自《協(xié)同作用的拓撲學(xué)》圖 4，來自開放獲取期刊《公共科學(xué)圖書館?計算生物學(xué)》。

作者還對功能性磁共振成像（fMRI）大腦研究中收集的數(shù)據(jù)進行了 O 值分析。他們發(fā)現(xiàn)，“空穴數(shù)量” 與協(xié)同作用測量結(jié)果之間存在相關(guān)性，這表明 “在本質(zhì)上，拓撲數(shù)據(jù)分析和協(xié)同信息論關(guān)注的是同一種潛在結(jié)構(gòu)”。這一直觀上頗具吸引力，但正如作者所言，其背后的數(shù)學(xué)原理 “尚未被發(fā)現(xiàn)”。

參考資料

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take/

https://www.nature.com/articles/s41467-025-65974-8

https://www.bbc.com/news/articles/cgl6klez226o

https://www.nbcnews.com/science/science-news/human-brains-5-epochs-development-rcna245663

https://www.washingtonpost.com/wellness/2025/12/09/five-phases-brain-structure-changes/

https://www.wsj.com/health/wellness/brain-stages-aging-five-study-nature-a015101e?mod=djem10point

https://www.sciencedirect.com/topics/medicine-and-dentistry/diffusion-mri

https://humanconnectome.org/study/hcp-young-adult/project-protocol/network-modeling

https://umap-learn.readthedocs.io/en/latest/

https://static-content.springer.com/esm/art%3A10.1038%2Fs41467-025-65974-8/MediaObjects/41467_2025_65974_MOESM1_ESM.pdf

https://journals.plos.org/ploscompbiol/article?id=10.1371/journal.pcbi.1013649

https://geometrica.saclay.inria.fr/team/Fred.Chazal/papers/cm-itda-17/SurveySFdSOct2017.pdf

https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-info1

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